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第七章 地图投影与高斯投影
[本章提要 ]
7.1 高斯投影概述
7.2 正形投影的一般条件
7.3 高斯平面直角坐标系与大地坐标系
7.4 椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算
7.5 工程测量投影面与投影带选择
[习题 ]
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本章提要
本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐
标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线
长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重
点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的
换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算。讨论在工程
应用中，工程测量投影面与投影带选择。
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[知识点及学习要求 ]
1．高斯投影的基本概念；
2．正形投影的一般条件；
3．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换 —— 高斯投影的正算与反
算
4．椭球面上观测成果（水平方向、距离）归化到高斯平面上的计算；
5．高斯投影的邻带换算；
6．工程测量投影面与投影带的选择。
[难点 ]在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的
概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算；
高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的
选择。
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7.1 高斯投影概述
1 投影与变形
地图投影,就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一
定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影
学。可用下面两个方程式（坐标投影公式）表示：
??
?
?
?
),(
),(
2
1
BLFy
BLFx
式中 L,B是椭球面上某点的大地坐标，而是 x,y该点投影后的平面直角
坐标。
?等角投影 —— 投影前后的角度相等，但长度和面积有变形；
?等距投影 —— 投影前后的长度相等，但角度和面积有变形 ;
?等积投影 —— 投影前后的面积相等，但角度和长度有变形。
地图投影的方式
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投影变形,椭球面是一个凸起的、不可展平的曲
面。将这个曲面上的元素（距离、角度、图形）
投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形
呈现差异，这一差异称为投影变形。
投影变形的形式：角度变形、
长度变形和面积变形。
1 投影与变形
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2 控制测量对地图投影的要求
?应当采用等角投影（又称为正形投影）
采用正形投影时，在三角测量中大量的角度观测
元素在投影前后保持不变；在测制的地图时，采
用等角投影可以保证在有限的范围内使得地图上
图形同椭球上原形保持相似。
?在采用的正形投影中，要求长度和面积变形不
大，并能够应用简单公式计算由于这些变形而带
来的改正数。
?能按分带投影
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3 高斯投影的基本概念
（ 1）基本概念：
如下图所示，假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一
条子午线（此子午线称为中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中
心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一
定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影
面，此投影为高斯投影。高斯投影是正形投影的一种。
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（ 2）分带投影
高斯投影 带：自 子午线起每隔经差 自西向东分带，依次编号
1,2,3,… 。我国 带中央子午线的经度，由 起每隔 而至,共计
11带（ 13～ 23带），带号用 表示，中央子午线的经度用 表示，它
们的关系是,如下图所示。
高斯投影 带：它的中央子午线一部分同 带中央子午线重合，一部
分同 带的分界子午线重合，如用 表示 带的带号,表示 带中
央子午线经度，它们的关系 下图所示。我国 带共计 22带
（ 24～ 45带）。
?6 ?0 ?6
?6 ?75 ?6 ?135
n 0L
360 ?? nL
?3 ?6
?6 n? ?3
nL ??3 ?3
L ?3
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在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午
线和赤道的交点 作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标
轴，以赤道的投影为横坐标 轴。
O x
y
A
B
B
B
y
x
y A
A
x
x
y
B
y
x
B
B
y
A
x
A
A
x
y
500Km
（ 3）高斯平面直角坐标系
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在我国 坐标都是正的,坐标的最大值（在赤
道上）约为 330km。为了避免出现负的横坐标，
可在横坐标上加上 500 000m。此外还应在坐标前
面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例
如，有一点 =19 123 456.789m，该点位在带内，
其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首先去
掉带号，再减去 500000m,最后得 =-376
543.211m。
x y
Y
y
（ 3）高斯平面直角坐标系
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（ 4）高斯平面投影的特点：
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（ 5） 椭球面三角系化算到高斯投影面
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将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：
?将起始点的大地坐标归算为高斯平面直角坐标；为了检核还
应进行反算，亦即根据反算。
?通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算
边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。
?通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角
形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。
?通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平
面上的直线长度。
?当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换
算。
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7.2 正形投影的一般条件
高斯投影首先必须满足正形投影的一般条件。图 a为椭球面，图 2为它
在平面上的投影。在椭球面上有无限接近的两点和,投影后为
和,其坐标均已注在图上,为大地线的微分弧长，其方位角为 。
在投影面上，建立如图 b所示的坐标系,的投影弧长为 。
1P2p?
2p? dS A
dS ds
图 a 图 b
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椭球面到平面的正形投影一般公式 —— 称柯西 -黎曼条件：
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
q
y
l
x
l
y
q
x
平面正形投影到椭球面上的一般条件：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
y
q
x
l
y
l
x
q
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7.3 高斯平面直角坐标系与大地坐标系
1 高斯投影坐标正算公式
（ 1） 高斯投影正算,已知椭球面上某点的大地坐标,求该点
在高斯投影平面上的直角坐标,即 的坐标变换。
（ 2） 投影变换必须满足的条件：
中央子午线投影后为直线；
中央子午线投影后长度不变；
投影具有正形性质，即正形投影条件。
（ 3） 投影过程
在椭球面上有对称于中央子午线的两点 和,它们的大地坐标
分别为（ ）及（ ），式中 为椭球面上 点的经度与中央子
午线 的经度差：,点在中央子午线之东,为正，在西
则为负，则投影后的平面坐标一定 为 和。
? ?BL,
? ?yx,? ? ),(,yxBL ?
1P 2P
BL,Bl,
l
P
)( 0L 0LLl ??
P
l
),(1 yxP? ),(2 yxP ??
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（ 4）计算公式
?
?
?
??
?
?
????
??
?????
??
???
??
?
????
??
???
??
??
5425
5
322
3
4223
4
2
2
)185(c o s
120
)1(
6
c o s
)95(c o ss i n
2
s i n
2
lttB
N
ltB
N
lB
N
y
ltBB
N
lB
N
Xx
?
?
??
?
??
当要求转换精度精确至 0.00lm时，用下式计算
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
??
?????
??
???
??
?
????
??
??????
??
???
??
??
5222425
5
3223
3
6425
6
44223
4
2
2
)5814185(co s
720
)1(co s
6
co s
)5861(co ss i n
720
)495(co ss i n
24
s i n
2
ltttB
N
ltB
N
lB
N
y
lttBB
N
ltBB
N
lB
N
Xx
??
?
?
??
?
??
??
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（ 1）高斯投影反算,已知某点的高斯投影平面上直角坐标,
求该点在椭球面上的大地坐标,即 的坐标变换。
（ 2）投影变换必须满足的条件
坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；
轴上的长度投影保持不变；
投影具有正形性质，即正形投影条件。
? ?yx,
? ?BL,? ? ),(,BLyx ?
x
x
（ 3）投影过程
根据计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度,接着按 计算
（ ）及经差,最后得到, 。fB fBBB
f ? l )( BBBB ff ??? lLL ?? 0
2 高斯投影坐标反算公式
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（ 4）计算公式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?????
