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第九章 控制网平差
[本章提要 ]
9.1 条件平差数学模型和公式
9.2 水准网按条件平差算例
9.3 附合导线按条件平差算例
9.4 参数平差数学模型和公式
9.5 高程网参数平差及算例
9.6 三角网网参数平差及算例
[习题 ]
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本章提要
本章讲述条件平差与参数平差的原理及基本
数学模型，两种方法计算结果是完全相同的。还介
绍了高程网条件平差，三角网条件平差，附合导线
条件平差。高程网参数平差，三角网参数平差，并
给出了算例。
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1．条件平差与参数平差原理
2．条件差的步骤及相应数学模型；
3．能分别采用条件平差与参数平差解决高程控制网，平面控制网平差。
[知识点及学习要求 ]
[难点 ]在本章学习过程中，
伴随有大量的公式推导与应用。
特别是控制网条件方程与误差方程列立，
法方程解算为本章的突破点。
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9.1 条件平差数学模型和公式
设某一平差问题中有个 误差独立的观测值,个函数独
立的未知数（必要观测数），,多余观测数为
n t
tn? tnr ??
记：观测值
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L
L
L
L
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1 相应权阵
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nn
p
p
p
p
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n
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v
v
v
V
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1平差值 改正数
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vL
vL
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L
L
L
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22
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?平差值
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1、条件平差的数学模型和公式
1） 平差值方程 （ ）tnr ??
?
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?????
?????
?????
0???
0???
0???
2211
2211
2211
?
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rLrLrLr
bLbLbLb
aLaLaLa
nn
nn
nn
?
?????????????
?
?
（ 1）
式中,, … （ =1,2,… ） —— 为条件方程的系数；
、, … —— 为条件方程的常项数ia ib ir
i n
0a 0b 0r
2） 改正数条件方程
以 （ =1,2,… ）代入 (1)得纯量形式为：
iii vLL ???
i n
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????????
????????
????????
0
0
0
2211
2211
2211
rnn
bnn
ann
wvrvrvr
wvbvbvb
wvavava
???????????? （ 2）
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式中,, … 为条件方程的闭合差，或称为条件方程
的不符值，即
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????????
????????
?????
02211
02211
02211
rLrLrLrw
bLbLbLbw
aLaLaLaw
nnn
nnb
nna
?????????????
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n
n
nr
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bbb
aaa
A
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21
21
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r
b
a
r
w
w
w
W
?1
矩阵形式为,0
11 ?? ??? rrnr WVA
（ 4）
（ 3）
aw bw rw
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3）改正数方程
上改正数条件方程式中 的解不是唯一的解，根据最小二乘原
理，在 的无穷多组解中，取 = 最小的一组解是唯一的，
的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。为此，
设, 称为联系数向量，它的唯数
与条件方程个数相等，按拉格朗日乘数法解条件极值问题时，
要组成新的函数：
V
V PVVT
V
? ?rbarT kkkK ???1 K
)(2 WAVKPVV TT ????
将 Φ对 求一阶导数，并令其为零得：V
AKPVV TT 22 ?????
AKPV TT ?
KAPV T?
1
1
1 ??
?
?? ? r
T
rnnnn KAPV （ 5）
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上式称为改正数方程，其纯量形式为：
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????
????
????
)(
1
)(
1
)(
1
222
2
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111
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rnbnan
n
n
rbia
rba
krkbka
p
v
krkbka
p
v
krkbka
p
v
?
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（ i=1,2,…n） （ 6）
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4）法方程
将 代入 得KAPV T1?? 0?? WAV 01 ??? WKAAP T
矩阵形式为,rn Tnnnrrr APAN ????? ? 1 011 ?? ??? rrrr WKN （ 7）
上式称为联系数法方程，简称法方程。式中法方程系数距
阵，为
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P
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P
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P
br
P
bb
P
ab
P
ar
P
ab
p
aa
N
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????
?
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因
故,是 阶的对称方阵。
NAAPAPAAAPN TTTTTTT ???? ??? 111 )()(
N r
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法方程的纯量形式为
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0
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rrba
brba
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wk
p
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p
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wk
p
br
k
p
bb
k
p
ab
wk
p
ar
k
p
ab
k
p
aa
????????????????
?
?
（ 8）
从法方程解出联系数 K后，将 值代入改正数方程，
求出改正数 值，再求平差值,这样就完
成了按条件平差求平差值的工作。
K
V VLL ???
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2、条件平差法求平差值的步骤
?根据平差问题的具体情况，列出平差值条件方程式（ 1），
并转化为改正出数的条件方程（ 2），条件方程的个数等于为
多余观测的个数 r；
?根据条件方程的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式
（ 8）；法方程的个数等于多余观测的；
?解法方程，求出联系数 K,并代入法方程检验；
?将 K代入改正数方程（ 6），求改正数 值；
?将 V代入平差值方程 求平差值；
?将平差值 代入平差值方程，检验是否满足条件；
?精度评定。
VLL ???
L?
V
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2、精度评定
1）单位权中误差
tn
PVV T
???? ? ?rp v v?? ?
从中误差计算公式可知，为了计算,关键是计算 。
下面将讨论 的计算方法。
? PVVT ? ?? ?pvv
PVVT ? ?PVV
① 由 直接计算
iV ? ? 2222211 nn vPvPvPp v v ???? ?
② 由联系数 及常数项 计算K W ? ? )(
rrbbaa kWkWkWp v v ????? ?
③ 直接在高斯 —— 杜力特表格中解算
? ? ? ? ? ?? ?
? ?
? ?? ?1
1
11
1
1 ??
??
?
??
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?????
??
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p
rr
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p
bb
WW
p
aa
WWPVV
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b
a
a
w
T ?
? ? )()(0 wwrW w ?????
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2）平差值函数的权倒数
设有平差值函数为
它的权函数式为：
? ?nLLLf ?,,?,? 21 ???
n
n
LdLLdLLdLd ?)?(?)?(?)?( 2
2
1
1 ?
???
?
??
?
?? ???? ?
nn LdfLdfLdf ??? 2211 ???? ?
令
则
? ?nT ffff ?,,21? ? ?TnLdLdLdLd ?,?,?? 21 ??
Ldfd T ???
? ?
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? ??
?
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??
? ??
??
?
??
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??
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??
? ??
???
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?? 1
1
1
1
1
11
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P
rf
r
P
rr
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P
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P
bb
P
bf
P
af
P
aa
P
af
P
ff
P
?
? ??
??
?
? ?? r
P
ff
这就是高斯约化表中 的计算公式，其规律与 计
算规律完全相同。 ?P
1 ? ?rWw ?
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9.2 水准网按条件平差算例
在如图 1所示水准网中,,两点高程及各观测高差和路线长
度列于（表 1）中。
A B A
B
P 1
P 2
P 3
h 1
h 7
h 5 h 6
h 3
h 4
h 2 图 1
000.35?AH
000.36?HH
观
测
号
观测高
差 (m)
路线长度
（ km）
观
测
号
观测高差
(m)
路线长 D
（ km）
已知高程
（ m）
1
2
3
4
1.359
2.009
0.363
0.640
1
1
2
2
5
6
7
0.657
1.000
1.650
1
1
2
表 1
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试求,（１）, 及 点高程之最或然值；
（２）, 点间平差后高差的中误差。
1P 2P 3P
1P 2P
解,① 列条件方程式,不符值以, mm”为单位。
已知,故,其条件方程式为3,7 ?? tn 437 ???r
?
?
?
?
?
?
?
????
?????
?????
????
01
03
07
07
742
643
765
521
vvv
vvv
vvv
vvv
② 列函数式。 555 vhxF ???
故 15 ?f 0764321 ?????? ffffff
③ 组成法方程式。
1）令每公里观测高差的权为 1，按 1/,将条件方程系
数及其与权倒数之乘积填于（表 2）中。
ii sp ?
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2)由下表 2数字计算法方程系数,并组成法方程式,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
???
??
5221
2510
2141
1013
?
?
?
?
?
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?
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d
c
b
a
k
k
k
k
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?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
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?
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1
3
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+ =0
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表 2 条件方程系数表
观测
号 a b c d s f
1 1 1 1
2 -1 1 0 0
3 -1 -1 -1
4 -1 1 0 0
5 1 -1 0 1 1
6 -1 1 0 0
7 1 -1 0 0
1 -1 -1 1 0 0 1 1 1
s?
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p1abcdsf??观测
号
1 1 1 1 1
2 1 -1 1
3 2 -2 -2 -2
4 2 -2 2
5 1 1 -1 1 1
6 1 -1 1
7 2 2 -2
1 0 -3 1 -1 -1 1 0 0
p1 pa pb pc pd ps pf ps?
?
