§ 4 连续型随机变量的概率密度
?概率密度及其性质
?指数分布
?均匀分布
?正态分布与标准正态分布
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一,连续型随机变量的概念与性质
§ 4 连续型随机变量的概率密度
定义 如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x)，
存在非负函数 f (x)，使得对于任意
实数 x，有
则称 X 为 连续型随机变量,其中函数 f (x) 称
为 X 的 概率密度函数,简称 概率密度,
? ??? x dttfxF,)()(
连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定．
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§ 4 连续型随机变量的概率密度
由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：
.0)(1 0 ?xf
.1)(2 0 ?? ?
??
dxxf
f (x)
0 x
1
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)(.)(
)()(}{3
21
1221
0
2
1
xxdxxf
xFxFxXxP
x
x
??
????
?
f (x)
x0
1x 2x
).()(
)(4 0
xfxF
xxf
??
处连续，则有在点若
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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注 意
连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变
量分布律的性质非常相似，但是,密度函数不是
概率！
我们不能认为,? ? ? ? ！afaXP ??
§ 4 连续型随机变量的概率密度
，对任意的实数是连续型随机变量，则设 aX
? ? 0?? aXP有
连续型随机变量的一个重要特点
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? ?aXP ?
?
?
?
?
?
? ????
?? aXnaPn
1lim
§ 4 连续型随机变量的概率密度
证明：
所以有 ? ?
0?? aXP
0?? ??
?
??
?
a
a
n
n
dxxf
1
lim
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说 明
⑴,由上述性质可知，对于连续型随机变量，我
们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；
我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
§ 4 连续型随机变量的概率密度
? ?,的密度函数为若已知连续型随机变量 xfX
取值的概率为，也可以是无穷区间）上
间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区
也可以是可以是开区间（在任意区间则,GGX
? ? ? ????
G
dxxfGXP 返回主目录
例 1
设 X 是连续型随机变量，其密度函数为
? ? ? ?
?
?
? ????
其它0
2024 2 xxxcxf
解：
⑴．由密度函数的性质；求：⑴．常数 c ? ?．⑵,1?XP
? ? 1??
??
??
dxxf
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 1（续）
? ??
??
??
? dxxf1得
? ?? ??
2
0
224 dxxxc
2
0
32
3
22
?
?
??
?
? ?? xxc c
3
8?
8
3?c所以，
? ? ? ??
??
??
1
1 dxxfXP⑵,? ? ? ???
??
??
2
2
1
dxxfdxx
? ? ? ? ? ????
??
??
???
2
2
0
0
dxxfdxxfdxxf
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 1（续）
? ?? ??
2
1
224
8
3 dxxx
2
1
32
3
2
2
8
3
?
?
?
?
?
? ?? xx
2
1?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 2
某电子元件的寿命（单位：小时）是以
? ?
??
?
?
?
?
?
? 1 0 01 0 0
1 0 00
2 xx
x
xf
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元
件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率,
解：
设,A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换 }
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 2（续）
? ? ? ?150?? XPAP则
检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个 5
重 Bernoulli试验．
B={ 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过 150
小时 }
? ??
??
?
150
dxxf
??
150
100
2
100 dx
x 3
1?
? ?
32
2
5 3
2
3
1
?
?
??
?
???
?
??
?
??? CBP则
243
80?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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§ 4 连续型随机变量的概率密度
的分布函数为设连续型随机变量 X
? ? ? ????????? xa r c t g xxF ?121
的密度函数．试求 X
解：
? ?，则的密度函数为设 xfX
? ? ? ?xFxf ?? ? ???????
??? xx 21
11
?
例 3
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例 4
的密度函数为设随机变量 X
? ?
?
?
?
?
?
???
??
?
其它0
212
10
xx
xx
xf
的分布函数．试求 X
解：
? ? ? ??
??
??
x
dttfxFx 时，当 0 0?
? ? ? ??
??
???
x
dttfxFx 时，当 10 ? ? ??? ??
??
x
dttfdttf
0
0
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 4（续）
??
x
tdt
0 2
2x
?
? ? ? ??
??
???
x
dttfxFx 时，当 21
? ? ? ? ? ???? ???
??
x
dttfdttfdttf
1
1
0
0
? ??? ???
x
dttt d t
1
1
0
2 1221 2 ???? xx
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 4（续）
? ? ? ??
??
??
x
dttfxFx 时，当 2
? ? ? ? ? ? ? ????? ????
??
x
dttfdttfdttfdttf
2
2
1
1
0
0
? ??? ???
2
1
1
0
2 dttt d t
1 ?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 4（续）
的分布函数量综上所述，可得随机变 X
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
??
?
?
x
xx
x
x
x
x
xF
21
2112
2
10
2
00
2
2
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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二,一些常用的连续型随机变量
§ 4 连续型随机变量的概率密度
1．均 匀 分 布
若随机变量 X 的密度函数为
? ?