??
???????
522242
5
322
3
642
5
42223
3
2
)8624285(
co s120
1
)21(
co s6
1
co s
1
)459061(
720
)935(
242
yttt
BN
yt
BN
y
BN
l
ytt
NM
t
ytt
NM
t
y
NM
t
BB
fffff
ff
ff
ffff
ff
ff
f
ffff
ff
f
ff
f
f
??
?
??
当要求转换精度至 时，可简化为下式：10.0 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?????
??????
542
5
322
3
42222
3
2
)24285(
co s120
1
)21(
co s6
1
co s
1
)935(
242
ytt
BN
yt
BN
y
BN
l
ytt
NM
t
y
NM
t
BB
ff
ff
ff
ffff
ffff
ff
f
ff
f
f
?
??
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3 高斯投影相邻带的坐标换算
（ 1）产生换带的原因
高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行
分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因
而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，
往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用 带,带
或任意带，而国家控制点通常只有 带坐标，这时就产生了 带同
带（或 带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如下图所示：
?3 ?5.1
?6 ?6 ?3
?5.1
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把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。首先把
某投影带（比如 Ⅰ 带）内有关点的平面坐标,
利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐
标,进而得到 ；然后再由大地坐标
利用投影正算公式换算成相邻带的（第 Ⅱ 带）
的平面坐标 。在这一步计算时，要根据第 Ⅱ
带的中央子午线 来计算经差,亦即此时
I),( yx
),( Bl lLL ?? I0
),( lB
II),( yx
II0L l II0LLl ??
（ 2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算
计算过程：
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计算步骤,
? 根据,利用高斯反算公计算换算,，得到
,。
? 采用已求得的,，并顾及到第 Ⅱ 带的中央子午线,
求得,利用高斯正算公式计算第 Ⅱ 带的直角坐
标,。
? 为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算
1x 1y 1B 1L
4902.4383511 ???? ?B21 3 6.13201 2 61 ???? ?L
1B 1L ?129II0 ?L
486.46752 ????? ?l
IIx IIy
算例
在中央子午线 的 Ⅰ 带中，有某一点的平面直角坐
标,,现要求计算该点在中央子午线
的第 Ⅱ 带的平面直角坐标。
?123I0 ?L
m7 26.5 72 83 741 ?x m193.2 1 01 9 81 ??y
?129II0 ?L
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4 子午线收敛角公式
（ 1）子午线收敛角的概念
如右图所示,,及 分别
为椭球面 点、过 点的子午线
及平行圈 在高斯平面上的描写。
由图可知，所谓点 子午线收敛角
就是 在 上的切线 与 坐标
北之间的夹角，用 表示。
在椭球面上，因为子午线同平行圈
正交，又由于投影具有正形性质，因
此它们的描写线 及 也必正交，
由图可见，平面子午线收敛角也就是
等于 在 点上的切线 同平面
坐标系横轴 的倾角。
p? Np ?? Qp ??
p p pN
pQ
p?
Np ?? p? np??tp??
?
Np ?? Qp ??
Qp ?? p? qp??
y
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（ 2）由大地坐标 计算平面子午线收敛角 公式),( BL ?
??????????? )2(c o ss i n15 1)231(c o ss i n31s i n 2544232 tlBBlBBlB ???
（ 3）由平面坐标 计算平面子午线收敛角 的公式),( yx ?
???
?
???
? ?????? )1(
31t a n
22
3
2
ff
f
f
f
tNyByN ???
上式计算精度可达 1"。如果要达到 0.001"计算精度，可用下式计算：
)352(15)1(3 425
5
22
3
2
fff
f
fff
f
f
f
tttNyttN yytN ??????????????? ?????
（ 4）实用公式
已知大地坐标 计算子午线收敛角),( BL ?
?? ??????? BlBllBB s i n}c o s])0 0 6 7.0c o s2.0()c o s0 0 6 7 4.03 3 3 3 3.0[(1{ 22222
已知平面坐标 已知平面坐标计算子午线收敛角),( yx
?? ??????? fff BZZZBB s i n}])c o s067.02.0()c o s00225.033333.0[(1{ 2224
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7.4 椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算
1 概述
由于高斯投影是正形投影，椭球面上大地线间的夹角与它们在高斯
平面上的投影曲线之间的夹角相等。为了在平面上利用平面三角学
公式进行计算，须把大地线的投影曲线用其弦线来代替。控制网归
算到高斯平面上的内容有：
?起算点大地坐标的归算 —— 将起算点大地坐标 归算为高斯
平面直角坐标 。
?起算方向角的归算。
?距离改化计算 —— 椭球面上已知的大地线边长（或观测的大地
线边长）归算至平面上相应的弦线长度。
?方向改计算 —— 椭球面上各大地线的方向值归算为平面上相应
的弦线方向值。
),( BL
),( yx
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2 方向改化
（ 1）概念
如图所示，若将椭球面上的大地线 方向改化为平面上的弦线 ab方向，
其相差一个角值,即称为方向改化值。
AB
ab?
（ 2）方向改化的过程
如图所示，若将大地线 方向
改化为弦线 ab方向。过 A,B点，在
球面上各作一大圆弧与轴子午线
正交，其交点分别为 D,E，它们在
投影面上的投影分别为 ad和 be。
由于是把地球近似看成球，故和
都是垂直于 x轴的直线。在 a,b点上
的方向改化分别为 和 。当
大地线长度不大于 10km,y坐标不
大于 l00km时，二者之差不大于
0.05″,因而可近似认为 =
AB
ab? ba?
ab? ba?
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（ 3）计算公式
球面角超公式为：
2
)()(
2
ba
ba
yyyx
R
??????? ??
适用于三、四等三角测量的方向改正的计算公式：
?
?
?
??
?
?
?
??
??
?
??
?
)(
2
)(
2
2
2
bamba
bamab
xxy
R
xxy
R
?
?
?
?
式中,为 a,b两点的 y坐标的自然的平
均值。 )(2
1
bam yyy ??
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（ 1）概念
如右图所示，设椭球体上有两点
及其大地线,在高斯投影面
上的投影为 及 。是一条曲
线，而连接 两点的直线为 D
如前所述由 S化至 D所加的改正，
即为距离改正 。
21,PP
S
21,PP ?? s
21PP??
S?
3 距离改化
（ 2）长度比和长度变形
?长度比,指椭球面上某点的一微分元素,其投影面上的相应微
分元素,则 称为该点的长度比。
?长度变形,由于长度比恒大于 1，故称为长度变形。
m dS
ds dSdsm?
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式中,表示按大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球的平均
曲率半径。 为投影线两端点的平均横坐标值。
mR
)(21 bam yyy ??