续表
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4）法方程式的解算。
1）解算法方程式在（表 3）中进行。
2） 计算之检核。? ?pvv
? ? ? ?wkp v v ?? ? ? 4 6 7.35?? wk
由表 3中解得,两者完全一致，证明表中解算
无误。
5）计算观测值改正数及平差值 (见表 4)
6）计算 点高程最或然值。
? ? 47.35??p v v
321,,PPP
3 5 9.3611 ??? xHH AP
0 1 2.3722 ??? xHH AP
3 6 0.3543 ??? xHH BP
m
m
m
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表 3 高斯 -杜力特表格
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表 4 改正数与平差值计算表
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7）精度评定。
?单位权（每公里观测高差）中误差
0.34 47.35 ?????
mm
?点间平差后高差中误差
2.252.00.31 ??????
F
F Pm ?
mm
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9.3 附合导线按条件平差算例
1.附合导线的条件平差方程式
如图 1所示，符合在已知, 之间的单一符合导线
有 条 与 是已知方位角。
),( AA yxA ),( CC yxC
n AB? CD?
设观测角为,, … …,,测角中误差为,观测边长
为,, … …,,测边中误差为 （ 1,2,…, ）。
1? 2? 1?n? ??
1s 2s ns si? ?i n
此导线共有 个观测值，有 个未知数，故
则 。因此，应列出三个条件方程，其中一个是
坐标方位角条件，另两个是纵、横坐标条件。
12 ?n 1?n )1(2 ?? nt
3)1(2)12( ????? nnr
B
A (1)
C (n+1 )
D
s 1 s 2
s n
2
3
n
1β
2β
3β
4β
5β
n+1β
图 1
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1） 坐标方位角条件 设观测角 的改正数为 （ 1、
2,…, 1），观测边 的改正数为 （ 1,2,…, ）。
由图 1知
i? iv ?i
?n is
siv
?i n
?180)1(?1
1 ?????
?
? ni
n
iBACD ???
01
1
????
? ai
n
i
v ?
式中 — 方位角条件的不符值，按
a?
?180)1(?1
1 ??????
?
? ni
n
iCDBAa ????
若导线的 A 点 B 与点重合，则形成一闭合导线，由此坐
标方位角条件就成了多边形的图形闭合条件。
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2） 纵、横坐标条件 设以,, …, 表示（图 1）中
各导线边的纵坐标增量之平差值；,, …, 表示（图 1）
中各导线边的横坐标增量之平差值；由图可写出以坐标增量平
差值表示的纵、横坐标条件。
1?x? 2?x? nx??
1?y? 2y? ny??
?
?
?
?
?
??????????
??????????
?
?
yi
n
i
n
Ai
n
AC
xi
n
i
n
Ai
n
AC
vyyyyy
vxxxxx
111
111
?
? （ 1）
令 则
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?????
?????
)(
)(
1
1
ACi
n
y
ACi
n
x
yyy
xxx
?
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?
?
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???
???
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0
0
1
1
yyi
n
xxi
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v
v
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（ 2）
)()()( 211 nxin xdxdxdv ???????? ? ?
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将上式代入式（ 2）得纵坐标条件式，且同理已可得横
坐标的条件式即
?
?
?
??
?
?
???????
???????
??
??
0)(
1
s i n
0)(
1
c o s
11
11
yiiC
n
i
sii
n
i
xiiC
n
i
sii
n
i
vxxv
vyyv
?
?
?
?
?
? （ 3）
上式就是单一符合导线的纵、横坐标条件方程、为条件式的
不符值，按
?
?
?
?
?
????????
????????
CCCi
n
Ay
CCCi
n
Ax
yyyyy
xxxxx
1
1
?
?
式中、是由观测值计算的各导线点的近似坐标。
? ? ?? 1231211 )()()(c o s vyyyyyyvv nCsiinxin ??????????? ? ?
? ? ?? nncnC vyyvyyyyyy )()()()( '23423 ??????????? ??
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计算时一般 以秒为单位,、, 以 cm为单位；
若, 以 m为单位，则,
从而使全式单位统一。若单一导线的 与 点重合形成闭
合导线，则纵、横坐标条件成为多边形各边的坐标增量闭合
条件，以增量平差值表示为
iv siv x? y?
x y 65.2062100206265 ?????
A C
?
?
?
?
?
???
???
0?
0?
1
1
i
n
i
n
y
x
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2.符合导线的精度评定
1） 单位权中误差,单一符合导线计算单位权中误差公式与边
角网相同，按
? ? ? ? ? ?
r
vvPvvP
r
p v v sss????? ????
2） 平差值的权函数式,为了平定平差值函数的精度，必须要列
出权函数式。一般有下列三种函数式。
① 边长平差值权函数式
由导线边 故其权函数式为
siii vss ???
siF si vv ?
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③ 坐标平差值的权函数式
由（图 1）得点坐标平差值的权函数式为
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
i
ij
j
i
sii
j
i
F y i
i
ij
j
i
sii
j
i
F x i
v
yx
vv
v
yy
vv
?
?
?
?
1
1
1
1
1
1
1
1
s i n
c o s
② 坐标方位角平差值权函数式
由（图 1）得单一符合导线的任一边的坐标方位角的计算式为
?180?
1 ni
n
BAi ???? ???
?? n iiF vv
1
?
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3.附合导线按条件平差算例
在下图 2所示附合导线中 A,B 为已知点，其坐标为
947.6 5 5 6?Ax 735.4101?Ay 155.8748?Bx 6 4 7.6 6 6 7?Ay
方位角,应用红外测距仪观测导线的转折角
和边长 列入下表 1。试按条件平差法，求各观测值及平差后
边的边长相对中误差。
4.130349 ???? ?AB? ?
s
A (1)
B (5)
s 1
s 2
s 4
2
3
1β
2β
3β
4β
5β
3
s 3
图 2
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表 1 近似坐标计算
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解：（ 1） 确定观测值的权 。
测角中误差 0.3 ?????m
边长中误差按仪器给定公式为
26222 )105()5.0()( iics spp msmm
i ????????
?（ cm）
式中
is 以 cm为单位。
由上式算得
82.02 ??sm96.01 ??sm
79.03 ??sm 92.0
4 ??sm
cm
cm
cm
cm
以角度观测的权为单位权，即
0.3 ????? ?? m
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表 2 条件方程及权函数式系数表
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续表
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则边长的权为
76.92
2
1
1
??
sm
s m
mp ? 38.13
2 ?sp
42.143 ?sp 63.104 ?sp
边长权倒数为
1 0 1.01
1
?
sp
074.01
2
?
sp
070.01
3
?
sp
0 9 1.01
4
?
sp
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（ 2） 计算条件方程式不符值 。由表 1得
0.54.1303494.080349 ??????????????? ??ABABaw ??
9.4155.8 7 4 6204.8 7 4 8 ??????? BBx xxw
9.2647.6667676.6667 ??????? BBy yyw
（ 3） 计算条件方程式系数及权函数式系数,列于上表 2中。
（ 4） 组成法方程式并解算 。根据上表 2中系数组成法方程系数，
然后填于下表 3中相应行内。法方程式的解算在下表 3中进行。
cm
cm
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表 3 法方程式解算表
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（ 5） 计算改正数和平差值 。由法方程解算表解得的联系数 k 和观
测边加相应改正数，即得角度和边长平差值。计算见下表 4。
表 4 观测值之平差值计算
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（ 6） 计算边的精度。
1）单位权中误差，按
59.23080.26][ ???????? rp vv?
计算 边的中误差
3s
2）
cm75.00 6 4.095.21
3
3
??????
s
s pm ?
3s
边长相对中误差
16 400 0
1
12 294 2
75.0
3
3 ??
s
m s
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9-4 参数平差数学模型和公式
1,参数平差数学模型
（ 1）平差值方程
设平差问题中，有 个不等精度的独立观测,相应权
为 （ 1,2,…,），并设需 个必要观测，用
表示选定的未知数，按题列出 个平差值方程为
n
n
1?nL
ip ?i t
1?tX
n
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???????
ntnnnnnn
t
t
dxtxbxavlL
dxtxbxavLL
dxtxbxavLL
?
???????
?
?
21
222212222
112111111
?
?
?
式 1
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(2) 误差方程
令 则 1式为iii xxx ??? 0
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
ntnnnn
t
t
lxtxbxav
lxtxbxav
lxtxbxav
???
???
???
?
??????
?
?
21
2222122
1121111
其中 （ 1,2,…,） iiiiiii Ldxtxbxal ?????? 00201 ??i n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
v
v
v
V
?
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
t
x
x
x
x
?
?
?
?
?
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
l
l
l
l
?
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnn
tn
tba
tba
tba
B
?
????
?
?
222
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
nn
p
p
p
P
?
????
?
?
00
00
00
2
1
则 2式的矩阵形式为 lxBV ?? ?
