第三章 扩展的单方程计量经济学模型
理论与方法
? 本章介绍 3.2第一部分非线性单方程计量经
济学模型概述（ 101－ 103）及 P23的内容
? 本次内容共分为两部分：
? 1、参数线性模型
? 2、将非线性关系化为线性关系的常用的数
学处理方法 — 重点
线性回归模型是计量经济学模型的主要形式
“线性” — 包含两重含义：
I,y与 x之间为线性关系 — 变量线性
II,y与参数 ?0, ?1 之间 也为线性关系 — 参数线性
）（ ni,,2,110 ????? iii xy ???
ikikiii xxxy ????? ??…???? 22110 i=1,2,…,n
1、参数线性模型
? 许多实际经济活动中经济变量间的关系都表现为
非线性关系：
例如,描述税收与税率关系的 拉弗曲线,抛物线
s = a + b r + c r2 c<0
s：税收； r：税率
例如, Cobb-Dauglas生产函数,
Q = AK?L?
Q：产出量,K：投入的资本； L：投入的劳动
? 这些模型要么对变量是非线性的，但对参数则是
线性的；要么可以通过适当的变量代换而变为对
参数是线性的。 总之可转化为参数线性的模型 。
? 只要是可转化为参数线性的模型，就可以使用 OLS
法对模型进行估计。
2、将非线性关系化为线性关系的常用的数学处理方
法
⑴ 变量置换
例如 1,描述税收与税率关系的 拉弗曲线, 抛物线
s = ?0 + ?1 r + ?2 r2 c<0
s：税收； r：税率
设 x1 = r,x2 = r2,则原方程变换为
s = ?0 + ?1 x1 + ?2 x2 c<0
例如 2,描述成本与产量关系的总成本函数与
平均成本函数
? 一般形式：
? y=?0+ ?1x+ ?2x2+ ?3x3+μ
? y/x= ?0/x+ ?1+ ?2x+ ?3x2 +μ
? 其中 y（ TC）为总成本,x为产量,y/x （ AC）为
平均成本
x
AC
平均成本的
U形曲线
例如 3,倒数模型的线性化
一般形式, yi=?0+?11/xi +μi
? 则原方程变换为 yi= ?0+?1zi +μI
设 z = 1/x
? 适用性,通常用来描述菲利普斯曲线（失
业率与工资变化的关系）
变量置换仅用于变量非线性但参
数线性的情况，对参数非线性的情
况无效
⑵ 函数变换
1.怎样测度弹性：对数线性模型
例如, Cobb-Dauglas生产函数：
Q = AK?L?e?
Q：产出量,K：投入的资本； L：投入的劳动
如何估计模型中的三个参数？
模型两边取 对数,
ln Q = ln A + ? ln K + ? ln L＋ ?
令 y= ln Q ;?＝ ln A ； x1=ln K; x2=ln L
则原模型变为,y= ?＋ ? x1＋ ? x2 ＋ ?
? 在模型 Q = AK?L?e?中的参数含义如何？
? ln Q = ln A + ? ln K + ? ln L ＋ ?
? ?,?分别是资本和劳动力的产出 弹性
资本变动的百分比
产出量变动的百分比
＝＝
K
ΔK
Q
ΔQ
K
dK
Q
dQ
d ln k
d ln Q
α ??
劳动变动的百分比
产出量变动的百分比
＝＝
L
ΔL
Q
ΔQ
L
dL
Q
dQ
d lnL
d lnQ
β ??
? 弹性 （经济学中的一个重要概念），是某一变量的 相对变
化 引起另一变量的 相对变化 的度量，即 变量的变化率之比
? 某产品前年产量为 100吨，今年产量为 200吨
? 今年比前年增产 100吨 — 绝对变化
? 今年比前年产量增加 100%— 相对变化（ 200－ 100）／
100
y
ΔyΔy ；相对变化：绝对变化：
X
X
Y
Y
X
dX
Y
dY
?
?
??E
怎样测度弹性：对数线性模型
? 对数线性模型 —— 当模型中的所有 变量 均以 对数形式
出现，且模型对参数和变量均为线性，这类模型称为
对数线性模型 或双对数或对数 — 对数模型
? 例如, ln Q = ln A + ? ln K + ? ln L ＋ ?
