§ 2 边缘分布
? 边缘分布函数
? 边缘分布律
? 边缘概率密度
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边缘分布的定义
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?的边缘分布．，关于二维随机变量
或者的分布为或者也有分布．我们称
或者，分量是一维随机变量，因此或者
则它的分量是一个二维随机变量，，如果
YX
YXYX
YXY
XYX
§ 2 边缘分布
边缘分布也称为边沿分布或边际分布．
已知联合分布函数求边缘分布函数
? ? ? ?，，的分布函数为，设二维随机变量 yxFYX的分布函数为X
则分量
? ?xFX ? ?xXP ?? ? ????????? YxXP,
? ?yxFy,???? lim ? ????,xF 返回主目录
的分布函数为同理，分量 Y
? ?yFY ? ?yYP ?? ? ?yYYP ????????,
? ?yxFx,???? lim ? ?yF,???
§ 2 边缘分布
解：
? ?的联合分布函数为，设二维随机变量 YX
? ? ?????? ??????? ?? 3ar ct an2ar ct an yCxBAyxF,
? ????????????? yx,；、、试求：⑴．常数 CBA
的边缘分布函数．及⑵,YX
，得⑴．由分布函数的性质
? ??????,F1 ?
?
??
?
? ??
?
??
?
? ??
22
?? CBA
例 1
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例 1（续）
．，,221 2 ??? ??? CBA
?????? ??????? ?? 22ar ct an ?CxBA
由以上三式可得，
的边缘分布函数为⑵,X
? ? ? ?yxFxF yX,???? lim
? ????,xF0
? ?yF,???0 ?????? ??????? ?? 3ar ct an2 yCBA ?
?????? ??????? ?? ??? 3ar ct an22ar ct an21lim 2 yxy ???
?????? ?? 2ar ct a n21 x?? ? ?? ??????,x
§ 2 边缘分布
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例 1（续）
? ? ? ?yxFyF xY,???? lim
?????? ??????? ?? ??? 3ar ct an22ar ct an21lim 2 yxx ???
?
?
??
?
? ??
2ar ct an2
1 y?
?
? ?? ??????,y
的边缘分布函数为同理,Y
§ 2 边缘分布
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已知联合分布律求边缘分布律
? ?，已知其联合分布律为，量对于二维离散型随机变 YX
的分布律：现求随机变量 X
? ? ? ??，，，,21???? jiyYxXPP jiij
? ?ii xXPP ??,? ??，,21?i
? ?ii xXPP ??,? ?? ??? j ji yYxXP, ?? j ijp
§ 2 边缘分布
? ?jj yYPP ??,? ?? ??? i ji yYxXP, ?? i ijp
的分布律为：同理，随机变量 Y
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已知联合分布律求边缘分布律
下表表示的边缘分布律也可以由以及 YX
Y
X 1
y
2
y …
j
y
…
?i
p
1
x
11
p
12
p …
j
p
1
…
?1
p
2
x
21
p
22
p …
j
p
2
…
?2
p
? ? ? ? ?
i
x
1i
p
2i
p …
ij
p …
?i
p
? ? ? ? ?
j
p
? 1?
p
2?
p
…
j
p
?
…
§ 2 边缘分布
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例 2
? ?
分布律．
各自的边缘及的联合分布律与，，试求
记所取的数为中随机地取出一个数，到，再从
记所取的数为个数中随机取出一个，这，，，从
YXYXY
XX 1
44321
解：,，，，的取值都是与 4321YX,而且 XY ?
? ? 0???? jYiXPji,时，所以，当
§ 2 边缘分布
时，由乘法公式，得当 ji ?
? ?jYiXPP ij ???, ? ? ? ?iXjYPiXP ????
ii 4
11
4
1 ???
