第一节 n 阶行列式的定义
一、二阶行列式
给定 a,b,c,d 四个复数，称
bcad
dc
ba
??
为一个 二阶行列式 。
.21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
D ???
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标, 第二个下标 j 为
列指标 。 即 aij位于行列式的第 i 行第 j 列 。
为方便记
11a 12a
22a
主对角线
副对角线
2211aa?,2112 aa?
二阶行列式的计算 对角线法则
例如
13
1 7 ( 2 ) 3 1 3
27
? ? ? ? ? ?
?
21a
二、三阶行列式
同理，称
312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
为一个三阶行列式。 可用下面的对角线法则记忆
332211 aaa?
.322311 aaa?
322113 aaa? 312312 aa?
312213 aaa? 332112 a?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
2-43-
122-
4-21
D ?计算三阶行列式
例 1
解 按对角线法则，有
?D 4)2()4()3(12)2(21 ????????????
)3(2)4()2()2(2411 ?????????????
24843264 ???????
.14??
例 2 证明 3
22
)(
111
22 babbaa
baba
???
证明：
2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 3 2 2
3 2 2 3 3
( ) 2 2 ( ) 2 2
2 2 2 2
3 3
a a b ab ab b a b a b a b
a a b ab ab ab b a b a b
a a b ab b a b
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
左 边
（ ） 右 边
312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
中,6项的行下标全为 123，而列下标分别为
在三阶行列式
123,231,312 此三项均为正号
132,213,321 此三项均为负号
为了给出 n 阶行列式的定义，下面给出 全排列 及其 逆
序数 的概念及性质。
三、全排列及其逆序数
定义 由 1,2,· · ·, n 组成的有序数组称为一个 n级
全排列 。记为 j1 j2 · · · jn,
例如 32541 是一个 5级全排列
83251467是一个 8级全排列
3级全排列的全体共有 6种，分别为
123,231,312,132,213,321
n级全排列的种数为
! 321)1( nnn ?? ?
定义 在 一个排列 中，若数
则称这两个数组成此排列的一个逆序。
? ?nst iiiii ???21
st ii ?
例如 排列 32514 中
我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个
不同的自然数，规定由小到大为 标准次序。
排列的逆序数
3 2 5 1 4
逆序
逆序
逆序
定义 一个排列 j1 j2 · · · jn 中所有逆序的总数称为此排
列的 逆序数 。记为 ?（ j1 j2 · · · jn ）
例如 排列 32514 中
3 2 5 1 4
逆序数为 31
0 10
故此排列的逆序数为 ? ( 32541)=3+1+0+1+0=5.
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码
个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，
这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆
序数,
方法 2
分别计算出排在 前面比它大的数
码之和即分别算出 这 个元素
的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求
排列的逆序数,
n,n,,,121 ??
n,n,,,121 ?? n
计算排列逆序数的方法
方法 1
3 2 5 1 4
0 1 0 3 1
于是排列 32514 的逆序数为
13010 ??????,5?
5的前面没有比 5大的数,其逆序数为 0;
1的前面比 1大的数有 3个,故逆序数为 3;
4的前面比 4大的数有 1个,故逆序数为 1;
例 1 求排列 32514的逆序数,
解 在排列 32514中,
3排在首位,逆序数为 0;
2的前面比 2大的数只有一个 3,故逆序数为 1
例 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇
偶性,
? ? 21 79 86 35 41
解 453689712
544310010
??
18?
此排列为 偶排列,
5 4? 0100134 ???????
? ? ? ?? ? 321212 ??? nnn
解
12 ??? ?
? ?,
2
1?? nn
当 时为偶排列； 14,4 ?? kkn
当 时为奇排列, 34,24 ??? kkn
? ?1?? n? ? ?2?? n
? ?? ? 32121 ??? nnn
???? ????? ?? 1?n
??? ???? ?? ? ?
2?n
逆序数的性质
,0)12( ?n??
2
)1()3 2 1)1(( ??? nnnn ??
2
)1()(0
21
??? nnjjj
n??
逆序数为奇数的排列称为 奇排列 ;
逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
排列的奇偶性
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余
元素不动，这种作出新排列的手续叫做
对换．
将相邻两个元素对调，叫做 相邻对换,
ml bbbaaa ?? 11
例如
ba
ml bbabaa ?? 11 ab
nml ccbbbaaa ??? 111
nml ccabbbaa ??? 111
b
a
a
b
定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列
改变奇偶性．
证明 设排列为
ml bbabaa ?? 11
对换 与a b
ml bbbaaa ?? 11
除 外，其它元素的逆序数不改变,b,a
ab ba
当 时，ba?
a b 的逆序数不变 ;经对换后 的逆序数增加 1,
经对换后 的逆序数不变, 的逆序数减少 1.a b
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性,
设排列为 nml cbcbabaa ??? 111
当 时，ba?
现来对换 与a,b
次相邻对换m
nml ccbbabaa ??? 111
次相邻对换1?m
nml ccabbbaa ??? 111
,111 nml cbcbabaa ????
次相邻对换12 ?m,
111 nml cacbbbaa ???
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变
奇偶性,
ab
nml ccbbbaaa ??? 111 a b
ab
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数,
证明 由定理 1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数,而标准排列是偶排列 (逆序数为 0),因此
知推论成立,
定理 2 时,n个元素的所有排列中，奇排
列和偶排列的个数相等，各为
2?n
2
! n
四,n阶行列式的定义
三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
322113312312332211 aaaaaaaaa ???
332112322311312213 aaaaaaaaa ???