（ 4）长度比和长度变形的特点
?当 y=0(或 l=0)时,m=1，即中央子午线投影后长度不变；
?当 y≠0(或 l≠0)时，即离开中央子午线时，长度设形（ m-1）
恒为正，离开中央子午线的边长经投影后变长。
?长度变形（ ）与 （或 ）成比例地增大，对于在
椭球面上等长的子午线来说，离开中央子午线愈远的那条，
其长度变形愈大。
1?m 2y 2l
（ 5）距离改化计算公式,
???
?
???
? ??
2
2
21 m
m
R
ySD
???
?
???
? ????
2
2
2
2
2421 mm
m
R
y
R
ySD
或
（ 3）长度比 m的计算公式,
2
2
21 mR
ym ??
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7.5 工程测量投影面与投影带选择
对于工程测量，其中包括城市测量，既有测绘
大比例尺图的任务，又有满足各种工程建设和市政
建设施工放样工作的要求。如何根据这些目的和要
求合适地选择投影面和投影带，经济合理地确立工
程平面控制网的坐标系，在工程测量是一个重要的
课题。
1 概述
地图投影与高斯投影
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2 工程测量中选择投影面和投影带的原因
（ 1）有关投影变形的基本概念
平面控制测量投影面和投影带的选择，主要是解决长度变形问题。
这种投影变形主要是由于以下两种因素引起的：
① 实测边长归算到参考椭球面上的变形影响，其值为,
1s?
R
sHs m???
1
式中,为归算边高出参考椭球面的平均高程，为归算边的长度，为
归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径。归算边长的相对变形,mH s
R
R
H
s
s m??? 1
值是负值，表明将地面实量长度归算到参考椭球面上，总是
缩短的 ；值与,成正比，随 增大而增大。1s? 1s? mH mH
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② 将参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形影响，
其值为,
0
2
2 2
1 s
R
ys
m
m ??
?
?
???
???
2s?
式中：, 即 为投影归算边长,为归算边两端
点横坐标平均值,为参考椭球面平均曲率半径。投影边长
的相对投影变形为
10 sss ??? 0s my
mR
2
0
2
2
1
???
?
???
???
m
m
R
y
s
s
值总是正值，表明将椭球面上长度投影到高斯面上，
总是增大的； 值随着 平方成正比而增大，离中央子午
线愈远，其变形愈大。
2s?
2s? m
y
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（ 2）工程测量平面控制网的精度要求
工程测量控制网不但应作为测绘大比例尺图的控
制基础，还应作为城市建设和各种工程建设施工放样
测设数据的依据。为了便于施工放样工作的顺利进行，
要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长，
在长度上应该相等，这就是说由上述两项归算投影改
正而带来的长度变形或者改正数，不得大于施工放样
的精度要求。一般来说，施工放样的方格网和建筑轴
线的测量精度为 1/5 000～ 1/20 000。因此，由投影归
算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的
1/2，即相对误差为 1/10 000～ 1/40 000，也就是说，
每公里的长度改正数不应该大于 10～ 2.5cm。
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?通过改变 从而选择合适的高程参考面，将抵偿分
带投影变形，这种方法通常称为抵偿投影面的高斯正
形投影；
?通过改变,从而对中央子午线作适当移动，来抵
偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形，
这就是通常所说的任意带高斯正形投影；
?通过既改变 （选择高程参考面），又改变 （移
动中央子午线），来共同抵偿两项归算改正变形，这
就是所谓的具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影。
mH
my
mH my
3 投影变形的处理方法
地图投影与高斯投影
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4 工程测量中几种可能采用的直角坐标系
（ 1）国家 30带高斯正形投影平面直角坐标系
当测区平均高程在 l00m以下，且 值不大于
40km时，其投影变形值 及 均小于 2.5cm，可
以满足大比例尺测图和工程放样的精度要求。，
在偏离中央子午线不远和地面平均高程不大的地
区，不需考虑投影变形问题，直接采用国家统一
的带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量
的坐标系。
my
1s? 2s?
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（ 2）抵偿投影面的 30带高斯正形投影平面直角坐标系
在这种坐标系中，依然采用国家 30带高斯投影，但投影的高程
面不是参考椭球面而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参
考面。在这个高程参考面上，长度变形为零。
02 122
2
?????????
?
?
???
? ? sss
R
H
R
ys m
m
m令
当 一定时，可求得：my
R
yH m
2
2
??
则投影面高为,HHH
m ???投
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某测区海拔 =2 000（ m），最边缘中央子午线 100（ km），当
=1000（ m）时，则有
mH
s
)m(3 1 3.01 ?????? sRHs
m
m )m(123.0
22
1
2
2
2 ????
?
???
??? s
R
ys
m
m
而 超过允许值（ 10～ 2.5cm）。这时为不改
变中央子午线位置，而选择一个合适的高程参考面，
经计算得高差：
将地面实测距离归算到：
)m(19.021 ????? ss
)m(780?? H
)m(12207802000 ??
算例：
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在这种坐标系中，仍把地面观测结果归算到参考
椭球面上，但投影带的中央子午线不按国家 30带
的划分方法，而是依据补偿高程面归算长度变形
而选择的某一条子午线作为中央子午线。保持
不变，于是求得 mH
mm HRy 2?
（ 3）任意带高斯正形投影平面直角坐标系
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某测区相对参考椭球面的高程 =500m，为
抵偿地面观测值向参考椭球面上归算的改正值，依
上式算得
mH
)km(805.06 3 7 02 ????y
即选择与该测区相距 80km处的子午线。此时在
=80km处，两项改正项得到完全补偿。
算例：
但在实际应用这种坐标系时，往往是选取过测区
边缘，或测区中央，或测区内某一点的子午线作
为中央子午线，而不经过上述的计算。
my
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（ 4）具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影平面直角坐标系
在这种坐标系中，往往是指投影的中央子午线选在测区的中央，
地面观测值归算到测区平均高程面上，按高斯正形投影计算平面直
角坐标。由此可见，这是综合第二、三两种坐标系长处的一种任意
高斯直角坐标系。显然，这种坐标系更能有效地实现两种长度变形
改正的补偿。
（ 5）假定平面直角坐标系
当测区控制面积小于 100km2时，可不进行方向和距离改正，直接
把局部地球表面作为平面建立独立的平面直角坐标系。这时，起算
点坐标及起算方位角，最好能与国家网联系，如果联系有困难，可
自行测定边长和方位，而起始点坐标可假定。这种假定平面直角坐
标系只限于某种工程建筑施工之用。
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1．为什么要研究投影？我国目前采用的是何种投影？
2．控制测量对投影提出什么样的基本要求？为什么要提出这种
要 求？
3．椭球是一个不可展曲面，将此曲面上的测量要素转换到平面
上 去，必然会产生变形，此种变形一般可分为哪几类？我们
可采取什么原则对变形加以控制和运用?
