说明,,0.1 言的特征值问题是对方阵而特征向量 ?x
? ?
.0
,0
,.2
的特征值都是矩阵的
即满足方程值有非零解的
就是使齐次线性方程组的特征值阶方阵
A
EAxEA
An
?
???
?
???
一、特征值与特征向量的概念
.
,,,
,1
的特征向量的对应于特征值称为量
非零向的特征值称为方阵这样的数那末成立
使关系式
维非零列向量和如果数阶矩阵是设定义
?
?
?
?
Ax
A
xAx
xnnA
?
0.3 ?? EA ?
?
0
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
次方程为未知数的一元称以 n ? 0?? EA ?
,的为 A特征方程
,,次多项式的它是 n?记 ? ? EAf ?? ?? 称其
,的为方阵 A特征多项式
? ?
则有
的特征值为阶方阵设
,
,,,.4 21
n
ijaAn
?
?? ??;)1( 221121 nnn aaa ??????? ?? ???
.)2( 21 An ???? ?
解
例 1,31
13 的特征值和特征向量求 ?
?
??
?
?
?
??A
的特征多项式为A
?
?
??
??
31
13
1)3( 2 ??? ?
)2)(4(68 2 ???? ??????
.4,2 21 ?? ??的特征值为所以 A
,
0
0
231
123
,2
2
1
1
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
x
x
对应的特征向量应满足时当 ?
??
?
???
??
.0
,0
21
21
xx
xx 即
,21 xx ?解得,11 1 ?
?
??
?
??p取为所以对应的特征向量可
,
0
0
11
11
,
0
0
431
143
,4
2
1
2
1
2
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
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?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
x
x
x
x
即
由时当 ?
.
1
1
,
2
21
?
?
?
?
?
? ?
?
??
p
xx 取为所以对应的特征向量可解得
例２
.
201
034
011
的特征值和特征向量求矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
解,)1()2(
201
034
011
2
??
?
?
?
? ???
?
??
??
?? EA
A 的特征多项式为
.1,2 321 ??? ???的特征值为所以 A
由解方程时当,0)2(,21 ??? xEA?
,
000
010
001
001
014
013
2 ~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? EA
,
1
0
0
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?p 得基础解系
.2)0( 11 的全部特征值是对应于所以 ?? ?kpk
由解方程时当,0)(,132 ???? xEA??
,
000
210
101
101
024
012
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? EA
,
1
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?p 得基础解系
.1)0( 322 的全部特征值是对应于所以 ??? ??kpk
例３ 设
,
314
020
112
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
求 A的特征值与特征向量．
解
?
?
?
?
??
?
??
??
314
020
112
EA
? ?,2)1( 2???? ??
? ? 02)1( 2 ???? ??令
.2,1 321 ???? ???的特征值为得 A
? ? 由解方程时当,0,11 ???? xEA?
,
000
010
101
414
030
111
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? EA
,
1
0
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?p得基础解系
的全体特征向量为故对应于 11 ???
).0( 1 ?kpk
? ? 由解方程时当,02,232 ???? xEA??
,
000
000
114
114
000
114
2 ~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? EA
得基础解系为：
,
4
0
1
,
1
1
0
32
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? pp
:232 的全部特征向量为所以对应于 ?? ??
).0,( 323322 不同时为kk pkpk ?
例４ 证明：若 是矩阵 A的特征值,是 A的属于
的特征向量，则
?
?
x
? ?,)1( 是任意常数的特征值是 mA mm?
.,)2( 11 的特征值是可逆时当 ?? AA ?
证明 ? ? xAx ???1
? ? ? ? ? ? ? ?xAxxAAxA ???? ???? xxA 22 ??
再继续施行上述步骤 次，就得2?m xxA mm ??
.
,
征向量
的特对应于是且的特征值是矩阵故 mmmm AxA ??
可得由 xAx ??
? ? ? ? xAxAAxA 111 ??? ?? ??
xxA 11 ?? ?? ?
? ?,0,2 ??可逆时当 A
.
,1111
的特征向量
对应于是且的特征值是矩阵故 ???? ?? AxA
.,,,,
,,,.,
,,,,,,1
21
21
2121
线性无关则各不相等
如果向量依次是与之对应的特征
个特征值的是方阵设定理
m
mm
m
ppp
p
ppmA
?
??
?
???
???
证明 使设有常数 mxxx,,,21 ?
.02211 ???? mm pxpxpx ?
则 ? ?,02211 ???? mm pxpxpxA ?即
,0222111 ???? mmm pxpxpx ??? ?
类推之，有,0222111 ???? mmkmkk pxpxpx ??? ?
? ?1,,2,1 ?? mk ?
二、特征值和特征向量的性质
把上列各式合写成矩阵形式，得? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
22
1
11
2211
1
1
1
,,,
m
mm
m
m
mm
pxpxpx
??
??
??
?
???
?
?
?
? ?0,,0,0 ??
于是有可逆
从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式
列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩
.
,0,,i?
? ? ? ?,0,,0,0,,,2211 ?? ?mm pxpxpx
? ?.,,2,10 mjpx jj ???即,0?jp但 ? ?.,,2,10 mjx j ??故
.,,,21 线性无关所以向量组 mppp ?
注意
１, 属于不同特征值的特征向量是线性无关
的．
２, 属于同一特征值的特征向量的非零线性
组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３, 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征
值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；
一个特征向量不能属于不同的特征值．
? ? 即有的特征向量
的的属于特征值同时是如果设因为
,
,,
21
21
??
??
?
Ax
xAxxAx 21,?? ??
xx 21 ?? ??
