§ 4.4联立方程模型的单方程估计方法
Single-Equation Estimation Methods
一、狭义的工具变量法（ IV）
二、间接最小二乘法 (ILS)
三、二阶段最小二乘法 (2SLS)
四、三种方法的等价性证明
五、简单宏观经济模型实例演示
六、主分量法的应用
七、其它有限信息估计方法简介
八,k级估计式
? 联立方程计量经济学模型的估计方法分为两大类：
单方程估计方法与系统估计方法 。
? 所谓单方程估计方法，指每次只估计模型系统中
的一个方程，依次逐个估计。
? 所谓系统估计方法，指同时对全部方程进行估计，
同时得到所有方程的参数估计量。
? 联立方程模型的单方程估计方法不同于单方程模
型的估计方法 。
一、狭义的工具变量法
（ IV,Instrumental Variables）
⒈ 方法思路
?,狭义的工具变量法, 与, 广义的工具变量法,
? 解决结构方程中与随机误差项相关的内生解释变
量问题。
? 方法原理与单方程模型的 IV方法相同。
? 模型系统中提供了可供选择的工具变量，使得 IV
方法的应用成为可能。
⒉ 工具变量的选取
? 对于联立方程模型的每一个结构方程, 例如第 1个
方程, 可以写成如下形式：
Y Y Y Y X X Xg g k k1 12 2 13 3 1 11 1 12 2 1 11 1 1 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
? 内生解释变量（ g1-1）个，先决解释变量 k1个。
? 如果方程是恰好识别的，有（ g1-1） =（ k- k1）。
? 可以选择（ k- k1）个方程没有包含的先决变量作
为（ g1-1）个内生解释变量的工具变量。
⒊ IV参数估计量
? 方程的矩阵表示为
Y 1 0 0 1?
?
??
?
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?(,)Y X 0
0
?
? ?
? ? ? ? ? ?
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* *?
?
0
0
0 0 0 0
1
0 0 1
?
?
?
?
?
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??
?
??
??
IV
YX X Y X X X
? 选择方程中 没有包含的先决变量 X0*作为 包含的内
生解释变量 Y0的工具变量，得到参数估计量为：
⒋ 讨论
? 该估计量与 OLS估计量的区别是什么？
? 该估计量具有什么统计特性？
? （ k- k1）工具变量与（ g1-1）个内生解释变量的
对应关系是否影响参数估计结果？为什么？
? IV是否利用了模型系统中方程之间相关性信息？
? 对于过度识别的方程，可否应用 IV？为什么？
? 对于过度识别的方程，可否应用 GMM？为什么？
二、间接最小二乘法
(ILS,Indirect Least Squares)
⒈ 方法思路
? 联立方程模型的结构方程中包含有内生解释变量,
不能直接采用 OLS估计其参数 。 但是对于简化式方程,
可以采用 OLS直接估计其参数 。
? 间接最小二乘法：先对关于内生解释变量的简化式
方程采用 OLS估计简化式参数, 得到简化式参数估计
量, 然后通过参数关系体系, 计算得到结构式参数
的估计量 。
? 间接最小二乘法只适用于恰好识别的结构方程的参
数估计，因为只有恰好识别的结构方程，才能从参
数关系体系中得到唯一一组结构参数的估计量。
⒉ 一般间接最小二乘法的估计过程
Y 1 0 0 1?
?
??
?
??
?(,)Y X 0
0
?
? ?
Y 1 0 0 0 0 1? ? ?? ? ?Y X
? ?1 0
1
0
0
1? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ? ?0 Y
X
Y
? ?? ? ?00 00 00
0
1
Y
X
?
?
?
?
?
? ?
Y X00 00? ?? ?
? ? ?00 00 00 0 0X X? ?
? ? ?00 00
0
0
00 0 0
X
X
X*
?
?
?
?
?
? ? ?
? ?? ? ?00 001 002?
? ? ?
? ?
00 00
1
0
00 00
2 0
?
?
?
?
?
? 用 OLS估计简化式模型，得到简化式参数估计量，
代入该参数关系体系，先由第 2组方程计算得到内生
解释变量的参数，然后再代入第 1组方程计算得到先
决解释变量的参数。于是得到了结构方程的所有结构
参数估计量。
⒊ 间接最小二乘法也是一种工具变量方法
? ILS等价于一种工具变量方法：依次选择 X作为
（ Y0,X0）的工具变量。
? 数学证明见, 计量经济学 —方法与应用, （李子
奈编著，清华大学出版社,1992年 3月）第 126—
128页。
? 估计结果为：
? ?? ?
?
?
?
?
0
0
0 0
1
1
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
I LS
YX Y X X
三、二阶段最小二乘法
(2SLS,Two Stage Least Squares)
⒈ 2SLS是应用最多的单方程估计方法
? IV和 ILS一般只适用于联立方程模型中恰好识别的
结构方程的估计。
? 在实际的联立方程模型中，恰好识别的结构方程
很少出现，一般情况下结构方程都是过度识别的。
为什么？
? 2SLS是一种既适用于恰好识别的结构方程，又适
用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。
⒉ 2SLS的方法步骤
? 第一阶段：对内生解释变量的简化式方程使用 OLS。
得到：
? ? (( ) )Y X X X X X Y0 0 1 0? ? ? ???
? 用估计量代替结构方程中的内生解释变量，得到新
的模型：
Y 1 0 0 1?
?
?
?
?
?
? ?( ?,)Y X
0
0
?
?
?
? 第二阶段：对该模型应用 OLS估计,得到的参数
估计量即为原结构方程参数的二阶段最小二乘估
计量。
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ??
?
0
0 2
0 0 0 0
1
0 0 1
?
?
?
?
?
? ?
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?
?
?
?
?
??
S L S
YY X Y X Y X
⒊ 二阶段最小二乘法也是一种工具变量方法
? 如果用 Y0的估计量作为工具变量，按照工具变量方
法的估计过程，应该得到如下的结构参数估计量：
? ? ? ? ? ?
?
?
? ??
?
0
0
0 0 0 0
1
0 0 1
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
??
Y X Y X Y X Y
? 可以严格证明两组参数估计量是完全等价的，所
以可以把 2SLS也看成为一种工具变量方法。
? 证明过程见, 计量经济学 —方法与应用, （李子奈编著，
清华大学出版社,1992年 3月）第 130—131页 。
四、三种方法的等价性证明
⒈ 三种单方程估计方法得到的参数估计量
? ? ? ? ? ?