再由 ??? j iji pp ??? i ijj pp及
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例 2（续）
Y
X
1 2 3 4 ?i
p
1
4
1
0 0 0
4
1
2
8
1
8
1
0 0
4
1
3
12
1
12
1
12
1
0
4
1
4
16
1
16
1
16
1
16
1
4
1
j
p
? 48
25
48
13
48
7
48
3
§ 2 边缘分布
? ? 的边缘分布律为及与，可得 YXYX
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例 3
解：
布律．律及它们各自的边缘分
二等品数的联合分布件产品中的一等品数与的
情况下，分别计算取出⑵．不放回场合这两种
合，次．试在⑴．有放回场取出一件，共抽取
．现从这批产品中每次，三等品占占
，二等品件，其中一等品占一批产品共
5
5
%20%50
%3050
件产品中的一等品数；：取出的令,5X
件产品中的二等品数．：取出的 5Y
§ 2 边缘分布
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例 3（续）
，，，，，的取值都是与 54321,0YX
⑴．在有放回场合下
，若 5?? ji 0?? ?jYiXP ??,有
，若 5?? ji ? ?jYiXP ??,有
? ? ? ? ? ? ? ?
jiji
jiji
??
???
??
?
5
2.05.03.0
!5!!
!5
? ? 的边缘分布律为、的联合分布律及，得 YXYX
§ 2 边缘分布
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例 3（续）
Y
X
0 1 2 3 4 5 ?i
p
0 0, 0 0 0 3 2 0, 0 0 4 0 0 0, 0 2 0 0 0 0, 0 5 0 0 0 0, 0 6 2 5 0 0, 0 3 1 2 5 0, 1 6 8 0 7
1 0, 0 0 2 4 0 0, 0 2 4 0 0 0, 0 9 0 0 0 0, 1 5 0 0 0 0, 0 9 3 7 5 0 0, 3 6 0 1 5
2 0, 0 0 7 2 0 0, 0 5 4 0 0 0, 1 3 5 0 0 0, 1 1 2 5 0 0 0 0, 3 0 8 7
3 0, 0 1 0 8 0 0, 0 5 4 0 0 0, 0 6 7 5 0 0 0 0 0, 1 3 2 3
4 0, 0 0 8 1 0 0, 0 2 0 2 5 0 0 0 0 0, 0 2 8 3 5
5 0, 0 0 2 4 3 0 0 0 0 0 0, 0 0 2 4 3
j
p
? 0, 0 3 1 2 5 0, 1 5 6 2 5 0, 3 1 2 5 0, 3 1 2 5 0, 1 5 6 2 5 0, 0 3 1 2 5
§ 2 边缘分布
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例 3（续）
⑵．在不放回场合下
，若 5?? ji 0?? ?jYiXP ??,有
，若 5?? ji
? ?jYiXP ??,有 5
50
5
102515
C
CCC
jiji ??
?
? ? 的边缘分布律为、的联合分布律及，得 YXYX
§ 2 边缘分布
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例 3（续）
Y
X
0 1 2 3 4 5 ?i
p
0 0, 0 0 0 1 0, 0 0 2 5 0, 0 1 7 0 0, 0 4 8 8 0, 0 5 9 7 0, 0 2 5 0 0, 1 5 3 1
1 0, 0 0 1 5 0, 0 2 1 2 0, 0 9 5 6 0, 1 6 2 8 0, 0 8 9 6 0 0, 3 7 0 7
2 0, 0 0 5 9 0, 0 5 5 8 0, 1 4 8 7 0, 1 1 4 0 0 0 0, 3 2 4 4
3 0, 0 0 9 7 0, 0 5 3 7 0, 0 6 4 4 0 0 0 0, 1 2 7 8
4 0, 0 0 6 4 0, 0 1 6 1 0 0 0 0 0, 0 2 2 5
5 0, 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0, 0 0 1 4
j
p
? 0, 0 2 5 0, 1 4 9 3 0, 3 2 5 7 0, 3 2 5 6 0, 1 4 9 3 0, 0 2 5
§ 2 边缘分布
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已知联合密度函数求边缘密度函数
? ?
密度函数为
，已知其联合，量对于二维连续型随机变 YX
? ?yxf,
的边缘密度函数：现求随机变量 X? ?xfX
? ? ? ?xXPxF X ??由
? ?? ?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
x
dudyyuf,
? ????,xF
§ 2 边缘分布
? ? ? ??
??
??
? dyyxfxf X,得
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已知联合密度函数求边缘密度函数
同理，由
? ?? ?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
y
dvdxvxf,
? ?yF,???? ? ? ?yYPyF Y ??