若设
式 2
式 3
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（ 3）法方程
式中有 个待定的改正数和 个未知数，共 个待定量，
而方程只有 个，所以有无穷多组解。为了寻求一组唯一的解，
根据最小二乘原理按 的准则求，按数学上求函数自由
极值的理论，即
n n t tn?
m in?PVV T
022 ??????? PBVxVPVxPVV TT
T
??
转臵后得
11 0???? ? tnnnnt
T VPB
代 3式代入 4式得法方程
0?? ）（ lxBPB T ?
0?? PlBxPBB TT ?
式 4
式 5
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令 PBBN T
tt ?? PlBU Tt ??1
5式可表示为
0?? UxN ?
PlBPBBUNx TT 11 ?? ???? ）（?
其纯量形式为
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
0
0
0
21
21
21
p t lxp t txp b txp a t
p b lxp b txp b bxp a b
p a lxp a txp a bxp a a
t
t
t
???
???
???
?
??????
?
?
将上式算得的 代入式 2求出改正数向量 V，进而求出观测平
差值。
x?
式 6
式 7
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2,按间接平差法求平差值的计算步骤
?根据平差问题的性质，选择 个独立量作为未知
数；
?将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函
数。若函数为非线性要将其线性化，列出误差方程；
?由误差方程系数 和自由项 组成法方程，法方
程个数等于未知数个数 ；
?解算法方程，求出未知数改正数,计算未知数；
?由误差方程计算 V，求出观测量平差 。
t
B l
t
x?
VLL ???
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3、精度评定
（ 1） 单位权中误差和 的计算
同条件平差一样，间接平差单位权中误差公式为
PVVT
tn
PVV T
???? ? ?rp vv???
? ?p vvPVV T 的计算方法为
或
① 由
iv
直接计算 ? ? 22
22211 nn vpvpvpp v v ???? ?
② 由未知数改正数 及法方程常数项 及计算x? ? ?pll
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? txp t lxp b lxp a lp l lp v v ??? ????? ?21
③ 在高斯 —— 杜力特表中解算
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?111111 ?????????? ?? ????????????? ????????????? tp t ltp t t tp t lp blp bbp blp alp aap alp l lp v v ?
? ? ? ? ? ? ? ?llp l ltp l l ?????
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（ 2） 未知数函数的权倒数和中误差
设某平差问题的未知数的函数为
? ?txxxf,,,21 ???
它的权函数式为
tt
t
t
xfxfxf
x
x
fx
x
fx
x
f
???
?????
????
???
?
???
?
?
???
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
??
?
?
2211
2
2
1
1
? ?tT ffff ?21?
? ?Ttxxxx ???? ?21?
则上式的矩阵形式为
xf T ??? ?
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根据权逆阵的传播律，得未知数的权倒数
? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?
? ?? ? ? ?? ?? ?11
11
1
101
2
2
1
1 ???
??
?????
?
????? tf
tp t t
tff
p bb
ff
p aa
f
P t
t?
?
? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?
1
11
1
1101 2211
??
????????
?
??????????
tp t t
tftf
p bb
ff
p aa
ff
P
tt?
?
? ?
? ? ? ?ff
t
???
??
0
0
则 的中误差为：?
?
?
? ?? Pm
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（ 3） 未知数的权逆阵和中误差
由法方程 0?? UxN? 得
UNx 1????
011
01
1
)(
)(
PLBNPLBN
lLPBN
PlBN
TT
T
T
??
?
?
???
???
??
由权逆阵的传播律得
TTLTXX PBNQPBNQ )()( 11 ???
111
11
11
???
??
??
??
?
?
NNNN
P B NBN
P B NPQBN
T
L
T
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即法方程系数距阵的逆阵就是知数向量的权逆阵,令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
tttt
t
t
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
XX
QQQ
QQQ
QQQ
NQ
?
????
?
?
21
22212
12111
1
因为法方程系数阵是一个对称方阵，故它的逆阵也为对称方阵
未知数的权逆阵，通常又称为权系数阵，其对角线上的元素 为
未知数的权倒数，非对角线上的元素 称为未知数 关于 的
相关权倒数，而所有的元素又称为权系数。
权系数的计算除了用矩阵求逆的方法以外，还可以用高斯约化法
求权系数的方法。
则任一未知数 的中误差为：
iiQ
ijQ ix jx
ix
??? iixi Qm 返回本章首页
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9.5 高程网参数平差及算例
1、未知数个数的确定
在间接平差中，未知数个数就等于必要观测个数。
2、未知数的选取
在水准网中，即可以选取待定点高程作为未知数，也可选取高差
作为未知数，但一般是选高程为未知数，例如在下图 1中，就是选
取待定点高程作为未知数的。
3、算例
在下图 1所示水准网，已知水准点 A的高程为 m，为求 B，
C,D三点的高程，进行了水准测量，及观测高差及水准路线长度
载于下表 1中，试按间接平差法求定 B,C,D三点高程的平差值。
483.237?AH
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水准路线 观测高差 （ m） 路线长度 （ km）
1 5.835 3.5
2 3.782 2.7
3 9.640 4.0
4 7.384 3.0
5 2.272 2.5
ih is
表 1
图 1
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解：按题意知必要观测 数 t =3，选取 B,C,D三点高程,,
为参数
根据图示水准路线写出 5个平差值方程
1x 2x 3x
?
?
?
?
??
?
?
?
???
???
???
????
???
A
A
A
HxvL
xxvL
HxvL
xxvL
HxvL
355
3244
233
2122
111
则误差方程为
?
?
?
?
??
?
?
?
???
???
???
????
???
)(
)(
)(
535
4324
323
2212
111
hHxv
hxxv
hHxv
hxxv
hHxv
A
A
A
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将观测高差和已知点高程代入上式，即可计算误差方程的
常数项，此时，这些常数项具有 5～ 6个数字，这对后续计算是不
利的。为了便于计算，选取参数的近似值
?
?
?
?
?
??
??
??
5
0
3
3
0
2
1
0
1
hHx
hHx
hHx
A
A
A
这样，后续计算求定的只是未知数近似值改正数,,,
它们的关系为
1x? 2x? 3x?
?
?
?
?
?
??
??
??
3
0
33
2
0
22
1
0
11
xxx
xxx
xxx
?
?
?
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将上二式代入误差方程，得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
????
??
0
14
0
23
0
35
324
23
212
11
xv
xxv
xv
xxv
xv
?
??
?
??
?
取 10km的观测高差为单位权观测，即按
ii
i ss
cP 10??
定权，得各观测值的权分别为
9.21 ?p 7.32 ?p 5.23 ?p 3.34 ?p 0.45 ?p，,,，
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组成法方程为
??
?
?
?
????
?????
???
02.463.73.3
09.383.3.5.97.3
01.857.36.6
32
321
21
xx
xxx
xx
??
???
??
解法方程，得
75.111 ?x? 04.22 ??x? 25.73 ??x? mm mm,mm，
代人误差方程得
121 ?v 92 ?v 23 ??v 94 ??v 75 ??vmm，mm，mm，mm，
最后得平差值
330.2431 ?x 121.2472 ?x 7 4 6.2 3 93 ?xm，m，
847.5?1 ?h 791.3?2 ?h 638.9?3 ?h
375.7?4 ?h 263.2?5 ?hm，
m，m，m，
mm
m
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9.6 三角网参数平差及算例
1,未知数的选定
平面控制网参数平差总是选择未知点 x,y的坐标为平差参数。
2、测角网坐标平差误差方程列立
这里讨论测角网中选择待定点坐标为未知数时，误差方程
列立及线性化问题。如下图 1为某一测角网的任一角
为三个待定点，它们的近似坐标为 改
正数为,则平差值分别为
hkjLi,,,
000000,;,;,hhkkjj yxyxyx
hhkkjj yxyxyx ??????,;,;,
??
???
??
??
jjj
jjj
yyy
xxx
?
?
0
0
??
???
??
??
kkk
kkk
yyy
xxx
?
?
0
0
??
???
??
??
hhh
hhh
yyy
xxx
?
?
0
0
由图 1可得 的平差值方程为
iL?
jhjkiL ?? ??? ??
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昆明冶金高等专科学校
令
jkjkjk ???? ?? 0?
jhjhjh ???? ?? 0?
误差方程为
ijhjkijhjkjhjki lLv ???????? ?????????? )( 00
ijki Ll ?? 0?
式中：
k
jk
jk
k
jk
jk
j
jk
jk
j
jk
jk
jk ys
xx
s
yy
s
xx
s
y ??????????
20
0
20
0
20
0
20
0
)()()()(
??????????????????
h
jh
jh
h
jh
jh
j
jh
jh
j
jh
jh
jh ys
xx
s
yy
s
xx
s
y ??????????
20
0
20
0
20
0
20
0
)()()()(
??????????????????
i
L
),(
hh
yxh
),(
kk
yxk),(
jj
yxj
图
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或写为：
k
jk
jk
k
jk
jk
j
jk
jk
j
jk
jk
jk ysxsysxs ?