? 令 y= ln Q ;?＝ ln A ； x1=ln K; x2=ln L
? 注,ln为以 e为底的自然对数； log为以 10为底的对数
? 则原模型变为,y= ?＋ ? x1＋ ? x2 ＋ ?
? 一般形式：
? ln yi = ?0 + ?1 lnx1i +?＋ ?k lnxki ＋ ?
? 参数特点,对数线性模型中的参数为 弹性 （ 变量
的变化率之比）
? （ ln yi = ?0 + ?1 lnx1i +?＋ ?k lnxki ）
? 适用性,弹性经常用于不同行业、不同国家之间
的经济比较研究。例如可以建立不同行业的生产
函数，不同国家的进出口函数，通过它们的弹性
系数对这些经济活动进行比较研究。这也是经济
模型分析中经常使用对数线性模型的理由之一。
变动的百分比
变动的百分比
＝
j
x
y
j
j
j
j
j
x
Δx
y
Δy
x
dx
y
dy
β ??
? 例如,考察墨西哥投入与产出的情况。采用 C-D
生产函数。其中产出 Q用国内 GDP度量，以 1960
年不变价，单位百万比索；劳动投入 L用总就业
人数度量，单位为千人；资本投入 K用固定资本
度量，以 1960年不变价，单位百万比索。样本取
自 1955－ 1974年间墨西哥的相关数据。
? 资料来源：, Sources of Growth,A Study of
Seven Latin American Economics》
? 0.864表明产出对资本投入的弹性：在劳动投入保
持不变的情况下，资本投入每增加一个百分点，
平均产出增加 0.864个百分点。
? 类似的，在资本投入保持不变的情况下，劳动投
入每增加一个百分点，产出平均增加约 0.34个百
分点。
? 在本例中两个弹性系数的估计值相加为 1.1857>1，
说明在该样本下，墨西哥经济的特征是规模收益
递增的。
tt l n L3397.0l n K8640.06524.1Qn?l ??? －t
2.怎样测度增长率：线性到对数模型
? 经济学家、企业人员与政府常常对找出某些经济
变量，如人口,GDP、货币供给、就业、生产力、
贸易赤字等的 增长率 感兴趣。
? 著名的复利公式：
? 其中 y0为起始值； yt为第 t年值； r是 y的复合（在时
间上）增长率
? 如何利用计量经济学的工具求得该增长率呢？
t
0 r)(1 ?? yy t
? 取该公式的自然对数，得：
? 令
? 则原式可写为：
? (2)
? 在（ 2)式中加一个误差项得：
? (3)
? 模型 (3)和任何其他线性模型一样，是对参数线性
的。
? 象模型 (3)一样的模型叫做 线性到对数模型（ 模型
中只有被解释变量取对数，模型对参数和变量均
为线性的模型 )
r)l n ( 1t lnln 0 ???? yy t
r)l n ( 1;ln 100 ??? ?? y
tln 10 ?? ??ty
tty ??? ??? tln 10
? 例如,根据 1972－ 1991年期间美国实际国内总
产值 GDP数据。想求出在这期间里实际 GDP的
增长率？
? 令 yt＝时间 t的实际 GDP,y0 ＝实际 GDP初始值
（ 1972年），
? 根据
? 取自然对数，得
? 其中
? 据样本数据，采用 OLS法得：
t
0 r)(1 ?? yy t
r)l n ( 1;ln 100 ??? ?? y
tty ??? ??? tln 10
个百分点的复合增长率为每年
实际这就是说，在研究期间
－，则
4 9 9 7.2
G D P
0 2 4 9 9 7.01-e
1err)l n ( 1
t0 2 4 6 9.00 1 3 9.8n?l
0, 0 2 4 6 9
1
1
?
???
??
?
?
t
y
怎样测度增长率：线性到对数模型
线性到对数模型 — 模型中只有被解释变量取对数，
模型对参数和变量均为线性的模型
用于测度增长率的线性到对数模型形式：
tty ??? ??? tln 10
参数的特点,
? 斜率系数度量了在给定解释变量取值的绝对变化
量时,y的相对改变量
? 适用性, 测度变量的 增长率
的绝对变动
的相对变动
＝
t
y
ttt
ln
Δ
y
Δy
d
y
dy
d
yd
β 1 ??