?
?
* *?
?
0
0
0 0 0 0
1
0 0 1
?
?
?
?
?
? ?
??
??
?
??
??
IV
YX X Y X X X
? ?? ?
?
?
?
?
0
0
0 0
1
1
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
I LS
YX Y X X
? ? ? ? ? ?
?
?
? ??
?
0
0 2
0 0 0 0
1
0 0 1
?
?
?
?
?
? ?
??
??
?
??
??
S L S
YY X Y X Y X
⒉ IV与 ILS估计量的等价性
? 在恰好识别情况下
? 工具变量集合相同，只是次序不同。
? 次序不同不影响正规方程组的解。
⒉ 2SLS与 ILS估计量的等价性
? 在恰好识别情况下
? ILS的工具变量是全体先决变量。
? 2SLS的每个工具变量都是全体先决变量的线性组
合。
? 2SLS的正规方程组相当于 ILS的正规方程组经过一
系列的初等变换的结果。
? 线性代数方程组经过初等变换不影响方程组的解。
五、简单宏观经济模型实例演示
⒈ 模型
C Y C
I Y
Y I C G
t t t t
t t t
t t t t
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?? ? ? ?
? ? ?
0 1 2 1 1
0 1 2
? 消费方程是恰好识别的；
? 投资方程是过度识别的；
? 模型是可以识别的。
⒉ 数据
年份 Y I C G
1 9 7 8 3 6 0 6 1 3 7 8 1 7 5 9 469
1 9 7 9 4 0 7 4 1 4 7 4 2 0 0 5 595
1 9 8 0 4 5 5 1 1 5 9 0 2 3 1 7 644
1 9 8 1 4 9 0 1 1 5 8 1 2 6 0 4 716
1 9 8 2 5 4 8 9 1 7 6 0 2 8 6 8 861
19 83 6 0 7 6 2 0 0 5 3 1 8 2 889
1 9 8 4 7 1 6 4 2 4 6 9 3 6 7 5 1 0 2 0
1 9 8 5 8 7 9 2 3 3 8 6 4 5 8 9 817
1 9 8 6 1 0 1 3 3 3 8 4 6 5 1 7 5 1 1 1 2
1 9 8 7 1 1 7 8 4 4 3 2 2 5 9 6 1 1 5 0 1
1 9 8 8 1 4 7 0 4 5 4 9 5 7 6 3 3 1 5 7 6
1 9 8 9 1 6 4 6 6 6 0 9 5 8 5 2 4 1 8 4 7
1 9 9 0 1 8 3 2 0 6 4 4 4 9 1 1 3 2 7 6 3
1 9 9 1 2 1 2 8 0 7 5 1 7 1 0 3 1 6 3 4 4 7
1 9 9 2 2 5 8 6 4 9 6 3 6 124 60 3 7 6 8
1 9 9 3 3 4 5 0 1 1 4 9 9 8 1 5 6 8 2 3 8 2 1
1 9 9 4 4 7 1 1 1 1 9 2 6 1 2 1 2 3 0 6 6 2 0
1 9 9 5 5 9 4 0 5 2 3 8 7 7 2 7 8 3 9 7 6 8 9
1 9 9 6 6 8 4 9 8 2 6 8 6 7 3 2 5 8 9 9 0 4 2
⒊ 用狭义的工具变量法估计消费方程
?,
?,
?,
?
?
?
0
1
2
164 79951
0 3175387
0 3919359
?
?
?
用 Gt作为 Yt的工具变量
? 估计结果显示
D e p e n d e n t V a r i a b l e, C C
M e t h o d, T w o - S t a g e L e a st S q u a r e s
D a t e, 0 4 / 1 1 / 0 3 T i m e, 2 2, 0 6
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 7 9 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 8 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
I n st r u m e n t l i st, C G C C 1
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C 1 6 4, 8 0 0 4 9 5, 4 5 1 8 2 1, 7 2 6 5 2 9 0, 1 0 4 8
Y 0, 3 1 7 5 3 9 0, 0 3 2 3 7 6 9, 8 0 7 7 8 6 0, 0 0 0 0
CC1 0, 3 9 1 9 3 5 0, 0 8 7 5 1 4 4, 4 7 8 5 1 0 0, 0 0 0 4
R - sq u a r e d 0, 9 9 9 4 3 5 M e a n d e p e n d e n t v a r 9 8 7 5, 6 6 7
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 9 9 3 6 0 S, D, d e p e n d e n t v a r 9 0 2 6, 7 9 2
S, E, o f r e g r e ssi o n 2 2 8, 3 8 3 5 S u m sq u a r e d r e si d 7 8 2 3 8 5, 2
F - st a t i st i c 1 3 2 0 0, 1 0 D u r b i n - W a t so n st a t 2, 0 1 5 6 5 5
P r o b ( F - st a t i st i c) 0, 0 0 0 0 0 0
⒋ 用间接最小二乘法估计消费方程
C C G
Y C G
t t t t
t t t t
? ? ? ?
? ? ? ?
??
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
10 11 1 12 1
20 21 1 22 2
?,
?,
?,
?
?
?
10
11
12
63 594002
0 8132890
1 2191863
? ?
?
?
?,
?,
?,
?
?
?
20
21
22
719 26343
1 3269366
3 8394822
? ?
?
?
? ? ?,
? ? ? ?,
? ? ? ?,
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 12 22
2 11 1 21
0 10 1 20
0 31753925
0 39193422
164 800368
? ?
? ? ?
? ? ?