? ? ? ??
??
??
? dxyxfyf Y,得
§ 2 边缘分布
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例 4 ? ?
? ?
度函数．
各自的边缘密、函数及
的联合密度，机变量
上的均匀分布．试求随
服从区域，随机变量
所围，及直线
是由抛物线设平面区域
YX
YX
D
YX
xyxy
D
??
2
§ 2 边缘分布
y
o
y=x
y=x2
1
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例 4（续）
解：
的面积为⑴．区域 D
? ?的联合密度函数为，所以，二维随机变量 YX
? ? ? ?? ?
?
?
?
?
??
Dyx
Dyxyxf
，
，，
0
6
???
x
x
dxdyA
2
1
0
1
0
32
3
1
2
1
?
?
??
?
? ?? xx
3
1
2
1 ??
6
1?
§ 2 边缘分布
y
o
y=x
y=x2
1 x
例 4（续）
的边缘密度函数为⑵．随机变量 X
? ? ? ??
??
??
? dyyxfxf X,
所以，
? ? ? ?
?
?
? ???
?
其它0
106
2
xxxxf
X
? ?26 xx ??
时，当 10 ?? x
???
??
??
???
x
x
x
x
2
2
??
x
x
dy
2
6
§ 2 边缘分布
y
o
y=x
y=x2
1 x
? ? ? ?? ???? ??? Dyx Dyxyxf,，,06
例 4（续）
的边缘密度函数为同理，随机变量 Y
? ? ? ??
??
??
? dxyxfyf Y,
所以，
? ? ? ?
?
?
? ???
?
其它0
106 yyyyf
Y
? ?yy ?? 6
时，当 10 ?? y
???
??
??
???
y
y
y
y
??
y
y
dx6
§ 2 边缘分布
y
o 1
yx ?
x
yx ?
? ? ? ?? ???? ??? Dyx Dyxyxf,，,06
例 5
解：
? ?的联合密度函数为，设二维连续型随机变量 YX
? ?
?
?
? ?????
?
?
其它
，
0
0 yxcxeyxf
y；试求：⑴．常数 c 的边缘密度函数．及⑵,YX
，得⑴．由密度函数的性质
? ???
??
??
??
??
? dx dyyxf,1 ??
?
??
?
y
y
dxc x edy
00
§ 2 边缘分布
x
y xy?
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例 5（续）
时，⑵．当 0?x
? ? ? ??
??
??
? dyyxfxf X,
?
??
?
?
0
2
2
dyeyc
y
cc ??? 22
1?c所以，
?
??
?
?
x
y
xe
xxe??
的边缘密度函数为所以,X
? ?
?
?
?
?
?? ?
00
0
x
xxexf x
X
§ 2 边缘分布
x
y xy?
? ? ??? ??????
?
其它,0
0 yxxeyxf y
返回主目录
例 5（续）
? ? ? ??
??
??
? dxyxfyf Y, ?
?
?
y
y
dxxe
0
yey ?? 2
2
1
的边缘密度函数为所以,Y
? ?
??
?
?
?
?
??
?
00
0
2
1 2
y
yeyyf
y
Y
时，⑶．当 0?y
§ 2 边缘分布
x
y xy?
? ? ??? ??????
?
其它,0
0 yxxeyxf y
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例 6
解：
? ? ? ?rNYX,，，，，设二维随机变量 222121~ ????
的边缘密度函数．及试求 YX
? ?
? ?
? ? ? ?? ? ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
?
??
?
?
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
e x p
12
1
?
?
??
??
?
?
???
yyxrx
r
r
yxf,
? ?的联合密度函数为,YX
§ 2 边缘分布
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例 6（续）
? ?
? ? ? ?? ? ? ?
进行配方，得对
中，在
y
yyxrx
r
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
?
?
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
12
1
?
?
??
??
?
?
? ? ? ??
??
??
? dyyxfxf X,
? ?
? ? ? ?? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ??????
?
? 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
12
1
?
?
??
??
?
? yyxrx
r
? ?
? ?
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2 212
1
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ???
?
?? xxry
r
§ 2 边缘分布
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例 6（续）
所以，
? ?
? ?
