例 1,某班有 N 个人，其中有 in 个人为 ia 分,ki ?,2,1?,
Nn
k
i
i ??
? 1
,求平均成绩。
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望 § 1 数学期望
解,
平均成绩为, ??
??
?
k
i
i
i
k
i
ii
N
n
ana
N 11
1
若用 X 表示成绩，则 NnaXP ii ?? }{
??
??
????
k
i
ii
k
i
i
i aXPaN
na
11
}{
返回主目录
1,数学期望定义
设离散型随机变量 X 的分布律为：
kk
pxXP ?? }{, ?,2,1?k
,
若级数 ?
?
? 1i
kk
px 绝对收敛，
则称级数 ?
?
? 1i
kk
px 的和为随机变量
X 的数学期望。
记为 EX,即 E X = ?
?
? 1k
kk
px 。
(1) 离散型
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
数学期望也称为均值。 返回主目录
设连续型随机变量 X 的概率密度为 )( xf,
若积分 ?
?
??
dxxxf )( 绝对收敛，则称积分 ?
?
??
dxxxf )(
的值为 X 的数学期望。记为 E X = ?
?
??
dxxxf )(,
数学期望也称为均值。
(2),连续型
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望说 明
变化的平均值．的数学期望刻划了 XX)1(
的求和顺序无关．
的和与其级数时，才能保证级数
绝对收敛只有当级数变化的平均值，因此，
机变量的数学期望表示的是随由于随机变量
??
?
?
?
?
?
?
?
11
1
)2(
n
nn
n
nn
n
nn
pxpx
px
XX返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们
：甲击中的环数；X
：乙击中的环数；Y
X 8 9 10
P 0,1 0,3 0,6Y 8 9 10
P 0,2 0,5 0,3
平较高？试问哪一个人的射击水
例 2
返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
解：
例 2（续）
为甲、乙的平均环数可写
5.96.0103.091.08 ???????EX
1.93.0105.092.08 ???????EY
的好．，甲的射击水平要比乙因此，从平均环数上看
返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
，其密度函数为分布服从设随机变量 C a uc hyX
由于
? ??
??
??
dxxfx
? ? ? ?????????? xxxf 21 11?
?
??
?? ?
? dx
x
x
2
1
1
? ?
??
?
?
0
2
1
2 dx
x
x
? ? ?
??
??
0
2
1ln1 x
?
???
? ? 不绝对收敛，这表明积分 ?
??
??
dxxxf 不存在．因而 EX
例 3
返回主目录
设离散型随机变量 X 的分布律为：
X 0 1 2
P 0, 1 0, 2 0, 7
例 4
则 E X = 0 * 0, 1 + 1 * 0, 2 + 2 * 0,7 = 1, 6
若离散型随机变量 X 的分布律为：
X 0 1 2
P 0, 7 0, 2 0, 1
则 E X = 0 * 0, 7 + 1 * 0, 2 + 2 * 0,1 = 0, 4
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
此例说明了数学期望更完整地刻化了 x的均值状态。
返回主目录
按规定，火车站每天 8, 0 0 ~ 9, 0 0,9, 0 0 ~ 1 0, 0 0 都恰
有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两
者到站的时间相互独立，其规律为：
到站时间 8, 1 0,9, 1 0 8, 3 0,9, 3 0 8, 5 0,9, 5 0
概率 1 / 6 3 / 6 2 / 6
例 5
解：设旅客的候车时间为 X （以分记）
( 1 ) X 的分布律,X 1 0 3 0 5 0
P 1 / 6 3 / 6 2 / 6
E X = 1 0 * ( 1 /6 ) + 3 0 * ( 3 /6 ) + 5 0 * ( 2 / 6 ) = 3 3, 3 3 ( 分 )
第四章 随机变量的数字特征
(1 ) 旅客 8, 0 0 到站，求他侯车时间的数学期望。
(2 ) 旅客 8, 2 0 到站，求他侯车时间的数学期望。
返回主目录
X 1 0 30 5 0 70 9 0
P 3/ 6 2/ 6 ( 1/ 6 )* (1/ 6) (3/ 6 )* (1/ 6) (2 / 6)* ( 1/ 6)
E X = 1 0 * ( 3 / 6 ) + 3 0 * ( 2 / 6 ) + 5 0 * ( 1 / 3 6 ) + 7 0 * ( 3 / 3 6 ) + 9 0 * ( 2 / 3 6 )
= 2 7, 2 2 ( 分 )
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
到站时间 8,10,9, 10 8,3 0,9,3 0 8,5 0,9,5 0
概率 1/ 6 3/ 6 2/ 6
（ 2）旅客 8,20分到达
X的分布率为
返回主目录
2、随机变量函数的数学期望
定理 1：
( 2 ), 若 X 的概率密度为 )( xf,且 ?
