第三章 扭 转
3-1 概述
n
3-2 扭转载荷与扭转内力
)mN()( )W(9459 mprn kPT ?
扭转内力, 扭矩 Mn
扭矩矢量与截面外法线方向
一致时为正 ;反之为负。
T
T
T Mn
n
T Mn
扭矩符
号规则,
例３ -1 已知, PA = 40kW,PB =100kW,PC = 60kW,
n = 955 rpm
求,作图示传动轴的扭矩图。
解, TA = 400 Nm
TB =1000 Nm
TC = 600 Nm
Mn1 = 400 Nm
讨论,交换 AB轮的位置扭矩
将如何变化？
400
- 600
x
Mn
-1000
- 600
x Mn
Mn2 = -600 Nm
TA TB TC
2-2 1-1
TA
Mn1
n
TC
n
Mn2
3-3 圆轴扭转的应力与强度条件
一 薄壁圆筒扭转应力
横截面的应力分量
??r? ? 切应力互等定理
0?r?平衡条件 0??
xM
nMRtR ??? ? 2
tRM n 22 ??? ? ??
T
x
Mn
r ?
??r?
0??
??
?
?
Ad
AdN
?
?
0??
Mn
?
?
D
T
位移规律
0?xu
0?ru
横截面保持平面,
大小形状不变。
0??u
p
n
GI
lM??
二 圆轴 扭转应力
平衡方程
nin MM? ?
（无穷多阶超静定）
?
?
变形几何
方程
表面 Rl ?? ?
内部 ???? ?l)(
刚性平截面变形规律,
横截面保持平面；
直径保持直线。
l???? ?)(
物理方程 G)()( ???? ?
?? ?? ????? dd M nM n 22)(平衡条件,
补充方程,lG???? ?)(
pn Il
Gd
l
GM ????? ?? ? 32 ??
p
n
I
M?
T
l
Mn = T
D
?
三 圆轴扭转的应力分布与强度条件
??
p
n
I
M?
p
n
p
n
W
MR
I
M ??
m a x?
强度
条件 ? ??? ??
p
n
W
M
m a x? ?
4
3
116 ?? ?? DW p
抗扭截面系数
?? Ap dAI 2?
极惯性矩
??? ???? dd2 ?? ??? d32 32
4D?
? )1( 4??
例 3-2 已知汽车传动主轴 D = 90 mm,d = 85 mm
,M P a60][ ?? T = 1.5 kNm
求：（ 1）校核轴的强度；
（ 2）改用实心轴，确定轴的直径；
（ 3）比较实心轴和空心轴的重量。
解,（ 1） Mn = T = 1.5 kNm,9 4 4.0?? Dd?
? ? 3643 m1029116 ????? ?? DW p
? ??? ＜M P a7.51m ax ??
p
n
W
M 强度安全。
? ??? ??
pW
Mn
m a x
（ 2）
m a x
3
16 ?
? n
p
MDW ???? mm53??D
（ 3） 2.3
22
2
???????? dD DAAQQ? 空心优于实心
T T
3-4 圆轴扭转变形与刚度条件
:pIG 截面抗扭刚度 pnGI
lM?? 单位,(弧度 )
p
n
IG
M
l ???
? )(180
m
??
??
刚度
条件 ? ??????? ?
? ?180
p
n
IG
M
l m
m
m
/0.30.1
/0.150.0
/5.025.0
?
?
?
～
～
～ 精密轴
一般轴
粗糙轴
单位长度扭转角
思考,组合圆筒扭转
应力如何分布？
G1
G2 G1 ?G2
T
一 扭转变形与刚度条件
例 3-3 对汽车传动轴，设,? ? mGP aG /2,80 ????
(1)校核刚度； (2)改用实心轴； (3)比较重量。
解,? ? 4644 1031.11
32 mm
DI
p
????? ??
? ???? ＜m/82.0 ? 刚度足够
mG MD n 06.0180324 ?????? ??
?
1.4??????? AAQQ?