??
?
?
? ??
??
其它0
1
bxa
abxf
? ?上的均匀分布．，服从区间则称随机变量 baX
记作 X ~ U [a,b] 返回主目录
密度函数的验证
? ? ? ?
则有：
是其密度函数，上的均匀分布，，区间设 xfbaX ~
? ? ；，有⑴．对任意的 0?xfx
? ? ? ? ? ? ? ?????
??
??
??
??
???
b
b
a
a
dxxfdxxfdxxfdxxf⑵．
? ??
b
a
dxab 1,1?
? ? 确是密度函数．
其它??
?
?
? ??
??
0
1
bxa
abxf由此可知，
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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说 明
⑴,类似地，我们可以定义
? ?上的均匀分布；，区间 ba
? ?上的均匀分布；，区间 ba
? ?上的均匀分布．，区间 ba
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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均匀分布的概率背景
? ?
? ?
该子区间的位置无关．间的长度成正比，而与
取值的概率与该子区上的任意一个子区间上，在区间
变量上的均匀分布，则随机，服从区间如果随机变量
baX
baX
? ?上取值是等可能的．，在区间量这时，可以认为随机变 baX
§ 4 连续型随机变量的概率密度
X X
a b x
l l
0
? ????? lcc dxxflcXcP )(}{
.1 ab ldxablc
c ?
??? ? ?
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均匀分布的分布函数
? ?
的分布函数为则
上的均匀分布，，服从区间若随机变量
X
baX
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
xb
bxa
ab
ax
ax
xF
1
0
§ 4 连续型随机变量的概率密度
a b x
F (x)
0
1
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例 5
设公共汽车站从上午 7时起每隔 15分钟来一班车,
如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到 7:30之间的
均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过 5分钟
的概率．
解：
设该乘客于 7时 X分到达此站．
? ? 上的均匀分布．，服从区间则 300X
§ 4 连续型随机变量的概率密度
其密度函数为 ? ?
??
?
?
? ??
?
其它0
300
30
1
xxf
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例 5（续）
令,B={ 候车时间不超过 5分钟 }
? ? ? ? ? ?30251510 ?????? XPXPBP则
?? ??
30
25
15
10 30
1
30
1 dxdx
3
1?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 6
? ?上的均匀分布，，服从区间设随机变量 63??
试求方程
? ? 0244 2 ???? ?? xx
有实根的概率．
解：
的密度函数为随机变量 ?
? ?
??
?
?
? ???
?
其它0
63
9
1
xxf
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 6（续）
? ?? ?有实根方程设,0244 2 ????? ?? xxA
? ? ? ? ? ?? ?02444 2 ?????? ??PAP则
? ?? ?? ?021 ???? ??P
? ?21 ???? ?? 或P
?? ??
?
?
6
2
1
3 9
1
9
1 dxdx
9
4
9
2 ??
3
2?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
? ?
?
?
?
?
?? ?
00
0
x
xexf x??
的指数分布．参数为
服从为常数，则称随机变量其中
?
? 0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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密度函数的验证
? ?是其密度函数，则有：的指数分布，参数为设 xfX ?~
? ? ；，有⑴．对任意的 0?xfx
? ? ? ? ? ????
??
??
??
??
??
0
0
dxxfdxxfdxxf⑵．
?
??
??
0
dxe x??
．1?
由此可知，
?????
0
xe ??
? ? 确是一密度函数．
?
?
?
?
?? ?
00
0
x
xexf x??
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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指数分布的分布函数
的分布函数为则
指数分布，服从参数若随机变量
X
X ?
? ?
?
?
?
??
?
? ?
01
00
xe
x
xF x?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 7
分钟之间的概率．钟到
分话间，求你需等待好在你前面走进公用电
．如果某人刚为参数的指数随机变量以
（单位：分钟）是间设打一次电话所用的时
20
10
10
1
??
X
解：
的密度函数为X ? ?
??
?
?
?
?
??
?
00
0
10
1 10
x
xexf
x
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 7（续）
? ? ? ?2010 ??? XPBP则
令,B={ 等待时间为 10~20分钟 }
?
?
?
20
10
10
10
1 dxe x
20
10
10
10
1 xe ???
21 ?? ?? ee 2325.0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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3．正 态 分 布
的密度函数为如果连续型随机变量 X
? ?
? ?
? ????????
??
xexf
x
2
2
2
2
1 ?
?
??
? ?，为参数，其中 0??????? ??
? ?
正态分布．记作
的，服从，参数为则称随机变量 2??X
? ?2~ ??,NX
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x
f (x)
0 ?
标准正态分布
? ?为标准正态分布．，，我们称，若 1010 N?? ??
数为标准正态分布的密度函
? ? ? ???????? ? xex
x
2
2
2
1
?
?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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密度函数的验证
? ? ? ?是其密度函数，则有：，，设 xfNX 2~ ??
