§ 4 独 立 性
? 独 立 性
? 习 题 课
目录索引
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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例 1
袋中有 a 只黑球,b 只白球．每次从中取出一球，
取后放回．令：
A={ 第一次取出白球 }，
B={ 第二次取出白球 }，
则
? ?
ba
bAP
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? 22
2
ba
abBAP
ba
bABP
?
?
?
?
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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例 1（续）
所以，由 BAABB ??
? ? ? ? ? ?BAPABPBP ??得：
? ? ? ? ba
b
ba
ab
ba
b
?
?
?
?
?
? 22
2
? ? ? ?? ?AP ABPABP ?而，
? ?
ba
b
ba
b
ba
b
?
?
?
?
?
2
2
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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说 明
由例 1，可知
? ? ? ?ABPBP ?
这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概
率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独
立性．事实上，由于是有放回摸球，因此在第二
次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球
与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球
的概率自然也未改变．
由此，我们引出事件独立性的概念
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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事件独立性的定义
设 A,B 是两个随机事件，如果
? ? ? ? ? ?BPAPABP ?
则称 A 与 B 是相互独立的随机事件．
事件独立性的性质：
1）如果事件 A 与 B 相互独立，而且 ? ?
0?AP
? ? ? ?BPABP ?则
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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证明,由于事件 A 与 B 相互独立，故
? ? ? ? ? ?BPAPABP ?
? ? ? ?? ?AP ABPABP ?因此,? ? ? ?? ? ? ?BPAP BPAP ??
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
2）必然事件 S与任意随机事件 A相互独立；
不可能事件 Φ与任意随机事件 A相互独立．
证明：由
? ? ? ?APSAP ? ? ?AP?? 1 ? ? ? ?APSP?
可知必然事件 S 与任意事件 A 相互独立；
可知不可能事件 Φ与任意随机事件 A相互独立,
由 ? ?AP?? 0 ? ? ? ?APP ??? ? ? ???? PAP
3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则
BABABA 与、与、与
也相互独立,
解：为方便起见，只证
BA 与 相互独立即可．
由于 ? ? ? ?
ABBPBAP ??
，由概率的可减性，得注意到 BAB ?
? ? ? ? ? ?ABPBPBAP ??
? ? ? ? ? ? ? ?的独立性与事件 BABPAPBP ??
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
? ?? ? ? ?BPAP?? 1 ? ? ? ?BPAP?
相互独立．与所以，事件 BA
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注意,在实际应用中，对于事件的独立性，我
们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意
义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立
性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的
公式进行计算。
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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例 2
设事件 A 与 B 满足,? ? ? ?
0?BPAP
若事件 A 与 B 相互独立，则 AB≠Φ；
若 AB =Φ,则 事件 A 与 B 不相互独立．
证明：
相互独立，故与由于事件 BA
? ? ? ? ? ? 0?? BPAPABP
??AB所以，
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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由于 AB =Φ，所以
? ? ? ? 0??? PABP
但是，由题设
? ? ? ? 0?BPAP
? ? ? ? ? ?BPAPABP ?所以，
这表明，事件 A 与 B 不相互独立．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
此例说明：互不相容与相互独立不能同时成立。
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例 3（不独立事件的例子）
袋中有 a 只黑球,b 只白球．每次从中取出一球，
取后不放回．令：
A={ 第一次取出白球 }，
B={ 第二次取出白球 }，
则
? ?
ba
bAP
?
?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?111 ??????? ?? baba abBAPbaba bbABP
所以，
? ? ? ? ? ?BAPABPBP ??得：
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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? ?
? ?? ? ? ?? ?11
1
???
?
???
??
baba
ab
baba
bb
ba
b
?
?
? ? ? ?? ?
AP
ABPABP ?而，
? ?
? ?? ?
ba
b
baba
bb
?
???
?
?
1
1
1
1
??
??
ba
b
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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因此
? ? ? ?BPABP ?