说明
（ 1） 三阶行列式共有 6 项，即 项．!3
（ 2） 每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积．
（ 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列
的三个元素的下标排列．
例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为
? ? 2113 1 2 ????
322311 aaa 列标排列的逆序数为
? ? 101132 ????
偶排列
奇排列
正号?
负号?
.)1(
321
321
321
)(
333231
232221
131211
? ??? pppppp aaa
aaa
aaa
aaa
?
nnnn
n
n
nppp
ppp
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
n
?
???
?
?
?
?
21
22221
11211
21
)(
2
.)1(
21
21
?
??
记作
的代数和
个元素的乘积取自不同行不同列的
阶行列式等于所有个数组成的由
?
定义
).de t ( ija简记作 的元素．称为行列式数 )de t ( ijij aa
? ?
? ?
n
n
n
nppp
ppp
ppp
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
?
???????
?
?
?
?
21
21
21
21
21
22221
11211
1? ??
?
?
? ? npppppp nn aaaD ?? 21)( 21211? ?? ?
其中 ? 为行标排列 的逆序数,nppp ?21
阶行列式也可定义为n
事实上 按行列式定义有
? ? nnppp aaaD ?21 211? ?? ?
? ? nppp naaaD ?211 211? ?? ?记
对于 D中任意一项 ? ?,1
21 21 nnppp aaa ?
??
总有且仅有 中的某一项1D ? ?,1 21 21 nqqqs naaa ??
与之对应并相等 ;反之,对于 中任意一项1D
? ?,1 21 21 nppp naaa ??? 也总有且仅有 D中的某一项
? ?,1 21 21 nnqqqs aaa ?? 与之对应并相等,于是 D与 1D
中的项可以一一对应并相等,从而,1DD ?
? ? nn qpqpqp aaaD ?22111? ?? ?
nn qqq,ppp ?? 2121其中 是两个 级排列,?为行
标排列逆序数与列标排列逆序数的和,
n
更一般的我们有,
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方
程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而
定义的 ;
2,阶行列式是 项的代数和 ;n !n
3,阶行列式的每项都是位于不同行、不同
列 个元素的乘积 ;
n
n
4,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa ?
5,的符号为 nnppp aaa ?21 21 ? ?,1 )(
21 nppp ???
例 1 计算对角行列式
0004
0030
0200
1000
分析
展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa
41 ?p若,011 ?? pa
从而这个项为零，
所以 只能等于,1p 4
同理可得 1,2,3 432 ??? ppp
解
0004
0030
0200
1000
? ? ? ? 43211 4321 ????? t,24?
即行列式中不为零的项为,aaaa 41322314
例 2 计算上 三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
?
???????
?
?
00
0
222
11211
分析
展开式中项的一般形式是,21 21 nnppp aaa ?
,npn ?,11 ??? np n,1,2,3 123 ????? ppnp n ?
所以不为零的项只有,2211 nnaaa ?
nn
n
n
a
aa
aaa
?
???????
?
?
00
0
222
11211
?
? ? ? ? nnnt aaa ?? 2211121??
.2211 nnaaa ??
解
例 3
8000
6500
1240
4321
??D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD ??
.1608541 ?????
同理可得 下三角行列式
nnnnn
aaaa
aa
a
?
????????
?
?
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa ??
n
?
?
?
?
2
1
? ? ? ?,1 212 1 nnn ??? ????;21 n??? ??
n
?
?
?
?
2
1
例 4 证明 对角行列式
n
?
?
?
?
2
1
? ? ? ?? ? 11,212111 nnnnnt aaa ?? ????
? ? ? ?,1 212 1 nnn ??? ????
证明 第一式是显然的,下面证第二式,
若记,1,??? inii a? 则依行列式定义
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
?
?
?
证毕
例 5 设
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
???????
?
?
21
22221
11211
1
?
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
ababa
baaba
babaa
D
?
???????
?
?
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
??
?
??
?
证明,21 DD ?
证 由行列式定义有
? ?
? ?
n
n
n
nppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D ?
?
???????
?
?
?
?
21
21
21
21
21
22221
11211
1
1? ???
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
ababa
baaba
babaa
D
?
???????
?
?
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
??
?
??
?
? ? ? ? ? ? ? ?n
n
n
n pppn
nppp
ppp
pppt baaa ???????? ?? ??
?
? ? 21
21
21
21 21
211
由于,2121 nppp n ??????? ??
所以
? ? ? ?,1 2211
21
21
21 DaaaD
n
n
n
nppp
ppp
pppt ??? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?n
n
n
n pppn
nppp
ppp
pppt baaaD ???????? ?? ??
?
? ? 21
21
21
21 21
212 1
? ? ? ?
n
n
n
nppp
ppp
pppt aaa ?
?
?
21
21
21
211? ??
故
第二节 行列式的性质
一、行列式的性质
性质 1 行列式与它的转置行列式相等,
行列式 称为行列式 的转置行列式, TD D
记
nn
a
a
a
?
22
11
?
?
?
n
n
a
aa
2
112
?
?
21
21
nn
aa
a
?D
?
?
?
2
121
n
n
a
aa
?
?
nn
aa
a
21
12
?TD
nn
a
a
a
?
22
11
证明 ? ?的转置行列式记 ijaD de t?,
21
22221
11211
nnnn
n
n
T
bbb
bbb
bbb
D
?
???????
?
?
?
? ?,,,2,1,njiab ijij ???即 按定义
? ? ? ?,11 2121 2121 ?? ???? nppptnppptT nn aaabbbD ??