? ?
? ?
? ???????
??
?
?
x
exf
x
0
2
1 2
2
2 ?
?
??
§ 4 连续型随机变量的概率密度
下面验证：
? ?
? ?
1
2
1 2
2
2 ?? ??
??
??
????
??
dxedxxf
x
?
?
??
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密度函数的验证 (续 )
下面验证：
? ?
? ?
12 1 2
2
2 ?? ??
??
??
????
??
dxedxxf
x
?
?
??
首先验证：
? ? 1
2
1 2 2 ?? ?? ??
??
???
??
dxedxx
x
?
?
?22
2
??
??
??
? dxe x或验证：
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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密度函数的验证 (续 )
为此，我们只需证明：
?2
2
2
2
???
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
dxe
x
???
??
??
?
??
??
?
??
??
?
???
?
?
?
?
?
?
dyedxedxe
yxx
22
2
2
222
dydxee
yx
? ?
??
??
??
??
??
? 22
22
dydxe
yx
? ?
??
??
??
??
??
? 2
22
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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密度函数的验证 (续 )
则有，，作极坐标变换,?? s i nc os ryrx ??
???
??
?
??
??
?
???
?
?
?
?
?
?
0
2
2
0
2
2
22
r dreddxe
rx ?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
2
2
2
r
e?
?2?
?22
2
??
??
??
?
dxe
x
因此，
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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密度函数的验证 (续 )
下面验证：
? ?
1
2
1 2
2
2 ??
??
??
??
dxe
x
?
?
??
??
? dxduxu ??? 则，作变换：
? ?
??
??
??
?
?
??
?
? ?????
??
??
?
????
?
?
?
? dx
edxe
xx 2
2
2
2
1
2
2
1
2
1则有
1?
?
??
??
?
? due
u
2
2
2
1
?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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密度函数的验证 (续 )
综上所述，
? ?
? ?
? ????????
??
xexf
x
2
2
2
2
1 ? ?
??
? ?
是一个密度函数．
确本条件，因此满足密度函数的两项基 xf
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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正态分布密度函数的图形性质
? ?
? ?
? ?
我们有：由高等数学中的知识，
数对于正态分布的密度函
???????
?
?
xexf
x
2
2
2
2
1
?
?
??
? ? ? ?hXPXhP
h
x
???????
?
?
????
?
，有这表明：对于任意的
对称，⑴．曲线关于直线
0
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x
f (x)
0 ?h?? h??
正态分布密度函数的图形性质（续）
? ?
? ?
? ?
越小．落在该区间中的概率就变量
越远时，随机间离同样长度的区间，当区
对于的值就越小．这表明，越远，离
取到最大值时，⑵．当
X
xfx
f
xfx
?
?
??
?
?
2
1
?
?§ 4 连续型随机变量的概率密度
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正态分布密度函数的图形性质（续）
? ?
? ? 轴为渐近线．以曲线
处有拐点；在⑶．曲线
Oxxfy
xxfy
?
??? ??
? ?
? ?
确定．
所图形的位置完全由参数因此
其形状．轴平行移动，但不改变图形沿
的的值，则固定，而改变⑷．若
?
??
xfy
x
xf
?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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正态分布密度函数的图形性质（续） ? ?
? ?
? ?
? ?
的取值越分散．形越平坦，这表明
的图越大时，，当附近的概率越大；反之
落在图形越陡，因而越小时，可知，当
的最大值为的值，由于固定，而改变⑸．若
X
xfy
Xxfy
f
xf
?
?
?
??
?
??
?
??
2
1
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x
f (x)
0? 1?
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正态分布的重要性
正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下
情形加以说明：
⑴,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布
之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分
布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素
的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，
则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
§ 4 连续型随机变量的概率密度
⑵,正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许
多分布所不具备的．
⑶,正态分布可以作为许多分布的近似分布．
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标准正态分布的计算
? ?,则其密度函数为，如果随机变量 10~ NX
? ? ? ?????? ?,
2
1 2 2xex
?
?
? ? ? ? ? ?????????? ??
??
?
??
xdtedttx
x tx
2
2
2
1
?
?
其分布函数为
表，页列出了标准正态分布教科书上第 371
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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标准正态分布的计算（续）
? ? ? ?xXPxx ???? 我们可直接查表求出对于 0
? ? ? ? ??
?
??
??
??
????
x tx
dtedttx 2
2
2
1
?
?
，我们可由公式如果 0?x
，得，作变换 dudtut ????
? ? ?
??
?
????
x u
duex 2
2
2
1
?
?
?? ?
?
x
u
due 2
2
2
1
? ???
?
??
x u
due 2
2
2
11
?
? ?x??? 1
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x0
)(x?
x-x
一般正态分布的计算
? ? )1,0(~~ 2 NXYNX ? ??? ??，则，设
? ? ? ? }{ yXPyYPyF Y ????? ? ?