? C简化式模型估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, C C
M e t h o d, L e a st S q u a r e s
D a t e, 0 4 / 1 1 / 0 3 T i m e, 2 2, 1 3
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 7 9 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 8 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C - 6 3, 5 9 4 0 0 2 7 9, 1 2 7 9 - 0, 2 2 7 8 3 1 0, 8 2 2 9
CC1 0, 8 1 3 2 8 9 0, 1 4 5 3 0 6 5, 5 9 7 0 6 2 0, 0 0 0 1
G 1, 2 1 9 1 8 6 0, 4 0 2 4 8 2 3, 0 2 9 1 6 7 0, 0 0 8 5
R - sq u a r e d 0, 9 9 4 0 7 9 M e a n d e p e n d e n t v a r 9 8 7 5, 6 6 7
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 9 3 2 8 9 S, D, d e p e n d e n t v a r 9 0 2 6, 7 9 2
S, E, o f r e g r e ssi o n 7 3 9, 4 5 6 2 A ka i ke i n f o cr i t e r i o n 1 6, 2 0 0 7 2
S u m sq u a r e d r e si d 8201931,S ch w a r z cr i t e r i o n 1 6, 3 4 9 1 1
L o g l i ke l i h o o d - 1 4 2, 8 0 6 5 F - st a t i st i c 1 2 5 9, 1 6 3
D u r b i n - W a t so n st a t 1, 5 4 2 6 0 8 P r o b ( F - st a t i st i c) 0, 0 0 0 0 0 0
? Y简化式模型估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, Y
M e t h o d, L e a st S q u a r e s
D a t e, 0 4 / 1 1 / 0 3 T i m e, 2 2, 1 7
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 7 9 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 8 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C - 7 1 9, 2 6 3 4 7 4 0, 2 9 4 4 - 0, 9 7 1 5 9 1 0, 3 4 6 7
CC1 1, 3 2 6 9 3 7 0, 3 8 5 3 7 7 3, 4 4 3 2 1 5 0, 0 0 3 6
G 3, 8 3 9 4 8 2 1, 0 6 7 4 5 1 3, 5 9 6 8 6 9 0, 0 0 2 6
R - sq u a r e d 0, 9 9 1 1 3 1 M e a n d e p e n d e n t v a r 2 0 5 0 6, 2 8
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 8 9 9 4 8 S, D, d e p e n d e n t v a r 1 9 5 6 1, 1 3
S, E, o f r e g r e ssi o n 1 9 6 1, 1 6 3 A ka i ke i n f o cr i t e r i o n 1 8, 1 5 1 4 7
S u m sq u a r e d r e si d 57692390 S ch w a r z cr i t e r i o n 1 8, 2 9 9 8 7
L o g l i ke l i h o o d - 1 6 0, 3 6 3 3 F - st a t i st i c 8 3 8, 1 2 8 5
D u r b i n - W a t so n st a t 1, 4 2 7 6 1 6 P r o b ( F - st a t i st i c) 0, 0 0 0 0 0 0
⒌ 用两阶段最小二乘法估计消费方程
? 比较上述消费方程的 3种估计结果，证明这 3种方
法对于恰好识别的结构方程是等价的。估计量的
差别只是很小的计算误差。
?,,,Y C Gt t t? ? ? ??719 26343 1 3269366 3 83948221
?,
?,
?,
?
?
?
0
1
2
164 90009
0 3175580
0 3918794
?
?
?
代替原消费方程中的 Yt，应用 OLS估计
? 第 2阶段估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, C C
M e t h o d, L e a st S q u a r e s
D a t e, 0 4 / 1 1 / 0 3 T i m e, 2 2, 2 2
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 7 9 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 8 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C 1 6 4, 8 0 0 4 3 0 9, 0 5 2 3 0, 5 3 3 2 4 4 0, 6 0 1 7
YF 0, 3 1 7 5 3 9 0, 1 0 4 8 2 7 3, 0 2 9 1 6 7 0, 0 0 8 5
CC1 0, 3 9 1 9 3 5 0, 2 8 3 3 5 3 1, 3 8 3 2 0 3 0, 1 8 6 8
R - sq u a r e d 0, 9 9 4 0 7 9 M e a n d e p e n d e n t v a r 9 8 7 5, 6 6 7
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 9 3 2 8 9 S, D, d e p e n d e n t v a r 9 0 2 6, 7 9 2
S, E, o f r e g r e ssi o n 7 3 9, 4 5 6 2 A ka i ke i n f o cr i t e r i o n 1 6, 2 0 0 7 2
S u m sq u a r e d r e si d 8201931,S ch w a r z cr i t e r i o n 1 6, 3 4 9 1 1
L o g l i ke l i h o o d - 1 4 2, 8 0 6 5 F - st a t i st i c 1 2 5 9, 1 6 3
D u r b i n - W a t so n st a t 1, 5 4 2 6 0 8 P r o b ( F - st a t i st i c) 0, 0 0 0 0 0 0
⒍ 用两阶段最小二乘法估计投资方程
? 投资方程是过度识别的结构方程，只能用 2SLS估
计。估计过程与上述 2SLS估计消费方程的过程相
同。得到投资方程的参数估计量为：
?,
?,
?
?
0
1
380 11614
0 4049326
? ?
?
? 至此，完成了该模型系统的估计。
? 2SLS第 2阶段估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, I
M e t h o d, L e a st S q u a r e s
D a t e, 0 4 / 1 1 / 0 3 T i m e, 2 2, 2 8
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 7 9 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 8 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C - 3 8 0, 2 0 4 4 4 2 7, 6 1 7 5 - 0, 8 8 9 1 2 3 0, 3 8 7 1
YF 0, 4 0 4 9 3 5 0, 0 1 5 3 2 4 2 6, 4 2 4 6 8 0, 0 0 0 0
R - sq u a r e d 0, 9 7 7 5 9 9 M e a n d e p e n d e n t v a r 7 9 2 3, 5 0 0
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 7 6 1 9 9 S, D, d e p e n d e n t v a r 7 9 7 5, 6 1 3
S, E, o f r e g r e ssi o n 1 2 3 0, 4 3 6 A ka i ke i n f o cr i t e r i o n 1 7, 1 7 2 5 6
S u m sq u a r e d r e si d 24223582 S ch w a r z cr i t e r i o n 1 7, 2 7 1 4 9
L o g l i ke l i h o o d - 1 5 2, 5 5 3 1 F - st a t i st i c 6 9 8, 2 6 3 9
D u r b i n - W a t so n st a t 1, 3 7 6 5 3 1 P r o b ( F - st a t i st i c) 0, 0 0 0 0 0 0
⒎ 用 GMM估计投资方程
? 投资方程是过度识别的结构方程，也可以用 GMM
估计。选择的工具变量为 c,G,CC1,得到投资
方程的参数估计量为：
405241.0?
2216.388?
1
0
?
??
?
?