?????????????
0
0
0
0
0
0
0
0 c o ss i nc o ss i n ??
????????????
h
jh
jh
h
jh
jh
j
jh
jh
j
jh
jh
jh ysxsysxs ?
?????????????
0
0
0
0
0
0
0
0 c o ss i nc o ss i n ??
????????????
讨论, （ 1）若测站点 为已知点时，则 = =0 有，得j
jx? jy?
k
jk
jk
k
jk
jk
jk ys
xx
s
y ??????
20
0
20
0
)()(
???????????
若照准点 为已知点，则有 = =0,得k kx? ky?
j
jk
jk
j
jk
jk
jk ys
xx
s
y ??????
20
0
20
0
)()(
??????????
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（ 3）若某边的两个端点均为已知点，则
jx? jy? kx? ky? 0???jk??
= = = =0,
（ 4）同一边的正反坐标方位角的改正数相等，它们
与坐标改正数的关系也一样。
即
kjjk ???? ?????
因为
k
jk
jk
k
jk
jk
j
jk
jk
j
jk
jk
jk ys
xx
s
yy
s
xx
s
y ??????????
20
0
20
0
20
0
20
0
)()()()(
??????????????????
j
kj
kj
j
kj
kj
k
kj
kj
k
kj
kj
kj ys
xx
s
yy
s
xx
s
y ??????????
20
0
20
0
20
0
20
0
)()()()(
??????????????????
顾及
??
???
????
????
00
00
kjjk
kjjk
yy
xx
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综上所述，对于角度观测的角网，采用间接平差，选
择待定点的坐标为未知数时，列误差方程的步骤为：
?计算各待定点的近似坐标；
?由待定点的近似坐标和已知点坐标计算各边的近似
坐标方位角和近似边长；
?计算各边的坐标方位角改正数，并计算其系数
?列出误差方程。
据此，实际计算时，只要对每条待定边计算一
个方向的坐标方位角改正数方程即可。
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3、测边网坐标平差误差方程列立
如下图 2为某一测边网中的任意一条边，, 为两个待定点，它
们的近似坐标为,改正数为 则,
的坐标平差值为
j k
0000,;,kkjj yxyx kkjj yxyx ????,;,
j k
??
?
?
?
??
??
jjj
jjj
yyy
xxx
?
?
0
0
??
?
?
?
??
??
kkk
kkk
yyy
xxx
?
?
0
0
k
is
j
由右图 2可写出 的平差值方程为
is?
22 )()(? jkjkiii yyxxvss ?????? ? 图 2
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按台劳公式展开,得
k
j
i
k
j
i
j
k
i
j
k
i
jkjkii yy
sx
x
sy
y
sx
x
syyxxvs ????
0000
200200 ????)()( ??
?
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
???????
ik
jk
jk
k
jk
jk
j
jk
jk
j
jk
jk
i lys
yx
s
xy
s
yx
s
xv ?????????? ????
0
0
0
0
0
0
0
0
讨论, （ 1）若 为已知点，则j 0??
jj yx ??
ik
jk
jk
k
jk
jk
i lys
yx
s
xv ????? ??
0
0
0
0
)( ijki ssl ?? ?
若 为已知点，则k 0??
kk yx ??
ij
jk
jk
j
jk
jk
i lys
yx
s
xv ?????? ??
0
0
0
0
22 )()( ????? jkjkjk yyxxs ????
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（ 2）若, 均为知点，
则该边为固定边，不需要列误差方程。
j k ?? jj yx ?? 0??
kk yx ??
（ 3）某边的误差方程，按 方向列立与按 方向列立结果完全相
同。
jk kj
若按 方向，则jk
ik
jk
jk
k
jk
jk
j
jk
jk
j
jk
jk
i lys
yx
s
xy
s
yx
s
xv ?????????? ????
0
0
0
0
0
0
0
0
按 方向，则kj
ij
kj
kj
j
kj
kj
k
kj
kj
k
kj
kj
i lys
yx
s
xy
s
yx
s
xv ?????????? ????
0
0
0
0
0
0
0
0
顾及
??
?
????
????
kjjk
kjjk
yy
xx
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4、三边网参数平差算例
同精度测得如右图 3中的三个边长,其结果为
363.3871 ?L
0 6 5.3 0 62 ?L
8 6 2.3 5 43 ?L
m
m
m
已知点 A,B,C 的起算数据列于下表 1。试列出误差方程并求平差
值。 表 1
图 3
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解,（ 1）本题,选择待定点 的坐标 和 为未知数,其
近似值 和 由已知点, 和观测边, 交会计算而得。
图 4中，设 为三角形 底边 上的高,为 在 上的投
影。得
2?t D Dx Dy
0Dx 0Dy A B 1L 2L
h ABD AB l 1L AB
502.3482 22
22
1 ???? AB LABLl
105.169221 ??? lLh
9930882.0c o s ???? AB xx ABAB?
1 1 7 3 7 5 8.0s i n ???? AB yy ABAB?
按此,计算待定点 Ｄ 的近似坐标
259.2 3 2 6s i nc o s0 ???? ABABAD halxx ?
184.5330c o ss i n0 ???? ABABAD hlyy ??
m
m
m
m
图 4
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（ 2）根据近似坐标和已知点坐标计算误差方程的系数和常
数项，计算数值列在表 2中。 表 2
由表 2的最后三列数值,按式写出误差方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2 3 1.0
0
0
9 4 5 3.03 2 6 2.0
6 4 6 5.07 6 2 9.0
3 2 7 9.09 4 4 7.0
XV ?
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（ 3）求平差值
根据误差方程组成法方程
021 8 3.0 07 5 3.041 9 2.112 4 9.0 12 4 9.058 0 8.1 ??
?
??
?
? ???
?
??
?
?
?
? X?
解算法方程,得 m,m。待定点坐
标平差值为 0 3 6.0?Dx? 1 5 1.0??Dy?
??
???
???
???
m033.5330
m295.2326
0
0
DDD
DDD
yyy
xxx
?
?
将 代入误差方程计算观测值的改正数并从而求得平差值X?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
077.0
070.0
083.0
V
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
7 8 5.3 5 4
9 9 5.3 0 5
2 8 0.3 8 7
?L（ m），
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习 题
1、在图 1的水准网中，观测高差及路线长度见下表：
已知 A,B点高程为,=50.000m,=40.000m,试用条件平差法求AH BH
(1)、各观测高差的平差值；
(2)、平差后 到 点间高差的中误差 。1P 2P ??
图
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2、有闭合导线如下图 2，观测 4条边长和 5个左转折角，已知测
角中误差,边长中误差 mm,计算（ 以
m为单位），起算数据为,1?????m isi Sm 2.0? iS
045.2 2 7 2?? BA XX 3 3 0.5 0 7 1?? BA YY
90402 2 4 ???? ?AT 904044 ???? ?BT
观测值如下：
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试按条件平差,
(1)、列条件方程和法方程；
(2)、求改正数和平差值；
(3)、求导线点 2,3,4的坐标平差值。
S 4
S 3
S 2
S 1
T A
T B
A
B 1β
β 2
β 3
β 4
β 5
图 2
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3、在下图 3的水准网中，为已知点,m，观测各点间的高差为：000.10?
AH
015.11 ?h 570.122 ??h 161.63 ?h 563.114 ??h 414.65 ?hm、m、m、m、
设,试按间接平差法求：IQ?
（１） 待定点,, 的高程平差值；1P 2P
3P
（２） 平差后 至 点间高差平差值及中误差。1P 3P
h 2
h 4
P 1
h 1
A
P 2
h 3
h 5
P 3
图 3
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4、如图 4的测角网中,Ａ，Ｂ，Ｃ 为已知三角点,Ｐ 点为待定
点，起算数据如下表：
起 算 数 据
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试用坐标平差法求待定点 Ｐ 的坐标值及其点位中误差。
A
B
C
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3 7
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图 4
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5、在图 5中测边网中,点为已知点,点为待定点。已知
点坐标为,,同精度测得边长观测值为：BA,
DC,
)m0,m0(A )m0,m335.22141(B
062.279081 ?s 592.2 0 0 4 42 ?s 034.365773 ?s
046.2 0 4 8 04 ?s 438.2 9 4 0 25 ?s
3 3 5.1 9 1 8 70 ?Cx
8 8 7.2 0 2 6 50 ?Cy
3 8 6.1 0 0 6 80 ??Dx
4 3 4.1 7 3 3 20 ?Dy
试按间接平差求 点坐标平差值及
其协因数阵。 DC,
设待定点的近似坐标为：
图
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第九章 控制网平差
[本章提要 ]
9.1 条件平差数学模型和公式
9.2 水准网按条件平差算例
9.3 附合导线按条件平差算例
9.4 参数平差数学模型和公式
9.5 高程网参数平差及算例
9.6 三角网网参数平差及算例
[习题 ]
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本章提要
本章讲述条件平差与参数平差的原理及基本
数学模型，两种方法计算结果是完全相同的。还介
绍了高程网条件平差，三角网条件平差，附合导线
条件平差。高程网参数平差，三角网参数平差，并
给出了算例。
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1．条件平差与参数平差原理
2．条件差的步骤及相应数学模型；
3．能分别采用条件平差与参数平差解决高程控制网，平面控制网平差。
[知识点及学习要求 ]
[难点 ]在本章学习过程中，
伴随有大量的公式推导与应用。
特别是控制网条件方程与误差方程列立，
法方程解算为本章的突破点。
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9.1 条件平差数学模型和公式
设某一平差问题中有个 误差独立的观测值,个函数独
立的未知数（必要观测数），,多余观测数为
n t
tn? tnr ??