? ?
dy
x
r
y
r
e
r
xf
x
X
?
??
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
??
?
?
2
1
1
2
2
2
2
2
21
12
1
ex p
12
1 2
1
2
1
?
?
?
?
???
?
?
???
?
???
? ???
?
?
1
1
2
2
21
1
?
?
?
? xry
r
u作变换，令：
2
2 1 r
dydu
?
?
?
则，
§ 2 边缘分布
返回主目录
例 6（续）
? ?
? ?
dueexf
ux
X ?
??
??
?
?
?
? 22
1
2
2
1
2
1
2
1 ?
?
??
? ?
?
??
?
?
2
2
1 2
1
2
1
2
1
??
?? x
e
? ?
2
1
2
1
2
12
1 ?
?
??
?
?
?
x
e
? ?
? ?
? ????????
?
?
xexf
x
X
2
1
2
1
2
12
1 ?
?
??
? ?211~ ??,这表明,NX
§ 2 边缘分布
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例 6（续）
? ?
因此有
的地位是对称的，与的密度函数可知，，由 YXYX
? ?
? ?
? ????????
?
?
yeyf
y
Y
2
2
2
2
2
22
1 ?
?
??
? ?222~ ??,这表明,NY
几条结论：通过本题，我们有以下
§ 2 边缘分布
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结 论 （一）
布是一元正态分布．二元正态分布的边缘分
§ 2 边缘分布
? ? ? ?rNYX,，，，，即若 222121~ ????
? ?222~ ??,NY? ?211~ ??,NX
则有，
结 论 （二）
无关．布中的常数
的参数与二元正态分上述的两个边缘分布中
r
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§ 2 边缘分布
结 论 （三）
结论（二）表明：如果 ? ? ? ?122212111 ~ rNYX,，，，,????
? ? ? ?222212122 ~ rNYX,，，，,????
），（其中 21 rr ?
的分布相同，与但是 21 XX 的分布相同．与 21 YY
? ? ? ?的分布不相同，，与，则,2211 YXYX
联合分布．们不能由边缘分布求出这表明，一般来讲，我
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? 边缘分布函数
? 边缘分布律
? 边缘概率密度
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边缘分布的定义
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?的边缘分布．，关于二维随机变量
或者的分布为或者也有分布．我们称
或者，分量是一维随机变量，因此或者
则它的分量是一个二维随机变量，，如果
YX
YXYX
YXY
XYX
§ 2 边缘分布
边缘分布也称为边沿分布或边际分布．
已知联合分布函数求边缘分布函数
? ? ? ?，，的分布函数为，设二维随机变量 yxFYX的分布函数为X
则分量
? ?xFX ? ?xXP ?? ? ????????? YxXP,
? ?yxFy,???? lim ? ????,xF 返回主目录
的分布函数为同理，分量 Y
? ?yFY ? ?yYP ?? ? ?yYYP ????????,
? ?yxFx,???? lim ? ?yF,???
§ 2 边缘分布
解：
? ?的联合分布函数为，设二维随机变量 YX
? ? ?????? ??????? ?? 3ar ct an2ar ct an yCxBAyxF,
? ????????????? yx,；、、试求：⑴．常数 CBA
的边缘分布函数．及⑵,YX
，得⑴．由分布函数的性质
? ??????,F1 ?
?
??
?
? ??
?
??
?
? ??
22
?? CBA
例 1
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例 1（续）
．，,221 2 ??? ??? CBA
?????? ??????? ?? 22ar ct an ?CxBA
由以上三式可得，
的边缘分布函数为⑵,X
? ? ? ?yxFxF yX,???? lim
? ????,xF0
? ?yF,???0 ?????? ??????? ?? 3ar ct an2 yCBA ?
?????? ??????? ?? ??? 3ar ct an22ar ct an21lim 2 yxy ???
?????? ?? 2ar ct a n21 x?? ? ?? ??????,x
§ 2 边缘分布
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例 1（续）
? ? ? ?yxFyF xY,???? lim
?????? ??????? ?? ??? 3ar ct an22ar ct an21lim 2 yxx ???
?
?
??
?
? ??
2ar ct an2
1 y?
?
