§ 1 随机样本
第六章 样本及抽样分布
§ 1 随机样本
总体,研究对象的某项数量指标的值的全体。
个体,总体中的每个元素为个体。
定义,设 X是具有分布函数 F的随机变量，若
nXX ?,1
是 具有同一分布函数 F的 相互独立 的随机变量，
则称 为从总体 X中得到的容量为 n的简
单 随机样本,简称为样本，其观察值 称
为样本值。
nxx ?,1
nXX ?,1
例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每
一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高
的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。
返回主目录
§ 1 随机样本
第六章 样本及抽样分布
由定义知,若 为 X的一个样本，则
的联合分布函数为,nXX,,1 ? nXX,,1 ?
?
?
?
n
i
in xFxxF
1
1
* )(),,( ?
若设 X的概率密度为 f，则 的联合概
率密度为,nXX,,1 ?
?
?
?
n
i
in xfxxf
1
1
* )(),,( ?
返回主目录
§ ２ 抽样分布
第六章 样本及抽样分布
§ 2 抽样分布
1,定义,设 为来自总体 X的一个样本，
g 是 的函数，若 g是连续函数，且
g中不含任何 未知 参数；
nXX ?,1
nXX ?,1),( 1 nXX ?
是一个统计量。则称 ),1( nXXg ?
的观察值。是则称 ),(),( 11 nn XXgxxg ??
注：统计量是随机变量。
的样本值。是相应于样本 ),( 1 nXX ?nxx ?,1设
返回主目录
§ ２ 抽样分布
第六章 样本及抽样分布
例 1
设 为来自总体 的一个样本，
nXX ?,1 ),(~ 2??NX
已知，未知其中 2,??
问下列随机变量中那些是统计量
.
.)(;
)(;;
2
);,,,m i n (
1
2
2
1
11
21
?
?
?
?
n
nXXXX
n
XXXX
XXX
nn
nn
n
????
?
???
?
?
?
2,常用的统计量
?
?
?
n
i
iXnX
1
1样本均值：
??
??
??????
n
i
i
n
i
i XnXnXXnS
1
22
1
22 ][
1
1)(
1
1样本方差：
返回主目录
§ ２ 抽样分布
第六章 样本及抽样分布
?
?
?
?
??
n
i
i XXnSS
1
22 )(
1
1样本标准差：
?,2,11)(
1
?? ?
?
kX
n
Ak
n
i
k
ik矩：原点阶样本
?,2,1)(1
1
??? ?
?
kXX
n
Bk
n
i
k
ik阶中心矩：样本
它们的观察值分别为：
?
?
?
n
i
ixnx
1
1
][
1
1)(
1
1
1
22
1
22 ??
??
?
?
??
?
?
n
i
i
n
i
i xnxnxxns 返回主目录
第六章 样本及抽样分布
§ ２ 抽样分布
?
?
?
?
?
n
i
i xxns
1
2)(
1
1
?2,1,1
1
?? ?
?
kx
n
a
n
i
k
ik
?2,1,)(1
1
??? ?
?
kxx
n
b
n
i
k
ik
分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样
本 k阶矩、样本 k阶中心矩。
统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计
量的分布称为 抽样分布 。
返回主目录
第六章 样本及抽样分布
§ ２ 抽样分布
结论,设 为来自总体 的一个样本，
nXX ?,1
,,2?? ?? DXEX
则
.)21.,,12 922
2
习题（参看 PESnXDXE ??? ???
X
返回主目录
第六章 样本及抽样分布
3,常用统计量的分布
分布?2)1( ?
的样本，为来自于正态总体设 )1,0(),( 1 NXX n?
§ ２ 抽样分布
22
1
2
nXX ??? ??
则称统计量：
)(~ 22
2
n
n
??
?
记为
分布。的是所服从的分布为自由度
分布的性质：2?
独立，则有，且 2221222212210 ),(~),(~.1 ?????? nn
)(~ 2122221 nn ?? ??? 返回主目录
第六章 样本及抽样分布
nDnE 2,.2 220 ?? ??
§ ２ 抽样分布
)1,0(~,1,0 NXDXEX iii ??证：
niEXEXDX iii ?,2,1,213)( 2242 ??????
.)(
1
2
1
22 nEXXEE
n
i
i
n
i
i ??? ??
??
?所以
.2)(
1
2
1
22 nDXXDD
n
i
i
n
i
i ??? ??
??
?
,12 ?iEX
返回主目录
第六章 样本及抽样分布
§ ２ 抽样分布
???
??
? ??
??
)}({
)10(
22 nP
，称满足条件：对于给定的
。分位点上分布的为的点 ??? ? )()( 22 nn
?
2??