4．高斯投影应满足哪些条件？ 6° 带和 3° 带的分带方法是什
么？如何计算中央子午线的经度？
习 题
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5．为什么在高斯投影带上，某点的 y坐标值有规定值与自然
值之分，而 x坐标值却没有这种区分?在哪些情况下应采用
规定值？在哪些情况下应采用自然值？
6．正形投影有哪些特征？何谓长度比？
7．投影长度比公式的导出有何意义？导出该公式的基本思
路是什么
8．写出正形投影的一般公式，为什么说凡是满足此式的函
数，皆能满足正形投影的条件？
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9．学习了正形投影的充要条件和一般公式之后，你对高斯投影的
实质是怎样理解的？
10．设 ABC为椭球面上三等三角网的一个三角形，试问：
(1)依正形投影 A,B,C三点处投影至平面后的长度比是否相
等?
(2)如若不等，还能保持投影的等角性质和图形相似吗？如若
相等，岂不是长度比和点的位置无关吗?
11．写出按高斯平面坐标计算长度比 的公式，并依公式阐述高
斯投影的特点和规律。
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13．在讨论高斯投影时提出了正形投影的充要条件 (又称柯西 — 黎
曼条件 )，它对问题的研究有什么作用？这个条件是如何导出
的？
14．高斯投影坐标计算公式包括正算公式和反算公式两部分，各解
决什么问题？
15．试述建立高斯投影坐标正算公式的基本思路及主要过程。
1fx ? 2fy ?
12．已知投影公式 （ B,L）,（ B,L），求一点附近
任意方向上长度比的计算公式，并写出主方向的长度比 (提
示, )。
dB
dl
M
rtg ???
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16．高斯投影正算是已知 求,由于 值不
大，故此公式可以认为是在 点上展开 的幂级
数；反算公式中底点纬度 Bf 是指,由于 值
不大，故此公式可认为是在 点上展开 的
幂级数。
17．试证明高斯投影所求得的经线投影影像向中央子午线弯曲
（凹向中央于午线），平行圈投影像向两极弯曲（凸向赤
道）。
18．某点的平面直角坐标 x,y是否等于椭球面上该点至赤道
和中央子午线的距离?为什么?
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19．什么是平面子午线收敛角？试用图表示平面子午线收
敛角 γ之下列特性：
(1)点在中央子午线以东时,γ为正，反之为负；
(2)点与中央子午线的经差愈大,γ值愈大；
(3)点所处的纬度愈高,γ值愈大。
20．高斯投影既然是正形投影，为什么还要引进方向改正？
21．高斯投影既然是一种等角投影，而引入方向改正
后，岂不破坏了投影的等角性质吗？
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22．试推导方向改正计算公式并论证不同等级的三角网
应使用不同的方向改正计算公式。
23．怎样检验方向改正数计算的正确性？其实质是什
么？
24．椭球面上的三角网投影至高斯平面，应进行哪几项
计算？并图示说明为什么？
25．试推导城市三、四等三角网计算方向改正值 的计
算公 式，并分析所用概略坐标的精度。
?
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26．已知距离改化计算公式为：
若要求改正数的精度为，问坐标的精度为多少（已
知 R=6370km,300km）？
27．回答下列问题：
(1)试述高斯正形投影的定义；
(2)绘图说明平面子午线收敛角，方向改化和距离改化的几
何意义；
(3)写出大地方位角和坐标方位角的关系式；
(4)估算（用最简公式和两位有效数字）高斯投影六度带边
缘一条边长 50KM的最大长度变形，己知
sRysD m 2
2
2??
Km330?my
?my
。
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28．在高斯投影中，为什么要分带？我国规定小于一万分之一
的测图采用 6° 投影带，一万分之一或大于一万分之一的
测图采用 3° 投影带，其根据何在？
29．如果不论测区的具体位置如何，仅为了限制投影变形，统
称采用 3° 带投影优于 6° 带投影，你认为这个结论正确
吗？为什么？
30．高斯投影的分带会带来什么问题？
31．高斯投影的换带计算共有几种方法？各有什么特点？
32．利用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算的实质
是什么？已知某点在 6° 带内的坐标为
、,求该点
在 3° 带内第 40带的坐标。
mx 608.1 9 4 4 3 5 91 ? my 4 5 6.2 0 7 4 0 4 5 51 ?
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33．在推导坐标换带表的换带公式中，对于对称点的选择有什
么要求？对辅助点的选择又有什么要求？各起什 么作用？
34．若已知高斯投影第 13带的平面坐标，试述利用高斯投影公
式求第 14带平面坐标的方法（可采用假设的符号 说明）？
35．已知某点的大地坐标为 B=32° 23′46.6531″，
L=112° 44′12.2122″，求其在六度带内的高斯平面直角
坐标以及该点的子午线收敛角 (要求反算检核 )。
36,已知 A点纬度 B=30° 10′39.2439″，经度
L=115° 00′15.5147″，试用计算机编程计算该点的 x,y,r，
并用反算检核。
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37．下图是一待平差大地网。已知点 A,B,C,D属于 1954年北京坐标系，
其中 A,B两点是六度带坐标,C,D两点是三度带坐标。已知点 E,F属于
1980年坐标系的六度带坐标。边 PQ测有基线和拉普拉斯方位角 (未加平差
改正 )。现要求在 1980年坐标系六度带中作间接观测平差，试回答：
(1)应在第几带进行平差计算 (带号的计算方法与 1954年北京坐标系相同 )？
(2)平差前进行概略计算的主要步骤是什么 (不必列出计算公式 )?
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38．何为 UTM投影？与高斯投影的区别是什么？应满足什么
投影条件？
39．试分析高斯投影簇中几种主要投影的长度变形情况，它们
各应用于什么情况？高斯投影簇应满足的投影条件是什么？
40．试述当新旧坐标系具有两个重合点时，如何进行坐标换算？
导出换算公式的主要思路是什么？当新旧坐标系统的旋转角较
大时，为什么通常不采用对旧坐标系加入改正数的方法？
41．试述用正形变换近似方法进行坐标换算的主要思路。在第
一次坐标变换后把不同坐标值之间的差异分解为系统误差和偶
然误差两部分有什么作用？
42．当国家统一坐标系统不适合某城市时，选择局部坐标系统
通常有哪些方法？各适合何种地理情况？
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43．设测区呈东西宽约 8km、南北长约 14km的长方形，测区内有符
合现行规 范并经过平差的国家大地点，其中二等点 A位于测区中部。
假定有下列下列情况，试论证如何选择坐标系统：
(1)A点坐标为 3788246.173m,19318082.656m，测区平均高程为 500m，
概略纬度为 340；
(2)A点坐标为 3787552.086m,36499742.540m，测区平均高程为
1000m；
(3)且点坐标为 3789155.630m,36522488.497m，测区平均高程为
110m。
44．简述城市和工程测量中几种可能采用的直角坐标系。各有何特
点？
45．城市或工程建设在什么情况下需采用独立坐标系统？建立独立
坐标系统有哪几种方法？它们的投影带和投影面与国家统一坐标系
统有哪些区别？
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第七章 地图投影与高斯投影
[本章提要 ]
7.1 高斯投影概述
7.2 正形投影的一般条件
7.3 高斯平面直角坐标系与大地坐标系
7.4 椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算
7.5 工程测量投影面与投影带选择
[习题 ]
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本章提要
本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐
标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线
长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重
点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的
换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算。讨论在工程
应用中，工程测量投影面与投影带选择。
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[知识点及学习要求 ]
1．高斯投影的基本概念；
2．正形投影的一般条件；
3．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换 —— 高斯投影的正算与反
算
4．椭球面上观测成果（水平方向、距离）归化到高斯平面上的计算；
5．高斯投影的邻带换算；
6．工程测量投影面与投影带的选择。
[难点 ]在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的
概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算；
高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的
选择。
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7.1 高斯投影概述
1 投影与变形
地图投影,就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一
定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影
学。可用下面两个方程式（坐标投影公式）表示：
??