? ?? ??????,y
的边缘分布函数为同理,Y
§ 2 边缘分布
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已知联合分布律求边缘分布律
? ?，已知其联合分布律为，量对于二维离散型随机变 YX
的分布律：现求随机变量 X
? ? ? ??，，，,21???? jiyYxXPP jiij
? ?ii xXPP ??,? ??，,21?i
? ?ii xXPP ??,? ?? ??? j ji yYxXP, ?? j ijp
§ 2 边缘分布
? ?jj yYPP ??,? ?? ??? i ji yYxXP, ?? i ijp
的分布律为：同理，随机变量 Y
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已知联合分布律求边缘分布律
下表表示的边缘分布律也可以由以及 YX
Y
X 1
y
2
y …
j
y
…
?i
p
1
x
11
p
12
p …
j
p
1
…
?1
p
2
x
21
p
22
p …
j
p
2
…
?2
p
? ? ? ? ?
i
x
1i
p
2i
p …
ij
p …
?i
p
? ? ? ? ?
j
p
? 1?
p
2?
p
…
j
p
?
…
§ 2 边缘分布
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例 2
? ?
分布律．
各自的边缘及的联合分布律与，，试求
记所取的数为中随机地取出一个数，到，再从
记所取的数为个数中随机取出一个，这，，，从
YXYXY
XX 1
44321
解：,，，，的取值都是与 4321YX,而且 XY ?
? ? 0???? jYiXPji,时，所以，当
§ 2 边缘分布
时，由乘法公式，得当 ji ?
? ?jYiXPP ij ???, ? ? ? ?iXjYPiXP ????
ii 4
11
4
1 ???
再由 ??? j iji pp ??? i ijj pp及
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例 2（续）
Y
X
1 2 3 4 ?i
p
1
4
1
0 0 0
4
1
2
8
1
8
1
0 0
4
1
3
12
1
12
1
12
1
0
4
1
4
16
1
16
1
16
1
16
1
4
1
j
p
? 48
25
48
13
48
7
48
3
§ 2 边缘分布
? ? 的边缘分布律为及与，可得 YXYX
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例 3
解：
布律．律及它们各自的边缘分
二等品数的联合分布件产品中的一等品数与的
情况下，分别计算取出⑵．不放回场合这两种
合，次．试在⑴．有放回场取出一件，共抽取
．现从这批产品中每次，三等品占占
，二等品件，其中一等品占一批产品共
5
5
%20%50
%3050
件产品中的一等品数；：取出的令,5X
件产品中的二等品数．：取出的 5Y
§ 2 边缘分布
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例 3（续）
，，，，，的取值都是与 54321,0YX
⑴．在有放回场合下
，若 5?? ji 0?? ?jYiXP ??,有
，若 5?? ji ? ?jYiXP ??,有
? ? ? ? ? ? ? ?
jiji
jiji
??
???
??
?
5
2.05.03.0
!5!!
!5
? ? 的边缘分布律为、的联合分布律及，得 YXYX
§ 2 边缘分布
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例 3（续）
Y
X
0 1 2 3 4 5 ?i
p
0 0, 0 0 0 3 2 0, 0 0 4 0 0 0, 0 2 0 0 0 0, 0 5 0 0 0 0, 0 6 2 5 0 0, 0 3 1 2 5 0, 1 6 8 0 7
1 0, 0 0 2 4 0 0, 0 2 4 0 0 0, 0 9 0 0 0 0, 1 5 0 0 0 0, 0 9 3 7 5 0 0, 3 6 0 1 5
2 0, 0 0 7 2 0 0, 0 5 4 0 0 0, 1 3 5 0 0 0, 1 1 2 5 0 0 0 0, 3 0 8 7
3 0, 0 1 0 8 0 0, 0 5 4 0 0 0, 0 6 7 5 0 0 0 0 0, 1 3 2 3
4 0, 0 0 8 1 0 0, 0 2 0 2 5 0 0 0 0 0, 0 2 8 3 5
5 0, 0 0 2 4 3 0 0 0 0 0 0, 0 0 2 4 3
j
p
? 0, 0 3 1 2 5 0, 1 5 6 2 5 0, 3 1 2 5 0, 3 1 2 5 0, 1 5 6 2 5 0, 0 3 1 2 5
§ 2 边缘分布
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例 3（续）
⑵．在不放回场合下
，若 5?? ji 0?? ?jYiXP ??,有
，若 5?? ji
? ?jYiXP ??,有 5
50
5
102515
C
CCC
jiji ??