? 与 2SLS结果比较，结构参数估计量变化不大。残
差平方和由 24223582变为 3832486，显著减少。 为
什么？利用了更多的信息。
? GMM估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, I
M e t h o d, G e n e r a l i ze d M e t h o d o f M o m e n t s
D a t e, 0 4 / 1 1 / 0 3 T i m e, 2 2, 3 3
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 7 9 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 8 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
N o p r e w h i t e n i n g
B a n d w i d t h, F i x e d ( 2 )
K e r n e l, B a r t l e t t
C o n v e r g e n ce a ch i e v e d a f t e r, 2 w e i g h t m a t r i ci e s,3 t o t a l co e f i t e r a t i o n s
I n st r u m e n t l i st, C G C C 1
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C - 3 8 8, 2 2 1 6 8 2, 8 6 7 0 3 - 4, 6 8 4 8 7 4 0, 0 0 0 2
Y 0, 4 0 5 2 4 1 0, 0 0 4 7 4 8 8 5, 3 4 1 5 9 0, 0 0 0 0
R - sq u a r e d 0, 9 9 6 4 5 6 M e a n d e p e n d e n t v a r 7 9 2 3, 5 0 0
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 9 6 2 3 4 S, D, d e p e n d e n t v a r 7 9 7 5, 6 1 3
S, E, o f r e g r e ss i o n 4 8 9, 4 1 8 4 S u m sq u a r e d r e si d 3832486,
D u r b i n - W a t so n st a t 1, 3 5 7 7 8 4 J - st a t i st i c 0, 0 0 2 8 7 4
六、主分量法的应用
⒈ 方法的提出
? 主分量方法本身并不是联立方程模型的估计方法，
而是配合其它方法，例如 2SLS使用于模型的估计
过程之中。
? 数学上的主分量方法早就成熟,Kloek和 Mennes
于 1960年提出将它用于计量经济学模型的估计。
? 2SLS是一种普遍适用的联立方程模型的单方程估
计方法，但是当它在实际模型估计中被应用时，
立刻就会遇到不可逾越的困难。其第一阶段 — 用
OLS估计简化式方程，是难以实现的。 为什么？
⒉ 方法的原理
? 所谓主分量方法，就是用较少数目的新变量重新
表示原模型中较多数目的先决变量的方法。
? 例如，如果能够找到 5个左右的新变量表示宏观经
济模型中的 30个先决变量，那么只需要 15组以上
的样本，就可以进行 2SLS第一阶段的估计。
? 对充当主分量的变量是有严格要求,一是它必须
是先决变量的线性组合，二是它们之间必须是正
交的。 前一条是保证主分量对先决变量的代表性；
后一条是保证主分量之间不出现共线性。
⒊ 主分量的选取
? 用两个主分量表示两个原变量
Z a X a X1 11 1 12 2? ?
Z a X a X2 21 1 22 2? ?
? ?A a a? ? ??? ???1 2 11 21
12 22
a a
a a
可以证明,a1,a2分别是 X’X的 2个特征值对应的
特征向量。
? 用 k个主分量表示 k个原变量
同样可以证明,a1,a2,…, ak分别是 X’X的 k个
特征值对应的特征向量。
Z XA?
? ?A a a a? 1 2 ? k
? 用 f个主分量表示 k个原变量
选择 a1,a2,…, af分别是 X’X的 f个最大特征值
对应的特征向量。
Z XA?
? ?A a a a? 1 2 ? f
? 在 2SLS中主分量的选取
对于简化式方程
? ?Y X X X0 0 0 0 0 0 0? ? ? ?? ? ? ?*
一般情况下，结构方程包含的先决解释变量 X
0
中变量的数目很有
限，变量主要集中在结构方程未包含的先决变量 X
0*
中。所以只需
要选择主分量重新表 示 X
0*
，就可以有效地减少简化式方程中解释
变量的数目，使得在有限样本的支持下模型得到估计。
⒋ 主分量法在 ILS中的应用
? 对于 2SLS，直接利用主分量完成第一阶段的估计，
得到内生解释变量的估计量。
? 对于 ILS，必须求得到简化式参数，进而计算结构
式参数。
? 首先估计 Y=ZΔ+Ε，然后将 Z=XA代入，得到
Y=XΠ 中 Π的估计量。
七、其它有限信息估计方法简介
(Limited Information Estimation
Methods)
⒈ 有限信息最大或然法 (LIML,Limited Information
Maximum Likelihood )
? 以最大或然为准则、通过对简化式模型进行最大
或然估计，以得到结构方程参数估计量的联立方
程模型的单方程估计方法。
? 由 Anderson和 Rubin于 1949年提出，早于两阶
段最小二乘法。
? 适用于恰好识别和过度识别结构方程的估计。
? 在该方法中，以下两个概念是重要的：
一是这里的“有限信息”指的是每次估计只考虑
一个结构方程的信息，而没有考虑模型系统中其
它结构方程的信息；
二是这里的“最大或然法”是针对结构方程中包
含的内生变量的简化式模型的，即应用最大或然
法求得的是简化式参数估计量，而不是结构式参
数估计量。
? 具体参见教科书。
⒉ 有限信息最小方差比方法 (LVR,Least Variable
Ratio )
? 估计某一个结构方程参数时，仍然只利用关于该
方程的信息，没有利用方程系统的信息，所以是
一种有限信息估计方法。
? 参见教科书。
八,k级估计式
⒈ k级估计式
? 本身不是一种估计方法，而是对上述几种方法得
到的估计式的概括。
? 对于联立方程模型中的第 1个结构方程：
Y 1 0 0 1? ??? ??? ?(,)Y X 0
0
?
? ?
? k级估计式 为：
?
? (( ( ? ),) (,)) ( ( ? ),)
?
?
0
0
0 0 0 0 0 0
1
0 0 0 0 1
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ??Y Y Y X Y X Y Y Y Xk k Y
? 显然，当
k=0时，即为 OLS估计式；
k=1时，即为 2SLS估计式；
k等于有限信息估计方法中的时，即为有限信息
估计式。
⒉ k级估计式的性质
? 假设工具变量与随机误差项不相关，即
P knlim ( ( ? ))1 0 0 0 1 0Y Y Y? ? ??
且先决变量与随机误差项不相关，即
P nlim ( )1 0 1 0? ?X ?
那么，容易证明 k级估计式是一致性估计式。
? 工具变量与随机误差项不相关，对 k是有限制的，
必须有（证明见教科书）：
P kl i m ( )1 0? ?