作业, 3-1(b),
3-3,
3-7,
3-8
二 扭转的超定静问题
例 3-4 两端固定的阶梯圆截面杆，在 C 处作用一力偶 T,
求固定端的约束力偶,
解,解除约束
平衡方程
变形协调方程 0???
CABCBA ???
物理方程,
P
BC
BC GI aMn 2??
P
CA
P
CA
CA GI aMnGI aMn 2???
mA + mB = T
Tm A 74? Tm B 73?
MnBC= - mB MnAC= mA
a 2a
T
C
A
a
B
2GIp GIp T
mB C
B
mA
A
解得
p
n
GI
lM??
例 3-5 由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T,
两者之间无相对滑动，求各点切应力。
解, 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为
M n1,M n2。
平衡方程
变形协调方程
物理方程
M n1 +M n 2 =T
21 ???
22
22
11
11
P
n
P
n
IG
M
IG
M ????
联立求解
TIGIG IGMTIGIG IGM
PP
Pn
PP
Pn
2211
22
22211
11
1 ????
2211
22
2211
11
PPPP IGIG
GT
IGIG
GT
????
????
T
R2
R1 G
1Ip1
G2Ip2
Mn1
Mn2
??
p
n
I
M?
讨论, 1、实心杆和空心杆相接触处的切应力情况
2211
12
2
2211
11
1
PPPP IGIG
MnRG
IGIG
MnRG
???? ??
2、切应力分布情况
2
1
2
1
G
G?
?
?
R2
R1
Mn
R2
R1
Mn
R2
R1
Mn
（ 1） G1 > G2
（ 2） G1 = G2
（ 3） G1 < G2
3-5 圆轴扭转破坏分析
扭转破坏实验断口 低碳钢：横截面 切应力破坏
灰铸铁,45° 斜截面 拉应力破坏
竹木材：纵截面 切应力破坏
?
Mn
塑性优于脆性
低碳钢
灰铸铁
竹木材
0c o ss in
s inc o s
???
??
???
???? ?
dA
dAdA
0s ins in
c o sc o s
???
??
???
???? ?
dA
dAdA
??? ? 2s in?? ??? ? 2c o s?
0,,900m i n90m a x0 ??????? ????????
0,,4545m i n45m a x45 ??????? ?? ????????
x
y
z
??
?
z
x
?
??
?
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0?? nF
0?? tF
222 ??? ?? ??
?
?? ?? ?
?45
?? ??45
x
y
z
x ?
n
t
??
??
x
3-6 非圆截面杆扭转
非圆截面扭转时，横截面不再保持平面，切应力不再
与各点到形心的距离成正比。
实验和弹性理论分析表明,
自由扭转和约束扭转,
非圆截面扭转时，如果端面及其它部位均不受任何约束，
各横截面可以自由翘曲，各横截面翘曲形状相同，则横截面
上将只有切应力，这种情况称为自由扭转。
非圆截面扭转时，如果端面或其它部位受约束作用，各
横截面不能自由翘曲，各横截面翘曲形状将不相同，则横截
面上将不仅有切应力，还有正应力，这种情况称为约束扭转。
实心截面杆约束扭转时，正应力很小，可忽略不计；
而薄壁截面约束扭转时，正应力不能忽略。
一 矩形截面杆扭转
周边上的切应力与周边平行，角
点上的切应力为零。 (切应力互等定理 )
切应力大小沿周边按复杂级数分布,
极值点出现在长边和短边中点。
2m a x hb
M n
?? ? ma x??? ?? 3G hb
lM n
?? ?
当 h / b > 10 时 3/1?? ??
2
m a x
3
1 hb
M n??
3
3
1 hbG
lM n??
h
b
?
max?
?? h
b
M n
例 3-6 比较矩形与圆形截面杆的最大扭转切应力
圆形优于矩形
? = 0.208
? = 0.246
4
2d
A ??
2aA? dda 886.04 ?? ?
22 bA ? ddb 6 2 7.08 ?? ?