又因为行列式 D可表示为
? ?,1 21 21? ?? npppt naaaD ?
故,TDD ? 证毕
性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
证明 设行列式,
21
22221
11211
1
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
D
?
???????
?
?
?
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列
式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,
是由行列式 变换 两行得到的,? ?ijaD d e t? ji,
于是 ? ?
nji npjpipp
t bbbbD ???
111 1? ??
? ? nji npjpippt aaaa ???111? ??
? ?,1 11 nij npjpippt aaaa ???? ??
,1 为自然排列其中 nji ???
.1 的逆序数为排列 nji ppppt ???
,11 tpppp nji 的逆序数为设排列 ???则有
即当 时,jik,? ;kpkp ab ? 当 时,jik,?
,,ipjpjpip abab ??
例如
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则
此行列式为零,
证明 互换相同的两行，有
.0?? D
,DD ??
? ? ? ?,11 1tt ????
故 ? ?,1
1
1 11 DaaaaD
nij npjpipp
t ????? ? ???证毕
,
571571
??
266
853
.
8
2
5
8
2
5
??
3
6
1
5
6
7
5
6
7
3
6
1
266
853
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数,等于用数 乘此行列式,k k
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
?
???????
?
???????
?
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
?
???????
?
???????
?
21
21
11211
?
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因
子可以提到行列式符号的外面．
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比
例，则此行列式为零．
证明
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
?
???????
?
???????
?
???????
?
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
?
???????
?
???????
?
???????
?
21
21
21
11211
?
.0?
性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和,
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
??
????
??
??
)(
)(
)(
21
2222221
1111211
??
??
??
?
则 D等于下列两个行列式之和：
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
??
????
??
??
??
????
??
??
?
?
?
??
1
2221
1111
1
2221
1111例如
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行
列式不变．
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
???
????
???
???
1
22221
11111
njnjnjnin
jjji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
krr
???
????
???
???
)(
)(
)(
1
222221
111111
?
?
?
?
?k例如
例１
2101044
614753
12402
59733
13211
??
??
?
???
??
?D
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 把行列式
化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,
ji krr ?
3? ?
2101044
614753
12402
59733
13211
??
??
?
???
??
?D
3? ?
解
2101044
614753
12402
20100
13211
3
12
??
??
?
??
??
? rr
2101044
614753
14020
20100
13211
??
??
?
??
??
2101044
614753
12402
20100
13211
3
12
??
??
?
??
??
? rr
? ?2??
?
? ?3??
?12 2rr ?
? ???4
?
42 rr ?
22200
20100
14020
35120
13211
?
??
?
??
??
? 22200
35120
14020
20100
13211
?
??
?
??
??
?
14 4rr ?
13 3rr ?
22200
01000
21100
35120
13211
?
?
?
??
??
?
34 rr ?
22200
20100
21100
35120
13211
?
??
?
??
??
?
23 rr ?
?
? ?2??
?
60000
01000
21100
35120
13211
?
?
?
??
??
?
? ?? ?? ?612 ?????45 4rr ?,12?
64000
01000
21100
35120
13211
?
?
?
??
??
?
35 2rr ?
4?
?
例 2 计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D
?
?????
?
?
?
?
解
? ?
? ?
? ?
? ? abbbna
babbna
bbabna
bbbbna
?
?????
?
?
?
1
1
1
1
??
??
??
??
?D
将第 都加到第一列得 n,,3,2 ?
? ?
abb
bab
bba
bbb
bna
?
?????
?
?
?
1
1
1
1
)1( ???
? ?
ba
ba
ba
bbb
bna
?
?
?
???
?
?1
)1(
0
0
? ?,)()1( 1????? nbabna
例 3
nnn
n
nkn
k
kkk
k
bb
bb
cc
cc
aa
aa
D
?
??
?
?
??
?
?
??
?
1
111
1
111
1
111
0
?设
,)d e t (
1
111
1
kkk
k
ij
aa
aa
aD
?
??
?
??,)d e t (
1
111
2
nnn
n
ij
bb
bb
bD
?
??
?
??
.21 DDD ?证明
证明;
0
11
1
11
1 kk
kkk
pp
pp
p
D ?
?
?? ??设为
化为下三角形行列式，把作运算对 11 DkrrD ji ?
化为下三角形行列式把作运算对 22,DkccD ji ?
.
0
11
1
11
2 nn
nkn
qq
pq
q
D ?
?
?? ??设为
,
0
1
11
1
111
1
11
nnnnkn
k
kkk
qq
q
cc
cc
pp
p
D
?
??
?
??
?
?
??
?
化为下三角形行列式把算
列作运，再对后行作运算的前对
Dkcc
nkrrkD
ji
ji
,?
?
nnkk qqppD ?? 1111 ??故,21 DD?
阶行列式计算 4
1
11
1
11
1
11
1
11
2
2
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
a
a
D
?
?
?
?
?
? ?1?a b c d已知
例 4
解
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
d
dd
c
cc
b
bb
a
aa
D ?
1
11
1
11
1
11
1
11
2
2
2
2
d
d
d
c
c
c
b
b
b
a
a
a
?
dd
d
cc
c
bb
b
aa
a
a b cd
11
1
11
1
11
1
11
1
2
2
2
2
? ? ?
dd
d
cc
c
bb
b
aa
a
11
1
11
1
11
1
11
1
1
2
2
2
2
3
??
.0?
第三节 行列式按行 （ 列 ） 展开
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa例如
? ?3223332211 aaaaa ?? ? ?3321312312 aaaaa ??