记：观测值
?
?
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n
n
L
L
L
L
?
2
1
1 相应权阵
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?
?
?
?
?
n
nn
p
p
p
p
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????
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?
00
00
00
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
v
v
v
V
?
2
1
1平差值 改正数
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
nnn
n
vL
vL
vL
L
L
L
L
??
22
11
2
1
1
?
?
?
?平差值
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1、条件平差的数学模型和公式
1） 平差值方程 （ ）tnr ??
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
0???
0???
0???
2211
2211
2211
?
?
?
rLrLrLr
bLbLbLb
aLaLaLa
nn
nn
nn
?
?????????????
?
?
（ 1）
式中,, … （ =1,2,… ） —— 为条件方程的系数；
、, … —— 为条件方程的常项数ia ib ir
i n
0a 0b 0r
2） 改正数条件方程
以 （ =1,2,… ）代入 (1)得纯量形式为：
iii vLL ???
i n
?
?
?
?
?
?
?
????????
????????
????????
0
0
0
2211
2211
2211
rnn
bnn
ann
wvrvrvr
wvbvbvb
wvavava
???????????? （ 2）
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式中,, … 为条件方程的闭合差，或称为条件方程
的不符值，即
?
?
?
?
?
?
?
????????
????????
?????
02211
02211
02211
rLrLrLrw
bLbLbLbw
aLaLaLaw
nnn
nnb
nna
?????????????
?
?
?
?
?
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b
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A o
r ?1
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?
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n
n
v
v
v
V
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2
1
1
令
??
?
?
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?
??
?
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?
?
?
?
?
n
n
n
nr
rrr
bbb
aaa
A
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????
?
?
21
21
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r
b
a
r
w
w
w
W
?1
矩阵形式为,0
11 ?? ??? rrnr WVA
（ 4）
（ 3）
aw bw rw
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3）改正数方程
上改正数条件方程式中 的解不是唯一的解，根据最小二乘原
理，在 的无穷多组解中，取 = 最小的一组解是唯一的，
的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。为此，
设, 称为联系数向量，它的唯数
与条件方程个数相等，按拉格朗日乘数法解条件极值问题时，
要组成新的函数：
V
V PVVT
V
? ?rbarT kkkK ???1 K
)(2 WAVKPVV TT ????
将 Φ对 求一阶导数，并令其为零得：V
AKPVV TT 22 ?????
AKPV TT ?
KAPV T?
1
1
1 ??
?
?? ? r
T
rnnnn KAPV （ 5）
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上式称为改正数方程，其纯量形式为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
)(
1
)(
1
)(
1
222
2
2
111
1
1
rnbnan
n
n
rbia
rba
krkbka
p
v
krkbka
p
v
krkbka
p
v
?
?
?
?
（ i=1,2,…n） （ 6）
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4）法方程
将 代入 得KAPV T1?? 0?? WAV 01 ??? WKAAP T
矩阵形式为,rn Tnnnrrr APAN ????? ? 1 011 ?? ??? rrrr WKN （ 7）
上式称为联系数法方程，简称法方程。式中法方程系数距
阵，为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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P
ab
P
ar
P
ab
p
aa
N
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因
故,是 阶的对称方阵。
NAAPAPAAAPN TTTTTTT ???? ??? 111 )()(
N r
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法方程的纯量形式为
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0
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brba
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p
br
k
p
bb
k
p
ab
wk
p
ar
k
p
ab
k
p
aa
????????????????
?
?
（ 8）
从法方程解出联系数 K后，将 值代入改正数方程，
求出改正数 值，再求平差值,这样就完
成了按条件平差求平差值的工作。
K
V VLL ???
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2、条件平差法求平差值的步骤
?根据平差问题的具体情况，列出平差值条件方程式（ 1），
并转化为改正出数的条件方程（ 2），条件方程的个数等于为
多余观测的个数 r；
?根据条件方程的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式
（ 8）；法方程的个数等于多余观测的；
?解法方程，求出联系数 K,并代入法方程检验；
?将 K代入改正数方程（ 6），求改正数 值；
?将 V代入平差值方程 求平差值；
?将平差值 代入平差值方程，检验是否满足条件；
?精度评定。
VLL ???
L?
V
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2、精度评定
1）单位权中误差
tn
PVV T
???? ? ?rp v v?? ?
从中误差计算公式可知，为了计算,关键是计算 。
下面将讨论 的计算方法。
? PVVT ? ?? ?pvv
PVVT ? ?PVV
① 由 直接计算
iV ? ? 2222211 nn vPvPvPp v v ???? ?
② 由联系数 及常数项 计算K W ? ? )(
rrbbaa kWkWkWp v v ????? ?
③ 直接在高斯 —— 杜力特表格中解算
? ? ? ? ? ?? ?
? ?
? ?? ?1
1
11
1
1 ??
??
?
??
? ??
?????
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p
rr
rWW
p
bb
WW
p
aa
WWPVV
r
r
b
b
a
a
w
T ?
? ? )()(0 wwrW w ?????
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2）平差值函数的权倒数
设有平差值函数为
它的权函数式为：
? ?nLLLf ?,,?,? 21 ???
n
n
LdLLdLLdLd ?)?(?)?(?)?( 2
2
1
1 ?
???
?
??
?
?? ???? ?
nn LdfLdfLdf ??? 2211 ???? ?
令
则
? ?nT ffff ?,,21? ? ?TnLdLdLdLd ?,?,?? 21 ??
Ldfd T ???
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???
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1
1
1
1
11
r
P
rf
r
P
rr
r
P
rf
P
bf
P
bb
P
bf
P
af
P
aa
P
af
P
ff
P
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? ??
??
?
? ?? r
P
ff
这就是高斯约化表中 的计算公式，其规律与 计
算规律完全相同。 ?P
1 ? ?rWw ?
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9.2 水准网按条件平差算例
在如图 1所示水准网中,,两点高程及各观测高差和路线长
度列于（表 1）中。
A B A
B
P 1
P 2
P 3
h 1
h 7
h 5 h 6
h 3
h 4
h 2 图 1
000.35?AH
000.36?HH
观
测
号
观测高
差 (m)
路线长度
（ km）
观
测
号
观测高差
(m)
路线长 D
（ km）
已知高程
（ m）
1
2
3
4
1.359
2.009
0.363
0.640
1
1
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0.657
1.000
1.650
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表 1
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试求,（１）, 及 点高程之最或然值；
（２）, 点间平差后高差的中误差。
1P 2P 3P
1P 2P
解,① 列条件方程式,不符值以, mm”为单位。
已知,故,其条件方程式为3,7 ?? tn 437 ???r
?
?
?
?
?
?
?
????
?????
?????
????
01
03
07
07
742
643
765
521
vvv
vvv
vvv
vvv
② 列函数式。 555 vhxF ???
故 15 ?f 0764321 ?????? ffffff
③ 组成法方程式。
1）令每公里观测高差的权为 1，按 1/,将条件方程系
数及其与权倒数之乘积填于（表 2）中。
ii sp ?
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2)由下表 2数字计算法方程系数,并组成法方程式,
?
?
?
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?
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?
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?
?
???
??
???
??
5221
2510
2141
1013
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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d
c
b
a
k
k
k
k
?
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?
?
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?
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?
?
?
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1
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+ =0
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表 2 条件方程系数表
观测
号 a b c d s f
1 1 1 1
2 -1 1 0 0
3 -1 -1 -1
4 -1 1 0 0
5 1 -1 0 1 1
6 -1 1 0 0
7 1 -1 0 0
1 -1 -1 1 0 0 1 1 1
s?
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p1abcdsf??观测
号
1 1 1 1 1
2 1 -1 1
3 2 -2 -2 -2
4 2 -2 2
5 1 1 -1 1 1
6 1 -1 1
7 2 2 -2
1 0 -3 1 -1 -1 1 0 0
p1 pa pb pc pd ps pf ps?
?
