以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过 2005年数学二试题分析、详解和评注 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设，则 =  . 【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导. 【详解】 方法一： =，于是 ， 从而 = 方法二： 两边取对数，，对x求导，得 ， 于是 ，故 = 【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.55【例2.15】 （2） 曲线的斜渐近线方程为. 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a= ， 于是所求斜渐近线方程为 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当时，极限不存在，则应进一步讨论或的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑的情形. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例7.32】 （3）  . 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令，则  = 【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.130【例4.54】 （4） 微分方程满足的解为. 【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式： ， 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 ， 于是通解为  =， 由得C=0，故所求解为 【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为 ，即 ，两边积分得 ， 再代入初始条件即可得所求解为 完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.154 （5）当时，与是等价无穷小，则k=  . 【分析】 题设相当于已知，由此确定k即可. 【详解】 由题设， = =，得 【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.38【例1.62~63】 （6）设均为3维列向量，记矩阵 ，， 如果，那么 2 . 【分析】 将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有  =， 于是有  【评注】 本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若 ， ，  ， 则有  完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.356【例1.5】 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数，则f(x)在内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当时，； 当时，； 当时， 即 可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C). 【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.56【例2.20】 （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有 F(x)是偶函数f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为，且 当F(x)为偶函数时，有，于是，即 ，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=, 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系？ 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.10【例1.5~1.7】 （9）设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ A ] 【分析】 先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标. 【详解】 当x=3时，有，得（舍去，此时y无意义），于是 ，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为： ， 令y=0, 得其与x轴交点的横坐标为：, 故应(A). 【评注】注意本题法线的斜率应为-8. 此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意答案就可能出错. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.53【例2.9】 （10）设区域，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则 (A) . (B) . (C) . (D)  . [ D ] 【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性. 【详解】 由轮换对称性，有  = = 应选(D). 【评注】 被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析. 特别，当具有轮换对称性（x,y互换，D保持不变）时，往往用如下方法：  公式见P.285, 完全类似方法见《数学复习指南》（理工类）P.300【例11.26】 （11）设函数, 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 (A) . （B） . (C) . (D) . [ B ] 【分析】 先分别求出、、，再比较答案即可. 【详解】 因为， ， 于是 ， ， ， 可见有，应选(B). 【评注】 本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为做题技巧，也可取，则，容易验算只有成立，同样可找到正确选项(B). 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.267【例10.16】及习题十（第11题） （12）设函数则 x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点. (C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ D ] 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ，所以x=0为第二类间断点； ，，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). 【评注】 应特别注意：， 从而， 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.41【例1.68】 （13）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 ，则 ， . 由于线性无关，于是有  当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B). 方法二： 由于 ， 可见，线性无关的充要条件是故应选(B). 【评注】 本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.407【例3.17】 （14）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得. (C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得. [ C ] 【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可. 【详解】 由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 ，于是 ，即 ,可见应选(C). 【评注】 注意伴随矩阵的运算性质： ，当A可逆时， . 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例2.14，例2.29】 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设函数f(x)连续，且，求极限 【分析】 此类未定式极限，典型方法是用洛必塔法则，但分子分母求导前应先变形. 【详解】 由于,于是  == == 【评注】 本题容易出现的错误是：在利用一次洛必塔法则后，继续用洛必塔法则 = 错误的原因：f(x)未必可导. 完全类似处理方法见《数学复习指南》（理工类）P.5【例10】 （16）（本题满分11分） 如图，和分别是和的图象，过点(0,1)的曲线是一单调增函数的图象. 过上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线和. 记与所围图形的面积为；与所围图形的面积为如果总有，求曲线的方程 【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积，再根据建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系. 【详解】 如图，有 ， ， 由题设，得 ， 而，于是 两边对y求导得 ， 故所求的函数关系为： 【评注】 本题应注意点M(x,y)在曲线上，因此满足. （17）（本题满分11分） 如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值. 【详解】 由题设图形知，f(0)=0, ; f(3)=2,  由分部积分，知  = = 【评注】 本题f(x) 在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出，题型比较新颖，综合考查了导数的几何意义和定积分的计算. 另外，值得注意的是，当被积函数含有抽象函数的导数时，一般优先考虑用分部积分. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.118【例4.36,4.30】 （18）（本题满分12分） 用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解. 【分析】 先将转化为，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可. 【详解】 ， ， 代入原方程，得 . 解此微分方程，得 ， 将初始条件代入，有. 故满足条件的特解为 【评注】 本题的关键是将转化为，而这主要是考查复合函数求一、二阶导数. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.52【例2.8】 （19）（本题满分12分） 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在 使得； （II）存在两个不同的点，使得 【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论. 【详解】 （I） 令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在 使得，即. （II） 在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得， 于是  【评注】 中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.128【例5.4】,P.151【例5.25】 （20）（本题满分10分） 已知函数z=f(x,y) 的全微分，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值. 【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值. .【详解】 由题设，知 ，， 于是 ，且 ，从而 ， 再由f(1,1)=2，得 C=2, 故  令得可能极值点为x=0,y=0. 且 ，，， ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点. 再考虑其在边界曲线上的情形：令拉格朗日函数为 ， 解  得可能极值点；；； 代入f(x,y)得 ，可见z=f(x,y)在区域内的最大值为3，最小值为-2. 【评注】 本题综合考查了多元函数微分学的知识，涉及到多个重要基础概念，特别是通过偏导数反求函数关系，要求考生真正理解并掌握了相关知识. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.279【例10.33】 （21）（本题满分9分） 计算二重积分，其中. 【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可. 【详解】 记， ， 于是 = = =+= 【评注】 形如积分、、、、等的被积函数均应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.295【例11.16】 （22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示. 【分析】向量组可由向量组线性表示，相当与方程组： . 均有解，问题转化为=是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可. 而向量组不能由向量组线性表示，相当于至少有一个向量不能由表示，即至少有一方程组 ，无解. 【详解】 对矩阵作初等行变换，有 =   ， 当a=-2时，, 显然不能由线性表示，因此；当a=4时， ，然均不能由线性表示，因此. 而当且时，秩，此时向量组可由向量组线性表示. 又  ， 由题设向量组不能由向量组线性表示，必有或，即a=1或. 综上所述，满足题设条件的a只能是：a=1. 【评注】 1)向量组不能由向量组线性表示，必有行列式： ，由此也可确定a . 2) 向量组能否线性表示的问题完全转化为线性方程组是否有解的问题. 完全类似处理思路见《数学复习指南》（理工类）P.442【例4.13】 （23）（本题满分9分） 已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解. 【分析】 AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩. 【详解】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且 （1）若k, 则r(B)=2, 于是r(A), 显然r(A), 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：为任意常数. (2) 若k=9，则r(B)=1, 从而 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：为任意常数. 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：,不妨设,则其通解为 为任意常数. 【评注】 AB=O这类已知条件是反复出现的，应该明确其引申含义：1）B 的每一列均为Ax=0的解；2） 本题涉及到对参数k及矩阵A的秩的讨论，这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.438【例4.21】, P.389【例2.36】