第 4 章 弯曲内力
4 -1 概述
受力特点,力偶或外力作用垂直于轴线。
变形特点,杆件的轴线由直线变为曲线。
把以弯曲为主要变形的杆称为 梁 。
M M
F
RA RB
平面力系,
平衡方程 3 个
约束反力 3 个
静定梁 3 种
悬臂梁
外伸梁
简支梁
三类外载荷
集中力
集中力偶
分布力（均布力）
4-2 梁的内力及其符号规则
x l
F
FQ ? 垂直与外法线，平行于 横截面，称为剪力。
xFM ? 矢量方向垂直于外法线,称为弯矩。
MM
QQ
??
?? 大小相等，方向相反,产生同样的变形。
符号规则：外法线顺针向转 90
度为剪力正方向；使横梁
上侧受压为弯矩正方向．,
x
n’
Q’
M’ R
m
Q
M
n
F x
4-３ 剪力弯矩方程与剪力弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化
规律的方程。
剪力方程 Q ( x ),弯矩方程 M ( x )
例 4-1 求下列各梁的剪力弯矩
方程并作 Q,M 图。
解：作分离体，列平衡方程
qxxQ ??)( 2
2
)( xqxM ??
qlQ ?m a x 2
2
m a x
qlM ?
Q(x)
M(x)
x
n
q
l
Q
ql?M
22ql?
Q(x)
M(x)
x AR
n
Q
2/ql?
2/ql
8/2ql
M
q
l R
A RB
解：支反力
2
qlRR
BA ??
qxqlQ ?? 2 222 xqxqlM ??
2m a x
qlQ ?
8
2
m a x
qlM ?
RA RB
F
2l 2l
解：支反力
2FRR BA ??
,2FRQ A ?? 2FxxRM A ??
)20( lx＜＜
)2( lxl ＜＜
2FFRQ A ????
)2( lxFxRM A ???
2)( xlF ??力区：能够用一个
方程描述内力
变化的区间。
2)( FRxQ B ?????
2)( xFxRxM B ?????
)20( lx ＜＜ ?
Q 2F
2F?
M 4Fl
4
2
m a x
m a x
FlM
FQ
?
?
Q(x’)
M(x’)
n’
x? RB
Q(x)
M(x)
x n RA
Q(x)
M(x) F 2l
xRA
n
解：支反力
lmRR BA ???
,lmRQ A ?? x
l
mxRM
A ?? )20( l＜＜
l
mRQ
A ??
mxRM A ??
)1( ?? lxm
)2( lxl ＜＜
Q lm
M
2m
2m?
2,m a xm a x mMlmQ ??
2l 2l
m
RA RB
Q(x)
M(x)
x
n
RA
Q(x)
M(x) m 2l
x
RA n
Q
M
q
2,q = 0 的区间,Q 不变,M
为直线 ; q 为常数 (向下 )
的区间,Q 为斜率向下的
直线,M 为向下凹的曲线。
3,Q ＞ 0,M 的斜率为正,
Q = 0 时 M 取驻值,其左
右区间如果反号,则 M 为
极值。正变负取极大。
4.集中力 F 作用点剪力图
有间断,突跳值等于 F,
弯矩图有拐点。
5.集中力偶 M 作用点,弯矩
图有间断,突跳值等于 M。
M
Q
q
F
Q
M
m
Q
M
1,载荷对称弯矩图正对称,
剪力图反对称。
4-4 M,Q,q 之间的微分关系
x
y
x dx
dx
q(x)
M(x)
Q(x)
M(x)+dM
Q(x)+dQ
xxqxQQxQ d)()(d)( ???
)(d )(d xqx xQ ??
2
dd)(d)()(d)( xxxqxxQxMMxM ????
)(d )(d xQx xM ? )(d )(dd )(d 2
2
xqx xQx xM ???
作业,4 -1(a),4 -2(c,e,h,l )
4-4 M,Q,q 之间的微分关系
)(
d
)(d
d
)(d
2
2
xq
x
xQ
x
xM ???
1, q = 0 的区间,Q 不变,M为直线； q 为常数 (向下 )的 区间，
Q 为斜率向下的直 线,M为向下凹的曲线。
2,Q＞ 0,M 的斜率为正, Q 的值越大, M 的斜率越大,Q = 0
时 M 取驻值，其左右区间如果反号，则 M为极值。
3,集中力 F 作用点剪力图有间断，突跳值等于 F, 突跳方向与
载荷方向相同；弯矩图有拐点。
4,集中力偶 M 作用点，弯矩图有间断，突跳值等于 M。
5,载荷正对称,Q 反对称,M 正对称。
例 4-2 求下列各梁的剪力弯矩 图 。
解：支反力
422
2 qa
a
qaR
A ?????