? 这就是说,只有在 2SLS或有限信息估计方法中，
k级估计式是一致性估计式，而在 OLS方法中，不具
有一致性。
Single-Equation Estimation Methods
一、狭义的工具变量法（ IV）
二、间接最小二乘法 (ILS)
三、二阶段最小二乘法 (2SLS)
四、三种方法的等价性证明
五、简单宏观经济模型实例演示
六、主分量法的应用
七、其它有限信息估计方法简介
八,k级估计式
? 联立方程计量经济学模型的估计方法分为两大类：
单方程估计方法与系统估计方法 。
? 所谓单方程估计方法，指每次只估计模型系统中
的一个方程，依次逐个估计。
? 所谓系统估计方法，指同时对全部方程进行估计，
同时得到所有方程的参数估计量。
? 联立方程模型的单方程估计方法不同于单方程模
型的估计方法 。
一、狭义的工具变量法
（ IV,Instrumental Variables）
⒈ 方法思路
?,狭义的工具变量法, 与, 广义的工具变量法,
? 解决结构方程中与随机误差项相关的内生解释变
量问题。
? 方法原理与单方程模型的 IV方法相同。
? 模型系统中提供了可供选择的工具变量，使得 IV
方法的应用成为可能。
⒉ 工具变量的选取
? 对于联立方程模型的每一个结构方程, 例如第 1个
方程, 可以写成如下形式：
Y Y Y Y X X Xg g k k1 12 2 13 3 1 11 1 12 2 1 11 1 1 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
? 内生解释变量（ g1-1）个，先决解释变量 k1个。
? 如果方程是恰好识别的，有（ g1-1） =（ k- k1）。
? 可以选择（ k- k1）个方程没有包含的先决变量作
为（ g1-1）个内生解释变量的工具变量。
⒊ IV参数估计量
? 方程的矩阵表示为
Y 1 0 0 1?
?
??
?
??
?(,)Y X 0
0
?
? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
* *?
?
0
0
0 0 0 0
1
0 0 1
?
?
?
?
?
? ?
??
??
?
??
??
IV
YX X Y X X X
? 选择方程中 没有包含的先决变量 X0*作为 包含的内
生解释变量 Y0的工具变量，得到参数估计量为：
⒋ 讨论
? 该估计量与 OLS估计量的区别是什么？
? 该估计量具有什么统计特性？
? （ k- k1）工具变量与（ g1-1）个内生解释变量的
对应关系是否影响参数估计结果？为什么？
? IV是否利用了模型系统中方程之间相关性信息？
? 对于过度识别的方程，可否应用 IV？为什么？
? 对于过度识别的方程，可否应用 GMM？为什么？
二、间接最小二乘法
(ILS,Indirect Least Squares)
⒈ 方法思路
? 联立方程模型的结构方程中包含有内生解释变量,
不能直接采用 OLS估计其参数 。 但是对于简化式方程,
可以采用 OLS直接估计其参数 。
? 间接最小二乘法：先对关于内生解释变量的简化式
方程采用 OLS估计简化式参数, 得到简化式参数估计
量, 然后通过参数关系体系, 计算得到结构式参数
的估计量 。
? 间接最小二乘法只适用于恰好识别的结构方程的参
数估计，因为只有恰好识别的结构方程，才能从参
数关系体系中得到唯一一组结构参数的估计量。
⒉ 一般间接最小二乘法的估计过程
Y 1 0 0 1?
?
??
?
??
?(,)Y X 0
0
?
? ?
Y 1 0 0 0 0 1? ? ?? ? ?Y X
? ?1 0
1
0
0
1? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ? ?0 Y
X
Y
? ?? ? ?00 00 00
0
1
Y
X
?
?
?
?
?
? ?
Y X00 00? ?? ?
? ? ?00 00 00 0 0X X? ?
? ? ?00 00
0
0
00 0 0
X
X
X*
?
?
?
?
?
? ? ?
? ?? ? ?00 001 002?
? ? ?
? ?
00 00
1
0
00 00
2 0
?
?
?
?
?
? 用 OLS估计简化式模型，得到简化式参数估计量，
代入该参数关系体系，先由第 2组方程计算得到内生
解释变量的参数，然后再代入第 1组方程计算得到先
决解释变量的参数。于是得到了结构方程的所有结构
参数估计量。
⒊ 间接最小二乘法也是一种工具变量方法
? ILS等价于一种工具变量方法：依次选择 X作为
（ Y0,X0）的工具变量。
? 数学证明见, 计量经济学 —方法与应用, （李子
奈编著，清华大学出版社,1992年 3月）第 126—
128页。
? 估计结果为：
? ?? ?
?
?
?
?
0
0
0 0
1
1
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
I LS
YX Y X X
三、二阶段最小二乘法
(2SLS,Two Stage Least Squares)
⒈ 2SLS是应用最多的单方程估计方法
? IV和 ILS一般只适用于联立方程模型中恰好识别的
结构方程的估计。
? 在实际的联立方程模型中，恰好识别的结构方程
很少出现，一般情况下结构方程都是过度识别的。
为什么？
? 2SLS是一种既适用于恰好识别的结构方程，又适
用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。
⒉ 2SLS的方法步骤
? 第一阶段：对内生解释变量的简化式方程使用 OLS。
得到：
? ? (( ) )Y X X X X X Y0 0 1 0? ? ? ???
? 用估计量代替结构方程中的内生解释变量，得到新
的模型：
Y 1 0 0 1?
?
?
?
?
?
? ?( ?,)Y X
0
0
?
?
?
? 第二阶段：对该模型应用 OLS估计,得到的参数
估计量即为原结构方程参数的二阶段最小二乘估
计量。
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ??
?
0
0 2
0 0 0 0
1
0 0 1
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
??
S L S
YY X Y X Y X
⒊ 二阶段最小二乘法也是一种工具变量方法
? 如果用 Y0的估计量作为工具变量，按照工具变量方
法的估计过程，应该得到如下的结构参数估计量：
? ? ? ? ? ?
?
?
? ??
?
0
0
0 0 0 0
1
0 0 1
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
??
Y X Y X Y X Y
? 可以严格证明两组参数估计量是完全等价的，所
以可以把 2SLS也看成为一种工具变量方法。
? 证明过程见, 计量经济学 —方法与应用, （李子奈编著，
清华大学出版社,1992年 3月）第 130—131页 。
四、三种方法的等价性证明
⒈ 三种单方程估计方法得到的参数估计量
? ? ? ? ? ?