这表明，事件 A 与事件 B 不相互独立．事实上
，由于是不放回摸球，因此在第二次取球时，袋
中球的总数变化了，并且袋中的黑球与白球的比
例也发生变化了，这样，在第二次摸出白球的概
率自然也应发生变化．或者说，第一次的摸球结
果对第二次摸球肯定是有影响的．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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三个事件的独立性
设 A,B,C是三个随机事件，如果
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
CPBPAPABCP
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
则称 A,B,C是相互独立的随机事件．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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注 意
在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不
可的．即：前三个等式的成立不能推出第四个等
式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出
前三个等式的成立．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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例 4
袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有
红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜
色．现从袋中任意取出一球，令：
A={ 取出的球涂有红色 }
B={ 取出的球涂有白色 }
C={ 取出的球涂有黑色 }
则：
? ? ? ? ? ? 21??? CPBPAP
? ? ? ? ? ? 41??? ACPBCPABP
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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? ? 41?A B CP
由此可见
? ? ? ? ? ?BPAPABP ? ? ? ? ? ? ?CPBPBCP ?
? ? ? ? ? ?CPAPACP ?
? ? ? ? ? ? ? ?CPBPAPA B CP ??? 8141但是
这表明,A,B,C这三个事件是两两独立的，但
不是相互独立的．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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n个事件的相互独立性
等式成立：个随机事件，如果下列为，，，设 nAAA n?21? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??????
?????
????
nn
miiiiii
kjikji
jiji
APAPAPAAAP
niiiAPAPAPAAAP
nkjiAPAPAPAAAP
njiAPAPAAP
nm
??
??
???
??
2121
21
1)(
1
1
2121
个随机事件相互独立．这，，，则称 nnAAA ?21
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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说 明
在上面的公式中，
个等式一行共有
，最后个等式，个等式，第二行有第一行有
n
n
nn
C
CC ??32
因此共有
1032 2 nnnnnnn CCCCC ?????? ?
nn ??? 12
个等式
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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个随机事件相互独立．这，，，如果 nnAAA ?21
．个随机事件也相互独立这，，，，，则 nAAAA nmm iiii ?? 11 ?
的一个排列．，，，是，，，其中 niii n ?? 2121
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性独立随机事件的性质
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若 是相互独立的事件，则
nAAA ?,,21
)()()(1
)(1)(
21
2121
n
nn
APAPAP
AAAPAAAP
?
?????
??
??
相互独立事件至少发生其一的概率的计算
特别地，如果
? ? ? ? ? ? pnAPAPAP ???? ?21
则有
? ? np
n
i
iAP ????
?
?
?
?
?
?
?
?
11
1
?
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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,时 当? ? n
注 意
? ? npn
i i
AP ?????
?
?
?
?
?
?
?
11
1
?
1 ?
至少出现一次的概率为
次试验中则前出现次试验中表示第事件
是某一随机次某一试验假设独立重复地做
A
nAiA
AEn
i,,
,
??n p n
ii
A P? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
1 1
1
?
1?
.,小概率事件迟早要发生此结论说明
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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3）
?
?2）
?
?1）
n
例 5 如果构成系统的每个元件的可靠性均为 r，
0<r<1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求
下列系统的可靠性：
第一章 概率论的基本概念
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解,1）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各
元件都正常工作，故可靠性为
2）通路发生故障的概率为,两条通路同时
发生故障的概率为 故系统的可靠性为
即附加通路可使系统可靠性增加。
3）每对并联元件的可靠性为
系统由每对并联的元件串联组成，故可靠性为
由数学归纳法可证明当
nc rR ?
nr?1
.)1( 2nr?
.
2
,1
)2()2()1(1
csc
cc
nnn
s
RRR
RRrrrR
??? ?
???????
)2()1(1 2' rrrR ?????
.''',)2()2()( csncnnns RRrRrrRR ?显然?????
.,2)2(,2 ' ssnn RRrrn ?? 即时 ???
第一章 概率论的基本概念
例 6 设有电路如图，其中 1,2,3,4 为继电器
接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每
一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为
通路的概率。
L R
21
3 4
解, 设事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器
接点闭合”,L 至 R 为通路这一事件可表示为：
A A A A A? 1 2 3 4?,
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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由和事件的概率公式及 A1,A2,A3,A4的相互独
立性，得到
)()()(
)()(
43214321
4321
AAAAPAAPAAP
AAAAPAP
???