331 093.5
16
d
M
d
M nn ??
??
32 a
M n
?? ? 338 8 6.02 0 8.0 d
M n
??
33 2 b
M n
?? ? 336 2 7.02 4 6.02 d
M n
???
3913.6 d
M n?
3246.8 d
M n?
二 开口薄壁杆自由扭转
对于狭长矩形 31?? ??
开口薄壁杆可看成由若干个狭长
矩形组成，扭转时所有狭长矩形的扭
转角相同。
32m a x
3,3
G h t
lM
ht
M nn ?? ??
3
3
ii
iin
in th
thMM
??
??? 32max
33
ii
in
ii
ini
th
tM
th
M? （壁厚大处应力大）
?? 3
3
ii
n
thG
lM?
????? ?????? ni,.....21
3
3
ii
ini
tGh
lM??
l
tGhM ii
in 3
3
??
nNninnn MMMMM ??????,.....21
拐角处往往有应力集中
三 闭口薄壁杆自由扭转
闭口薄壁杆应力沿壁厚基本均匀。
?? sfM sn d?
（壁厚小处应力大）
闭口优于开口
?? stM n dd ?
ft ??
At
M n
2??
fAM n 2?
Mn
ds
dst?
? ?
t
剪力流常数
（单位长度剪力）
t1
?2
t2
?1 0?? xF
2211 ?? tt ?
作业
3-14,3-16,3-18
材料力学图形元素库
? ? NA公式框 圆柱
固定支座 可动支座 固定端
均布载荷 单元体
?字母框 ? ? ＜ ＜
＜ ＞ ≤ ≥ ≯ ≮ ≠
3-3 圆轴扭转破坏分析
1、扭转破坏实验断口,
沿横截面
灰铸铁,竹、木材,低碳钢,
沿 45° 斜截面 沿纤维、木纹方向
2、剪应力互等定理,
x
y
z
dxd z d y )(? dzdxdy )'(?=
??
?
dx
dy
dz x
y
z
? ??
'?? ?
0c o ss i ns i nc o s ??? ??????? ? dAdAdA
??? ? 2s i n?? ??? ? 2c o s?
0,90
,00
90m i n90
0m a x0
?????
????
??
??
?
?
?????
?????
045 45m i n45 ????? ??? ?????
x
z
?
?
?
0?? nF
?? ?? 45
?? ??45
3、斜截面上的应力分析
x
y
z ?
?
?
n
?
?
t ?
讨论,
045 45m a x45 ????? ?? ??? ?????
??
??
4、破坏分析
沿横截面
灰铸铁,
竹、木材,
低碳钢,
沿 45° 斜截面
沿纤维、木纹方向
?? ?? 45
?? ??45
横截面不再保持平面，剪应力
不再与各点到形心的距离成正比。
周边上的剪应力与周边平行,
角点上的剪应力为零。
(剪应力互等定理 )
剪应力大小沿周边按复杂级数分布,
极值点出线在长边和短边中点。
??
max? h
b
思考,
组合圆筒扭转的应力如何分布？
G1
G2
G1 ?G2
T
Mn （ A） Mn （ B）
Mn （ C） Mn （ D）
?
3-1 概述
n
3-2 扭转载荷与扭转内力
)mN()( )W(9459 mprn kPT ?
扭转内力, 扭矩 Mn
扭矩矢量与截面外法线方向
一致时为正 ;反之为负。
T
T
T Mn
n
T Mn
扭矩符
号规则,
例３ -1 已知, PA = 40kW,PB =100kW,PC = 60kW,
n = 955 rpm
求,作图示传动轴的扭矩图。
解, TA = 400 Nm
TB =1000 Nm
TC = 600 Nm
Mn1 = 400 Nm
讨论,交换 AB轮的位置扭矩
将如何变化？
400
- 600
x
Mn
-1000
- 600
x Mn
Mn2 = -600 Nm
TA TB TC
2-2 1-1
TA
Mn1
n
TC
n
Mn2
3-3 圆轴扭转的应力与强度条件
一 薄壁圆筒扭转应力
横截面的应力分量
??r? ? 切应力互等定理
0?r?平衡条件 0??
xM
nMRtR ??? ? 2
tRM n 22 ??? ? ??