? ?
?
?
??
?
?
?
y t
dte
??
?
?
??
2
2
2
2
1
，代入上式，得，则作变换 ?? ? dtdutu ???
? ? ?
??
?
?
y u
Y dueyF
2
2
2
1
?
? ?y??
§ 4 连续型随机变量的概率密度
}{ yXP ?? ???
???? }{)( xXPxF X
)(}{ ? ?? ?? ? ?????? xxXP
一般正态分布的计算（续）
? ? 函数．是标准正态分布的分布其中,x?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
).()
-b
(b}X P { a
,
?
?
?
? ?
??????
?
a
ba 有故对任意的
???? }{)( xXPxF X
)(}{ ? ?? ?? ? ?????? xxXP
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例 8
? ?
? ? ? ?．；⑵．⑴．
，试求：，设随机变量
2121
10~
????? XPXP
NX
解：
? ? ? ? ? ?1221 ?????? XP⑴．
8 4 1 3 4.09 7 7 2 5.0 ?? 13591.0?
? ? ? ? ? ?1221 ???????? XP⑵．
? ? ? ?? ?112 ?????
8 4 1 3 4.019 7 7 2 5.0 ??? 8 1 8 5 9.0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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? ?
? ? ? ? ? ?．；⑶．；⑵．⑴．
，试求：，设随机变量
06251
92~
????? XPXPXP
NX
解：
? ? )1()5(51 FFXP ????⑴．
)3 21()3 25( ?????? ? ? ?
?
??
?
? ?????
3
11
? ? 1311 ??
?
??
?
????? 16 2 9 3 0.08 4 1 3 4.0 ???
4 7 0 6 4.0?
例 9
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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? ? ? ?62162 ?????? XPXP⑵．
? ?6261 ?????? XP
? ?841 ????? XP
)]3 24()3 28([1 ???????? ? ? ? ?? ?221 ?????
? ?? ?212 ???? ? ? 0 4 5 5.09 7 7 2 5.012 ????
§ 4 连续型随机变量的概率密度
例 9续
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? ? ? ?010 ???? XPXP⑶．
)
3
20(1 ????
?
?
??
?
? ????
3
21
7 4 8 6.0
3
2 ??
?
??
?
???
§ 4 连续型随机变量的概率密度
例 9续
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例 10
的概率．不超过
个月的月降水量都起连续的正态分布．求从某月
）（单位：，某地区的月降水量服从
cm
cm
50
10
440 ?? ??
解：
? ?2440~,则：该地区的月降水量．设,NXX
? ?．月降水量不超过再设,cmA 50?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
? ? ? ?50?? XPAP则,)
4
4050( ???
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例 10（续）
? ?5.2?? 9 9 3 7 9.0?
? ?cmP 5010 个月降水量都不超过连续所以，
1099 37 9.0?
9396.0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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§ 4 连续型随机变量的概率密度
分位点。为标准正态分布的上则称点
满足条件若设
?
??
?
?
?
z
z
zNX
,10,} P { X
),1,0(~
????
0 x
)(x?
?
.57.2,6 4 5.1z
,z
,57.2,6 4 5.1z
99 5.00,95
-1
00 5.00,05
????
??
??
z
z
z
??
查表可知
?z??1z
的密度函数为如果连续型随机变量 X
? ? ? ?
??
?
?
?
?
?
??
??
00
01
x
xex
rxf
xr
r
??
? ?为参数，其中 00 ?? ?r
? ?
? ??
?
，记作：
分布．的，服从参数为则称随机变量
rX
rX
?
??
~
§ 4 连续型随机变量的概率密度
4,-分布,?
返回主目录
Γ- 函 数
函数的定义：??
? ? ?
??
????
0
1 dxexr xr
? ?．，函数的定义域,???? 0
? ? ? ?．函数的性质,rrr ?????? 1
? ?,,???
?
??
?
????
2
111
? ? ? ?,！为自然数，则如果 1??? nnn
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
? ?,得，则由如果 111 ???r ? ?
?
?
?
?
?? ?
00
0
x
xexf x??
的指数分布．这正是参数为 ?
分布的一个特例．这说明指数分布是 ??
§ 4 连续型随机变量的概率密度
说明：
? ? ? ?！得，由如果 1???? nnnr
? ? ? ?
??
?
?
?
?
?
??
??
00
0
!1
1
x
xex
nxf
xn
n
??
要的分布之一．分布，它是排队论中重我们称此分布为 E r l a n g
为自然数，则有，其中，如果 nnr 212 ?? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
00
0
2
2
1
2
1
2
2
x
xex
n
xf
xn
n
? ?