分位点。是标准正态分布的上
充分大时，当
?
?
?
??
z
nznn 22 )12(
2
1
)( ???
返回主目录
第六章 样本及抽样分布
§ ２ 抽样分布
分布?t)2(
).(~
T,),(~),1,0(~ 2
ntTtn
n
Y
X
YXnYNX
分布，记作的是所服从的分布为自由度
称随机变量独立，则
?
??
?
??
? ??
??
)}({
)10(
nttP
，称满足条件：对于给定的
。分位点上分布的为的点 ?? tnt )(
)()(1 ntnt ?? ???：由概率密度的对称性知
.)(45 ?? zntn ?? 时，当
?
)(nt?)(1 nt ??
返回主目录
第六章 样本及抽样分布
).,(~/1),,(~ F 1221 nnFFnnF 则若
),(/1),( 12211 nnFnnF ?? ??结论：
?
??
? ??
??
)},({
)10(
21 nnFFP
，称满足条件：对于给定的
。分位点上分布的为的点 ?? FnnF ),( 21
称随机变量则
分布?F)3(
独立，若 YXnYnX,),(~),(~ 2212 ??
).,(~,2121 nnFFFnn 分布，记作的是 ?
2
1
/
/ F
nY
nX? 所服从的分布为自由度
?
),( 21 nnF?
返回主目录
第六章 样本及抽样分布
?
?
??
?
}
),(
11{
211 nnFF
P所以
第六章 样本及抽样分布
§ ２ 抽样分布
),(
1),(),(~/1
211
1212 nnFnnFnnFF
?
?
?
?所以，又因为
),(
1),(
12
211 nnFnnF
?
? ??即
3 5 7.0
80.2
1
)12,9(
1)9,12(
05.0
95.0 ??? FF例：
),(~ 21 nnFF证明：若
}
),(
11{)},({1
211
211 nnFFPnnFFP
?
??
?
? ?????
}
),(
11{1
211 nnFF
P
??
???
返回主目录
第六章 样本及抽样分布第六章 样本及抽样分布
(4) 正态总体的样本均值与样本方差的分布：
).,(~).1(
2
nNX
??
221,),(,,,SXNXX n 的样本，是总体设 ???
)1(~)1().2( 22
2
?? nSn ?
?
独立。与 2).3( SX
)1(~
/
?? nt
nS
X ?
).1(~)1(),1,0(~
/
2
2
2
??? nSnN
n
X ?
??
?证明：
定理 1
方差，则有：分别是样本均值与样本
定理 2.
返回主目录
第六章 样本及抽样分布
§ ２ 抽样分布且它们独立。
则由 t-分布的定义：
)1(~
)1(
)1(
/ 2
2
?
?
??
nt
n
Sn
n
X
??
?
)1(~
/
?? nt
nS
X ?即：
??
??
??
21
1211
1,1 n
j
j
n
i
i YnYXnX设；分别是两个样本的方差?
?
???
2
1
2
2
2
2 )(1
1 n
j
j YYnS
的样本，且它们独立。
体相同方差的两个正态总
分别是具有与设
),(),,(
,,,,,
2
2
2
1
2121 21
???? NN
YYYXXX nn ??
.3定理
。分别是两个样本的均值 ?
?
???
1
1
2
1
2
1 )(1
1 n
i
i XXnS
返回主目录
第六章 样本及抽样分布
§ ２ 抽样分布
)2(~
11
2
)1()1(
)()(
21
2121
2
22
2
11
21 ??
?
??
???
???
nnt
nnnn
SnSn
YX ??
则有：
),(~
2
2
1
2
21 nnNYX
???? ???证：
)1,0(~
/1/1
)()(
21
21 N
nn
YX
?
???
?
??所以
且它们独立。),1(~)1(),1(~)1( 222
2
22
1
2
2
2
11 ???? nSnnSn ?
???
。则 )2(~)1()1( 2122
2
22
2
2
11 ????? nnSnSn ?
??
返回主目录
第六章 样本及抽样分布
§ ２ 抽样分布
)2/(
)1()1(
/1/1
)()(
212
2
22
2
2
11
21
21 ??
?
?
?
?
???
?
nn
SnSn
nn
YX
t
???
??
分布的定义：由
)2(~
11
2
)1()1(
)()(
21
2121
2
22
2
11
21 ??
?
??
???
???
nnt
nnnn
SnSn
YX ??
即：
)2(~ 21 ?? nnt
返回主目录
1 给出了总体、个体、样本和统计量的概念，要
掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质。
2 引进了 分布,t分布,F分布的定义，会查
表计算。
3 掌握正态总体的某些统计量的分布。
作业：
第六章 小 结
返回主目录
2?
.4,3,1156P