?
??
dxxfxg )()( 绝对收敛，
则 E Y = ?
?
??
dxxfxg )()( 。
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
返回主目录
设 Y=g(X),g(x) 是连续函数，
（ 1）若 X 的分布率为
且 绝对收敛,则 EY=
}{ kk xXPP ??
??
?1
)(
k
kk xgP
?,2,1?k
?
?
? 1
)(
k
kk xgP
若 ),( YX 是二维随机变量,),( yxg 是二元连续函数，
),( yxgZ ?
定理 2：
( 1 ), 若 ),( YX 的分布律为 ijji PyYxXP ??? },{,
且 ?
?
? 1,
),(
ji
ijji Pyxg 绝对收敛；则 E Z = ?
?
? 1,
),(
ji
ijji Pyxg 。
( 2 ), 若 ),( YX 的概率密度为 ),( yxf,
且 ??
?
??
?
??
d x d yyxfyxg ),(),( 绝对收敛，
则,EZ= ??
?
??
?
??
d x d yyxfyxg ),(),( 。
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
返回主目录
设风速 V 在 ( 0,a ) 上服从均匀分布，又设飞机机
翼受到的正压力 W 是 V 的函数,2kVW ?, ( k > 0 ) ；
求 EW 。
例 6
解：
?
?
? ??
?
其它；,0;0,/1
)(
aa
f V
?
?
E W = ? ?
?
??
??
a
V kadakdfk
0
222
3
1)/1()( ?????
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
返回主目录
例 7
E X = ? ???
?
?? ???
?
??
????
0
1
0
1 3
12),(
x
dyxdxd x d yyxxf
E ( - 3 X + 2 Y ) =
3
1)23(20
1
0
1
??
???
???
x
dyyxdx
E X Y = ? ???
?
?? ???
?
??
???
0
1
0
1 12
12),(
x
y d yxdxd x d yyxx y f
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
?
?
? ?
?
其它；,0
),(,2
),(
Ayx
yxf
解,0 x
y
01 ??? yx
设 (X,Y)在区域 A上服从均匀分布, 其中 A为 x轴,
y轴和直线 x+y+1=0所围成的区域 。
求 EX,E(-3X+2Y),EXY。
设在国际市场上每年对我国某种出口商品的
需求量是随机变量 X （吨），它在 [ 2 0 0 0,4 0 0 0 ]
上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，
可为国家挣得外汇 3 万元，但假如销售不出而
囤积在仓库，则每吨需浪费保养费 1 万元。
问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。
例 8
解：设 y 为预备出口的该商品的数量，这个数
量可只 介于 2000 与 4000 之间，
用 Z 表示国家的收益 （万元）
?
?
?
??
?
),(3
,3
XyX
y
Z
yX
yX
?
?
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
返回主目录
即，组织 3500 吨此种商品是最佳的决策。
（例 8续）
?
?
?
??
??
),(3
,3
)(
xyx
y
xgz
yx
yx
?
?
下面求 EZ,并求使 EZ 达到最大的 y 值，
dx
y
dx
xyx
dxxfxgEZ
y
y
??? ?
??
??
?
??
4000
2000
2000
3
2000
)(3
)()(
8 2 5 0)3 5 0 0(
1 0 0 0
1
]10*43 5 0 0)3 5 0 0[(
1 0 0 0
1
]10*47 0 0 0[
1 0 0 0
1
2
422
62
????
?????
????
y
y
yy
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
4 00 02 00 0 ?? y
3、数学期望的性质
II ) E c X = c E X, c 是常数，
I ) E c = c, c 是常数，若 bXa ??,
则 bEXa ??,
III ) E ( a X + b Y ) = a E X + b E Y
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
IV)
若 x,y独立，则 EXY=EXEY
? ?