的分布之一．它是数理统计学中重要
．分布，记作的为我们称此分布为自由度 nn 22 ?? ?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
说明：
返回主目录
?概率密度及其性质
?指数分布
?均匀分布
?正态分布与标准正态分布
返回主目录
一,连续型随机变量的概念与性质
§ 4 连续型随机变量的概率密度
定义 如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x)，
存在非负函数 f (x)，使得对于任意
实数 x，有
则称 X 为 连续型随机变量,其中函数 f (x) 称
为 X 的 概率密度函数,简称 概率密度,
? ??? x dttfxF,)()(
连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定．
返回主目录
§ 4 连续型随机变量的概率密度
由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：
.0)(1 0 ?xf
.1)(2 0 ?? ?
??
dxxf
f (x)
0 x
1
返回主目录
)(.)(
)()(}{3
21
1221
0
2
1
xxdxxf
xFxFxXxP
x
x
??
????
?
f (x)
x0
1x 2x
).()(
)(4 0
xfxF
xxf
??
处连续，则有在点若
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
注 意
连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变
量分布律的性质非常相似，但是,密度函数不是
概率！
我们不能认为,? ? ? ? ！afaXP ??
§ 4 连续型随机变量的概率密度
，对任意的实数是连续型随机变量，则设 aX
? ? 0?? aXP有
连续型随机变量的一个重要特点
返回主目录
? ?aXP ?
?
?
?
?
?
? ????
?? aXnaPn
1lim
§ 4 连续型随机变量的概率密度
证明：
所以有 ? ?
0?? aXP
0?? ??
?
??
?
a
a
n
n
dxxf
1
lim
返回主目录
说 明
⑴,由上述性质可知，对于连续型随机变量，我
们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；
我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
§ 4 连续型随机变量的概率密度
? ?,的密度函数为若已知连续型随机变量 xfX
取值的概率为，也可以是无穷区间）上
间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区
也可以是可以是开区间（在任意区间则,GGX
? ? ? ????
G
dxxfGXP 返回主目录
例 1
设 X 是连续型随机变量，其密度函数为
? ? ? ?
?
?
? ????
其它0
2024 2 xxxcxf
解：
⑴．由密度函数的性质；求：⑴．常数 c ? ?．⑵,1?XP
? ? 1??
??
??
dxxf
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
例 1（续）
? ??
??
??
? dxxf1得
? ?? ??
2
0
224 dxxxc
2
0
32
3
22
?
?
??
?
? ?? xxc c
3
8?
8
3?c所以，
? ? ? ??
??
??
1
1 dxxfXP⑵,? ? ? ???
??
??
2
2
1
dxxfdxx
? ? ? ? ? ????
??
??
???
2
2
0
0
dxxfdxxfdxxf
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
例 1（续）
? ?? ??
2
1
224
8
3 dxxx
2
1
32
3
2
2
8
3
?
?
?
?
?
? ?? xx
2
1?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
例 2
某电子元件的寿命（单位：小时）是以
? ?
??
?
?
?
?
?
? 1 0 01 0 0
1 0 00
2 xx
x
xf
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元
件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率,
解：
设,A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换 }
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 2（续）
? ? ? ?150?? XPAP则
检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个 5
重 Bernoulli试验．
B={ 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过 150
小时 }
? ??
??
?
150
dxxf
??
150
100
2
100 dx
x 3
1?
? ?
32
2
5 3
2
3
1
?
?
??
?
???
?
??
?
??? CBP则
243
80?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
§ 4 连续型随机变量的概率密度
的分布函数为设连续型随机变量 X
? ? ? ????????? xa r c t g xxF ?121
的密度函数．试求 X
解：
? ?，则的密度函数为设 xfX
? ? ? ?xFxf ?? ? ???????
??? xx 21
11
?
例 3
返回主目录
例 4
的密度函数为设随机变量 X
? ?
?
?
?
?
?
???
??
?
其它0
212
10
xx
xx
xf
的分布函数．试求 X
解：
? ? ? ??
??
??
x
dttfxFx 时，当 0 0?
? ? ? ??
??
???
x
dttfxFx 时，当 10 ? ? ??? ??
??
x
dttfdttf
0
0
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
例 4（续）
??
x
tdt
0 2
2x
?
? ? ? ??
??
???
x
dttfxFx 时，当 21
? ? ? ? ? ???? ???
??
x
dttfdttfdttf
1
1
0
0
? ??? ???
x
dttt d t
1
1
0
2 1221 2 ???? xx
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 4（续）
? ? ? ??
??
??
x
dttfxFx 时，当 2
? ? ? ? ? ? ? ????? ????
??
x
dttfdttfdttfdttf
2
2
1
1
0
0
? ??? ???
2
1
1
0
2 dttt d t
1 ?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
例 4（续）
的分布函数量综上所述，可得随机变 X
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
??
?
?
x
xx
x
x
x
x
xF
21
2112
2
10
2
00
2
2
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
二,一些常用的连续型随机变量
§ 4 连续型随机变量的概率密度
1．均 匀 分 布
若随机变量 X 的密度函数为
? ?
