? 离散型随机变量的概率分布
? 随机变量的分布函数
? 连续型随机变量的概率密度
? 随机变量的函数的分布
第二章 随机变量及其分布
? 随机变量
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§ 1 随机变量
第二章 随机变量及其分布
一．随机变量的概念
例 1
袋中有 3只黑球,2只白球，从中任意取出 3只球，
观察取出的 3只球中的黑球的个数．
我们将 3只黑球分别记作 1,2,3号,2只白球分别
记作 4,5号，则该试验的样本空间为
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
543
542532432
541531431
521421321
，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
S
§ 1 随机变量
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例 1（续）
我们记取出的黑球数为 X，则 X 的可能取值为 1，
2,3．
因此,X 是一个变量．
但是,X 取什么值依赖于试验结果，即 X的取值
带有随机性，
所以，我们称 X 为随机变量．
X 的取值情况可由下表给出：
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
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例 1（续）
样本点 黑球数 X 样本点 黑球数 X
? ?321,,3 ? ?541,,1
? ?421,,2 ? ?432,,2
? ?521,,2 ? ?532,,2
? ?431,,2 ? ?542,,1
? ?531,,2 ? ?543,,1
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
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由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应
着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空
间 S上的函数：
? ? ? ?SeeXX ??
? 我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取
值情况来刻划随机事件．例如
? ?2?X
表示至少取出 2个黑球这一事件，等等．
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量例 1（续）
? ?? ? ? ?22 ??? XeXe,
表示取出 2个黑球这一事件；
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随机变量的定义
设 E是一个随机试验,S是其样本空间．我们称样本
空间上的函数
? ? ? ?SeeXX ??
为一个随机变量，如果对于任意的实数 x,集合
? ?? ? ? ?xXxeXe ???：
都是 随机事件,
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
R
? ?eX
e
S
说 明
?、、、
文字母随机变量常用大写的英⑴
ZYX
等来表示．
、、、
或希腊字母
????
值．
常关心的是它的取对于随机变量，我们常⑵
值来描述随机事件．
要用随机变量的取我们设立随机变量，是⑶
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
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例 2
掷一颗骰子，令：
X,出现的点数．
则 X 就是一个随机变量．它的取值为 1,2,3,4，
5,6．
? ?4?X
表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；
? ?取偶数X
表示掷出的点数为偶数这一随机事件．
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
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例 3
一批产品有 50 件，其中有 8 件次品,42 件正
品．现从中取出 6 件，令：
X,取出 6 件产品中的次品数．
则 X 就是一个随机变量．它的取值为 0,1,2,…,
6．
? ?0?X
表示取出的产品全是正品这一随机事件；
? ?1?X
表示取出的产品至少有一件这一随机事件．
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
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例 4
上午 8:00～ 9:00 在某路口观察，令：
Y,该时间间隔内通过的汽车数．
则 Y 就是一个随机变量．它的取值为 0,1,…,
? ?100?Y
表示通过的汽车数小于 100辆这一随机事件；
? ?1 0 050 ?? Y表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一
随机事件．
注意 Y 的取值是 可列无穷 个 ！
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
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例 5
观察某生物的寿命（单位：小时），令：
Z,该生物的寿命．
则 Y 就是一个随机变量．它的取值为所有非负实
数,? ?
1 5 0 0?Z
? ?3000?Z
表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件．
表示该生物的寿命不超过 1500小时这一随机事
件．
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
注意 Z 的取值是 不可列无穷 个 ！
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例 6
掷一枚硬币，令：
?
?
?
?
掷硬币出现反面
掷硬币出现正面
0
1
X
则 X是一个随机变量．
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
说 明
在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量．
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例 7
掷一枚骰子，在 例 2中，我们定义了随机变量 X表示
出现的点数．我们还可以定义其它的随机变量，例
如我们可以定义：
?
?
??
出现奇数点
出现偶数点
0
1Y
?
?
??