函数变换用于参数非线性的情况
一般采用在 模型两端对数化 的方
式将模型转化为线性模型
(3)级数展开 — 不做介绍
例如, 不变替代弹性 CES生产函数,
方程两边取对数后，得到：
对
在 ρ =0处展开台劳级数，取关于 ρ 的线性项，即
得到一个线性近似式。
Q A K L? ?? ? ?( )? ?? ? ?1 2 1
L n Q L n A Ln K L? ? ?? ?1 1 2? ? ?? ?( )
Ln K L( )? ?? ?1 2? ??
变量置换得到
ln ln ln ln (l n ( ))Y A m K m L m KL? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 12 1 2 2
Z X X X? ? ? ? ?? ? ? ? ?0 1 1 2 2 3 3
关于非线性单方程模型的总结,
? 非线性单方程模型 只要是可转化为 参数线性 的
模型，就可以使用 OLS法对模型进行估计。
? 常用转化方法,
1,变量置换 — 仅用于变量非线性但参数线性的情
况
2,函数变换 — 用于参数非线性的情况，一般采用
在模型两端 对数化 的方式
? 实际经济活动中的许多问题，都可以最终化为线
性问题，所以，线性回归模型有其普遍意义。
? 即使对于无法采取任何变换方法使之变成参数线
性的非线性模型，目前使用得较多的参数估计方
法 —— 非线性最小二乘法，其原理仍然是以 OLS方
法为基础。
? 线性模型理论方法在计量经济学模型理论方法的
基础。
? 常见转化模型形式：
? 测度弹性：对数线性模型
? 测度增长率：线性到对数模型
练习
bxa
x
y
?
? e bxa
cy
??? 1
baxy
x
x
y
y
b
x
a
y
b
x
a
y
bxa
x
y
－＝
则原方程变为令
??
??
??
??
?
?
?
?
?
??
???
?
?
1;
1
11
1
逻辑方程
X
Y
C
bxa
y
c
y
c
y
c
c
y
e
e
e
bxa
bxa
bxa
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
1ln
1
1
1
理论与方法
? 本章介绍 3.2第一部分非线性单方程计量经
济学模型概述（ 101－ 103）及 P23的内容
? 本次内容共分为两部分：
? 1、参数线性模型
? 2、将非线性关系化为线性关系的常用的数
学处理方法 — 重点
线性回归模型是计量经济学模型的主要形式
“线性” — 包含两重含义：
I,y与 x之间为线性关系 — 变量线性
II,y与参数 ?0, ?1 之间 也为线性关系 — 参数线性
）（ ni,,2,110 ????? iii xy ???
ikikiii xxxy ????? ??…???? 22110 i=1,2,…,n
1、参数线性模型
? 许多实际经济活动中经济变量间的关系都表现为
非线性关系：
例如,描述税收与税率关系的 拉弗曲线,抛物线
s = a + b r + c r2 c<0
s：税收； r：税率
例如, Cobb-Dauglas生产函数,
Q = AK?L?
Q：产出量,K：投入的资本； L：投入的劳动
? 这些模型要么对变量是非线性的，但对参数则是
线性的；要么可以通过适当的变量代换而变为对
参数是线性的。 总之可转化为参数线性的模型 。
? 只要是可转化为参数线性的模型，就可以使用 OLS
法对模型进行估计。
2、将非线性关系化为线性关系的常用的数学处理方
法
⑴ 变量置换
例如 1,描述税收与税率关系的 拉弗曲线, 抛物线
s = ?0 + ?1 r + ?2 r2 c<0
s：税收； r：税率
设 x1 = r,x2 = r2,则原方程变换为
s = ?0 + ?1 x1 + ?2 x2 c<0
例如 2,描述成本与产量关系的总成本函数与
平均成本函数
? 一般形式：
? y=?0+ ?1x+ ?2x2+ ?3x3+μ
? y/x= ?0/x+ ?1+ ?2x+ ?3x2 +μ
? 其中 y（ TC）为总成本,x为产量,y/x （ AC）为
平均成本
x
AC
平均成本的
U形曲线
例如 3,倒数模型的线性化
一般形式, yi=?0+?11/xi +μi
? 则原方程变换为 yi= ?0+?1zi +μI
设 z = 1/x
? 适用性,通常用来描述菲利普斯曲线（失
业率与工资变化的关系）
变量置换仅用于变量非线性但参
数线性的情况，对参数非线性的情
况无效
⑵ 函数变换
1.怎样测度弹性：对数线性模型
例如, Cobb-Dauglas生产函数：
Q = AK?L?e?