?
?
?
),(
),(
2
1
BLFy
BLFx
式中 L,B是椭球面上某点的大地坐标，而是 x,y该点投影后的平面直角
坐标。
?等角投影 —— 投影前后的角度相等，但长度和面积有变形；
?等距投影 —— 投影前后的长度相等，但角度和面积有变形 ;
?等积投影 —— 投影前后的面积相等，但角度和长度有变形。
地图投影的方式
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投影变形,椭球面是一个凸起的、不可展平的曲
面。将这个曲面上的元素（距离、角度、图形）
投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形
呈现差异，这一差异称为投影变形。
投影变形的形式：角度变形、
长度变形和面积变形。
1 投影与变形
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2 控制测量对地图投影的要求
?应当采用等角投影（又称为正形投影）
采用正形投影时，在三角测量中大量的角度观测
元素在投影前后保持不变；在测制的地图时，采
用等角投影可以保证在有限的范围内使得地图上
图形同椭球上原形保持相似。
?在采用的正形投影中，要求长度和面积变形不
大，并能够应用简单公式计算由于这些变形而带
来的改正数。
?能按分带投影
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3 高斯投影的基本概念
（ 1）基本概念：
如下图所示，假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一
条子午线（此子午线称为中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中
心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一
定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影
面，此投影为高斯投影。高斯投影是正形投影的一种。
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（ 2）分带投影
高斯投影 带：自 子午线起每隔经差 自西向东分带，依次编号
1,2,3,… 。我国 带中央子午线的经度，由 起每隔 而至,共计
11带（ 13～ 23带），带号用 表示，中央子午线的经度用 表示，它
们的关系是,如下图所示。
高斯投影 带：它的中央子午线一部分同 带中央子午线重合，一部
分同 带的分界子午线重合，如用 表示 带的带号,表示 带中
央子午线经度，它们的关系 下图所示。我国 带共计 22带
（ 24～ 45带）。
?6 ?0 ?6
?6 ?75 ?6 ?135
n 0L
360 ?? nL
?3 ?6
?6 n? ?3
nL ??3 ?3
L ?3
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在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午
线和赤道的交点 作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标
轴，以赤道的投影为横坐标 轴。
O x
y
A
B
B
B
y
x
y A
A
x
x
y
B
y
x
B
B
y
A
x
A
A
x
y
500Km
（ 3）高斯平面直角坐标系
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在我国 坐标都是正的,坐标的最大值（在赤
道上）约为 330km。为了避免出现负的横坐标，
可在横坐标上加上 500 000m。此外还应在坐标前
面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例
如，有一点 =19 123 456.789m，该点位在带内，
其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首先去
掉带号，再减去 500000m,最后得 =-376
543.211m。
x y
Y
y
（ 3）高斯平面直角坐标系
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（ 4）高斯平面投影的特点：
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（ 5） 椭球面三角系化算到高斯投影面
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将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：
?将起始点的大地坐标归算为高斯平面直角坐标；为了检核还
应进行反算，亦即根据反算。
?通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算
边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。
?通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角
形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。
?通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平
面上的直线长度。
?当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换
算。
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7.2 正形投影的一般条件
高斯投影首先必须满足正形投影的一般条件。图 a为椭球面，图 2为它
在平面上的投影。在椭球面上有无限接近的两点和,投影后为
和,其坐标均已注在图上,为大地线的微分弧长，其方位角为 。
在投影面上，建立如图 b所示的坐标系,的投影弧长为 。
1P2p?
2p? dS A
dS ds
图 a 图 b
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椭球面到平面的正形投影一般公式 —— 称柯西 -黎曼条件：
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
q
y
l
x
l
y
q
x
平面正形投影到椭球面上的一般条件：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
y
q
x
l
y
l
x
q
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7.3 高斯平面直角坐标系与大地坐标系
1 高斯投影坐标正算公式
（ 1） 高斯投影正算,已知椭球面上某点的大地坐标,求该点
在高斯投影平面上的直角坐标,即 的坐标变换。
（ 2） 投影变换必须满足的条件：
中央子午线投影后为直线；
中央子午线投影后长度不变；
投影具有正形性质，即正形投影条件。
（ 3） 投影过程
在椭球面上有对称于中央子午线的两点 和,它们的大地坐标
分别为（ ）及（ ），式中 为椭球面上 点的经度与中央子
午线 的经度差：,点在中央子午线之东,为正，在西
则为负，则投影后的平面坐标一定 为 和。
? ?BL,
? ?yx,? ? ),(,yxBL ?
1P 2P
BL,Bl,
l
P
)( 0L 0LLl ??
P
l
),(1 yxP? ),(2 yxP ??
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（ 4）计算公式
?
?
?
??
?
?
????
??
?????
??
???
??
?
????
??
???
??
??
5425
5
322
3
4223
4
2
2
)185(c o s
120
)1(
6
c o s
)95(c o ss i n
2
s i n
2
lttB
N
ltB
N
lB
N
y
ltBB
N
lB
N
Xx
?
?
??
?
??
当要求转换精度精确至 0.00lm时，用下式计算
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
??
?????
??
???
??
?
????
??
??????
??
???
??
??
5222425
5
3223
3
6425
6
44223
4
2
2
)5814185(co s
720
)1(co s
6
co s
)5861(co ss i n
720
)495(co ss i n
24
s i n
2
ltttB
N
ltB
N
lB
N
y
lttBB
N
ltBB
N
lB
N
Xx
??
?
?
??
?
??
??
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（ 1）高斯投影反算,已知某点的高斯投影平面上直角坐标,
求该点在椭球面上的大地坐标,即 的坐标变换。
（ 2）投影变换必须满足的条件
坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；
轴上的长度投影保持不变；
投影具有正形性质，即正形投影条件。
? ?yx,
? ?BL,? ? ),(,BLyx ?
x
x
（ 3）投影过程
根据计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度,接着按 计算
（ ）及经差,最后得到, 。fB fBBB
f ? l )( BBBB ff ??? lLL ?? 0
2 高斯投影坐标反算公式
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（ 4）计算公式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?????