4
5 qaRqaR
AB ???
qaQ ?m a x
22m a x qaM ?
检验
q
2a a
A B
C
RA RB
Q
M
qa
4qa?
22qa?
Q,M 通用方程
????????? axqaxRRQ BA 22 0
22
22 ????????? ax
qaxRxRM
BA
解：支反力
2FRR BA ??
2m a x FQ ?
2m a x FaM ?
a 2a a
F
F
A B
C
D
RA RB Q
2F 2F
2Fa?
2Fa
2F?M
Q,M 通用方程
00 3 ????????? axFaxFRQ A
????????? axFaxFxRM A 3
2a a
q F = q a
A B D
RA RB
Q
C
M 82qa
解：支反力
2qaR A ? 25 qaR B ?
2:0 axQ C ?? 8
2qa
M C ?
23m a x qaQ ? 2m a x qaM ?
x
2qa
q
Q
M
qxqaxQ ?? 2)(
2
22)( x
qxqaxM ??
2/qa
23 qa?
qa
2qa?
Q,M 通用方程
02 ?????? axRqxRQ BA
?????? axRxqxRM BA 22 2
???? axq 2
22
2 ???? ax
q
解,支反力
qaRR BA ??
qaQ ?m a x
2
m a x qaM ?
2a a
q
A C
B
2qa
RA RB
Q qa
qa?
2qa
M 22qa
l a a
F
M 4lF
F
M
aF?
最佳设计方案
4
FlFa ? 4la ?
解：两种工况,
简支梁 外伸梁
例 4-3 分析 双杠的合理跨度
4-5 奇异函数法的剪力弯矩方程
q
l
a1
a2 F
m
x
x
x
FQ ??
FxM ??
（ a 1 ? x ? a 2 ）
FQ ??
mFxM ???
（ 0 ? x ? a 1 ）
)( 2axqFQ ????
2
2 )(2 ax
qmFxM ?????
（ a 2 ? x ? l ）
?????? 2axqFQ
2
2
0
1 2 ?????????? ax
qaxmFxM
（ 0 ? x ? l ）
Q,M 通用方程
后段包含前段
解：支反力
4
qaR
A ?? 4
5 qaR
B ?
qaQ ?m a x
22m a x qaM ?
q
2a a
A B C
RA RB
Q
M
qa
4qa?
22qa? Q,M 通用方程
ARQ?
22
22 ???????? ax
qaxR
B
例 4-4 写下列各梁的剪力和弯矩通用方程
ARQ ? xRM A? )20( ax ??
)2( axqRRQ BA ????
2)2(
2
1)2( axqaxRxRM
BA ?????
)32( axa ??
???????? axqaxR B 22 0
xRM A?
解：支反力
2qaR A ? 25 qaR B ?
qxRxQ A ??)(
2
2)( x
qxRxM
A ??
23m a x qaQ ?
2
m a x qaM ?
2a a
q F = q a
A B D
RA RB
Q
C
M 82qa
2/qa
23qa?
qa
2qa?
Q,M 通用方程
qxRQ A ??
???? axR B 2
???? axq 2
22
2 ???? ax
q
qxRxQ A ??)( )2()2( 0 axqaxR B ????
2
2)( x
qxRxM
A ??
2)2(
2
1)2( axqaxR
B ????
)32( axa ??
)20( ax ??
02 ???? axR B
2
2 x
qxRM
A ??
2a a
q
A C
B
2qa
RA RB
Q qa
qa?
2qaM
22qa
解,支反力
qaRR BA ??
qaQ ?m a x
2m a x qaM ?
ARxQ ?)( qx? ???? axq 2
xRxM A?)( 221 qx? 2221 ???? axq
Q,M 通用方程的写法
（ 1） 采用统一坐标系，原点一般选在梁的左端；
（ 2） 剪力方程 Q（ x）,
0???? ii axF
分布力起点 1????
ii axq 分布力终点 11 ???? ?ii axq
集中力作用点
（ 3） 弯矩方程 M（ x）,
集中力偶作用点 0????
ii axm
（向上为正）
（顺针向为正）
1???? ii axF集中力作用点 （向上为正）
分布力起点 2
2
1 ????
ii axq 分布力终点 212
1 ????