??
?
?
? ??
??
其它0
1
bxa
abxf
? ?上的均匀分布．，服从区间则称随机变量 baX
记作 X ~ U [a,b] 返回主目录
密度函数的验证
? ? ? ?
则有：
是其密度函数，上的均匀分布，，区间设 xfbaX ~
? ? ；，有⑴．对任意的 0?xfx
? ? ? ? ? ? ? ?????
??
??
??
??
???
b
b
a
a
dxxfdxxfdxxfdxxf⑵．
? ??
b
a
dxab 1,1?
? ? 确是密度函数．
其它??
?
?
? ??
??
0
1
bxa
abxf由此可知，
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
说 明
⑴,类似地，我们可以定义
? ?上的均匀分布；，区间 ba
? ?上的均匀分布；，区间 ba
? ?上的均匀分布．，区间 ba
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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均匀分布的概率背景
? ?
? ?
该子区间的位置无关．间的长度成正比，而与
取值的概率与该子区上的任意一个子区间上，在区间
变量上的均匀分布，则随机，服从区间如果随机变量
baX
baX
? ?上取值是等可能的．，在区间量这时，可以认为随机变 baX
§ 4 连续型随机变量的概率密度
X X
a b x
l l
0
? ????? lcc dxxflcXcP )(}{
.1 ab ldxablc
c ?
??? ? ?
返回主目录
均匀分布的分布函数
? ?
的分布函数为则
上的均匀分布，，服从区间若随机变量
X
baX
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
xb
bxa
ab
ax
ax
xF
1
0
§ 4 连续型随机变量的概率密度
a b x
F (x)
0
1
返回主目录
例 5
设公共汽车站从上午 7时起每隔 15分钟来一班车,
如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到 7:30之间的
均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过 5分钟
的概率．
解：
设该乘客于 7时 X分到达此站．
? ? 上的均匀分布．，服从区间则 300X
§ 4 连续型随机变量的概率密度
其密度函数为 ? ?
??
?
?
? ??
?
其它0
300
30
1
xxf
返回主目录
例 5（续）
令,B={ 候车时间不超过 5分钟 }
? ? ? ? ? ?30251510 ?????? XPXPBP则
?? ??
30
25
15
10 30
1
30
1 dxdx
3
1?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
例 6
? ?上的均匀分布，，服从区间设随机变量 63??
试求方程
? ? 0244 2 ???? ?? xx
有实根的概率．
解：
的密度函数为随机变量 ?
? ?
??
?
?
? ???
?
其它0
63
9
1
xxf
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 6（续）
? ?? ?有实根方程设,0244 2 ????? ?? xxA
? ? ? ? ? ?? ?02444 2 ?????? ??PAP则
? ?? ?? ?021 ???? ??P
? ?21 ???? ?? 或P
?? ??
?
?
6
2
1
3 9
1
9
1 dxdx
9
4
9
2 ??
3
2?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
? ?
?
?
?
?
?? ?
00
0
x
xexf x??
的指数分布．参数为
服从为常数，则称随机变量其中
?
? 0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
密度函数的验证
? ?是其密度函数，则有：的指数分布，参数为设 xfX ?~
? ? ；，有⑴．对任意的 0?xfx
? ? ? ? ? ????
??
??
??
??
??
0
0
dxxfdxxfdxxf⑵．
?
??
??
0
dxe x??
．1?
由此可知，
?????
0
xe ??
? ? 确是一密度函数．
?
?
?
?
?? ?
00
0
x
xexf x??
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
指数分布的分布函数
的分布函数为则
指数分布，服从参数若随机变量
X
X ?
? ?
?
?
?
??
?
? ?
01
00
xe
x
xF x?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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例 7
分钟之间的概率．钟到
分话间，求你需等待好在你前面走进公用电
．如果某人刚为参数的指数随机变量以
（单位：分钟）是间设打一次电话所用的时
20
10
10
1
??
X
解：
的密度函数为X ? ?
??
?
?
?
?
??
?
00
0
10
1 10
x
xexf
x
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
例 7（续）
? ? ? ?2010 ??? XPBP则
令,B={ 等待时间为 10~20分钟 }
?
?
?
20
10
10
10
1 dxe x
20
10
10
10
1 xe ???
21 ?? ?? ee 2325.0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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3．正 态 分 布
的密度函数为如果连续型随机变量 X
? ?
? ?
? ????????
??
xexf
x
2
2
2
2
1 ?
?
??
? ?，为参数，其中 0??????? ??
? ?
正态分布．记作
的，服从，参数为则称随机变量 2??X
? ?2~ ??,NX
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x
f (x)
0 ?
标准正态分布
? ?为标准正态分布．，，我们称，若 1010 N?? ??
数为标准正态分布的密度函
? ? ? ???????? ? xex
x
2
2
2
1
?