? ?
?
n
i
n
i
iiii EXaXaE
1 1
)(
返回主目录
例 9
假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是 P,且各次
化验结果是相互独立的。
试说明适当选取 k 可使第二个方案减少化验次数。
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望对 N个人进行验血，有两种方案：
（ 1） 对每人的血液逐个化验, 共需 N次化验；
（ 2） 将采集的每个人的血分成两份, 然后取
其中的一份, 按 k个人一组混合后进行化验
（ 设 N是 k的倍数 ）, 若呈阴性反应, 则认为
k个人的血都是阴性反应, 这时 k个人的血只
要化验一次；如果混合血液呈阳性反应, 则
需对 k个人的另一份血液逐一进行化验, 这时
k个人的血要化验 k+1次；
返回主目录
（例 9续）
iX 只可能取两个值 1 或 k + 1,
下面求 iEX,
k
i qXP ?? }1{, pq ?? 1 ；
k
i qkXP ???? 1}1{ ；
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
解：设 X表示第二个方案下的总化验次数, 表
示第 i个组的化验次数, 则 iX
??
??
??
k
N
i
i
k
N
i
i EXEXXX
11
,且
个组的平均化验次数。第
表示平均化验次数，表示第二种方案下总的
i
EXEX i
返回主目录
只要选 k 使 1/11 ??? kqk,即 kqk ?/1,就可使第
二个方案减少化验次数；当 q 已知时，若选 k 使
kqkkf ??? /11)( 取最小值，就可使化验次数最少。
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望（例 9续）
kkk
i kqkqkqEX ??????? 1)1)(1(,
kNi /,,2,1 ?? ；
)11()1( kk qkNkqkkNEX ??????所以
例如：当 p=0.1,q=0.9时, 可证明 k=4可使最小；
这时,
NNEX 5939.0)9.04/11( 4 ????
工作量将减少 40%,返回主目录
一民航送客载有 20 位旅客自机场开出，旅客有 10
个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不
停车。以 X 表示停车的次数。
求 EX （设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并
设各旅客是否下车相互独立）。
解：设
?
?
??
站有人下车第
站没人下车第
i
iX
i,1
,0, 10,,2,1 ??i,
例 10
易见 101 XXX ??? ?, ?
?
?
10
1i
iEXEX,
20)10/9(}0{ ??iXP, 20)10/9(1}1{ ???iXP, 10,,1 ??i,
20)10/9(1 ??iEX, 10,,1 ??i,
)(7 8 4.8])10/9(1[10 20 次???EX 。
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
返回主目录不是相互独立的
此时,10,,2,1 ??iX i
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望例 11
用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器
所用次数的增加而指数下降，即
P{第 k次生产出的产品是正品 }=,0,,2,1,??? ?? ?ke k
假设每次生产 100件产品，试求这台机器前 10次生
产中平均生产的正品总数。
解,设 X是前 10次生产的产品中的正品数，并设
? ?
? ?
?
??
?
?
?
?
10
1
100
1
.X
,1 0 0,,2,1,10,,2,1
.0
,1
k i
ki
ki
X
ik
ik
X
则
否则，
件产品是正品；次生产的第第
??
返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
所以
分布，—的服从而
,100,,2,1
.)()10(
??
?? ??
i
eXEepX kkikki ??
例 11（续）
?
??
??
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
??? ?? ? ?
e
e
eeXEXE
k
k
k i k
k
ki
1
)1(100e
100100)()(
10-
10
1
10
1
1 0 0
1
10
1
返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望例 12
对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品
不合格，并结束抽样。若抽样到第 n件仍未发现废
品则认为这批产品合格。
假设产品数量很大，抽查到废品的概率是 p，试
求平均需抽查的件数。
解,设 X为停止检查时，抽样的件数，则 X的可能
取值为 1,2,…,n,且
??
?
?
?
?
??
??
?
?
.,;1,,2,1,
}{
1
1
nkq
nkpq
kXP
n
k ?
，于是其中 pq ?? 1
1
1
1
1)( ?
?
?
? ?? ? n
n
k
k nqpkqXE 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
1
1
1
1
1
1 ?
?
?
?
?
? ??? ?? n
n
k
k
n
k
k nqkqkq
1122
22
))1()2(2(
))1(321(
???