?ii axq
4-6 刚架和曲杆的内力图及叠加法
刚架和曲杆可看作折线或曲线的梁，内力的计算和剪力
弯矩图的作法原理上与横梁相同。剪力的正负仍以外法线为
基准判断，弯矩图画在受压一侧。
例 4-5 作下列刚架和曲杆的内力图
F
a
a
2a
A B
C D
解：支反力 2,FRRFR
ByAyAx ???
M图
N图
+ -
2F 2F?
Q图
+
F
- 2F? Fa
2max FN ?
FQ ?max
aFM ?max
RA y RB y
RA x
R
F ?
?? s in)( PN ?
?? c o s)( PQ ??
?? s in)( PRM ?
－ Q图
F
＋
M图
FR ＋
N图
F
N M
Q
F ?
F 2Fa
a a
F
2Fa
2Fa
Fa
Fa?
23Fa
2Fa?
叠加法
作业,
4-2（ f,i）
4-3（ d,e）
* 写出 Q,M 通用方程
4 -1 概述
受力特点,力偶或外力作用垂直于轴线。
变形特点,杆件的轴线由直线变为曲线。
把以弯曲为主要变形的杆称为 梁 。
M M
F
RA RB
平面力系,
平衡方程 3 个
约束反力 3 个
静定梁 3 种
悬臂梁
外伸梁
简支梁
三类外载荷
集中力
集中力偶
分布力（均布力）
4-2 梁的内力及其符号规则
x l
F
FQ ? 垂直与外法线，平行于 横截面，称为剪力。
xFM ? 矢量方向垂直于外法线,称为弯矩。
MM
??
?? 大小相等，方向相反,产生同样的变形。
符号规则：外法线顺针向转 90
度为剪力正方向；使横梁
上侧受压为弯矩正方向．,
x
n’
Q’
M’ R
m
Q
M
n
F x
4-３ 剪力弯矩方程与剪力弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化
规律的方程。
剪力方程 Q ( x ),弯矩方程 M ( x )
例 4-1 求下列各梁的剪力弯矩
方程并作 Q,M 图。
解：作分离体，列平衡方程
qxxQ ??)( 2
2
)( xqxM ??
qlQ ?m a x 2
2
m a x
qlM ?
Q(x)
M(x)
x
n
q
l
Q
ql?M
22ql?
Q(x)
M(x)
x AR
n
Q
2/ql?
2/ql
8/2ql
M
q
l R
A RB
解：支反力
2
qlRR
BA ??
qxqlQ ?? 2 222 xqxqlM ??
2m a x
qlQ ?
8
2
m a x
qlM ?
RA RB
F
2l 2l
解：支反力
2FRR BA ??
,2FRQ A ?? 2FxxRM A ??
)20( lx＜＜
)2( lxl ＜＜
2FFRQ A ????
)2( lxFxRM A ???
2)( xlF ??力区：能够用一个
方程描述内力
变化的区间。
2)( FRxQ B ?????
2)( xFxRxM B ?????
)20( lx ＜＜ ?
Q 2F
2F?
M 4Fl
4
2
m a x
m a x
FlM
FQ
?
?
Q(x’)
M(x’)
n’
x? RB
Q(x)
M(x)
x n RA
Q(x)
M(x) F 2l
xRA
n
解：支反力
lmRR BA ???
,lmRQ A ?? x
l
mxRM
A ?? )20( l＜＜
l
mRQ
A ??
mxRM A ??
)1( ?? lxm
)2( lxl ＜＜
Q lm
M
2m
2m?
2,m a xm a x mMlmQ ??
2l 2l
m
RA RB
Q(x)
M(x)
x
n
RA
Q(x)
M(x) m 2l
x
RA n
Q
M
q
2,q = 0 的区间,Q 不变,M
为直线 ; q 为常数 (向下 )
的区间,Q 为斜率向下的
直线,M 为向下凹的曲线。
3,Q ＞ 0,M 的斜率为正,
Q = 0 时 M 取驻值,其左
右区间如果反号,则 M 为
极值。正变负取极大。
4.集中力 F 作用点剪力图
有间断,突跳值等于 F,
弯矩图有拐点。
5.集中力偶 M 作用点,弯矩
图有间断,突跳值等于 M。
M
Q
q
F
Q
M
m
Q
M
1,载荷对称弯矩图正对称,
剪力图反对称。
4-4 M,Q,q 之间的微分关系
x
y
x dx
dx
q(x)
M(x)
Q(x)
M(x)+dM
Q(x)+dQ
xxqxQQxQ d)()(d)( ???