?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
密度函数的验证
? ? ? ?是其密度函数，则有：，，设 xfNX 2~ ??
? ?
? ?
? ???????
??
?
?
x
exf
x
0
2
1 2
2
2 ?
?
??
§ 4 连续型随机变量的概率密度
下面验证：
? ?
? ?
1
2
1 2
2
2 ?? ??
??
??
????
??
dxedxxf
x
?
?
??
返回主目录
密度函数的验证 (续 )
下面验证：
? ?
? ?
12 1 2
2
2 ?? ??
??
??
????
??
dxedxxf
x
?
?
??
首先验证：
? ? 1
2
1 2 2 ?? ?? ??
??
???
??
dxedxx
x
?
?
?22
2
??
??
??
? dxe x或验证：
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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密度函数的验证 (续 )
为此，我们只需证明：
?2
2
2
2
???
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
dxe
x
???
??
??
?
??
??
?
??
??
?
???
?
?
?
?
?
?
dyedxedxe
yxx
22
2
2
222
dydxee
yx
? ?
??
??
??
??
??
? 22
22
dydxe
yx
? ?
??
??
??
??
??
? 2
22
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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密度函数的验证 (续 )
则有，，作极坐标变换,?? s i nc os ryrx ??
???
??
?
??
??
?
???
?
?
?
?
?
?
0
2
2
0
2
2
22
r dreddxe
rx ?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
2
2
2
r
e?
?2?
?22
2
??
??
??
?
dxe
x
因此，
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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密度函数的验证 (续 )
下面验证：
? ?
1
2
1 2
2
2 ??
??
??
??
dxe
x
?
?
??
??
? dxduxu ??? 则，作变换：
? ?
??
??
??
?
?
??
?
? ?????
??
??
?
????
?
?
?
? dx
edxe
xx 2
2
2
2
1
2
2
1
2
1则有
1?
?
??
??
?
? due
u
2
2
2
1
?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
密度函数的验证 (续 )
综上所述，
? ?
? ?
? ????????
??
xexf
x
2
2
2
2
1 ? ?
??
? ?
是一个密度函数．
确本条件，因此满足密度函数的两项基 xf
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
正态分布密度函数的图形性质
? ?
? ?
? ?
我们有：由高等数学中的知识，
数对于正态分布的密度函
???????
?
?
xexf
x
2
2
2
2
1
?
?
??
? ? ? ?hXPXhP
h
x
???????
?
?
????
?
，有这表明：对于任意的
对称，⑴．曲线关于直线
0
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x
f (x)
0 ?h?? h??
正态分布密度函数的图形性质（续）
? ?
? ?
? ?
越小．落在该区间中的概率就变量
越远时，随机间离同样长度的区间，当区
对于的值就越小．这表明，越远，离
取到最大值时，⑵．当
X
xfx
f
xfx
?
?
??
?
?
2
1
?
?§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
正态分布密度函数的图形性质（续）
? ?
? ? 轴为渐近线．以曲线
处有拐点；在⑶．曲线
Oxxfy
xxfy
?
??? ??
? ?
? ?
确定．
所图形的位置完全由参数因此
其形状．轴平行移动，但不改变图形沿
的的值，则固定，而改变⑷．若
?
??
xfy
x
xf
?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
返回主目录
正态分布密度函数的图形性质（续） ? ?
? ?
? ?
? ?
的取值越分散．形越平坦，这表明
的图越大时，，当附近的概率越大；反之
落在图形越陡，因而越小时，可知，当
的最大值为的值，由于固定，而改变⑸．若
X
xfy
Xxfy
f
xf
?
?
?
??
?
??
?
??
2
1
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x
f (x)
0? 1?
返回主目录
正态分布的重要性
正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下
情形加以说明：
⑴,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布
之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分
布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素
的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，
则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
§ 4 连续型随机变量的概率密度
⑵,正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许
多分布所不具备的．
⑶,正态分布可以作为许多分布的近似分布．
返回主目录
标准正态分布的计算
? ?,则其密度函数为，如果随机变量 10~ NX
? ? ? ?????? ?,
2
1 2 2xex
?
?
? ? ? ? ? ?????????? ??
??
?
??
xdtedttx
x tx
2
2
2
1
?
?
其分布函数为
表，页列出了标准正态分布教科书上第 371
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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标准正态分布的计算（续）
? ? ? ?xXPxx ???? 我们可直接查表求出对于 0
? ? ? ? ??
?
??
??
??
????
x tx
dtedttx 2
2
2
1
?
?
，我们可由公式如果 0?x
，得，作变换 dudtut ????
? ? ?
??
?
????
x u
duex 2
2
2
1
?
?
?? ?
?
x
u
due 2
2
2
1
? ???
?
??
x u
due 2
2
2
11
?
? ?x??? 1
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x0
)(x?
x-x
一般正态分布的计算
? ? )1,0(~~ 2 NXYNX ? ??? ??，则，设
? ? ? ? }{ yXPyYPyF Y ????? ? ?