? ?3122322113 aaaaa ??
3331
2321
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa ???
一、余子式与代数余子式
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第
列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素
的 余子式,记作
n ija i j
1?n ija
.Mij
? ?,记 ijjiij MA ??? 1叫做元素 的 代数余子式,ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 233223 1 MA ???,23M??
,
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
,
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 122112 1 MA ???,12M??
,
333231
232221
131211
44
aaa
aaa
aaa
M ?
? ?,1 44444444 MMA ??? ?
.个代数余子式
对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别
引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有
元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的
代数余子式的乘积，即, ijij AaD ?
n i
ija ija
44434241
33
24232221
14131211
000
aaaa
a
aaaa
aaaa
D ?
? ?,1
444241
242221
141211
33
33
aaa
aaa
aaa
a???
例如
证 当 位于第一行第一列时,ija
nnnn
n
aaa
aaa
a
D
?
???
?
?
21
22221
11
00
?
即有,1111 MaD ?
又 ? ? 111111 1 MA ???,11M?
从而,1111 AaD ?
再证一般情形,此时
nnnjn
ij
nj
aaa
a
aaa
D
??
???
??
???
??
1
1111
00?
,1,2,1 行对调第行第行行依次与第的第把 ?? iiiD
得
? ?
nnnjn
nijii
ij
i
aaa
aaa
a
D
??
???
??
???
??
1
,1,11,1
1
00
1 ???
?
??
ija
ija
,
1,2,1
对调
列第列第列列依次与第的第再把 ?? jjjD
得 ? ? ? ?
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
D
??
???
??
???
??
1,
,11,1,1
11
00
11
?
????
??
????
ija
? ?
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
??
???
??
???
??
1,
,11,1,1
2
00
1
?
????
??
??
? ?
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
??
???
??
???
??
1,
,11,1,1
00
1
?
????
?
??
ija
ija
nnnjn
ij
nj
aaa
a
aaa
D
??
???
??
???
??
1
1111
00?
中的余子式,ijM
在余子式仍然是
中的在行列式元素
ij
nnjnnj
nijiji
ij
ij
a
aaa
aaa
a
a
??
???
??
???
??
1,
,11,1,1
00
?
????
ija
ija
故得
? ?
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
D
??
???
??
???
??
1,
,11,1,1
00
1
?
????
?
??
? ?,1 ijijji Ma???
于是有
nnjnnj
nijiji
ij
aaa
aaa
a
??
???
??
???
??
1,
,11,1,1
00
?
????
,ijij Ma?
ija
ija
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元
素与其对应的代数余子式乘积之和，即
ininiiii AaAaAaD ???? ?2211? ?ni,,2,1 ??
证
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
????
????
?
21
21
11211
000000 ??????????
二、行列式按行（列）展开法则
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
21
1
11211
00?
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
21
2
11211
00?
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
?
21
11211
00??
ininiiii AaAaAa ???? ?2211
? ?ni,,2,1 ??
例 1
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
0355
0100
13111
1115
??
??
?
? ? 31 2 cc ??
34 cc ?
055
1111
115
)1( 33
??
???? ?
055
026
115
??
?
55
26)1( 31
??
??? ?
50
28
?
??
.40?
12 rr ?
证 用数学归纳法
21
2
11
xxD ?? 12 xx ??,)(12 ? ??? ?? ji ji xx
）式成立．时（当 12?? n
例 2 证明范德蒙德 (Vandermonde)行列式
?
???
???
???
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
).(
111
jin
ji
n
n
nn
n
n
n
xx
xxx
xxx
xxx
D
?
???
?
?
?
)1(
，阶范德蒙德行列式成立）对于假设（ 11 ?n
)()()(0
)()()(0
0
1111
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
D
n
n
n
nn
nn
n
n
???
???
???
?
???
?
????
?
?
?
就有
提出，因子列展开，并把每列的公按第 )(1 1xx i ?
)()())((
211312 jjin inn
xxxxxxxxD ?????? ?
???
?
).(
1 jjin i
xx ?? ?
???
22
3
2
2
32
11312
111
)())((
???
????
n
n
nn
n
n
xxx
xxx
xxxxxx
?
???
?
?
?
n-1阶范德蒙德行列式
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.ji,AaAaAa jninjiji ????? 02211 ?
,
1
1
1
111
11
nnn
jnj
ini
n
jnjnjj
aa
aa
aa
aa
AaAa
?
??
?
??
?
??
?
? ???
证 行展开，有按第把行列式 jaD ij )de t (?
,
1
1
1
111
11
nnn
ini
ini
n
jninji
aa
aa
aa
aa
AaAa
?
??
?
??
?
??
?
? ???
可得换成把 ),,,1( nkaa ikjk ??
行第 j
行第 i
,时当 ji ?
).(,02211 jiAaAaAa jninjiji ????? ?
同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji ????? ?
相同
关于代数余子式的重要性质
??
?
?
????
? ;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
kjki 当
当?
??
?
?
????
? ;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
jkik 当
当?
??
?
?
???
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中
例３ 计算行列式
277
010
353
?
??
?D
解
27
013 ???D
.27?
按第一行展开，得
2
005?
77
13 ??
05320
04140
01320
25271
02135
??
?
?
?D
例４ 计算行列式
解
05320
04140
01320
25271
02135
??
?
?
?D
660
270
132
10 ?
?
?? ? ?
66
27210 ?????
? ?,10 80124220 ?????
532
414
132
52 ??
?
??
? ?
5320
4140
1320
2135
21
52
??
?
?
??
?
13 rr ?