? ?
)()()()(
)()()()(
4321
4321
APAPAPAP
APAPAPAP
?
??
? ? ? ? ?p p p p p2 2 4 2 42,
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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例 7 要验收一批 ( 100 件 ) 乐器。验收方案
如下：自该批乐器中随机地抽取 3 件测试 ( 设 3
件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一
件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。
设一件音色不纯的乐器被测试出来的概率为
0.95，而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概
率为 0.01。如果这件乐器中恰有 4 件是音色不
纯的，问这批乐器被接受的概率是多少？
纯、纯、纯
纯、纯,纯
接受
p p p 不纯,纯,纯q
纯,纯,纯
接受
p pH1：
H0：
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
H2：
p =1-0.01=0.99,q =1-0.95=0.05
解,以 Hi ( i=0,1,2,3 )表示事件“随机取出的 3
件乐器中恰有 i 件音色不纯”，以 A 表示事件
“这批乐器被接受”，即 3 件都被测试为音色
纯的乐器。由测试的相互独立性得,
不纯,纯,不纯q
纯,纯,纯
接受
p q
不纯、不纯,不纯q
纯,纯,纯
接受
qq
H3：
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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p=1-0.01=0.99,q=1-0.95=0.05
? ? ? ?P A H P A H( | ),,( | ),,,0 3 1 20 99 0 99 0 05? ? ?
? ? ? ?P A H P A H( | ),,,( | ),,2 2 3 30 09 0 05 0 05? ? ?
纯、纯,纯
纯、纯,纯
接受
不纯、纯,纯
纯、纯,纯
接受
不纯、纯,不纯
纯、纯,纯
接受
都 不 纯
纯、纯,纯
接受
H0 H1 H2 H3
p p p q q q q q qp p p
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
P H C C P H C C C( ) /,( ) /,0 963 1003 1 41 962 1003? ?
P H C C C P H C C( ) /,( ) /,3 42 961 1003 4 43 1003? ?
故 P A P A H P Hi i
i
( ) ( | ) ( ),,? ?
?
? 0 8629
0
3
另外，按照超几何分布的概率计算公式得：
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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例 1
袋中有 a 只黑球,b 只白球．每次从中取出一球，
取后放回．令：
A={ 第一次取出白球 }，
B={ 第二次取出白球 }，
则
? ?
ba
bAP
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? 22
2
ba
abBAP
ba
bABP
?
?
?
?
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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例 1（续）
所以，由 BAABB ??
? ? ? ? ? ?BAPABPBP ??得：
? ? ? ? ba
b
ba
ab
ba
b
?
?
?
?
?
? 22
2
? ? ? ?? ?AP ABPABP ?而，
? ?
ba
b
ba
b
ba
b
?
?
?
?
?
2
2
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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说 明
由例 1，可知
? ? ? ?ABPBP ?
这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概
率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独
立性．事实上，由于是有放回摸球，因此在第二
次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球
与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球
的概率自然也未改变．
由此，我们引出事件独立性的概念
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§ 4 独立性
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事件独立性的定义
设 A,B 是两个随机事件，如果
? ? ? ? ? ?BPAPABP ?
则称 A 与 B 是相互独立的随机事件．
事件独立性的性质：
1）如果事件 A 与 B 相互独立，而且 ? ?
0?AP
? ? ? ?BPABP ?则
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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证明,由于事件 A 与 B 相互独立，故
? ? ? ? ? ?BPAPABP ?
? ? ? ?? ?AP ABPABP ?因此,? ? ? ?? ? ? ?BPAP BPAP ??
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
2）必然事件 S与任意随机事件 A相互独立；
不可能事件 Φ与任意随机事件 A相互独立．
证明：由
? ? ? ?APSAP ? ? ?AP?? 1 ? ? ? ?APSP?
可知必然事件 S 与任意事件 A 相互独立；
可知不可能事件 Φ与任意随机事件 A相互独立,
由 ? ?AP?? 0 ? ? ? ?APP ??? ? ? ???? PAP
3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则
BABABA 与、与、与
也相互独立,
解：为方便起见，只证
BA 与 相互独立即可．
由于 ? ? ? ?