??
???????
522242
5
322
3
642
5
42223
3
2
)8624285(
co s120
1
)21(
co s6
1
co s
1
)459061(
720
)935(
242
yttt
BN
yt
BN
y
BN
l
ytt
NM
t
ytt
NM
t
y
NM
t
BB
fffff
ff
ff
ffff
ff
ff
f
ffff
ff
f
ff
f
f
??
?
??
当要求转换精度至 时，可简化为下式：10.0 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?????
??????
542
5
322
3
42222
3
2
)24285(
co s120
1
)21(
co s6
1
co s
1
)935(
242
ytt
BN
yt
BN
y
BN
l
ytt
NM
t
y
NM
t
BB
ff
ff
ff
ffff
ffff
ff
f
ff
f
f
?
??
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3 高斯投影相邻带的坐标换算
（ 1）产生换带的原因
高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行
分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因
而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，
往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用 带,带
或任意带，而国家控制点通常只有 带坐标，这时就产生了 带同
带（或 带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如下图所示：
?3 ?5.1
?6 ?6 ?3
?5.1
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把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。首先把
某投影带（比如 Ⅰ 带）内有关点的平面坐标,
利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐
标,进而得到 ；然后再由大地坐标
利用投影正算公式换算成相邻带的（第 Ⅱ 带）
的平面坐标 。在这一步计算时，要根据第 Ⅱ
带的中央子午线 来计算经差,亦即此时
I),( yx
),( Bl lLL ?? I0
),( lB
II),( yx
II0L l II0LLl ??
（ 2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算
计算过程：
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计算步骤,
? 根据,利用高斯反算公计算换算,，得到
,。
? 采用已求得的,，并顾及到第 Ⅱ 带的中央子午线,
求得,利用高斯正算公式计算第 Ⅱ 带的直角坐
标,。
? 为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算
1x 1y 1B 1L
4902.4383511 ???? ?B21 3 6.13201 2 61 ???? ?L
1B 1L ?129II0 ?L
486.46752 ????? ?l
IIx IIy
算例
在中央子午线 的 Ⅰ 带中，有某一点的平面直角坐
标,,现要求计算该点在中央子午线
的第 Ⅱ 带的平面直角坐标。
?123I0 ?L
m7 26.5 72 83 741 ?x m193.2 1 01 9 81 ??y
?129II0 ?L
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4 子午线收敛角公式
（ 1）子午线收敛角的概念
如右图所示,,及 分别
为椭球面 点、过 点的子午线
及平行圈 在高斯平面上的描写。
由图可知，所谓点 子午线收敛角
就是 在 上的切线 与 坐标
北之间的夹角，用 表示。
在椭球面上，因为子午线同平行圈
正交，又由于投影具有正形性质，因
此它们的描写线 及 也必正交，
由图可见，平面子午线收敛角也就是
等于 在 点上的切线 同平面
坐标系横轴 的倾角。
p? Np ?? Qp ??
p p pN
pQ
p?
Np ?? p? np??tp??
?
Np ?? Qp ??
Qp ?? p? qp??
y
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（ 2）由大地坐标 计算平面子午线收敛角 公式),( BL ?
??????????? )2(c o ss i n15 1)231(c o ss i n31s i n 2544232 tlBBlBBlB ???
（ 3）由平面坐标 计算平面子午线收敛角 的公式),( yx ?
???
?
???
? ?????? )1(
31t a n
22
3
2
ff
f
f
f
tNyByN ???
上式计算精度可达 1"。如果要达到 0.001"计算精度，可用下式计算：
)352(15)1(3 425
5
22
3
2
fff
f
fff
f
f
f
tttNyttN yytN ??????????????? ?????
（ 4）实用公式
已知大地坐标 计算子午线收敛角),( BL ?
?? ??????? BlBllBB s i n}c o s])0 0 6 7.0c o s2.0()c o s0 0 6 7 4.03 3 3 3 3.0[(1{ 22222
已知平面坐标 已知平面坐标计算子午线收敛角),( yx
?? ??????? fff BZZZBB s i n}])c o s067.02.0()c o s00225.033333.0[(1{ 2224
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7.4 椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算
1 概述
由于高斯投影是正形投影，椭球面上大地线间的夹角与它们在高斯
平面上的投影曲线之间的夹角相等。为了在平面上利用平面三角学
公式进行计算，须把大地线的投影曲线用其弦线来代替。控制网归
算到高斯平面上的内容有：
?起算点大地坐标的归算 —— 将起算点大地坐标 归算为高斯
平面直角坐标 。
?起算方向角的归算。
?距离改化计算 —— 椭球面上已知的大地线边长（或观测的大地
线边长）归算至平面上相应的弦线长度。
?方向改计算 —— 椭球面上各大地线的方向值归算为平面上相应
的弦线方向值。
),( BL
),( yx
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2 方向改化
（ 1）概念
如图所示，若将椭球面上的大地线 方向改化为平面上的弦线 ab方向，
其相差一个角值,即称为方向改化值。
AB
ab?
（ 2）方向改化的过程
如图所示，若将大地线 方向
改化为弦线 ab方向。过 A,B点，在
球面上各作一大圆弧与轴子午线
正交，其交点分别为 D,E，它们在
投影面上的投影分别为 ad和 be。
由于是把地球近似看成球，故和
都是垂直于 x轴的直线。在 a,b点上
的方向改化分别为 和 。当
大地线长度不大于 10km,y坐标不
大于 l00km时，二者之差不大于
0.05″,因而可近似认为 =
AB
ab? ba?
ab? ba?
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（ 3）计算公式
球面角超公式为：
2
)()(
2
ba
ba
yyyx
R
??????? ??
适用于三、四等三角测量的方向改正的计算公式：
?
?
?
??
?
?
?
??
??
?
??
?
)(
2
)(
2
2
2
bamba
bamab
xxy
R
xxy
R
?
?
?
?
式中,为 a,b两点的 y坐标的自然的平
均值。 )(2
1
bam yyy ??
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（ 1）概念
如右图所示，设椭球体上有两点
及其大地线,在高斯投影面
上的投影为 及 。是一条曲
线，而连接 两点的直线为 D
如前所述由 S化至 D所加的改正，
即为距离改正 。
21,PP
S
21,PP ?? s
21PP??
S?
3 距离改化
（ 2）长度比和长度变形
?长度比,指椭球面上某点的一微分元素,其投影面上的相应微
分元素,则 称为该点的长度比。
?长度变形,由于长度比恒大于 1，故称为长度变形。
m dS
ds dSdsm?
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式中,表示按大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球的平均
曲率半径。 为投影线两端点的平均横坐标值。
mR
)(21 bam yyy ??