?
?
* *?
?
0
0
0 0 0 0
1
0 0 1
?
?
?
?
?
? ?
??
??
?
??
??
IV
YX X Y X X X
? ?? ?
?
?
?
?
0
0
0 0
1
1
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
I LS
YX Y X X
? ? ? ? ? ?
?
?
? ??
?
0
0 2
0 0 0 0
1
0 0 1
?
?
?
?
?
? ?
??
??
?
??
??
S L S
YY X Y X Y X
⒉ IV与 ILS估计量的等价性
? 在恰好识别情况下
? 工具变量集合相同，只是次序不同。
? 次序不同不影响正规方程组的解。
⒉ 2SLS与 ILS估计量的等价性
? 在恰好识别情况下
? ILS的工具变量是全体先决变量。
? 2SLS的每个工具变量都是全体先决变量的线性组
合。
? 2SLS的正规方程组相当于 ILS的正规方程组经过一
系列的初等变换的结果。
? 线性代数方程组经过初等变换不影响方程组的解。
五、简单宏观经济模型实例演示
⒈ 模型
C Y C
I Y
Y I C G
t t t t
t t t
t t t t
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?? ? ? ?
? ? ?
0 1 2 1 1
0 1 2
? 消费方程是恰好识别的；
? 投资方程是过度识别的；
? 模型是可以识别的。
⒉ 数据
年份 Y I C G
1 9 7 8 3 6 0 6 1 3 7 8 1 7 5 9 469
1 9 7 9 4 0 7 4 1 4 7 4 2 0 0 5 595
1 9 8 0 4 5 5 1 1 5 9 0 2 3 1 7 644
1 9 8 1 4 9 0 1 1 5 8 1 2 6 0 4 716
1 9 8 2 5 4 8 9 1 7 6 0 2 8 6 8 861
19 83 6 0 7 6 2 0 0 5 3 1 8 2 889
1 9 8 4 7 1 6 4 2 4 6 9 3 6 7 5 1 0 2 0
1 9 8 5 8 7 9 2 3 3 8 6 4 5 8 9 817
1 9 8 6 1 0 1 3 3 3 8 4 6 5 1 7 5 1 1 1 2
1 9 8 7 1 1 7 8 4 4 3 2 2 5 9 6 1 1 5 0 1
1 9 8 8 1 4 7 0 4 5 4 9 5 7 6 3 3 1 5 7 6
1 9 8 9 1 6 4 6 6 6 0 9 5 8 5 2 4 1 8 4 7
1 9 9 0 1 8 3 2 0 6 4 4 4 9 1 1 3 2 7 6 3
1 9 9 1 2 1 2 8 0 7 5 1 7 1 0 3 1 6 3 4 4 7
1 9 9 2 2 5 8 6 4 9 6 3 6 124 60 3 7 6 8
1 9 9 3 3 4 5 0 1 1 4 9 9 8 1 5 6 8 2 3 8 2 1
1 9 9 4 4 7 1 1 1 1 9 2 6 1 2 1 2 3 0 6 6 2 0
1 9 9 5 5 9 4 0 5 2 3 8 7 7 2 7 8 3 9 7 6 8 9
1 9 9 6 6 8 4 9 8 2 6 8 6 7 3 2 5 8 9 9 0 4 2
⒊ 用狭义的工具变量法估计消费方程
?,
?,
?,
?
?
?
0
1
2
164 79951
0 3175387
0 3919359
?
?
?
用 Gt作为 Yt的工具变量
? 估计结果显示
D e p e n d e n t V a r i a b l e, C C
M e t h o d, T w o - S t a g e L e a st S q u a r e s
D a t e, 0 4 / 1 1 / 0 3 T i m e, 2 2, 0 6
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 7 9 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 8 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
I n st r u m e n t l i st, C G C C 1
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C 1 6 4, 8 0 0 4 9 5, 4 5 1 8 2 1, 7 2 6 5 2 9 0, 1 0 4 8
Y 0, 3 1 7 5 3 9 0, 0 3 2 3 7 6 9, 8 0 7 7 8 6 0, 0 0 0 0
CC1 0, 3 9 1 9 3 5 0, 0 8 7 5 1 4 4, 4 7 8 5 1 0 0, 0 0 0 4
R - sq u a r e d 0, 9 9 9 4 3 5 M e a n d e p e n d e n t v a r 9 8 7 5, 6 6 7
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 9 9 3 6 0 S, D, d e p e n d e n t v a r 9 0 2 6, 7 9 2
S, E, o f r e g r e ssi o n 2 2 8, 3 8 3 5 S u m sq u a r e d r e si d 7 8 2 3 8 5, 2
F - st a t i st i c 1 3 2 0 0, 1 0 D u r b i n - W a t so n st a t 2, 0 1 5 6 5 5
P r o b ( F - st a t i st i c) 0, 0 0 0 0 0 0
⒋ 用间接最小二乘法估计消费方程
C C G
Y C G
t t t t
t t t t
? ? ? ?
? ? ? ?
??
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
10 11 1 12 1
20 21 1 22 2
?,
?,
?,
?
?
?
10
11
12
63 594002
0 8132890
1 2191863
? ?
?
?
?,
?,
?,
?
?
?
20
21
22
719 26343
1 3269366
3 8394822
? ?
?
?
? ? ?,
? ? ? ?,
? ? ? ?,
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 12 22
2 11 1 21
0 10 1 20
0 31753925
0 39193422
164 800368
? ?
? ? ?
? ? ?