ABBPBAP ??
，由概率的可减性，得注意到 BAB ?
? ? ? ? ? ?ABPBPBAP ??
? ? ? ? ? ? ? ?的独立性与事件 BABPAPBP ??
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
? ?? ? ? ?BPAP?? 1 ? ? ? ?BPAP?
相互独立．与所以，事件 BA
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注意,在实际应用中，对于事件的独立性，我
们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意
义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立
性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的
公式进行计算。
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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例 2
设事件 A 与 B 满足,? ? ? ?
0?BPAP
若事件 A 与 B 相互独立，则 AB≠Φ；
若 AB =Φ,则 事件 A 与 B 不相互独立．
证明：
相互独立，故与由于事件 BA
? ? ? ? ? ? 0?? BPAPABP
??AB所以，
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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由于 AB =Φ，所以
? ? ? ? 0??? PABP
但是，由题设
? ? ? ? 0?BPAP
? ? ? ? ? ?BPAPABP ?所以，
这表明，事件 A 与 B 不相互独立．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
此例说明：互不相容与相互独立不能同时成立。
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例 3（不独立事件的例子）
袋中有 a 只黑球,b 只白球．每次从中取出一球，
取后不放回．令：
A={ 第一次取出白球 }，
B={ 第二次取出白球 }，
则
? ?
ba
bAP
?
?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?111 ??????? ?? baba abBAPbaba bbABP
所以，
? ? ? ? ? ?BAPABPBP ??得：
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? ?
? ?? ? ? ?? ?11
1
???
?
???
??
baba
ab
baba
bb
ba
b
?
?
? ? ? ?? ?
AP
ABPABP ?而，
? ?
? ?? ?
ba
b
baba
bb
?
???
?
?
1
1
1
1
??
??
ba
b
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§ 4 独立性
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因此
? ? ? ?BPABP ?
这表明，事件 A 与事件 B 不相互独立．事实上
，由于是不放回摸球，因此在第二次取球时，袋
中球的总数变化了，并且袋中的黑球与白球的比
例也发生变化了，这样，在第二次摸出白球的概
率自然也应发生变化．或者说，第一次的摸球结
果对第二次摸球肯定是有影响的．
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三个事件的独立性
设 A,B,C是三个随机事件，如果
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
CPBPAPABCP
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
则称 A,B,C是相互独立的随机事件．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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注 意
在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不
可的．即：前三个等式的成立不能推出第四个等
式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出
前三个等式的成立．
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例 4
袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有
红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜
色．现从袋中任意取出一球，令：
A={ 取出的球涂有红色 }
B={ 取出的球涂有白色 }
C={ 取出的球涂有黑色 }
则：
? ? ? ? ? ? 21??? CPBPAP
? ? ? ? ? ? 41??? ACPBCPABP
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? ? 41?A B CP
由此可见
? ? ? ? ? ?BPAPABP ? ? ? ? ? ? ?CPBPBCP ?
? ? ? ? ? ?CPAPACP ?
? ? ? ? ? ? ? ?CPBPAPA B CP ??? 8141但是
这表明,A,B,C这三个事件是两两独立的，但
不是相互独立的．
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n个事件的相互独立性
等式成立：个随机事件，如果下列为，，，设 nAAA n?21? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
?
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??
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nkjiAPAPAPAAAP
njiAPAPAAP
nm
??
??
???
??
2121
21
1)(
1
1
2121
个随机事件相互独立．这，，，则称 nnAAA ?21
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说 明
在上面的公式中，
个等式一行共有
，最后个等式，个等式，第二行有第一行有
n
n
nn
C
CC ??32
因此共有
1032 2 nnnnnnn CCCCC ?????? ?
nn ??? 12
个等式
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个随机事件相互独立．这，，，如果 nnAAA ?21
．个随机事件也相互独立这，，，，，则 nAAAA nmm iiii ?? 11 ?