T
x
Mn
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Mn
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D
T
位移规律
0?xu
0?ru
横截面保持平面,
大小形状不变。
0??u
p
n
GI
lM??
二 圆轴 扭转应力
平衡方程
nin MM? ?
（无穷多阶超静定）
?
?
变形几何
方程
表面 Rl ?? ?
内部 ???? ?l)(
刚性平截面变形规律,
横截面保持平面；
直径保持直线。
l???? ?)(
物理方程 G)()( ???? ?
?? ?? ????? dd M nM n 22)(平衡条件,
补充方程,lG???? ?)(
pn Il
Gd
l
GM ????? ?? ? 32 ??
p
n
I
M?
T
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Mn = T
D
?
三 圆轴扭转的应力分布与强度条件
??
p
n
I
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p
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强度
条件 ? ??? ??
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4
3
116 ?? ?? DW p
抗扭截面系数
?? Ap dAI 2?
极惯性矩
??? ???? dd2 ?? ??? d32 32
4D?
? )1( 4??
例 3-2 已知汽车传动主轴 D = 90 mm,d = 85 mm
,M P a60][ ?? T = 1.5 kNm
求：（ 1）校核轴的强度；
（ 2）改用实心轴，确定轴的直径；
（ 3）比较实心轴和空心轴的重量。
解,（ 1） Mn = T = 1.5 kNm,9 4 4.0?? Dd?
? ? 3643 m1029116 ????? ?? DW p
? ??? ＜M P a7.51m ax ??
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（ 2）
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（ 3） 2.3
22
2
???????? dD DAAQQ? 空心优于实心
T T
3-4 圆轴扭转变形与刚度条件
:pIG 截面抗扭刚度 pnGI
lM?? 单位,(弧度 )
p
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m
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刚度
条件 ? ??????? ?
? ?180
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/0.30.1
/0.150.0
/5.025.0
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～
～
～ 精密轴
一般轴
粗糙轴
单位长度扭转角
思考,组合圆筒扭转
应力如何分布？
G1
G2 G1 ?G2
T
一 扭转变形与刚度条件
例 3-3 对汽车传动轴，设,? ? mGP aG /2,80 ????
(1)校核刚度； (2)改用实心轴； (3)比较重量。
解,? ? 4644 1031.11
32 mm
DI
p
????? ??
? ???? ＜m/82.0 ? 刚度足够
mG MD n 06.0180324 ?????? ??
?
1.4??????? AAQQ?
作业, 3-1(b),
3-3,
3-7,
3-8
二 扭转的超定静问题
例 3-4 两端固定的阶梯圆截面杆，在 C 处作用一力偶 T,
求固定端的约束力偶,
解,解除约束
平衡方程
变形协调方程 0???
CABCBA ???
物理方程,
P
BC
BC GI aMn 2??
P
CA
P
CA
CA GI aMnGI aMn 2???
mA + mB = T
Tm A 74? Tm B 73?
MnBC= - mB MnAC= mA
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T
C
A
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2GIp GIp T
mB C
B
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解得
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n
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lM??
例 3-5 由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T,
两者之间无相对滑动，求各点切应力。
解, 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为
M n1,M n2。
平衡方程
变形协调方程
物理方程
M n1 +M n 2 =T
21 ???
22
22
11
11
P
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联立求解
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R1 G
1Ip1
G2Ip2
Mn1
Mn2
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I
M?
讨论, 1、实心杆和空心杆相接触处的切应力情况
2211
12
2
2211
11
1
PPPP IGIG
MnRG
IGIG
MnRG
???? ??
2、切应力分布情况
2
1
2
1
G
G?