?
? ? 的边缘分布律为、的联合分布律及，得 YXYX
§ 2 边缘分布
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例 3（续）
Y
X
0 1 2 3 4 5 ?i
p
0 0, 0 0 0 1 0, 0 0 2 5 0, 0 1 7 0 0, 0 4 8 8 0, 0 5 9 7 0, 0 2 5 0 0, 1 5 3 1
1 0, 0 0 1 5 0, 0 2 1 2 0, 0 9 5 6 0, 1 6 2 8 0, 0 8 9 6 0 0, 3 7 0 7
2 0, 0 0 5 9 0, 0 5 5 8 0, 1 4 8 7 0, 1 1 4 0 0 0 0, 3 2 4 4
3 0, 0 0 9 7 0, 0 5 3 7 0, 0 6 4 4 0 0 0 0, 1 2 7 8
4 0, 0 0 6 4 0, 0 1 6 1 0 0 0 0 0, 0 2 2 5
5 0, 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0, 0 0 1 4
j
p
? 0, 0 2 5 0, 1 4 9 3 0, 3 2 5 7 0, 3 2 5 6 0, 1 4 9 3 0, 0 2 5
§ 2 边缘分布
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已知联合密度函数求边缘密度函数
? ?
密度函数为
，已知其联合，量对于二维连续型随机变 YX
? ?yxf,
的边缘密度函数：现求随机变量 X? ?xfX
? ? ? ?xXPxF X ??由
? ?? ?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
x
dudyyuf,
? ????,xF
§ 2 边缘分布
? ? ? ??
??
??
? dyyxfxf X,得
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已知联合密度函数求边缘密度函数
同理，由
? ?? ?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
y
dvdxvxf,
? ?yF,???? ? ? ?yYPyF Y ??
? ? ? ??
??
??
? dxyxfyf Y,得
§ 2 边缘分布
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例 4 ? ?
? ?
度函数．
各自的边缘密、函数及
的联合密度，机变量
上的均匀分布．试求随
服从区域，随机变量
所围，及直线
是由抛物线设平面区域
YX
YX
D
YX
xyxy
D
??
2
§ 2 边缘分布
y
o
y=x
y=x2
1
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例 4（续）
解：
的面积为⑴．区域 D
? ?的联合密度函数为，所以，二维随机变量 YX
? ? ? ?? ?
?
?
?
?
??
Dyx
Dyxyxf
，
，，
0
6
???
x
x
dxdyA
2
1
0
1
0
32
3
1
2
1
?
?
??
?
? ?? xx
3
1
2
1 ??
6
1?
§ 2 边缘分布
y
o
y=x
y=x2
1 x
例 4（续）
的边缘密度函数为⑵．随机变量 X
? ? ? ??
??
??
? dyyxfxf X,
所以，
? ? ? ?
?
?
? ???
?
其它0
106
2
xxxxf
X
? ?26 xx ??
时，当 10 ?? x
???
??
??
???
x
x
x
x
2
2
??
x
x
dy
2
6
§ 2 边缘分布
y
o
y=x
y=x2
1 x
? ? ? ?? ???? ??? Dyx Dyxyxf,，,06
例 4（续）
的边缘密度函数为同理，随机变量 Y
? ? ? ??
??
??
? dxyxfyf Y,
所以，
? ? ? ?
?
?
? ???
?
其它0
106 yyyyf
Y
? ?yy ?? 6
时，当 10 ?? y
???
??
??
???
y
y
y
y
??
y
y
dx6
§ 2 边缘分布
y
o 1
yx ?
x
yx ?
? ? ? ?? ???? ??? Dyx Dyxyxf,，,06
例 5
解：
? ?的联合密度函数为，设二维连续型随机变量 YX
? ?
?
?
? ?????
?
?