续表
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4）法方程式的解算。
1）解算法方程式在（表 3）中进行。
2） 计算之检核。? ?pvv
? ? ? ?wkp v v ?? ? ? 4 6 7.35?? wk
由表 3中解得,两者完全一致，证明表中解算
无误。
5）计算观测值改正数及平差值 (见表 4)
6）计算 点高程最或然值。
? ? 47.35??p v v
321,,PPP
3 5 9.3611 ??? xHH AP
0 1 2.3722 ??? xHH AP
3 6 0.3543 ??? xHH BP
m
m
m
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表 3 高斯 -杜力特表格
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表 4 改正数与平差值计算表
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7）精度评定。
?单位权（每公里观测高差）中误差
0.34 47.35 ?????
mm
?点间平差后高差中误差
2.252.00.31 ??????
F
F Pm ?
mm
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9.3 附合导线按条件平差算例
1.附合导线的条件平差方程式
如图 1所示，符合在已知, 之间的单一符合导线
有 条 与 是已知方位角。
),( AA yxA ),( CC yxC
n AB? CD?
设观测角为,, … …,,测角中误差为,观测边长
为,, … …,,测边中误差为 （ 1,2,…, ）。
1? 2? 1?n? ??
1s 2s ns si? ?i n
此导线共有 个观测值，有 个未知数，故
则 。因此，应列出三个条件方程，其中一个是
坐标方位角条件，另两个是纵、横坐标条件。
12 ?n 1?n )1(2 ?? nt
3)1(2)12( ????? nnr
B
A (1)
C (n+1 )
D
s 1 s 2
s n
2
3
n
1β
2β
3β
4β
5β
n+1β
图 1
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1） 坐标方位角条件 设观测角 的改正数为 （ 1、
2,…, 1），观测边 的改正数为 （ 1,2,…, ）。
由图 1知
i? iv ?i
?n is
siv
?i n
?180)1(?1
1 ?????
?
? ni
n
iBACD ???
01
1
????
? ai
n
i
v ?
式中 — 方位角条件的不符值，按
a?
?180)1(?1
1 ??????
?
? ni
n
iCDBAa ????
若导线的 A 点 B 与点重合，则形成一闭合导线，由此坐
标方位角条件就成了多边形的图形闭合条件。
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2） 纵、横坐标条件 设以,, …, 表示（图 1）中
各导线边的纵坐标增量之平差值；,, …, 表示（图 1）
中各导线边的横坐标增量之平差值；由图可写出以坐标增量平
差值表示的纵、横坐标条件。
1?x? 2?x? nx??
1?y? 2y? ny??
?
?
?
?
?
??????????
??????????
?
?
yi
n
i
n
Ai
n
AC
xi
n
i
n
Ai
n
AC
vyyyyy
vxxxxx
111
111
?
? （ 1）
令 则
?
?
?
?
?
?????
?????
)(
)(
1
1
ACi
n
y
ACi
n
x
yyy
xxx
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
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0
0
1
1
yyi
n
xxi
n
v
v
?
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（ 2）
)()()( 211 nxin xdxdxdv ???????? ? ?
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将上式代入式（ 2）得纵坐标条件式，且同理已可得横
坐标的条件式即
?
?
?
??
?
?
???????
???????
??
??
0)(
1
s i n
0)(
1
c o s
11
11
yiiC
n
i
sii
n
i
xiiC
n
i
sii
n
i
vxxv
vyyv
?
?
?
?
?
? （ 3）
上式就是单一符合导线的纵、横坐标条件方程、为条件式的
不符值，按
?
?
?
?
?
????????
????????
CCCi
n
Ay
CCCi
n
Ax
yyyyy
xxxxx
1
1
?
?
式中、是由观测值计算的各导线点的近似坐标。
? ? ?? 1231211 )()()(c o s vyyyyyyvv nCsiinxin ??????????? ? ?
? ? ?? nncnC vyyvyyyyyy )()()()( '23423 ??????????? ??
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计算时一般 以秒为单位,、, 以 cm为单位；
若, 以 m为单位，则,
从而使全式单位统一。若单一导线的 与 点重合形成闭
合导线，则纵、横坐标条件成为多边形各边的坐标增量闭合
条件，以增量平差值表示为
iv siv x? y?
x y 65.2062100206265 ?????
A C
?
?
?
?
?
???
???
0?
0?
1
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i
n
i
n
y
x
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2.符合导线的精度评定
1） 单位权中误差,单一符合导线计算单位权中误差公式与边
角网相同，按
? ? ? ? ? ?
r
vvPvvP
r
p v v sss????? ????
2） 平差值的权函数式,为了平定平差值函数的精度，必须要列
出权函数式。一般有下列三种函数式。
① 边长平差值权函数式
由导线边 故其权函数式为
siii vss ???
siF si vv ?
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③ 坐标平差值的权函数式
由（图 1）得点坐标平差值的权函数式为
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
i
ij
j
i
sii
j
i
F y i
i
ij
j
i
sii
j
i
F x i
v
yx
vv
v
yy
vv
?
?
?
?
1
1
1
1
1
1
1
1
s i n
c o s
② 坐标方位角平差值权函数式
由（图 1）得单一符合导线的任一边的坐标方位角的计算式为
?180?
1 ni
n
BAi ???? ???
?? n iiF vv
1
?
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3.附合导线按条件平差算例
在下图 2所示附合导线中 A,B 为已知点，其坐标为
947.6 5 5 6?Ax 735.4101?Ay 155.8748?Bx 6 4 7.6 6 6 7?Ay
方位角,应用红外测距仪观测导线的转折角
和边长 列入下表 1。试按条件平差法，求各观测值及平差后
边的边长相对中误差。
4.130349 ???? ?AB? ?
s
A (1)
B (5)
s 1
s 2
s 4
2
3
1β
2β
3β
4β
5β
3
s 3
图 2
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表 1 近似坐标计算
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解：（ 1） 确定观测值的权 。
测角中误差 0.3 ?????m
边长中误差按仪器给定公式为
26222 )105()5.0()( iics spp msmm
i ????????
?（ cm）
式中
is 以 cm为单位。
由上式算得
82.02 ??sm96.01 ??sm
79.03 ??sm 92.0
4 ??sm
cm
cm
cm
cm
以角度观测的权为单位权，即
0.3 ????? ?? m
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表 2 条件方程及权函数式系数表
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则边长的权为
76.92
2
1
1
??
sm
s m
mp ? 38.13
2 ?sp
42.143 ?sp 63.104 ?sp
边长权倒数为
1 0 1.01
1
?
sp
074.01
2
?
sp
070.01
3
?
sp
0 9 1.01
4
?
sp
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（ 2） 计算条件方程式不符值 。由表 1得
0.54.1303494.080349 ??????????????? ??ABABaw ??
9.4155.8 7 4 6204.8 7 4 8 ??????? BBx xxw
9.2647.6667676.6667 ??????? BBy yyw
（ 3） 计算条件方程式系数及权函数式系数,列于上表 2中。
（ 4） 组成法方程式并解算 。根据上表 2中系数组成法方程系数，
然后填于下表 3中相应行内。法方程式的解算在下表 3中进行。
cm
cm
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表 3 法方程式解算表
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（ 5） 计算改正数和平差值 。由法方程解算表解得的联系数 k 和观
测边加相应改正数，即得角度和边长平差值。计算见下表 4。
表 4 观测值之平差值计算
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（ 6） 计算边的精度。
1）单位权中误差，按
59.23080.26][ ???????? rp vv?
计算 边的中误差
3s
2）
cm75.00 6 4.095.21
3
3
??????
s
s pm ?
3s
边长相对中误差
16 400 0
1
12 294 2
75.0
3
3 ??
s
m s
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9-4 参数平差数学模型和公式
1,参数平差数学模型
（ 1）平差值方程
设平差问题中，有 个不等精度的独立观测,相应权
为 （ 1,2,…,），并设需 个必要观测，用
表示选定的未知数，按题列出 个平差值方程为
n
n
1?nL
ip ?i t
1?tX
n
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???????
ntnnnnnn
t
t
dxtxbxavlL
dxtxbxavLL
dxtxbxavLL
?
???????
?
?
21
222212222
112111111
?
?
?
式 1
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(2) 误差方程
令 则 1式为iii xxx ??? 0
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
ntnnnn
t
t
lxtxbxav
lxtxbxav
lxtxbxav
???
???
???
?
??????
?
?
21
2222122
1121111
其中 （ 1,2,…,） iiiiiii Ldxtxbxal ?????? 00201 ??i n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
v
v
v
V
?
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
t
x
x
x
x
?
?
?
?
?
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
l
l
l
l
?
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnn
tn
tba
tba
tba
B
?
????
?
?
222
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
nn
p
p
p
P
?
????
?
?
00
00
00
2
1
则 2式的矩阵形式为 lxBV ?? ?