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R2
R1
Mn
R2
R1
Mn
R2
R1
Mn
（ 1） G1 > G2
（ 2） G1 = G2
（ 3） G1 < G2
3-5 圆轴扭转破坏分析
扭转破坏实验断口 低碳钢：横截面 切应力破坏
灰铸铁,45° 斜截面 拉应力破坏
竹木材：纵截面 切应力破坏
?
Mn
塑性优于脆性
低碳钢
灰铸铁
竹木材
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0s ins in
c o sc o s
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0,,900m i n90m a x0 ??????? ????????
0,,4545m i n45m a x45 ??????? ?? ????????
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3-6 非圆截面杆扭转
非圆截面扭转时，横截面不再保持平面，切应力不再
与各点到形心的距离成正比。
实验和弹性理论分析表明,
自由扭转和约束扭转,
非圆截面扭转时，如果端面及其它部位均不受任何约束，
各横截面可以自由翘曲，各横截面翘曲形状相同，则横截面
上将只有切应力，这种情况称为自由扭转。
非圆截面扭转时，如果端面或其它部位受约束作用，各
横截面不能自由翘曲，各横截面翘曲形状将不相同，则横截
面上将不仅有切应力，还有正应力，这种情况称为约束扭转。
实心截面杆约束扭转时，正应力很小，可忽略不计；
而薄壁截面约束扭转时，正应力不能忽略。
一 矩形截面杆扭转
周边上的切应力与周边平行，角
点上的切应力为零。 (切应力互等定理 )
切应力大小沿周边按复杂级数分布,
极值点出现在长边和短边中点。
2m a x hb
M n
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当 h / b > 10 时 3/1?? ??
2
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b
M n
例 3-6 比较矩形与圆形截面杆的最大扭转切应力
圆形优于矩形
? = 0.208
? = 0.246
4
2d
A ??
2aA? dda 886.04 ?? ?
22 bA ? ddb 6 2 7.08 ?? ?
331 093.5
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M n
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M n
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33 2 b
M n
?? ? 336 2 7.02 4 6.02 d
M n
???
3913.6 d
M n?
3246.8 d
M n?
二 开口薄壁杆自由扭转
对于狭长矩形 31?? ??
开口薄壁杆可看成由若干个狭长
矩形组成，扭转时所有狭长矩形的扭
转角相同。
32m a x
3,3
G h t
lM
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拐角处往往有应力集中
三 闭口薄壁杆自由扭转
闭口薄壁杆应力沿壁厚基本均匀。
?? sfM sn d?
（壁厚小处应力大）
闭口优于开口
?? stM n dd ?
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剪力流常数
（单位长度剪力）
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作业
3-14,3-16,3-18
材料力学图形元素库
? ? NA公式框 圆柱
固定支座 可动支座 固定端
均布载荷 单元体
?字母框 ? ? ＜ ＜
＜ ＞ ≤ ≥ ≯ ≮ ≠
3-3 圆轴扭转破坏分析
1、扭转破坏实验断口,
沿横截面
灰铸铁,竹、木材,低碳钢,
沿 45° 斜截面 沿纤维、木纹方向
2、剪应力互等定理,
x
y
z
dxd z d y )(? dzdxdy )'(?=
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90m i n90
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045 45m i n45 ????? ??? ?????
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3、斜截面上的应力分析
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讨论,
045 45m a x45 ????? ?? ??? ?????
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4、破坏分析
沿横截面
灰铸铁,
竹、木材,
低碳钢,
沿 45° 斜截面
沿纤维、木纹方向
?? ?? 45
?? ??45
横截面不再保持平面，剪应力
不再与各点到形心的距离成正比。
周边上的剪应力与周边平行,
角点上的剪应力为零。
(剪应力互等定理 )
剪应力大小沿周边按复杂级数分布,
极值点出线在长边和短边中点。
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max? h
b
思考,
组合圆筒扭转的应力如何分布？
G1
G2
G1 ?G2
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Mn （ A） Mn （ B）
Mn （ C） Mn （ D）
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