? C简化式模型估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, C C
M e t h o d, L e a st S q u a r e s
D a t e, 0 4 / 1 1 / 0 3 T i m e, 2 2, 1 3
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 7 9 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 8 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C - 6 3, 5 9 4 0 0 2 7 9, 1 2 7 9 - 0, 2 2 7 8 3 1 0, 8 2 2 9
CC1 0, 8 1 3 2 8 9 0, 1 4 5 3 0 6 5, 5 9 7 0 6 2 0, 0 0 0 1
G 1, 2 1 9 1 8 6 0, 4 0 2 4 8 2 3, 0 2 9 1 6 7 0, 0 0 8 5
R - sq u a r e d 0, 9 9 4 0 7 9 M e a n d e p e n d e n t v a r 9 8 7 5, 6 6 7
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 9 3 2 8 9 S, D, d e p e n d e n t v a r 9 0 2 6, 7 9 2
S, E, o f r e g r e ssi o n 7 3 9, 4 5 6 2 A ka i ke i n f o cr i t e r i o n 1 6, 2 0 0 7 2
S u m sq u a r e d r e si d 8201931,S ch w a r z cr i t e r i o n 1 6, 3 4 9 1 1
L o g l i ke l i h o o d - 1 4 2, 8 0 6 5 F - st a t i st i c 1 2 5 9, 1 6 3
D u r b i n - W a t so n st a t 1, 5 4 2 6 0 8 P r o b ( F - st a t i st i c) 0, 0 0 0 0 0 0
? Y简化式模型估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, Y
M e t h o d, L e a st S q u a r e s
D a t e, 0 4 / 1 1 / 0 3 T i m e, 2 2, 1 7
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 7 9 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 8 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C - 7 1 9, 2 6 3 4 7 4 0, 2 9 4 4 - 0, 9 7 1 5 9 1 0, 3 4 6 7
CC1 1, 3 2 6 9 3 7 0, 3 8 5 3 7 7 3, 4 4 3 2 1 5 0, 0 0 3 6
G 3, 8 3 9 4 8 2 1, 0 6 7 4 5 1 3, 5 9 6 8 6 9 0, 0 0 2 6
R - sq u a r e d 0, 9 9 1 1 3 1 M e a n d e p e n d e n t v a r 2 0 5 0 6, 2 8
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 8 9 9 4 8 S, D, d e p e n d e n t v a r 1 9 5 6 1, 1 3
S, E, o f r e g r e ssi o n 1 9 6 1, 1 6 3 A ka i ke i n f o cr i t e r i o n 1 8, 1 5 1 4 7
S u m sq u a r e d r e si d 57692390 S ch w a r z cr i t e r i o n 1 8, 2 9 9 8 7
L o g l i ke l i h o o d - 1 6 0, 3 6 3 3 F - st a t i st i c 8 3 8, 1 2 8 5
D u r b i n - W a t so n st a t 1, 4 2 7 6 1 6 P r o b ( F - st a t i st i c) 0, 0 0 0 0 0 0
⒌ 用两阶段最小二乘法估计消费方程
? 比较上述消费方程的 3种估计结果，证明这 3种方
法对于恰好识别的结构方程是等价的。估计量的
差别只是很小的计算误差。
?,,,Y C Gt t t? ? ? ??719 26343 1 3269366 3 83948221
?,
?,
?,
?
?
?
0
1
2
164 90009
0 3175580
0 3918794
?
?
?
代替原消费方程中的 Yt，应用 OLS估计
? 第 2阶段估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, C C
M e t h o d, L e a st S q u a r e s
D a t e, 0 4 / 1 1 / 0 3 T i m e, 2 2, 2 2
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 7 9 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 8 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C 1 6 4, 8 0 0 4 3 0 9, 0 5 2 3 0, 5 3 3 2 4 4 0, 6 0 1 7
YF 0, 3 1 7 5 3 9 0, 1 0 4 8 2 7 3, 0 2 9 1 6 7 0, 0 0 8 5
CC1 0, 3 9 1 9 3 5 0, 2 8 3 3 5 3 1, 3 8 3 2 0 3 0, 1 8 6 8
R - sq u a r e d 0, 9 9 4 0 7 9 M e a n d e p e n d e n t v a r 9 8 7 5, 6 6 7
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 9 3 2 8 9 S, D, d e p e n d e n t v a r 9 0 2 6, 7 9 2
S, E, o f r e g r e ssi o n 7 3 9, 4 5 6 2 A ka i ke i n f o cr i t e r i o n 1 6, 2 0 0 7 2
S u m sq u a r e d r e si d 8201931,S ch w a r z cr i t e r i o n 1 6, 3 4 9 1 1
L o g l i ke l i h o o d - 1 4 2, 8 0 6 5 F - st a t i st i c 1 2 5 9, 1 6 3
D u r b i n - W a t so n st a t 1, 5 4 2 6 0 8 P r o b ( F - st a t i st i c) 0, 0 0 0 0 0 0
⒍ 用两阶段最小二乘法估计投资方程
? 投资方程是过度识别的结构方程，只能用 2SLS估
计。估计过程与上述 2SLS估计消费方程的过程相
同。得到投资方程的参数估计量为：
?,
?,
?
?
0
1
380 11614
0 4049326
? ?
?
? 至此，完成了该模型系统的估计。
? 2SLS第 2阶段估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, I
M e t h o d, L e a st S q u a r e s
D a t e, 0 4 / 1 1 / 0 3 T i m e, 2 2, 2 8
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 7 9 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 8 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C - 3 8 0, 2 0 4 4 4 2 7, 6 1 7 5 - 0, 8 8 9 1 2 3 0, 3 8 7 1
YF 0, 4 0 4 9 3 5 0, 0 1 5 3 2 4 2 6, 4 2 4 6 8 0, 0 0 0 0
R - sq u a r e d 0, 9 7 7 5 9 9 M e a n d e p e n d e n t v a r 7 9 2 3, 5 0 0
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 7 6 1 9 9 S, D, d e p e n d e n t v a r 7 9 7 5, 6 1 3
S, E, o f r e g r e ssi o n 1 2 3 0, 4 3 6 A ka i ke i n f o cr i t e r i o n 1 7, 1 7 2 5 6
S u m sq u a r e d r e si d 24223582 S ch w a r z cr i t e r i o n 1 7, 2 7 1 4 9
L o g l i ke l i h o o d - 1 5 2, 5 5 3 1 F - st a t i st i c 6 9 8, 2 6 3 9
D u r b i n - W a t so n st a t 1, 3 7 6 5 3 1 P r o b ( F - st a t i st i c) 0, 0 0 0 0 0 0
⒎ 用 GMM估计投资方程
? 投资方程是过度识别的结构方程，也可以用 GMM
估计。选择的工具变量为 c,G,CC1,得到投资
方程的参数估计量为：
405241.0?
2216.388?
1
0
?
??
?
?