?
????????
???????
nnn
n
nqqnqnqq
qnqq
?
?
121 ?????? nqqq ?
p
p
q
q nn )1(1
1
1 ???
?
??
例 12（续）
1
1
1
1 )1()( ?
?
?
? ??? ? n
n
k
k nqqkqXE
返回主目录
Nn
k
i
i ??
? 1
,求平均成绩。
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望 § 1 数学期望
解,
平均成绩为, ??
??
?
k
i
i
i
k
i
ii
N
n
ana
N 11
1
若用 X 表示成绩，则 NnaXP ii ?? }{
??
??
????
k
i
ii
k
i
i
i aXPaN
na
11
}{
返回主目录
1,数学期望定义
设离散型随机变量 X 的分布律为：
kk
pxXP ?? }{, ?,2,1?k
,
若级数 ?
?
? 1i
kk
px 绝对收敛，
则称级数 ?
?
? 1i
kk
px 的和为随机变量
X 的数学期望。
记为 EX,即 E X = ?
?
? 1k
kk
px 。
(1) 离散型
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
数学期望也称为均值。 返回主目录
设连续型随机变量 X 的概率密度为 )( xf,
若积分 ?
?
??
dxxxf )( 绝对收敛，则称积分 ?
?
??
dxxxf )(
的值为 X 的数学期望。记为 E X = ?
?
??
dxxxf )(,
数学期望也称为均值。
(2),连续型
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望说 明
变化的平均值．的数学期望刻划了 XX)1(
的求和顺序无关．
的和与其级数时，才能保证级数
绝对收敛只有当级数变化的平均值，因此，
机变量的数学期望表示的是随由于随机变量
??
?
?
?
?
?
?
?
11
1
)2(
n
nn
n
nn
n
nn
pxpx
px
XX返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们
：甲击中的环数；X
：乙击中的环数；Y
X 8 9 10
P 0,1 0,3 0,6Y 8 9 10
P 0,2 0,5 0,3
平较高？试问哪一个人的射击水
例 2
返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
解：
例 2（续）
为甲、乙的平均环数可写
5.96.0103.091.08 ???????EX
1.93.0105.092.08 ???????EY
的好．，甲的射击水平要比乙因此，从平均环数上看
返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
，其密度函数为分布服从设随机变量 C a uc hyX
由于
? ??
??
??
dxxfx
? ? ? ?????????? xxxf 21 11?
?
??
?? ?
? dx
x
x
2
1
1
? ?
??
?
?
0
2
1
2 dx
x
x
? ? ?
??
??
0
2
1ln1 x
?
???
? ? 不绝对收敛，这表明积分 ?
??
??
dxxxf 不存在．因而 EX
例 3
返回主目录
设离散型随机变量 X 的分布律为：
X 0 1 2
P 0, 1 0, 2 0, 7
例 4
则 E X = 0 * 0, 1 + 1 * 0, 2 + 2 * 0,7 = 1, 6
若离散型随机变量 X 的分布律为：
X 0 1 2
P 0, 7 0, 2 0, 1
则 E X = 0 * 0, 7 + 1 * 0, 2 + 2 * 0,1 = 0, 4
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
此例说明了数学期望更完整地刻化了 x的均值状态。
返回主目录
按规定，火车站每天 8, 0 0 ~ 9, 0 0,9, 0 0 ~ 1 0, 0 0 都恰
有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两
者到站的时间相互独立，其规律为：
到站时间 8, 1 0,9, 1 0 8, 3 0,9, 3 0 8, 5 0,9, 5 0
概率 1 / 6 3 / 6 2 / 6
例 5
解：设旅客的候车时间为 X （以分记）
( 1 ) X 的分布律,X 1 0 3 0 5 0
P 1 / 6 3 / 6 2 / 6
E X = 1 0 * ( 1 /6 ) + 3 0 * ( 3 /6 ) + 5 0 * ( 2 / 6 ) = 3 3, 3 3 ( 分 )
第四章 随机变量的数字特征
(1 ) 旅客 8, 0 0 到站，求他侯车时间的数学期望。
(2 ) 旅客 8, 2 0 到站，求他侯车时间的数学期望。
返回主目录
X 1 0 30 5 0 70 9 0
P 3/ 6 2/ 6 ( 1/ 6 )* (1/ 6) (3/ 6 )* (1/ 6) (2 / 6)* ( 1/ 6)
E X = 1 0 * ( 3 / 6 ) + 3 0 * ( 2 / 6 ) + 5 0 * ( 1 / 3 6 ) + 7 0 * ( 3 / 3 6 ) + 9 0 * ( 2 / 3 6 )
= 2 7, 2 2 ( 分 )
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
到站时间 8,10,9, 10 8,3 0,9,3 0 8,5 0,9,5 0
概率 1/ 6 3/ 6 2/ 6
（ 2）旅客 8,20分到达
X的分布率为
返回主目录
2、随机变量函数的数学期望
定理 1：
( 2 ), 若 X 的概率密度为 )( xf,且 ?