? ? 12 2 rr ??
一、二阶行列式
给定 a,b,c,d 四个复数，称
bcad
dc
ba
??
为一个 二阶行列式 。
.21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
D ???
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标, 第二个下标 j 为
列指标 。 即 aij位于行列式的第 i 行第 j 列 。
为方便记
11a 12a
22a
主对角线
副对角线
2211aa?,2112 aa?
二阶行列式的计算 对角线法则
例如
13
1 7 ( 2 ) 3 1 3
27
? ? ? ? ? ?
?
21a
二、三阶行列式
同理，称
312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
为一个三阶行列式。 可用下面的对角线法则记忆
332211 aaa?
.322311 aaa?
322113 aaa? 312312 aa?
312213 aaa? 332112 a?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
2-43-
122-
4-21
D ?计算三阶行列式
例 1
解 按对角线法则，有
?D 4)2()4()3(12)2(21 ????????????
)3(2)4()2()2(2411 ?????????????
24843264 ???????
.14??
例 2 证明 3
22
)(
111
22 babbaa
baba
???
证明：
2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 3 2 2
3 2 2 3 3
( ) 2 2 ( ) 2 2
2 2 2 2
3 3
a a b ab ab b a b a b a b
a a b ab ab ab b a b a b
a a b ab b a b
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
左 边
（ ） 右 边
312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
中,6项的行下标全为 123，而列下标分别为
在三阶行列式
123,231,312 此三项均为正号
132,213,321 此三项均为负号
为了给出 n 阶行列式的定义，下面给出 全排列 及其 逆
序数 的概念及性质。
三、全排列及其逆序数
定义 由 1,2,· · ·, n 组成的有序数组称为一个 n级
全排列 。记为 j1 j2 · · · jn,
例如 32541 是一个 5级全排列
83251467是一个 8级全排列
3级全排列的全体共有 6种，分别为
123,231,312,132,213,321
n级全排列的种数为
! 321)1( nnn ?? ?
定义 在 一个排列 中，若数
则称这两个数组成此排列的一个逆序。
? ?nst iiiii ???21
st ii ?
例如 排列 32514 中
我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个
不同的自然数，规定由小到大为 标准次序。
排列的逆序数
3 2 5 1 4
逆序
逆序
逆序
定义 一个排列 j1 j2 · · · jn 中所有逆序的总数称为此排
列的 逆序数 。记为 ?（ j1 j2 · · · jn ）
例如 排列 32514 中
3 2 5 1 4
逆序数为 31
0 10
故此排列的逆序数为 ? ( 32541)=3+1+0+1+0=5.
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码
个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，
这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆
序数,
方法 2
分别计算出排在 前面比它大的数
码之和即分别算出 这 个元素
的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求
排列的逆序数,
n,n,,,121 ??
n,n,,,121 ?? n
计算排列逆序数的方法
方法 1
3 2 5 1 4
0 1 0 3 1
于是排列 32514 的逆序数为
13010 ??????,5?
5的前面没有比 5大的数,其逆序数为 0;
1的前面比 1大的数有 3个,故逆序数为 3;
4的前面比 4大的数有 1个,故逆序数为 1;
例 1 求排列 32514的逆序数,
解 在排列 32514中,
3排在首位,逆序数为 0;
2的前面比 2大的数只有一个 3,故逆序数为 1
例 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇
偶性,
? ? 21 79 86 35 41
解 453689712
544310010
??
18?
此排列为 偶排列,
5 4? 0100134 ???????
? ? ? ?? ? 321212 ??? nnn
解
12 ??? ?
? ?,
2
1?? nn
当 时为偶排列； 14,4 ?? kkn
当 时为奇排列, 34,24 ??? kkn
? ?1?? n? ? ?2?? n
? ?? ? 32121 ??? nnn
???? ????? ?? 1?n
??? ???? ?? ? ?
2?n
逆序数的性质
,0)12( ?n??
2
)1()3 2 1)1(( ??? nnnn ??
2
)1()(0
21
??? nnjjj
n??
逆序数为奇数的排列称为 奇排列 ;
逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
排列的奇偶性
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余
元素不动，这种作出新排列的手续叫做
对换．
将相邻两个元素对调，叫做 相邻对换,
ml bbbaaa ?? 11
例如
ba
ml bbabaa ?? 11 ab
nml ccbbbaaa ??? 111
nml ccabbbaa ??? 111
b
a
a
b
定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列
改变奇偶性．
证明 设排列为
ml bbabaa ?? 11
对换 与a b
ml bbbaaa ?? 11
除 外，其它元素的逆序数不改变,b,a
ab ba
当 时，ba?
a b 的逆序数不变 ;经对换后 的逆序数增加 1,
经对换后 的逆序数不变, 的逆序数减少 1.a b
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性,
设排列为 nml cbcbabaa ??? 111
当 时，ba?
现来对换 与a,b
次相邻对换m
nml ccbbabaa ??? 111
次相邻对换1?m
nml ccabbbaa ??? 111
,111 nml cbcbabaa ????
次相邻对换12 ?m,
111 nml cacbbbaa ???
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变
奇偶性,
ab
nml ccbbbaaa ??? 111 a b
ab
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数,
证明 由定理 1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数,而标准排列是偶排列 (逆序数为 0),因此
知推论成立,
定理 2 时,n个元素的所有排列中，奇排
列和偶排列的个数相等，各为
2?n
2
! n
四,n阶行列式的定义
三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
322113312312332211 aaaaaaaaa ???
332112322311312213 aaaaaaaaa ???