? 与 2SLS结果比较，结构参数估计量变化不大。残
差平方和由 24223582变为 3832486，显著减少。 为
什么？利用了更多的信息。
? GMM估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, I
M e t h o d, G e n e r a l i ze d M e t h o d o f M o m e n t s
D a t e, 0 4 / 1 1 / 0 3 T i m e, 2 2, 3 3
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 7 9 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 8 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
N o p r e w h i t e n i n g
B a n d w i d t h, F i x e d ( 2 )
K e r n e l, B a r t l e t t
C o n v e r g e n ce a ch i e v e d a f t e r, 2 w e i g h t m a t r i ci e s,3 t o t a l co e f i t e r a t i o n s
I n st r u m e n t l i st, C G C C 1
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C - 3 8 8, 2 2 1 6 8 2, 8 6 7 0 3 - 4, 6 8 4 8 7 4 0, 0 0 0 2
Y 0, 4 0 5 2 4 1 0, 0 0 4 7 4 8 8 5, 3 4 1 5 9 0, 0 0 0 0
R - sq u a r e d 0, 9 9 6 4 5 6 M e a n d e p e n d e n t v a r 7 9 2 3, 5 0 0
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 9 6 2 3 4 S, D, d e p e n d e n t v a r 7 9 7 5, 6 1 3
S, E, o f r e g r e ss i o n 4 8 9, 4 1 8 4 S u m sq u a r e d r e si d 3832486,
D u r b i n - W a t so n st a t 1, 3 5 7 7 8 4 J - st a t i st i c 0, 0 0 2 8 7 4
六、主分量法的应用
⒈ 方法的提出
? 主分量方法本身并不是联立方程模型的估计方法，
而是配合其它方法，例如 2SLS使用于模型的估计
过程之中。
? 数学上的主分量方法早就成熟,Kloek和 Mennes
于 1960年提出将它用于计量经济学模型的估计。
? 2SLS是一种普遍适用的联立方程模型的单方程估
计方法，但是当它在实际模型估计中被应用时，
立刻就会遇到不可逾越的困难。其第一阶段 — 用
OLS估计简化式方程，是难以实现的。 为什么？
⒉ 方法的原理
? 所谓主分量方法，就是用较少数目的新变量重新
表示原模型中较多数目的先决变量的方法。
? 例如，如果能够找到 5个左右的新变量表示宏观经
济模型中的 30个先决变量，那么只需要 15组以上
的样本，就可以进行 2SLS第一阶段的估计。
? 对充当主分量的变量是有严格要求,一是它必须
是先决变量的线性组合，二是它们之间必须是正
交的。 前一条是保证主分量对先决变量的代表性；
后一条是保证主分量之间不出现共线性。
⒊ 主分量的选取
? 用两个主分量表示两个原变量
Z a X a X1 11 1 12 2? ?
Z a X a X2 21 1 22 2? ?
? ?A a a? ? ??? ???1 2 11 21
12 22
a a
a a
可以证明,a1,a2分别是 X’X的 2个特征值对应的
特征向量。
? 用 k个主分量表示 k个原变量
同样可以证明,a1,a2,…, ak分别是 X’X的 k个
特征值对应的特征向量。
Z XA?
? ?A a a a? 1 2 ? k
? 用 f个主分量表示 k个原变量
选择 a1,a2,…, af分别是 X’X的 f个最大特征值
对应的特征向量。
Z XA?
? ?A a a a? 1 2 ? f
? 在 2SLS中主分量的选取
对于简化式方程
? ?Y X X X0 0 0 0 0 0 0? ? ? ?? ? ? ?*
一般情况下，结构方程包含的先决解释变量 X
0
中变量的数目很有
限，变量主要集中在结构方程未包含的先决变量 X
0*
中。所以只需
要选择主分量重新表 示 X
0*
，就可以有效地减少简化式方程中解释
变量的数目，使得在有限样本的支持下模型得到估计。
⒋ 主分量法在 ILS中的应用
? 对于 2SLS，直接利用主分量完成第一阶段的估计，
得到内生解释变量的估计量。
? 对于 ILS，必须求得到简化式参数，进而计算结构
式参数。
? 首先估计 Y=ZΔ+Ε，然后将 Z=XA代入，得到
Y=XΠ 中 Π的估计量。
七、其它有限信息估计方法简介
(Limited Information Estimation
Methods)
⒈ 有限信息最大或然法 (LIML,Limited Information
Maximum Likelihood )
? 以最大或然为准则、通过对简化式模型进行最大
或然估计，以得到结构方程参数估计量的联立方
程模型的单方程估计方法。
? 由 Anderson和 Rubin于 1949年提出，早于两阶
段最小二乘法。
? 适用于恰好识别和过度识别结构方程的估计。
? 在该方法中，以下两个概念是重要的：
一是这里的“有限信息”指的是每次估计只考虑
一个结构方程的信息，而没有考虑模型系统中其
它结构方程的信息；
二是这里的“最大或然法”是针对结构方程中包
含的内生变量的简化式模型的，即应用最大或然
法求得的是简化式参数估计量，而不是结构式参
数估计量。
? 具体参见教科书。
⒉ 有限信息最小方差比方法 (LVR,Least Variable
Ratio )
? 估计某一个结构方程参数时，仍然只利用关于该
方程的信息，没有利用方程系统的信息，所以是
一种有限信息估计方法。
? 参见教科书。
八,k级估计式
⒈ k级估计式
? 本身不是一种估计方法，而是对上述几种方法得
到的估计式的概括。
? 对于联立方程模型中的第 1个结构方程：
Y 1 0 0 1? ??? ??? ?(,)Y X 0
0
?
? ?
? k级估计式 为：
?
? (( ( ? ),) (,)) ( ( ? ),)
?
?
0
0
0 0 0 0 0 0
1
0 0 0 0 1
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ??Y Y Y X Y X Y Y Y Xk k Y
? 显然，当
k=0时，即为 OLS估计式；
k=1时，即为 2SLS估计式；
k等于有限信息估计方法中的时，即为有限信息
估计式。
⒉ k级估计式的性质
? 假设工具变量与随机误差项不相关，即
P knlim ( ( ? ))1 0 0 0 1 0Y Y Y? ? ??
且先决变量与随机误差项不相关，即
P nlim ( )1 0 1 0? ?X ?
那么，容易证明 k级估计式是一致性估计式。
? 工具变量与随机误差项不相关，对 k是有限制的，
必须有（证明见教科书）：
P kl i m ( )1 0? ?
? 这就是说,只有在 2SLS或有限信息估计方法中，
k级估计式是一致性估计式，而在 OLS方法中，不具
有一致性。