（ 4）长度比和长度变形的特点
?当 y=0(或 l=0)时,m=1，即中央子午线投影后长度不变；
?当 y≠0(或 l≠0)时，即离开中央子午线时，长度设形（ m-1）
恒为正，离开中央子午线的边长经投影后变长。
?长度变形（ ）与 （或 ）成比例地增大，对于在
椭球面上等长的子午线来说，离开中央子午线愈远的那条，
其长度变形愈大。
1?m 2y 2l
（ 5）距离改化计算公式,
???
?
???
? ??
2
2
21 m
m
R
ySD
???
?
???
? ????
2
2
2
2
2421 mm
m
R
y
R
ySD
或
（ 3）长度比 m的计算公式,
2
2
21 mR
ym ??
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7.5 工程测量投影面与投影带选择
对于工程测量，其中包括城市测量，既有测绘
大比例尺图的任务，又有满足各种工程建设和市政
建设施工放样工作的要求。如何根据这些目的和要
求合适地选择投影面和投影带，经济合理地确立工
程平面控制网的坐标系，在工程测量是一个重要的
课题。
1 概述
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2 工程测量中选择投影面和投影带的原因
（ 1）有关投影变形的基本概念
平面控制测量投影面和投影带的选择，主要是解决长度变形问题。
这种投影变形主要是由于以下两种因素引起的：
① 实测边长归算到参考椭球面上的变形影响，其值为,
1s?
R
sHs m???
1
式中,为归算边高出参考椭球面的平均高程，为归算边的长度，为
归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径。归算边长的相对变形,mH s
R
R
H
s
s m??? 1
值是负值，表明将地面实量长度归算到参考椭球面上，总是
缩短的 ；值与,成正比，随 增大而增大。1s? 1s? mH mH
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② 将参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形影响，
其值为,
0
2
2 2
1 s
R
ys
m
m ??
?
?
???
???
2s?
式中：, 即 为投影归算边长,为归算边两端
点横坐标平均值,为参考椭球面平均曲率半径。投影边长
的相对投影变形为
10 sss ??? 0s my
mR
2
0
2
2
1
???
?
???
???
m
m
R
y
s
s
值总是正值，表明将椭球面上长度投影到高斯面上，
总是增大的； 值随着 平方成正比而增大，离中央子午
线愈远，其变形愈大。
2s?
2s? m
y
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（ 2）工程测量平面控制网的精度要求
工程测量控制网不但应作为测绘大比例尺图的控
制基础，还应作为城市建设和各种工程建设施工放样
测设数据的依据。为了便于施工放样工作的顺利进行，
要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长，
在长度上应该相等，这就是说由上述两项归算投影改
正而带来的长度变形或者改正数，不得大于施工放样
的精度要求。一般来说，施工放样的方格网和建筑轴
线的测量精度为 1/5 000～ 1/20 000。因此，由投影归
算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的
1/2，即相对误差为 1/10 000～ 1/40 000，也就是说，
每公里的长度改正数不应该大于 10～ 2.5cm。
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?通过改变 从而选择合适的高程参考面，将抵偿分
带投影变形，这种方法通常称为抵偿投影面的高斯正
形投影；
?通过改变,从而对中央子午线作适当移动，来抵
偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形，
这就是通常所说的任意带高斯正形投影；
?通过既改变 （选择高程参考面），又改变 （移
动中央子午线），来共同抵偿两项归算改正变形，这
就是所谓的具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影。
mH
my
mH my
3 投影变形的处理方法
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4 工程测量中几种可能采用的直角坐标系
（ 1）国家 30带高斯正形投影平面直角坐标系
当测区平均高程在 l00m以下，且 值不大于
40km时，其投影变形值 及 均小于 2.5cm，可
以满足大比例尺测图和工程放样的精度要求。，
在偏离中央子午线不远和地面平均高程不大的地
区，不需考虑投影变形问题，直接采用国家统一
的带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量
的坐标系。
my
1s? 2s?
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（ 2）抵偿投影面的 30带高斯正形投影平面直角坐标系
在这种坐标系中，依然采用国家 30带高斯投影，但投影的高程
面不是参考椭球面而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参
考面。在这个高程参考面上，长度变形为零。
02 122
2
?????????
?
?
???
? ? sss
R
H
R
ys m
m
m令
当 一定时，可求得：my
R
yH m
2
2
??
则投影面高为,HHH
m ???投
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某测区海拔 =2 000（ m），最边缘中央子午线 100（ km），当
=1000（ m）时，则有
mH
s
)m(3 1 3.01 ?????? sRHs
m
m )m(123.0
22
1
2
2
2 ????
?
???
??? s
R
ys
m
m
而 超过允许值（ 10～ 2.5cm）。这时为不改
变中央子午线位置，而选择一个合适的高程参考面，
经计算得高差：
将地面实测距离归算到：
)m(19.021 ????? ss
)m(780?? H
)m(12207802000 ??
算例：
地图投影与高斯投影
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在这种坐标系中，仍把地面观测结果归算到参考
椭球面上，但投影带的中央子午线不按国家 30带
的划分方法，而是依据补偿高程面归算长度变形
而选择的某一条子午线作为中央子午线。保持
不变，于是求得 mH
mm HRy 2?
（ 3）任意带高斯正形投影平面直角坐标系
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某测区相对参考椭球面的高程 =500m，为
抵偿地面观测值向参考椭球面上归算的改正值，依
上式算得
mH
)km(805.06 3 7 02 ????y
即选择与该测区相距 80km处的子午线。此时在
=80km处，两项改正项得到完全补偿。
算例：
但在实际应用这种坐标系时，往往是选取过测区
边缘，或测区中央，或测区内某一点的子午线作
为中央子午线，而不经过上述的计算。
my
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（ 4）具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影平面直角坐标系
在这种坐标系中，往往是指投影的中央子午线选在测区的中央，
地面观测值归算到测区平均高程面上，按高斯正形投影计算平面直
角坐标。由此可见，这是综合第二、三两种坐标系长处的一种任意
高斯直角坐标系。显然，这种坐标系更能有效地实现两种长度变形
改正的补偿。
（ 5）假定平面直角坐标系
当测区控制面积小于 100km2时，可不进行方向和距离改正，直接
把局部地球表面作为平面建立独立的平面直角坐标系。这时，起算
点坐标及起算方位角，最好能与国家网联系，如果联系有困难，可
自行测定边长和方位，而起始点坐标可假定。这种假定平面直角坐
标系只限于某种工程建筑施工之用。
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地图投影与高斯投影
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1．为什么要研究投影？我国目前采用的是何种投影？
2．控制测量对投影提出什么样的基本要求？为什么要提出这种
要 求？
3．椭球是一个不可展曲面，将此曲面上的测量要素转换到平面
上 去，必然会产生变形，此种变形一般可分为哪几类？我们
可采取什么原则对变形加以控制和运用?