说明
（ 1） 三阶行列式共有 6 项，即 项．!3
（ 2） 每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积．
（ 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列
的三个元素的下标排列．
例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为
? ? 2113 1 2 ????
322311 aaa 列标排列的逆序数为
? ? 101132 ????
偶排列
奇排列
正号?
负号?
.)1(
321
321
321
)(
333231
232221
131211
? ??? pppppp aaa
aaa
aaa
aaa
?
nnnn
n
n
nppp
ppp
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
n
?
???
?
?
?
?
21
22221
11211
21
)(
2
.)1(
21
21
?
??
记作
的代数和
个元素的乘积取自不同行不同列的
阶行列式等于所有个数组成的由
?
定义
).de t ( ija简记作 的元素．称为行列式数 )de t ( ijij aa
? ?
? ?
n
n
n
nppp
ppp
ppp
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
?
???????
?
?
?
?
21
21
21
21
21
22221
11211
1? ??
?
?
? ? npppppp nn aaaD ?? 21)( 21211? ?? ?
其中 ? 为行标排列 的逆序数,nppp ?21
阶行列式也可定义为n
事实上 按行列式定义有
? ? nnppp aaaD ?21 211? ?? ?
? ? nppp naaaD ?211 211? ?? ?记
对于 D中任意一项 ? ?,1
21 21 nnppp aaa ?
??
总有且仅有 中的某一项1D ? ?,1 21 21 nqqqs naaa ??
与之对应并相等 ;反之,对于 中任意一项1D
? ?,1 21 21 nppp naaa ??? 也总有且仅有 D中的某一项
? ?,1 21 21 nnqqqs aaa ?? 与之对应并相等,于是 D与 1D
中的项可以一一对应并相等,从而,1DD ?
? ? nn qpqpqp aaaD ?22111? ?? ?
nn qqq,ppp ?? 2121其中 是两个 级排列,?为行
标排列逆序数与列标排列逆序数的和,
n
更一般的我们有,
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方
程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而
定义的 ;
2,阶行列式是 项的代数和 ;n !n
3,阶行列式的每项都是位于不同行、不同
列 个元素的乘积 ;
n
n
4,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa ?
5,的符号为 nnppp aaa ?21 21 ? ?,1 )(
21 nppp ???
例 1 计算对角行列式
0004
0030
0200
1000
分析
展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa
41 ?p若,011 ?? pa
从而这个项为零，
所以 只能等于,1p 4
同理可得 1,2,3 432 ??? ppp
解
0004
0030
0200
1000
? ? ? ? 43211 4321 ????? t,24?
即行列式中不为零的项为,aaaa 41322314
例 2 计算上 三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
?
???????
?
?
00
0
222
11211
分析
展开式中项的一般形式是,21 21 nnppp aaa ?
,npn ?,11 ??? np n,1,2,3 123 ????? ppnp n ?
所以不为零的项只有,2211 nnaaa ?
nn
n
n
a
aa
aaa
?
???????
?
?
00
0
222
11211
?
? ? ? ? nnnt aaa ?? 2211121??
.2211 nnaaa ??
解
例 3
8000
6500
1240
4321
??D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD ??
.1608541 ?????
同理可得 下三角行列式
nnnnn
aaaa
aa
a
?
????????
?
?
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa ??
n
?
?
?
?
2
1
? ? ? ?,1 212 1 nnn ??? ????;21 n??? ??
n
?
?
?
?
2
1
例 4 证明 对角行列式
n
?
?
?
?
2
1
? ? ? ?? ? 11,212111 nnnnnt aaa ?? ????
? ? ? ?,1 212 1 nnn ??? ????
证明 第一式是显然的,下面证第二式,
若记,1,??? inii a? 则依行列式定义
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
?
?
?
证毕
例 5 设
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
???????
?
?
21
22221
11211
1
?
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
ababa
baaba
babaa
D
?
???????
?
?
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
??
?
??
?
证明,21 DD ?
证 由行列式定义有
? ?
? ?
n
n
n
nppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D ?
?
???????
?
?
?
?
21
21
21
21
21
22221
11211
1
1? ???
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
ababa
baaba
babaa
D
?
???????
?
?
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
??
?
??
?
? ? ? ? ? ? ? ?n
n
n
n pppn
nppp
ppp
pppt baaa ???????? ?? ??
?
? ? 21
21
21
21 21
211
由于,2121 nppp n ??????? ??
所以
? ? ? ?,1 2211
21
21
21 DaaaD
n
n
n
nppp
ppp
pppt ??? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?n
n
n
n pppn
nppp
ppp
pppt baaaD ???????? ?? ??
?
? ? 21
21
21
21 21
212 1
? ? ? ?
n
n
n
nppp
ppp
pppt aaa ?
?
?
21
21
21
211? ??
故
第二节 行列式的性质
一、行列式的性质
性质 1 行列式与它的转置行列式相等,
行列式 称为行列式 的转置行列式, TD D
记
nn
a
a
a
?
22
11
?
?
?
n
n
a
aa
2
112
?
?
21
21
nn
aa
a
?D
?
?
?
2
121
n
n
a
aa
?
?
nn
aa
a
21
12
?TD
nn
a
a
a
?
22
11
证明 ? ?的转置行列式记 ijaD de t?,
21
22221
11211
nnnn
n
n
T
bbb
bbb
bbb
D
?
???????
?
?
?
? ?,,,2,1,njiab ijij ???即 按定义
? ? ? ?,11 2121 2121 ?? ???? nppptnppptT nn aaabbbD ??