Q：产出量,K：投入的资本； L：投入的劳动
如何估计模型中的三个参数？
模型两边取 对数,
ln Q = ln A + ? ln K + ? ln L＋ ?
令 y= ln Q ;?＝ ln A ； x1=ln K; x2=ln L
则原模型变为,y= ?＋ ? x1＋ ? x2 ＋ ?
? 在模型 Q = AK?L?e?中的参数含义如何？
? ln Q = ln A + ? ln K + ? ln L ＋ ?
? ?,?分别是资本和劳动力的产出 弹性
资本变动的百分比
产出量变动的百分比
＝＝
K
ΔK
Q
ΔQ
K
dK
Q
dQ
d ln k
d ln Q
α ??
劳动变动的百分比
产出量变动的百分比
＝＝
L
ΔL
Q
ΔQ
L
dL
Q
dQ
d lnL
d lnQ
β ??
? 弹性 （经济学中的一个重要概念），是某一变量的 相对变
化 引起另一变量的 相对变化 的度量，即 变量的变化率之比
? 某产品前年产量为 100吨，今年产量为 200吨
? 今年比前年增产 100吨 — 绝对变化
? 今年比前年产量增加 100%— 相对变化（ 200－ 100）／
100
y
ΔyΔy ；相对变化：绝对变化：
X
X
Y
Y
X
dX
Y
dY
?
?
??E
怎样测度弹性：对数线性模型
? 对数线性模型 —— 当模型中的所有 变量 均以 对数形式
出现，且模型对参数和变量均为线性，这类模型称为
对数线性模型 或双对数或对数 — 对数模型
? 例如, ln Q = ln A + ? ln K + ? ln L ＋ ?
? 令 y= ln Q ;?＝ ln A ； x1=ln K; x2=ln L
? 注,ln为以 e为底的自然对数； log为以 10为底的对数
? 则原模型变为,y= ?＋ ? x1＋ ? x2 ＋ ?
? 一般形式：
? ln yi = ?0 + ?1 lnx1i +?＋ ?k lnxki ＋ ?
? 参数特点,对数线性模型中的参数为 弹性 （ 变量
的变化率之比）
? （ ln yi = ?0 + ?1 lnx1i +?＋ ?k lnxki ）
? 适用性,弹性经常用于不同行业、不同国家之间
的经济比较研究。例如可以建立不同行业的生产
函数，不同国家的进出口函数，通过它们的弹性
系数对这些经济活动进行比较研究。这也是经济
模型分析中经常使用对数线性模型的理由之一。
变动的百分比
变动的百分比
＝
j
x
y
j
j
j
j
j
x
Δx
y
Δy
x
dx
y
dy
β ??