?
??
dxxfxg )()( 绝对收敛，
则 E Y = ?
?
??
dxxfxg )()( 。
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
返回主目录
设 Y=g(X),g(x) 是连续函数，
（ 1）若 X 的分布率为
且 绝对收敛,则 EY=
}{ kk xXPP ??
??
?1
)(
k
kk xgP
?,2,1?k
?
?
? 1
)(
k
kk xgP
若 ),( YX 是二维随机变量,),( yxg 是二元连续函数，
),( yxgZ ?
定理 2：
( 1 ), 若 ),( YX 的分布律为 ijji PyYxXP ??? },{,
且 ?
?
? 1,
),(
ji
ijji Pyxg 绝对收敛；则 E Z = ?
?
? 1,
),(
ji
ijji Pyxg 。
( 2 ), 若 ),( YX 的概率密度为 ),( yxf,
且 ??
?
??
?
??
d x d yyxfyxg ),(),( 绝对收敛，
则,EZ= ??
?
??
?
??
d x d yyxfyxg ),(),( 。
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
返回主目录
设风速 V 在 ( 0,a ) 上服从均匀分布，又设飞机机
翼受到的正压力 W 是 V 的函数,2kVW ?, ( k > 0 ) ；
求 EW 。
例 6
解：
?
?
? ??
?
其它；,0;0,/1
)(
aa
f V
?
?
E W = ? ?
?
??
??
a
V kadakdfk
0
222
3
1)/1()( ?????
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
返回主目录
例 7
E X = ? ???
?
?? ???
?
??
????
0
1
0
1 3
12),(
x
dyxdxd x d yyxxf
E ( - 3 X + 2 Y ) =
3
1)23(20
1
0
1
??
???
???
x
dyyxdx
E X Y = ? ???
?
?? ???
?
??
???
0
1
0
1 12
12),(
x
y d yxdxd x d yyxx y f
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
?
?
? ?
?
其它；,0
),(,2
),(
Ayx
yxf
解,0 x
y
01 ??? yx
设 (X,Y)在区域 A上服从均匀分布, 其中 A为 x轴,
y轴和直线 x+y+1=0所围成的区域 。
求 EX,E(-3X+2Y),EXY。
设在国际市场上每年对我国某种出口商品的
需求量是随机变量 X （吨），它在 [ 2 0 0 0,4 0 0 0 ]
上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，
可为国家挣得外汇 3 万元，但假如销售不出而
囤积在仓库，则每吨需浪费保养费 1 万元。
问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。
例 8
解：设 y 为预备出口的该商品的数量，这个数
量可只 介于 2000 与 4000 之间，
用 Z 表示国家的收益 （万元）
?
?
?
??
?
),(3
,3
XyX
y
Z
yX
yX
?
?
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
返回主目录
即，组织 3500 吨此种商品是最佳的决策。
（例 8续）
?
?
?
??
??
),(3
,3
)(
xyx
y
xgz
yx
yx
?
?
下面求 EZ,并求使 EZ 达到最大的 y 值，
dx
y
dx
xyx
dxxfxgEZ
y
y
??? ?
??
??
?
??
4000
2000
2000
3
2000
)(3
)()(
8 2 5 0)3 5 0 0(
1 0 0 0
1
]10*43 5 0 0)3 5 0 0[(
1 0 0 0
1
]10*47 0 0 0[
1 0 0 0
1
2
422
62
????
?????