4．高斯投影应满足哪些条件？ 6° 带和 3° 带的分带方法是什
么？如何计算中央子午线的经度？
习 题
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5．为什么在高斯投影带上，某点的 y坐标值有规定值与自然
值之分，而 x坐标值却没有这种区分?在哪些情况下应采用
规定值？在哪些情况下应采用自然值？
6．正形投影有哪些特征？何谓长度比？
7．投影长度比公式的导出有何意义？导出该公式的基本思
路是什么
8．写出正形投影的一般公式，为什么说凡是满足此式的函
数，皆能满足正形投影的条件？
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9．学习了正形投影的充要条件和一般公式之后，你对高斯投影的
实质是怎样理解的？
10．设 ABC为椭球面上三等三角网的一个三角形，试问：
(1)依正形投影 A,B,C三点处投影至平面后的长度比是否相
等?
(2)如若不等，还能保持投影的等角性质和图形相似吗？如若
相等，岂不是长度比和点的位置无关吗?
11．写出按高斯平面坐标计算长度比 的公式，并依公式阐述高
斯投影的特点和规律。
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13．在讨论高斯投影时提出了正形投影的充要条件 (又称柯西 — 黎
曼条件 )，它对问题的研究有什么作用？这个条件是如何导出
的？
14．高斯投影坐标计算公式包括正算公式和反算公式两部分，各解
决什么问题？
15．试述建立高斯投影坐标正算公式的基本思路及主要过程。
1fx ? 2fy ?
12．已知投影公式 （ B,L）,（ B,L），求一点附近
任意方向上长度比的计算公式，并写出主方向的长度比 (提
示, )。
dB
dl
M
rtg ???
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16．高斯投影正算是已知 求,由于 值不
大，故此公式可以认为是在 点上展开 的幂级
数；反算公式中底点纬度 Bf 是指,由于 值
不大，故此公式可认为是在 点上展开 的
幂级数。
17．试证明高斯投影所求得的经线投影影像向中央子午线弯曲
（凹向中央于午线），平行圈投影像向两极弯曲（凸向赤
道）。
18．某点的平面直角坐标 x,y是否等于椭球面上该点至赤道
和中央子午线的距离?为什么?
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19．什么是平面子午线收敛角？试用图表示平面子午线收
敛角 γ之下列特性：
(1)点在中央子午线以东时,γ为正，反之为负；
(2)点与中央子午线的经差愈大,γ值愈大；
(3)点所处的纬度愈高,γ值愈大。
20．高斯投影既然是正形投影，为什么还要引进方向改正？
21．高斯投影既然是一种等角投影，而引入方向改正
后，岂不破坏了投影的等角性质吗？
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22．试推导方向改正计算公式并论证不同等级的三角网
应使用不同的方向改正计算公式。
23．怎样检验方向改正数计算的正确性？其实质是什
么？
24．椭球面上的三角网投影至高斯平面，应进行哪几项
计算？并图示说明为什么？
25．试推导城市三、四等三角网计算方向改正值 的计
算公 式，并分析所用概略坐标的精度。
?
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26．已知距离改化计算公式为：
若要求改正数的精度为，问坐标的精度为多少（已
知 R=6370km,300km）？
27．回答下列问题：
(1)试述高斯正形投影的定义；
(2)绘图说明平面子午线收敛角，方向改化和距离改化的几
何意义；
(3)写出大地方位角和坐标方位角的关系式；
(4)估算（用最简公式和两位有效数字）高斯投影六度带边
缘一条边长 50KM的最大长度变形，己知
sRysD m 2
2
2??
Km330?my
?my
。
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28．在高斯投影中，为什么要分带？我国规定小于一万分之一
的测图采用 6° 投影带，一万分之一或大于一万分之一的
测图采用 3° 投影带，其根据何在？
29．如果不论测区的具体位置如何，仅为了限制投影变形，统
称采用 3° 带投影优于 6° 带投影，你认为这个结论正确
吗？为什么？
30．高斯投影的分带会带来什么问题？
31．高斯投影的换带计算共有几种方法？各有什么特点？
32．利用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算的实质
是什么？已知某点在 6° 带内的坐标为
、,求该点
在 3° 带内第 40带的坐标。
mx 608.1 9 4 4 3 5 91 ? my 4 5 6.2 0 7 4 0 4 5 51 ?
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33．在推导坐标换带表的换带公式中，对于对称点的选择有什
么要求？对辅助点的选择又有什么要求？各起什 么作用？
34．若已知高斯投影第 13带的平面坐标，试述利用高斯投影公
式求第 14带平面坐标的方法（可采用假设的符号 说明）？
35．已知某点的大地坐标为 B=32° 23′46.6531″，
L=112° 44′12.2122″，求其在六度带内的高斯平面直角
坐标以及该点的子午线收敛角 (要求反算检核 )。
36,已知 A点纬度 B=30° 10′39.2439″，经度
L=115° 00′15.5147″，试用计算机编程计算该点的 x,y,r，
并用反算检核。
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37．下图是一待平差大地网。已知点 A,B,C,D属于 1954年北京坐标系，
其中 A,B两点是六度带坐标,C,D两点是三度带坐标。已知点 E,F属于
1980年坐标系的六度带坐标。边 PQ测有基线和拉普拉斯方位角 (未加平差
改正 )。现要求在 1980年坐标系六度带中作间接观测平差，试回答：
(1)应在第几带进行平差计算 (带号的计算方法与 1954年北京坐标系相同 )？
(2)平差前进行概略计算的主要步骤是什么 (不必列出计算公式 )?
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38．何为 UTM投影？与高斯投影的区别是什么？应满足什么
投影条件？
39．试分析高斯投影簇中几种主要投影的长度变形情况，它们
各应用于什么情况？高斯投影簇应满足的投影条件是什么？
40．试述当新旧坐标系具有两个重合点时，如何进行坐标换算？
导出换算公式的主要思路是什么？当新旧坐标系统的旋转角较
大时，为什么通常不采用对旧坐标系加入改正数的方法？
41．试述用正形变换近似方法进行坐标换算的主要思路。在第
一次坐标变换后把不同坐标值之间的差异分解为系统误差和偶
然误差两部分有什么作用？
42．当国家统一坐标系统不适合某城市时，选择局部坐标系统
通常有哪些方法？各适合何种地理情况？
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43．设测区呈东西宽约 8km、南北长约 14km的长方形，测区内有符
合现行规 范并经过平差的国家大地点，其中二等点 A位于测区中部。
假定有下列下列情况，试论证如何选择坐标系统：
(1)A点坐标为 3788246.173m,19318082.656m，测区平均高程为 500m，
概略纬度为 340；
(2)A点坐标为 3787552.086m,36499742.540m，测区平均高程为
1000m；
(3)且点坐标为 3789155.630m,36522488.497m，测区平均高程为
110m。
44．简述城市和工程测量中几种可能采用的直角坐标系。各有何特
点？
45．城市或工程建设在什么情况下需采用独立坐标系统？建立独立
坐标系统有哪几种方法？它们的投影带和投影面与国家统一坐标系
统有哪些区别？
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