? 例如,考察墨西哥投入与产出的情况。采用 C-D
生产函数。其中产出 Q用国内 GDP度量，以 1960
年不变价，单位百万比索；劳动投入 L用总就业
人数度量，单位为千人；资本投入 K用固定资本
度量，以 1960年不变价，单位百万比索。样本取
自 1955－ 1974年间墨西哥的相关数据。
? 资料来源：, Sources of Growth,A Study of
Seven Latin American Economics》
? 0.864表明产出对资本投入的弹性：在劳动投入保
持不变的情况下，资本投入每增加一个百分点，
平均产出增加 0.864个百分点。
? 类似的，在资本投入保持不变的情况下，劳动投
入每增加一个百分点，产出平均增加约 0.34个百
分点。
? 在本例中两个弹性系数的估计值相加为 1.1857>1，
说明在该样本下，墨西哥经济的特征是规模收益
递增的。
tt l n L3397.0l n K8640.06524.1Qn?l ??? －t
2.怎样测度增长率：线性到对数模型
? 经济学家、企业人员与政府常常对找出某些经济
变量，如人口,GDP、货币供给、就业、生产力、
贸易赤字等的 增长率 感兴趣。
? 著名的复利公式：
? 其中 y0为起始值； yt为第 t年值； r是 y的复合（在时
间上）增长率
? 如何利用计量经济学的工具求得该增长率呢？
t
0 r)(1 ?? yy t
? 取该公式的自然对数，得：
? 令
? 则原式可写为：
? (2)
? 在（ 2)式中加一个误差项得：
? (3)
? 模型 (3)和任何其他线性模型一样，是对参数线性
的。
? 象模型 (3)一样的模型叫做 线性到对数模型（ 模型
中只有被解释变量取对数，模型对参数和变量均
为线性的模型 )
r)l n ( 1t lnln 0 ???? yy t
r)l n ( 1;ln 100 ??? ?? y
tln 10 ?? ??ty
tty ??? ??? tln 10
? 例如,根据 1972－ 1991年期间美国实际国内总
产值 GDP数据。想求出在这期间里实际 GDP的
增长率？
? 令 yt＝时间 t的实际 GDP,y0 ＝实际 GDP初始值
（ 1972年），
? 根据
? 取自然对数，得
? 其中
? 据样本数据，采用 OLS法得：
t
0 r)(1 ?? yy t
r)l n ( 1;ln 100 ??? ?? y
tty ??? ??? tln 10
个百分点的复合增长率为每年
实际这就是说，在研究期间
－，则
4 9 9 7.2
G D P
0 2 4 9 9 7.01-e
1err)l n ( 1
t0 2 4 6 9.00 1 3 9.8n?l
0, 0 2 4 6 9
1
1
?
???
??
?
?
t
y
怎样测度增长率：线性到对数模型
线性到对数模型 — 模型中只有被解释变量取对数，
模型对参数和变量均为线性的模型
用于测度增长率的线性到对数模型形式：
tty ??? ??? tln 10
参数的特点,
? 斜率系数度量了在给定解释变量取值的绝对变化
量时,y的相对改变量
? 适用性, 测度变量的 增长率
的绝对变动
的相对变动
＝
t
y
ttt
ln
Δ
y
Δy
d
y
dy
d
yd
β 1 ??
函数变换用于参数非线性的情况
一般采用在 模型两端对数化 的方
式将模型转化为线性模型
(3)级数展开 — 不做介绍
例如, 不变替代弹性 CES生产函数,
方程两边取对数后，得到：
对
在 ρ =0处展开台劳级数，取关于 ρ 的线性项，即
得到一个线性近似式。
Q A K L? ?? ? ?( )? ?? ? ?1 2 1
L n Q L n A Ln K L? ? ?? ?1 1 2? ? ?? ?( )
Ln K L( )? ?? ?1 2? ??
变量置换得到
ln ln ln ln (l n ( ))Y A m K m L m KL? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 12 1 2 2
Z X X X? ? ? ? ?? ? ? ? ?0 1 1 2 2 3 3
关于非线性单方程模型的总结,
? 非线性单方程模型 只要是可转化为 参数线性 的
模型，就可以使用 OLS法对模型进行估计。
? 常用转化方法,
1,变量置换 — 仅用于变量非线性但参数线性的情
况
2,函数变换 — 用于参数非线性的情况，一般采用
在模型两端 对数化 的方式
? 实际经济活动中的许多问题，都可以最终化为线
性问题，所以，线性回归模型有其普遍意义。
? 即使对于无法采取任何变换方法使之变成参数线
性的非线性模型，目前使用得较多的参数估计方
法 —— 非线性最小二乘法，其原理仍然是以 OLS方
法为基础。
? 线性模型理论方法在计量经济学模型理论方法的
基础。
? 常见转化模型形式：
? 测度弹性：对数线性模型
? 测度增长率：线性到对数模型
练习
bxa
x
y
?
? e bxa
cy
??? 1
baxy
x
x
y
y
b
x
a
y
b
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bxa
x
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－＝
则原方程变为令
??
??
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1;
1
11
1
逻辑方程
X
Y
C
bxa
y
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y
c
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bxa
bxa
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