60
61
点数不为
点数为
Z
等等．
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§ 1 随机变量
第二章 随机变量及其分布
一．随机变量的概念
例 1
袋中有 3只黑球,2只白球，从中任意取出 3只球，
观察取出的 3只球中的黑球的个数．
我们将 3只黑球分别记作 1,2,3号,2只白球分别
记作 4,5号，则该试验的样本空间为
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? ? ? ? ? ?
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521421321
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，，，，，，
，，，，，，
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S
§ 1 随机变量
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例 1（续）
我们记取出的黑球数为 X，则 X 的可能取值为 1，
2,3．
因此,X 是一个变量．
但是,X 取什么值依赖于试验结果，即 X的取值
带有随机性，
所以，我们称 X 为随机变量．
X 的取值情况可由下表给出：
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§ 1 随机变量
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例 1（续）
样本点 黑球数 X 样本点 黑球数 X
? ?321,,3 ? ?541,,1
? ?421,,2 ? ?432,,2
? ?521,,2 ? ?532,,2
? ?431,,2 ? ?542,,1
? ?531,,2 ? ?543,,1
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
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由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应
着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空
间 S上的函数：
? ? ? ?SeeXX ??
? 我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取
值情况来刻划随机事件．例如
? ?2?X
表示至少取出 2个黑球这一事件，等等．
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量例 1（续）
? ?? ? ? ?22 ??? XeXe,
表示取出 2个黑球这一事件；
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随机变量的定义
设 E是一个随机试验,S是其样本空间．我们称样本
空间上的函数
? ? ? ?SeeXX ??
为一个随机变量，如果对于任意的实数 x,集合
? ?? ? ? ?xXxeXe ???：
都是 随机事件,
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
R
? ?eX
e
S
说 明
?、、、
文字母随机变量常用大写的英⑴
ZYX
等来表示．
、、、
或希腊字母
????
值．
常关心的是它的取对于随机变量，我们常⑵
值来描述随机事件．
要用随机变量的取我们设立随机变量，是⑶
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
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例 2
掷一颗骰子，令：
X,出现的点数．
则 X 就是一个随机变量．它的取值为 1,2,3,4，
5,6．
? ?4?X
表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；
? ?取偶数X
表示掷出的点数为偶数这一随机事件．
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例 3
一批产品有 50 件，其中有 8 件次品,42 件正
品．现从中取出 6 件，令：
X,取出 6 件产品中的次品数．
则 X 就是一个随机变量．它的取值为 0,1,2,…,
6．
? ?0?X
表示取出的产品全是正品这一随机事件；
? ?1?X
表示取出的产品至少有一件这一随机事件．
第二章 随机变量及其分布
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例 4
上午 8:00～ 9:00 在某路口观察，令：
Y,该时间间隔内通过的汽车数．
则 Y 就是一个随机变量．它的取值为 0,1,…,
? ?100?Y
表示通过的汽车数小于 100辆这一随机事件；
? ?1 0 050 ?? Y表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一
随机事件．
注意 Y 的取值是 可列无穷 个 ！
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例 5
观察某生物的寿命（单位：小时），令：
Z,该生物的寿命．
则 Y 就是一个随机变量．它的取值为所有非负实
数,? ?
1 5 0 0?Z
? ?3000?Z
表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件．
表示该生物的寿命不超过 1500小时这一随机事
件．
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
注意 Z 的取值是 不可列无穷 个 ！
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例 6
掷一枚硬币，令：
?
?
?
?
掷硬币出现反面
掷硬币出现正面
0
1
X
则 X是一个随机变量．
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
说 明
在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量．
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例 7
掷一枚骰子，在 例 2中，我们定义了随机变量 X表示
出现的点数．我们还可以定义其它的随机变量，例
如我们可以定义：
?
?
??
出现奇数点
出现偶数点
0
1Y
?
?
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60
61
点数不为
点数为
Z
等等．
第二章 随机变量及其分布
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