? ?,021 ??? x??
,021 ?? ??由于,0?x则,与定义矛盾
例 5 设 A是 阶方阵，其特征多项式为n
? ? 0111 aaaAEf nnnA ??????? ?? ????? ?
.的特征多项式求 A T
解 ? ? AEf TA T ?? ??
0111 aaa nnn ????? ?? ??? ?
? ?TAE ?? ?
AE ?? ?
三、特征值与特征向量的求法
定理 1 对称矩阵的特征值为实数,
证明
,
,
对应的特征向量
为复向量的特征值为对称矩阵设复数 xA?
.0,?? xxAx ?即
,的表示用 ?? 共轭复数
xAxA ? 则 ? ? ? ?,xxAx ?? ???
一、对称矩阵的性质
说明,本节所提到的对称矩阵，除非特别说
明，均指 实对称矩阵,
,的表示 xx 共轭复向量
于是有 AxxT
Axx T 及
? ?Axx T? xxT ??,xx T??
? ?xAx TT? ? ? xxA T? ? ? xx T??,xx T??
两式相减，得
? ?,0?? xx T??
,0 ?x但因为
? ?,0??? ??
,?? ?即,是实数由此可得 ?
,0
1
2
1
?????
??
n
i i
n
i ii
T xxxxx所以
定理 1的意义
.,
0,
0)(
,
以取实向量从而对应的特征向量可系
知必有实的基础解由是实系数方程组
线性方程组
所以齐次为实数的特征值由于对称矩阵
??
??
EA
xEA
A
i
i
i
?
?
?
.,,
,,,2
21212
121
正交与则若是对应的特征向量
的两个特征值是对称矩阵设定理
ppp
pA
??
??
?
证明,,,21222111 ???? ??? AppApp
,,AAA T?对称?
? ? ? ? TTT Appp 11111 ??? ??,11 ApAp TTT ??
于是 ? ?22121211 ppApppp TTT ?? ??,21 pp T??
? ?,0 2121 ??? pp T??
,21 ?? ??,21 正交与即 pp,021 ?? pp T
.
,
,,4
1
素的对角矩阵
个特征值为对角元的是以其中
使则必有正交矩阵阶对称矩阵为设定理
nAAPP
PnA
????
证明,,,,21 s??? ?
它们的重数依次为 srrr,,,21 ?
,
,)(,
,3
个线性无关的特征向量恰有对应特征值
从而的秩则矩阵重根
的特征方程的是阶对称矩阵为设定理
r
rnEAREA
rAnA
?
??
?
????
).( 21 nrrr s ???? ?
根据定理 1（ 对称矩阵的特征值为实数 ）和定
理 3( 如上 )可得：
设 的互不相等的特征值为A
,21 知由 nrrr s ???? ?
由定理 2知 对应于不同特征值的特征向量正交,
.
,,
),,,2,1(
单位正交的特征向量
个即得把它们正交化并单位化关的实特征向量
个线性无恰有对应特征值
r
rsi
i
ii ???
???? ?? PPAPP 11
.
,,,11
个特征值的是
恰个个的对角元素含其中对角矩阵
nA
rr ss ?? ??
这样的特征向量共可得 个,n
故这 个单位特征向量两两正交,n
以它们为列向量构成正交矩阵,则P
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤 为：
二、利用正交矩阵将对称矩阵
对角化的方法
将特征向量正交化 ;3.
将特征向量单位化,4.
2,? ? ;,0 的特征向量求出由 AxEA i ?? ?
1,;的特征值求 A
解
?
?
?
?
??
???
??
??
20
212
022
EA
? ?? ?? ?214 ???? ???0?
.2,1,4 321 ???? ???得
,
020
212
022
)1(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
310
130
004
)2( A
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵,
使 为对角阵,APP 1?
P
(1)第一步 求 的特征值A
? ? 的特征向量求出由第二步 AxEA i,0?? ?
? ? 得由对,04,41 ??? xEA?
?
?
?
?
?
??
???
??
042
0232
022
32
321
21
xx
xxx
xx
解之得基础解系
.
1
2
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ? 得由对,0,12 ??? xEA?
?
?
?
?
?
??
??
???
02
022
02
32
31
21
xx
xx
xx
解之得基础解系
.
2
1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ? 得由对,02,23 ???? xEA?
?
?
?
?
?
??
???
???
022
0232
024
32
321
21
xx
xxx
xx
解之得基础解系
.
2
2
1
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
第三步 将特征向量正交化
.,
,,3,,
3
21321
故它们必两两正交的特征向量
个不同特征值的是属于由于
?
????? A
第四步 将特征向量单位化
.3,2,1,?? i
i
i
i ?
??令
,
31
32
32
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??得,
32
31
32
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??,
32
32
31
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?,
221
212
122
3
1
,,321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?? ???P作
.
200
010
004
1
?
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?
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?
?
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?? APP则
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310
130
004
)2( A
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??
310
130
004
EA
? ?? ?,42 2?? ???
.4,2 321 ??? ???得特征值
? ? 得基础解系由对,02,21 ??? xEA? ?
?
?
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?
1
1
0
1?
? ? 得基础解系由对,04,432 ???? xEA??
.
1
1
0
,
0
0
1
32
?
?
?
?
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?
?
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? ??
,32 恰好正交与 ??
.,,321 两两正交所以 ???
? ?得令单位化再将 3,2,1,,,321 ?? i
i
i
i ?
?????
,
21
21
0
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??,
0
0
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??,
21
21
0
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
于是得正交阵
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
21021
21021
010
,,321 ???P
.
400
040
002
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? APP则