其它
，
0
0 yxcxeyxf
y；试求：⑴．常数 c 的边缘密度函数．及⑵,YX
，得⑴．由密度函数的性质
? ???
??
??
??
??
? dx dyyxf,1 ??
?
??
?
y
y
dxc x edy
00
§ 2 边缘分布
x
y xy?
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例 5（续）
时，⑵．当 0?x
? ? ? ??
??
??
? dyyxfxf X,
?
??
?
?
0
2
2
dyeyc
y
cc ??? 22
1?c所以，
?
??
?
?
x
y
xe
xxe??
的边缘密度函数为所以,X
? ?
?
?
?
?
?? ?
00
0
x
xxexf x
X
§ 2 边缘分布
x
y xy?
? ? ??? ??????
?
其它,0
0 yxxeyxf y
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例 5（续）
? ? ? ??
??
??
? dxyxfyf Y, ?
?
?
y
y
dxxe
0
yey ?? 2
2
1
的边缘密度函数为所以,Y
? ?
??
?
?
?
?
??
?
00
0
2
1 2
y
yeyyf
y
Y
时，⑶．当 0?y
§ 2 边缘分布
x
y xy?
? ? ??? ??????
?
其它,0
0 yxxeyxf y
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例 6
解：
? ? ? ?rNYX,，，，，设二维随机变量 222121~ ????
的边缘密度函数．及试求 YX
? ?
? ?
? ? ? ?? ? ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
??
?
?
?
??
?
?
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
e x p
12
1
?
?
??
??
?
?
???
yyxrx
r
r
yxf,
? ?的联合密度函数为,YX
§ 2 边缘分布
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例 6（续）
? ?
? ? ? ?? ? ? ?
进行配方，得对
中，在
y
yyxrx
r
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
?
?
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
12
1
?
?
??
??
?
?
? ? ? ??
??
??
? dyyxfxf X,
? ?
? ? ? ?? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ??????
?
? 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
12
1
?
?
??
??
?
? yyxrx
r
? ?
? ?
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2 212
1
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ???
?
?? xxry
r
§ 2 边缘分布
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例 6（续）
所以，
? ?
? ?
? ?
dy
x
r
y
r
e
r
xf
x
X
?
??
??
?
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??
?
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?
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??
?
?
2
1
1
2
2
2
2
2
21
12
1
ex p
12
1 2
1
2
1
?
?
?
?
???
?
?
???
?
???
? ???
?
?
1
1
2
2
21
1
?
?
?
? xry
r
u作变换，令：
2
2 1 r
dydu
?
?
?
则，
§ 2 边缘分布
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例 6（续）
? ?
? ?
dueexf
ux
X ?
??
??
?
?
?
? 22
1
2
2
1
2
1
2
1 ?
?
??
? ?
?
??
?
?
2
2
1 2
1
2
1
2
1
??
?? x
e
? ?
2
1
2
1
2
12
1 ?
?
??
?
?
?
x
e
? ?
? ?
? ????????
?
?
xexf
x
X
2
1
2
1
2
12
1 ?
?
??
? ?211~ ??,这表明,NX
§ 2 边缘分布
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例 6（续）
? ?
因此有
的地位是对称的，与的密度函数可知，，由 YXYX
? ?
? ?
? ????????
?
?
yeyf
y
Y
2
2
2
2
2
22
1 ?
?
??
? ?222~ ??,这表明,NY
几条结论：通过本题，我们有以下
§ 2 边缘分布
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结 论 （一）
布是一元正态分布．二元正态分布的边缘分
§ 2 边缘分布
? ? ? ?rNYX,，，，，即若 222121~ ????
? ?222~ ??,NY? ?211~ ??,NX
则有，
结 论 （二）
无关．布中的常数
的参数与二元正态分上述的两个边缘分布中
r
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§ 2 边缘分布
结 论 （三）
结论（二）表明：如果 ? ? ? ?122212111 ~ rNYX,，，，,????
? ? ? ?222212122 ~ rNYX,，，，,????
），（其中 21 rr ?
的分布相同，与但是 21 XX 的分布相同．与 21 YY
? ? ? ?的分布不相同，，与，则,2211 YXYX
联合分布．们不能由边缘分布求出这表明，一般来讲，我
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