又因为行列式 D可表示为
? ?,1 21 21? ?? npppt naaaD ?
故,TDD ? 证毕
性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
证明 设行列式,
21
22221
11211
1
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
D
?
???????
?
?
?
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列
式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,
是由行列式 变换 两行得到的,? ?ijaD d e t? ji,
于是 ? ?
nji npjpipp
t bbbbD ???
111 1? ??
? ? nji npjpippt aaaa ???111? ??
? ?,1 11 nij npjpippt aaaa ???? ??
,1 为自然排列其中 nji ???
.1 的逆序数为排列 nji ppppt ???
,11 tpppp nji 的逆序数为设排列 ???则有
即当 时,jik,? ;kpkp ab ? 当 时,jik,?
,,ipjpjpip abab ??
例如
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则
此行列式为零,
证明 互换相同的两行，有
.0?? D
,DD ??
? ? ? ?,11 1tt ????
故 ? ?,1
1
1 11 DaaaaD
nij npjpipp
t ????? ? ???证毕
,
571571
??
266
853
.
8
2
5
8
2
5
??
3
6
1
5
6
7
5
6
7
3
6
1
266
853
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数,等于用数 乘此行列式,k k
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
?
???????
?
???????
?
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
?
???????
?
???????
?
21
21
11211
?
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因
子可以提到行列式符号的外面．
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比
例，则此行列式为零．
证明
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
?
???????
?
???????
?
???????
?
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
?
???????
?
???????
?
???????
?
21
21
21
11211
?
.0?
性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和,
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
??
????
??
??
)(
)(
)(
21
2222221
1111211
??
??
??
?
则 D等于下列两个行列式之和：
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
??
????
??
??
??
????
??
??
?
?
?
??
1
2221
1111
1
2221
1111例如
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行
列式不变．
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
???
????
???
???
1
22221
11111
njnjnjnin
jjji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
krr
???
????
???
???
)(
)(
)(
1
222221
111111
?
?
?
?
?k例如
例１
2101044
614753
12402
59733
13211
??
??
?
???
??
?D
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 把行列式
化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,
ji krr ?
3? ?
2101044
614753
12402
59733
13211
??
??
?
???
??
?D
3? ?
解
2101044
614753
12402
20100
13211
3
12
??
??
?
??
??
? rr
2101044
614753
14020
20100
13211
??
??
?
??
??
2101044
614753
12402
20100
13211
3
12
??
??
?
??
??
? rr
? ?2??
?
? ?3??
?12 2rr ?
? ???4
?
42 rr ?
22200
20100
14020
35120
13211
?
??
?
??
??
? 22200
35120
14020
20100
13211
?
??
?
??
??
?
14 4rr ?
13 3rr ?
22200
01000
21100
35120
13211
?
?
?
??
??
?
34 rr ?
22200
20100
21100
35120
13211
?
??
?
??
??
?
23 rr ?
?
? ?2??
?
60000
01000
21100
35120
13211
?
?
?
??
??
?
? ?? ?? ?612 ?????45 4rr ?,12?
64000
01000
21100
35120
13211
?
?
?
??
??
?
35 2rr ?
4?
?
例 2 计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D
?
?????
?
?
?
?
解
? ?
? ?
? ?
? ? abbbna
babbna
bbabna
bbbbna
?
?????
?
?
?
1
1
1
1
??
??
??
??
?D
将第 都加到第一列得 n,,3,2 ?
? ?
abb
bab
bba
bbb
bna
?
?????
?
?
?
1
1
1
1
)1( ???
? ?
ba
ba
ba
bbb
bna
?
?
?
???
?
?1
)1(
0
0
? ?,)()1( 1????? nbabna
例 3
nnn
n
nkn
k
kkk
k
bb
bb
cc
cc
aa
aa
D
?
??
?
?
??
?
?
??
?
1
111
1
111
1
111
0
?设
,)d e t (
1
111
1
kkk
k
ij
aa
aa
aD
?
??
?
??,)d e t (
1
111
2
nnn
n
ij
bb
bb
bD
?
??
?
??
.21 DDD ?证明
证明;
0
11
1
11
1 kk
kkk
pp
pp
p
D ?
?
?? ??设为
化为下三角形行列式，把作运算对 11 DkrrD ji ?
化为下三角形行列式把作运算对 22,DkccD ji ?
.
0
11
1
11
2 nn
nkn
pq
q
D ?
?
?? ??设为
,
0
1
11
1
111
1
11
nnnnkn
k
kkk
q
cc
cc
pp
p
D
?
??
?
??
?
?
??
?
化为下三角形行列式把算
列作运，再对后行作运算的前对
Dkcc
nkrrkD
ji
ji
,?
?
nnkk qqppD ?? 1111 ??故,21 DD?
阶行列式计算 4
1
11
1
11
1
11
1
11
2
2
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
a
a
D
?
?
?
?
?
? ?1?a b c d已知
例 4
解
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
d
dd
c
cc
b
bb
a
aa
D ?
1
11
1
11
1
11
1
11
2
2
2
2
d
d
d
c
c
c
b
b
b
a
a
a
?
dd
d
cc
c
bb
b
aa
a
a b cd
11
1
11
1
11
1
11
1
2
2
2
2
? ? ?
dd
d
cc
c
bb
b
aa
a
11
1
11
1
11
1
11
1
1
2
2
2
2
3
??
.0?
第三节 行列式按行 （ 列 ） 展开
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa例如
? ?3223332211 aaaaa ?? ? ?3321312312 aaaaa ??
? ?3122322113 aaaaa ??