? ?
?
?
??
?
?
?
y t
dte
??
?
?
??
2
2
2
2
1
，代入上式，得，则作变换 ?? ? dtdutu ???
? ? ?
??
?
?
y u
Y dueyF
2
2
2
1
?
? ?y??
§ 4 连续型随机变量的概率密度
}{ yXP ?? ???
???? }{)( xXPxF X
)(}{ ? ?? ?? ? ?????? xxXP
一般正态分布的计算（续）
? ? 函数．是标准正态分布的分布其中,x?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
).()
-b
(b}X P { a
,
?
?
?
? ?
??????
?
a
ba 有故对任意的
???? }{)( xXPxF X
)(}{ ? ?? ?? ? ?????? xxXP
返回主目录
例 8
? ?
? ? ? ?．；⑵．⑴．
，试求：，设随机变量
2121
10~
????? XPXP
NX
解：
? ? ? ? ? ?1221 ?????? XP⑴．
8 4 1 3 4.09 7 7 2 5.0 ?? 13591.0?
? ? ? ? ? ?1221 ???????? XP⑵．
? ? ? ?? ?112 ?????
8 4 1 3 4.019 7 7 2 5.0 ??? 8 1 8 5 9.0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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? ?
? ? ? ? ? ?．；⑶．；⑵．⑴．
，试求：，设随机变量
06251
92~
????? XPXPXP
NX
解：
? ? )1()5(51 FFXP ????⑴．
)3 21()3 25( ?????? ? ? ?
?
??
?
? ?????
3
11
? ? 1311 ??
?
??
?
????? 16 2 9 3 0.08 4 1 3 4.0 ???
4 7 0 6 4.0?
例 9
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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? ? ? ?62162 ?????? XPXP⑵．
? ?6261 ?????? XP
? ?841 ????? XP
)]3 24()3 28([1 ???????? ? ? ? ?? ?221 ?????
? ?? ?212 ???? ? ? 0 4 5 5.09 7 7 2 5.012 ????
§ 4 连续型随机变量的概率密度
例 9续
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? ? ? ?010 ???? XPXP⑶．
)
3
20(1 ????
?
?
??
?
? ????
3
21
7 4 8 6.0
3
2 ??
?
??
?
???
§ 4 连续型随机变量的概率密度
例 9续
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例 10
的概率．不超过
个月的月降水量都起连续的正态分布．求从某月
）（单位：，某地区的月降水量服从
cm
cm
50
10
440 ?? ??
解：
? ?2440~,则：该地区的月降水量．设,NXX
? ?．月降水量不超过再设,cmA 50?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
? ? ? ?50?? XPAP则,)
4
4050( ???
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例 10（续）
? ?5.2?? 9 9 3 7 9.0?
? ?cmP 5010 个月降水量都不超过连续所以，
1099 37 9.0?
9396.0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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§ 4 连续型随机变量的概率密度
分位点。为标准正态分布的上则称点
满足条件若设
?
??
?
?
?
z
z
zNX
,10,} P { X
),1,0(~
????
0 x
)(x?
?
.57.2,6 4 5.1z
,z
,57.2,6 4 5.1z
99 5.00,95
-1
00 5.00,05
????
??
??
z
z
z
??
查表可知
?z??1z
的密度函数为如果连续型随机变量 X
? ? ? ?
??
?
?
?
?
?
??
??
00
01
x
xex
rxf
xr
r
??
? ?为参数，其中 00 ?? ?r
? ?
? ??
?
，记作：
分布．的，服从参数为则称随机变量
rX
rX
?
??
~
§ 4 连续型随机变量的概率密度
4,-分布,?
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Γ- 函 数
函数的定义：??
? ? ?
??
????
0
1 dxexr xr
? ?．，函数的定义域,???? 0
? ? ? ?．函数的性质,rrr ?????? 1
? ?,,???
?
??
?
????
2
111
? ? ? ?,！为自然数，则如果 1??? nnn
§ 4 连续型随机变量的概率密度
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? ?,得，则由如果 111 ???r ? ?
?
?
?
?
?? ?
00
0
x
xexf x??
的指数分布．这正是参数为 ?
分布的一个特例．这说明指数分布是 ??
§ 4 连续型随机变量的概率密度
说明：
? ? ? ?！得，由如果 1???? nnnr
? ? ? ?
??
?
?
?
?
?
??
??
00
0
!1
1
x
xex
nxf
xn
n
??
要的分布之一．分布，它是排队论中重我们称此分布为 E r l a n g
为自然数，则有，其中，如果 nnr 212 ?? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
00
0
2
2
1
2
1
2
2
x
xex
n
xf
xn
n
? ?
的分布之一．它是数理统计学中重要
．分布，记作的为我们称此分布为自由度 nn 22 ?? ?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
说明：
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