若设
式 2
式 3
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（ 3）法方程
式中有 个待定的改正数和 个未知数，共 个待定量，
而方程只有 个，所以有无穷多组解。为了寻求一组唯一的解，
根据最小二乘原理按 的准则求，按数学上求函数自由
极值的理论，即
n n t tn?
m in?PVV T
022 ??????? PBVxVPVxPVV TT
T
??
转臵后得
11 0???? ? tnnnnt
T VPB
代 3式代入 4式得法方程
0?? ）（ lxBPB T ?
0?? PlBxPBB TT ?
式 4
式 5
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令 PBBN T
tt ?? PlBU Tt ??1
5式可表示为
0?? UxN ?
PlBPBBUNx TT 11 ?? ???? ）（?
其纯量形式为
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
0
0
0
21
21
21
p t lxp t txp b txp a t
p b lxp b txp b bxp a b
p a lxp a txp a bxp a a
t
t
t
???
???
???
?
??????
?
?
将上式算得的 代入式 2求出改正数向量 V，进而求出观测平
差值。
x?
式 6
式 7
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2,按间接平差法求平差值的计算步骤
?根据平差问题的性质，选择 个独立量作为未知
数；
?将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函
数。若函数为非线性要将其线性化，列出误差方程；
?由误差方程系数 和自由项 组成法方程，法方
程个数等于未知数个数 ；
?解算法方程，求出未知数改正数,计算未知数；
?由误差方程计算 V，求出观测量平差 。
t
B l
t
x?
VLL ???
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3、精度评定
（ 1） 单位权中误差和 的计算
同条件平差一样，间接平差单位权中误差公式为
PVVT
tn
PVV T
???? ? ?rp vv???
? ?p vvPVV T 的计算方法为
或
① 由
iv
直接计算 ? ? 22
22211 nn vpvpvpp v v ???? ?
② 由未知数改正数 及法方程常数项 及计算x? ? ?pll
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? txp t lxp b lxp a lp l lp v v ??? ????? ?21
③ 在高斯 —— 杜力特表中解算
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?111111 ?????????? ?? ????????????? ????????????? tp t ltp t t tp t lp blp bbp blp alp aap alp l lp v v ?
? ? ? ? ? ? ? ?llp l ltp l l ?????
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（ 2） 未知数函数的权倒数和中误差
设某平差问题的未知数的函数为
? ?txxxf,,,21 ???
它的权函数式为
tt
t
t
xfxfxf
x
x
fx
x
fx
x
f
???
?????
????
???
?
???
?
?
???
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
??
?
?
2211
2
2
1
1
? ?tT ffff ?21?
? ?Ttxxxx ???? ?21?
则上式的矩阵形式为
xf T ??? ?
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根据权逆阵的传播律，得未知数的权倒数
? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?
? ?? ? ? ?? ?? ?11
11
1
101
2
2
1
1 ???
??
?????
?
????? tf
tp t t
tff
p bb
ff
p aa
f
P t
t?
?
? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?
1
11
1
1101 2211
??
????????
?
??????????
tp t t
tftf
p bb
ff
p aa
ff
P
tt?
?
? ?
? ? ? ?ff
t
???
??
0
0
则 的中误差为：?
?
?
? ?? Pm
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（ 3） 未知数的权逆阵和中误差
由法方程 0?? UxN? 得
UNx 1????
011
01
1
)(
)(
PLBNPLBN
lLPBN
PlBN
TT
T
T
??
?
?
???
???
??
由权逆阵的传播律得
TTLTXX PBNQPBNQ )()( 11 ???
111
11
11
???
??
??
??
?
?
NNNN
P B NBN
P B NPQBN
T
L
T
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即法方程系数距阵的逆阵就是知数向量的权逆阵,令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
tttt
t
t
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
XX
QQQ
QQQ
QQQ
NQ
?
????
?
?
21
22212
12111
1
因为法方程系数阵是一个对称方阵，故它的逆阵也为对称方阵
未知数的权逆阵，通常又称为权系数阵，其对角线上的元素 为
未知数的权倒数，非对角线上的元素 称为未知数 关于 的
相关权倒数，而所有的元素又称为权系数。
权系数的计算除了用矩阵求逆的方法以外，还可以用高斯约化法
求权系数的方法。
则任一未知数 的中误差为：
iiQ
ijQ ix jx
ix
??? iixi Qm 返回本章首页
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9.5 高程网参数平差及算例
1、未知数个数的确定
在间接平差中，未知数个数就等于必要观测个数。
2、未知数的选取
在水准网中，即可以选取待定点高程作为未知数，也可选取高差
作为未知数，但一般是选高程为未知数，例如在下图 1中，就是选
取待定点高程作为未知数的。
3、算例
在下图 1所示水准网，已知水准点 A的高程为 m，为求 B，
C,D三点的高程，进行了水准测量，及观测高差及水准路线长度
载于下表 1中，试按间接平差法求定 B,C,D三点高程的平差值。
483.237?AH
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水准路线 观测高差 （ m） 路线长度 （ km）
1 5.835 3.5
2 3.782 2.7
3 9.640 4.0
4 7.384 3.0
5 2.272 2.5
ih is
表 1
图 1
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解：按题意知必要观测 数 t =3，选取 B,C,D三点高程,,
为参数
根据图示水准路线写出 5个平差值方程
1x 2x 3x
?
?
?
?
??
?
?
?
???
???
???
????
???
A
A
A
HxvL
xxvL
HxvL
xxvL
HxvL
355
3244
233
2122
111
则误差方程为
?
?
?
?
??
?
?
?
???
???
???
????
???
)(
)(
)(
535
4324
323
2212
111
hHxv
hxxv
hHxv
hxxv
hHxv
A
A
A
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将观测高差和已知点高程代入上式，即可计算误差方程的
常数项，此时，这些常数项具有 5～ 6个数字，这对后续计算是不
利的。为了便于计算，选取参数的近似值
?
?
?
?
?
??
??
??
5
0
3
3
0
2
1
0
1
hHx
hHx
hHx
A
A
A
这样，后续计算求定的只是未知数近似值改正数,,,
它们的关系为
1x? 2x? 3x?
?
?
?
?
?
??
??
??
3
0
33
2
0
22
1
0
11
xxx
xxx
xxx
?
?
?
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将上二式代入误差方程，得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
????
??
0
14
0
23
0
35
324
23
212
11
xv
xxv
xv
xxv
xv
?
??
?
??
?
取 10km的观测高差为单位权观测，即按
ii
i ss
cP 10??
定权，得各观测值的权分别为
9.21 ?p 7.32 ?p 5.23 ?p 3.34 ?p 0.45 ?p，,,，
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组成法方程为
??
?
?
?
????
?????
???
02.463.73.3
09.383.3.5.97.3
01.857.36.6
32
321
21
xx
xxx
xx
??
???
??
解法方程，得
75.111 ?x? 04.22 ??x? 25.73 ??x? mm mm,mm，
代人误差方程得
121 ?v 92 ?v 23 ??v 94 ??v 75 ??vmm，mm，mm，mm，
最后得平差值
330.2431 ?x 121.2472 ?x 7 4 6.2 3 93 ?xm，m，
847.5?1 ?h 791.3?2 ?h 638.9?3 ?h
375.7?4 ?h 263.2?5 ?hm，
m，m，m，
mm
m
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9.6 三角网参数平差及算例
1,未知数的选定
平面控制网参数平差总是选择未知点 x,y的坐标为平差参数。
2、测角网坐标平差误差方程列立
这里讨论测角网中选择待定点坐标为未知数时，误差方程
列立及线性化问题。如下图 1为某一测角网的任一角
为三个待定点，它们的近似坐标为 改
正数为,则平差值分别为
hkjLi,,,
000000,;,;,hhkkjj yxyxyx
hhkkjj yxyxyx ??????,;,;,
??
???
??
??
jjj
jjj
yyy
xxx
?
?
0
0
??
???
??
??
kkk
kkk
yyy
xxx
?
?
0
0
??
???
??
??
hhh
hhh
yyy
xxx
?
?
0
0
由图 1可得 的平差值方程为
iL?
jhjkiL ?? ??? ??
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令
jkjkjk ???? ?? 0?
jhjhjh ???? ?? 0?
误差方程为
ijhjkijhjkjhjki lLv ???????? ?????????? )( 00
ijki Ll ?? 0?
式中：
k
jk
jk
k
jk
jk
j
jk
jk
j
jk
jk
jk ys
xx
s
yy
s
xx
s
y ??????????
20
0
20
0
20
0
20
0
)()()()(
??????????????????
h
jh
jh
h
jh
jh
j
jh
jh
j
jh
jh
jh ys
xx
s
yy
s
xx
s
y ??????????