的一个排列．，，，是，，，其中 niii n ?? 2121
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性独立随机事件的性质
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若 是相互独立的事件，则
nAAA ?,,21
)()()(1
)(1)(
21
2121
n
nn
APAPAP
AAAPAAAP
?
?????
??
??
相互独立事件至少发生其一的概率的计算
特别地，如果
? ? ? ? ? ? pnAPAPAP ???? ?21
则有
? ? np
n
i
iAP ????
?
?
?
?
?
?
?
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11
1
?
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,时 当? ? n
注 意
? ? npn
i i
AP ?????
?
?
?
?
?
?
?
11
1
?
1 ?
至少出现一次的概率为
次试验中则前出现次试验中表示第事件
是某一随机次某一试验假设独立重复地做
A
nAiA
AEn
i,,
,
??n p n
ii
A P? ? ? ? ?
?
?
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?
?
1 1
1
?
1?
.,小概率事件迟早要发生此结论说明
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3）
?
?2）
?
?1）
n
例 5 如果构成系统的每个元件的可靠性均为 r，
0<r<1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求
下列系统的可靠性：
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解,1）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各
元件都正常工作，故可靠性为
2）通路发生故障的概率为,两条通路同时
发生故障的概率为 故系统的可靠性为
即附加通路可使系统可靠性增加。
3）每对并联元件的可靠性为
系统由每对并联的元件串联组成，故可靠性为
由数学归纳法可证明当
nc rR ?
nr?1
.)1( 2nr?
.
2
,1
)2()2()1(1
csc
cc
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RRR
RRrrrR
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)2()1(1 2' rrrR ?????
.''',)2()2()( csncnnns RRrRrrRR ?显然?????
.,2)2(,2 ' ssnn RRrrn ?? 即时 ???
第一章 概率论的基本概念
例 6 设有电路如图，其中 1,2,3,4 为继电器
接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每
一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为
通路的概率。
L R
21
3 4
解, 设事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器
接点闭合”,L 至 R 为通路这一事件可表示为：
A A A A A? 1 2 3 4?,
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由和事件的概率公式及 A1,A2,A3,A4的相互独
立性，得到
)()()(
)()(
43214321
4321
AAAAPAAPAAP
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APAPAPAP
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第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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例 7 要验收一批 ( 100 件 ) 乐器。验收方案
如下：自该批乐器中随机地抽取 3 件测试 ( 设 3
件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一
件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。
设一件音色不纯的乐器被测试出来的概率为
0.95，而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概
率为 0.01。如果这件乐器中恰有 4 件是音色不
纯的，问这批乐器被接受的概率是多少？
纯、纯、纯
纯、纯,纯
接受
p p p 不纯,纯,纯q
纯,纯,纯
接受
p pH1：
H0：
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
H2：
p =1-0.01=0.99,q =1-0.95=0.05
解,以 Hi ( i=0,1,2,3 )表示事件“随机取出的 3
件乐器中恰有 i 件音色不纯”，以 A 表示事件
“这批乐器被接受”，即 3 件都被测试为音色
纯的乐器。由测试的相互独立性得,
不纯,纯,不纯q
纯,纯,纯
接受
p q
不纯、不纯,不纯q
纯,纯,纯
接受
H3：
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
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p=1-0.01=0.99,q=1-0.95=0.05
? ? ? ?P A H P A H( | ),,( | ),,,0 3 1 20 99 0 99 0 05? ? ?
? ? ? ?P A H P A H( | ),,,( | ),,2 2 3 30 09 0 05 0 05? ? ?
纯、纯,纯
纯、纯,纯
接受
不纯、纯,纯
纯、纯,纯
接受
不纯、纯,不纯
纯、纯,纯
接受
都 不 纯
纯、纯,纯
接受
H0 H1 H2 H3
p p p q q q q q qp p p
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
P H C C P H C C C( ) /,( ) /,0 963 1003 1 41 962 1003? ?
P H C C C P H C C( ) /,( ) /,3 42 961 1003 4 43 1003? ?
故 P A P A H P Hi i
i
( ) ( | ) ( ),,? ?
?
? 0 8629
0
3
另外，按照超几何分布的概率计算公式得：
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§ 4 独立性
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