3331
2321
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa ???
一、余子式与代数余子式
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第
列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素
的 余子式,记作
n ija i j
1?n ija
.Mij
? ?,记 ijjiij MA ??? 1叫做元素 的 代数余子式,ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 233223 1 MA ???,23M??
,
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
,
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 122112 1 MA ???,12M??
,
333231
232221
131211
44
aaa
aaa
aaa
M ?
? ?,1 44444444 MMA ??? ?
.个代数余子式
对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别
引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有
元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的
代数余子式的乘积，即, ijij AaD ?
n i
ija ija
44434241
33
24232221
14131211
000
aaaa
a
aaaa
aaaa
D ?
? ?,1
444241
242221
141211
33
33
aaa
aaa
aaa
a???
例如
证 当 位于第一行第一列时,ija
nnnn
n
aaa
aaa
a
D
?
???
?
?
21
22221
11
00
?
即有,1111 MaD ?
又 ? ? 111111 1 MA ???,11M?
从而,1111 AaD ?
再证一般情形,此时
nnnjn
ij
nj
aaa
a
aaa
D
??
???
??
???
??
1
1111
00?
,1,2,1 行对调第行第行行依次与第的第把 ?? iiiD
得
? ?
nnnjn
nijii
ij
i
aaa
aaa
a
D
??
???
??
???
??
1
,1,11,1
1
00
1 ???
?
??
ija
ija
,
1,2,1
对调
列第列第列列依次与第的第再把 ?? jjjD
得 ? ? ? ?
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
D
??
???
??
???
??
1,
,11,1,1
11
00
11
?
????
??
????
ija
? ?
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
??
???
??
???
??
1,
,11,1,1
2
00
1
?
????
??
??
? ?
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
??
???
??
???
??
1,
,11,1,1
00
1
?
????
?
??
ija
ija
nnnjn
ij
nj
aaa
a
aaa
D
??
???
??
???
??
1
1111
00?
中的余子式,ijM
在余子式仍然是
中的在行列式元素
ij
nnjnnj
nijiji
ij
ij
a
aaa
aaa
a
a
??
???
??
???
??
1,
,11,1,1
00
?
????
ija
ija
故得
? ?
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
D
??
???
??
???
??
1,
,11,1,1
00
1
?
????
?
??
? ?,1 ijijji Ma???
于是有
nnjnnj
nijiji
ij
aaa
aaa
a
??
???
??
???
??
1,
,11,1,1
00
?
????
,ijij Ma?
ija
ija
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元
素与其对应的代数余子式乘积之和，即
ininiiii AaAaAaD ???? ?2211? ?ni,,2,1 ??
证
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
????
????
?
21
21
11211
000000 ??????????
二、行列式按行（列）展开法则
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
21
1
11211
00?
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
21
2
11211
00?
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
?
21
11211
00??
ininiiii AaAaAa ???? ?2211
? ?ni,,2,1 ??
例 1
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
0355
0100
13111
1115
??
??
?
? ? 31 2 cc ??
34 cc ?
055
1111
115
)1( 33
??
???? ?
055
026
115
??
?
55
26)1( 31
??
??? ?
50
28
?
??
.40?
12 rr ?
证 用数学归纳法
21
2
11
xxD ?? 12 xx ??,)(12 ? ??? ?? ji ji xx
）式成立．时（当 12?? n
例 2 证明范德蒙德 (Vandermonde)行列式
?
???
???
???
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
).(
111
jin
ji
n
n
nn
n
n
n
xx
xxx
xxx
xxx
D
?
???
?
?
?
)1(
，阶范德蒙德行列式成立）对于假设（ 11 ?n
)()()(0
)()()(0
0
1111
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
D
n
n
n
nn
nn
n
n
???
???
???
?
???
?
????
?
?
?
就有
提出，因子列展开，并把每列的公按第 )(1 1xx i ?
)()())((
211312 jjin inn
xxxxxxxxD ?????? ?
???
?
).(
1 jjin i
xx ?? ?
???
22
3
2
2
32
11312
111
)())((
???
????
n
n
nn
n
n
xxx
xxx
xxxxxx
?
???
?
?
?
n-1阶范德蒙德行列式
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.ji,AaAaAa jninjiji ????? 02211 ?
,
1
1
1
111
11
nnn
jnj
ini
n
jnjnjj
aa
aa
aa
aa
AaAa
?
??
?
??
?
??
?
? ???
证 行展开，有按第把行列式 jaD ij )de t (?
,
1
1
1
111
11
nnn
ini
ini
n
jninji
aa
aa
aa
aa
AaAa
?
??
?
??
?
??
?
? ???
可得换成把 ),,,1( nkaa ikjk ??
行第 j
行第 i
,时当 ji ?
).(,02211 jiAaAaAa jninjiji ????? ?
同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji ????? ?
相同
关于代数余子式的重要性质
??
?
?
????
? ;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
kjki 当
当?
??
?
?
????
? ;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
jkik 当
当?
??
?
?
???
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中
例３ 计算行列式
277
010
353
?
??
?D
解
27
013 ???D
.27?
按第一行展开，得
2
005?
77
13 ??
05320
04140
01320
25271
02135
??
?
?
?D
例４ 计算行列式
解
05320
04140
01320
25271
02135
??
?
?
?D
660
270
132
10 ?
?
?? ? ?
66
27210 ?????
? ?,10 80124220 ?????
532
414
132
52 ??
?
??
? ?
5320
4140
1320
2135
21
52
??
?
?
??
?
13 rr ?
? ? 12 2 rr ??