20
0
20
0
20
0
20
0
)()()()(
??????????????????
i
L
),(
hh
yxh
),(
kk
yxk),(
jj
yxj
图
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或写为：
k
jk
jk
k
jk
jk
j
jk
jk
j
jk
jk
jk ysxsysxs ?
?????????????
0
0
0
0
0
0
0
0 c o ss i nc o ss i n ??
????????????
h
jh
jh
h
jh
jh
j
jh
jh
j
jh
jh
jh ysxsysxs ?
?????????????
0
0
0
0
0
0
0
0 c o ss i nc o ss i n ??
????????????
讨论, （ 1）若测站点 为已知点时，则 = =0 有，得j
jx? jy?
k
jk
jk
k
jk
jk
jk ys
xx
s
y ??????
20
0
20
0
)()(
???????????
若照准点 为已知点，则有 = =0,得k kx? ky?
j
jk
jk
j
jk
jk
jk ys
xx
s
y ??????
20
0
20
0
)()(
??????????
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（ 3）若某边的两个端点均为已知点，则
jx? jy? kx? ky? 0???jk??
= = = =0,
（ 4）同一边的正反坐标方位角的改正数相等，它们
与坐标改正数的关系也一样。
即
kjjk ???? ?????
因为
k
jk
jk
k
jk
jk
j
jk
jk
j
jk
jk
jk ys
xx
s
yy
s
xx
s
y ??????????
20
0
20
0
20
0
20
0
)()()()(
??????????????????
j
kj
kj
j
kj
kj
k
kj
kj
k
kj
kj
kj ys
xx
s
yy
s
xx
s
y ??????????
20
0
20
0
20
0
20
0
)()()()(
??????????????????
顾及
??
???
????
????
00
00
kjjk
kjjk
yy
xx
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综上所述，对于角度观测的角网，采用间接平差，选
择待定点的坐标为未知数时，列误差方程的步骤为：
?计算各待定点的近似坐标；
?由待定点的近似坐标和已知点坐标计算各边的近似
坐标方位角和近似边长；
?计算各边的坐标方位角改正数，并计算其系数
?列出误差方程。
据此，实际计算时，只要对每条待定边计算一
个方向的坐标方位角改正数方程即可。
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3、测边网坐标平差误差方程列立
如下图 2为某一测边网中的任意一条边，, 为两个待定点，它
们的近似坐标为,改正数为 则,
的坐标平差值为
j k
0000,;,kkjj yxyx kkjj yxyx ????,;,
j k
??
?
?
?
??
??
jjj
jjj
yyy
xxx
?
?
0
0
??
?
?
?
??
??
kkk
kkk
yyy
xxx
?
?
0
0
k
is
j
由右图 2可写出 的平差值方程为
is?
22 )()(? jkjkiii yyxxvss ?????? ? 图 2
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按台劳公式展开,得
k
j
i
k
j
i
j
k
i
j
k
i
jkjkii yy
sx
x
sy
y
sx
x
syyxxvs ????
0000
200200 ????)()( ??
?
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
???????
ik
jk
jk
k
jk
jk
j
jk
jk
j
jk
jk
i lys
yx
s
xy
s
yx
s
xv ?????????? ????
0
0
0
0
0
0
0
0
讨论, （ 1）若 为已知点，则j 0??
jj yx ??
ik
jk
jk
k
jk
jk
i lys
yx
s
xv ????? ??
0
0
0
0
)( ijki ssl ?? ?
若 为已知点，则k 0??
kk yx ??
ij
jk
jk
j
jk
jk
i lys
yx
s
xv ?????? ??
0
0
0
0
22 )()( ????? jkjkjk yyxxs ????
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（ 2）若, 均为知点，
则该边为固定边，不需要列误差方程。
j k ?? jj yx ?? 0??
kk yx ??
（ 3）某边的误差方程，按 方向列立与按 方向列立结果完全相
同。
jk kj
若按 方向，则jk
ik
jk
jk
k
jk
jk
j
jk
jk
j
jk
jk
i lys
yx
s
xy
s
yx
s
xv ?????????? ????
0
0
0
0
0
0
0
0
按 方向，则kj
ij
kj
kj
j
kj
kj
k
kj
kj
k
kj
kj
i lys
yx
s
xy
s
yx
s
xv ?????????? ????
0
0
0
0
0
0
0
0
顾及
??
?
????
????
kjjk
kjjk
yy
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4、三边网参数平差算例
同精度测得如右图 3中的三个边长,其结果为
363.3871 ?L
0 6 5.3 0 62 ?L
8 6 2.3 5 43 ?L
m
m
m
已知点 A,B,C 的起算数据列于下表 1。试列出误差方程并求平差
值。 表 1
图 3
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解,（ 1）本题,选择待定点 的坐标 和 为未知数,其
近似值 和 由已知点, 和观测边, 交会计算而得。
图 4中，设 为三角形 底边 上的高,为 在 上的投
影。得
2?t D Dx Dy
0Dx 0Dy A B 1L 2L
h ABD AB l 1L AB
502.3482 22
22
1 ???? AB LABLl
105.169221 ??? lLh
9930882.0c o s ???? AB xx ABAB?
1 1 7 3 7 5 8.0s i n ???? AB yy ABAB?
按此,计算待定点 Ｄ 的近似坐标
259.2 3 2 6s i nc o s0 ???? ABABAD halxx ?
184.5330c o ss i n0 ???? ABABAD hlyy ??
m
m
m
m
图 4
控制网平差
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（ 2）根据近似坐标和已知点坐标计算误差方程的系数和常
数项，计算数值列在表 2中。 表 2
由表 2的最后三列数值,按式写出误差方程
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
2 3 1.0
0
0
9 4 5 3.03 2 6 2.0
6 4 6 5.07 6 2 9.0
3 2 7 9.09 4 4 7.0
XV ?
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（ 3）求平差值
根据误差方程组成法方程
021 8 3.0 07 5 3.041 9 2.112 4 9.0 12 4 9.058 0 8.1 ??
?
??
?
? ???
?
??
?
?
?
? X?
解算法方程,得 m,m。待定点坐
标平差值为 0 3 6.0?Dx? 1 5 1.0??Dy?
??
???
???
???
m033.5330
m295.2326
0
0
DDD
DDD
yyy
xxx
?
?
将 代入误差方程计算观测值的改正数并从而求得平差值X?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
077.0
070.0
083.0
V
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
7 8 5.3 5 4
9 9 5.3 0 5
2 8 0.3 8 7
?L（ m），
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控制网平差
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习 题
1、在图 1的水准网中，观测高差及路线长度见下表：
已知 A,B点高程为,=50.000m,=40.000m,试用条件平差法求AH BH
(1)、各观测高差的平差值；
(2)、平差后 到 点间高差的中误差 。1P 2P ??
图
1
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2、有闭合导线如下图 2，观测 4条边长和 5个左转折角，已知测
角中误差,边长中误差 mm,计算（ 以
m为单位），起算数据为,1?????m isi Sm 2.0? iS
045.2 2 7 2?? BA XX 3 3 0.5 0 7 1?? BA YY
90402 2 4 ???? ?AT 904044 ???? ?BT
观测值如下：
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试按条件平差,
(1)、列条件方程和法方程；
(2)、求改正数和平差值；
(3)、求导线点 2,3,4的坐标平差值。
S 4
S 3
S 2
S 1
T A
T B
A
B 1β
β 2
β 3
β 4
β 5
图 2
控制网平差
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3、在下图 3的水准网中，为已知点,m，观测各点间的高差为：000.10?
AH
015.11 ?h 570.122 ??h 161.63 ?h 563.114 ??h 414.65 ?hm、m、m、m、
设,试按间接平差法求：IQ?
（１） 待定点,, 的高程平差值；1P 2P
3P
（２） 平差后 至 点间高差平差值及中误差。1P 3P
h 2
h 4
P 1
h 1
A
P 2
h 3
h 5
P 3
图 3
控制网平差
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4、如图 4的测角网中,Ａ，Ｂ，Ｃ 为已知三角点,Ｐ 点为待定
点，起算数据如下表：
起 算 数 据
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试用坐标平差法求待定点 Ｐ 的坐标值及其点位中误差。
A
B
C
2
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3 7
81
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图 4
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5、在图 5中测边网中,点为已知点,点为待定点。已知
点坐标为,,同精度测得边长观测值为：BA,
DC,
)m0,m0(A )m0,m335.22141(B
062.279081 ?s 592.2 0 0 4 42 ?s 034.365773 ?s
046.2 0 4 8 04 ?s 438.2 9 4 0 25 ?s
3 3 5.1 9 1 8 70 ?Cx
8 8 7.2 0 2 6 50 ?Cy
3 8 6.1 0 0 6 80 ??Dx
4 3 4.1 7 3 3 20 ?Dy
试按间接平差求 点坐标平差值及
其协因数阵。 DC,
设待定点的近似坐标为：
图
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