第一套 ? 填空题 (每小题2分，满分20分) 1. = 。 已知α= (0, -1 , 2)T , β=(0, -1 , 1)T , 且A =αβT , 则A4 = 。 设A、B为4阶方阵，且=2，=81，则= 设3阶方阵A的非零特征值为5，-3，则= 与向量组α1= (,,,)T , α2= (,, -, -)T , α3= (, -,, -)T ,都正交的单位向量α4= A是3×4矩阵，其秩r=2, B=, 则r= _____ 设β1、β2是非齐次方程组Ax=b的两个不同的解，α是对应的齐次方程组的基础解系，则β1 ,β2 ,α之间的关系为 。 向量组α1= (1, 1 , 1)T , α2= (1, 2 ,4)T , α3= (1, a , a2)T 线性无关的充要条件为a≠ 且a≠ 。 设可逆方阵A的特征值为λ，则kA-1的特征值为 。 f(x1, x2, x3)= x12+ax22+2x32-2x1x2为正定二次型，则a的取值范围为 二、选择：(每小题3分，满分15分) (1) 5阶行列式的全面展开式共有多少项 ( ) () 10项 () 25项 () 60项 () 120项 (2) 设,则 ( C ) ()  ()  ()  ()  (3) 若0，是单位矩阵，则 （ ） ()  ()  ()  ()  (4) 设线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为,则此方程组 （ ） () 有唯一解或有无穷多解 () 一定有无穷多解 () 可能无解 () 一定无解 (5)若n阶矩阵A与B相似，则（ ） ()它们的特征矩阵相似 ()它们具有相同的特征向量 ()它们具有相同的特征矩阵 ()存在可逆矩阵C，使 三.计算（60分） 1、（8分）计算n阶行列式 Dn =???????? ?  2、（8分）设A、B为3阶矩阵，且A2B = A + B – E ，其中A = ??????????? ， E为3阶单位矩阵，求矩阵B。 ? 3、（8分）确定a、b的值，使矩阵A= ?????????????????????????????????  的秩为2。 4、（8分）设α1= (1, 0, 2, 1)T , α2= (1, 2, 0, 1)T , α3= (2, 1, 3, 0)T , α4= (2, 5, -1, 4)T , 求此向量组的秩及一个极大无关组，并用此极大无关组表示其余向量。 5、（10分）为何值时,方程组  有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?在有解时写出其通解. 6、（8分）  7、（10分）求正交矩阵P，将二次型 f(x1, x2, x3) = -x12-x22-x32+4x1x2+4x1x3-4x2x3 化为标准形并写出此标准形。 四、（5分）设齐次方程组 a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0 , a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0 , … … an1x1 + an2x2 + … + annxn = 0 , 的系数行列式=0，A的某一元素akj的代数余子式Akj≠0， 证明: x = (Ak1 , Ak2 , … , Akn)T为此方程组的一个基础解系。 ?