????
y
y
yy
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
4 00 02 00 0 ?? y
3、数学期望的性质
II ) E c X = c E X, c 是常数，
I ) E c = c, c 是常数，若 bXa ??,
则 bEXa ??,
III ) E ( a X + b Y ) = a E X + b E Y
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
IV)
若 x,y独立，则 EXY=EXEY
? ?
? ?
?
n
i
n
i
iiii EXaXaE
1 1
)(
返回主目录
例 9
假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是 P,且各次
化验结果是相互独立的。
试说明适当选取 k 可使第二个方案减少化验次数。
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望对 N个人进行验血，有两种方案：
（ 1） 对每人的血液逐个化验, 共需 N次化验；
（ 2） 将采集的每个人的血分成两份, 然后取
其中的一份, 按 k个人一组混合后进行化验
（ 设 N是 k的倍数 ）, 若呈阴性反应, 则认为
k个人的血都是阴性反应, 这时 k个人的血只
要化验一次；如果混合血液呈阳性反应, 则
需对 k个人的另一份血液逐一进行化验, 这时
k个人的血要化验 k+1次；
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（例 9续）
iX 只可能取两个值 1 或 k + 1,
下面求 iEX,
k
i qXP ?? }1{, pq ?? 1 ；
k
i qkXP ???? 1}1{ ；
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
解：设 X表示第二个方案下的总化验次数, 表
示第 i个组的化验次数, 则 iX
??
??
??
k
N
i
i
k
N
i
i EXEXXX
11
,且
个组的平均化验次数。第
表示平均化验次数，表示第二种方案下总的
i
EXEX i
返回主目录
只要选 k 使 1/11 ??? kqk,即 kqk ?/1,就可使第
二个方案减少化验次数；当 q 已知时，若选 k 使
kqkkf ??? /11)( 取最小值，就可使化验次数最少。
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望（例 9续）
kkk
i kqkqkqEX ??????? 1)1)(1(,
kNi /,,2,1 ?? ；
)11()1( kk qkNkqkkNEX ??????所以
例如：当 p=0.1,q=0.9时, 可证明 k=4可使最小；
这时,
NNEX 5939.0)9.04/11( 4 ????
工作量将减少 40%,返回主目录
一民航送客载有 20 位旅客自机场开出，旅客有 10
个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不
停车。以 X 表示停车的次数。
求 EX （设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并
设各旅客是否下车相互独立）。
解：设
?
?
??
站有人下车第
站没人下车第
i
iX
i,1
,0, 10,,2,1 ??i,
例 10
易见 101 XXX ??? ?, ?
?
?
10
1i
iEXEX,
20)10/9(}0{ ??iXP, 20)10/9(1}1{ ???iXP, 10,,1 ??i,
20)10/9(1 ??iEX, 10,,1 ??i,
)(7 8 4.8])10/9(1[10 20 次???EX 。
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
返回主目录不是相互独立的
此时,10,,2,1 ??iX i
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望例 11
用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器
所用次数的增加而指数下降，即
P{第 k次生产出的产品是正品 }=,0,,2,1,??? ?? ?ke k
假设每次生产 100件产品，试求这台机器前 10次生
产中平均生产的正品总数。
解,设 X是前 10次生产的产品中的正品数，并设
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? ?
?
??
?
?
?
?
10
1
100
1
.X
,1 0 0,,2,1,10,,2,1
.0
,1
k i
ki
ki
X
ik
ik
X
则
否则，
件产品是正品；次生产的第第
??
返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
所以
分布，—的服从而
,100,,2,1
.)()10(
??
?? ??
i
eXEepX kkikki ??
例 11（续）
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??? ?? ? ?
e
e
eeXEXE
k
k
k i k
k
ki
1
)1(100e
100100)()(
10-
10
1
10
1
1 0 0
1
10
1
返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望例 12
对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品
不合格，并结束抽样。若抽样到第 n件仍未发现废
品则认为这批产品合格。
假设产品数量很大，抽查到废品的概率是 p，试
求平均需抽查的件数。
解,设 X为停止检查时，抽样的件数，则 X的可能
取值为 1,2,…,n,且
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.,;1,,2,1,
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1
1
nkq
nkpq
kXP
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k ?
，于是其中 pq ?? 1
1
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n
k
k nqpkqXE 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
§ 1 数学期望
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例 12（续）
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返回主目录