)(d )(d xqx xQ ??
2
dd)(d)()(d)( xxxqxxQxMMxM ????
)(d )(d xQx xM ? )(d )(dd )(d 2
2
xqx xQx xM ???
作业,4 -1(a),4 -2(c,e,h,l )
4-4 M,Q,q 之间的微分关系
)(
d
)(d
d
)(d
2
2
xq
x
xQ
x
xM ???
1, q = 0 的区间,Q 不变,M为直线； q 为常数 (向下 )的 区间，
Q 为斜率向下的直 线,M为向下凹的曲线。
2,Q＞ 0,M 的斜率为正, Q 的值越大, M 的斜率越大,Q = 0
时 M 取驻值，其左右区间如果反号，则 M为极值。
3,集中力 F 作用点剪力图有间断，突跳值等于 F, 突跳方向与
载荷方向相同；弯矩图有拐点。
4,集中力偶 M 作用点，弯矩图有间断，突跳值等于 M。
5,载荷正对称,Q 反对称,M 正对称。
例 4-2 求下列各梁的剪力弯矩 图 。
解：支反力
422
2 qa
a
qaR
A ?????
4
5 qaRqaR
AB ???
qaQ ?m a x
22m a x qaM ?
检验
q
2a a
A B
C
RA RB
Q
M
qa
4qa?
22qa?
Q,M 通用方程
????????? axqaxRRQ BA 22 0
22
22 ????????? ax
qaxRxRM
BA
解：支反力
2FRR BA ??
2m a x FQ ?
2m a x FaM ?
a 2a a
F
F
A B
C
D
RA RB Q
2F 2F
2Fa?
2Fa
2F?M
Q,M 通用方程
00 3 ????????? axFaxFRQ A
????????? axFaxFxRM A 3
2a a
q F = q a
A B D
RA RB
Q
C
M 82qa
解：支反力
2qaR A ? 25 qaR B ?
2:0 axQ C ?? 8
2qa
M C ?
23m a x qaQ ? 2m a x qaM ?
x
2qa
q
Q
M
qxqaxQ ?? 2)(
2
22)( x
qxqaxM ??
2/qa
23 qa?
qa
2qa?
Q,M 通用方程
02 ?????? axRqxRQ BA
?????? axRxqxRM BA 22 2
???? axq 2
22
2 ???? ax
q
解,支反力
qaRR BA ??
qaQ ?m a x
2
m a x qaM ?
2a a
q
A C
B
2qa
RA RB
Q qa
qa?
2qa
M 22qa
l a a
F
M 4lF
F
M
aF?
最佳设计方案
4
FlFa ? 4la ?
解：两种工况,
简支梁 外伸梁
例 4-3 分析 双杠的合理跨度
4-5 奇异函数法的剪力弯矩方程
q
l
a1
a2 F
m
x
x
x
FQ ??
FxM ??
（ a 1 ? x ? a 2 ）
FQ ??
mFxM ???
（ 0 ? x ? a 1 ）
)( 2axqFQ ????
2
2 )(2 ax
qmFxM ?????
（ a 2 ? x ? l ）
?????? 2axqFQ
2
2
0
1 2 ?????????? ax
qaxmFxM
（ 0 ? x ? l ）
Q,M 通用方程
后段包含前段
解：支反力
4
qaR
A ?? 4
5 qaR
B ?
qaQ ?m a x
22m a x qaM ?
q
2a a
A B C
RA RB
Q
M
qa
4qa?
22qa? Q,M 通用方程
ARQ?
22
22 ???????? ax
qaxR
B
例 4-4 写下列各梁的剪力和弯矩通用方程
ARQ ? xRM A? )20( ax ??
)2( axqRRQ BA ????
2)2(
2
1)2( axqaxRxRM
BA ?????
)32( axa ??
???????? axqaxR B 22 0
xRM A?
解：支反力
2qaR A ? 25 qaR B ?
qxRxQ A ??)(
2
2)( x
qxRxM
A ??
23m a x qaQ ?
2
m a x qaM ?
2a a
q F = q a
A B D
RA RB
Q
C
M 82qa
2/qa
23qa?
qa
2qa?
Q,M 通用方程
qxRQ A ??
???? axR B 2
???? axq 2
22
2 ???? ax
q
qxRxQ A ??)( )2()2( 0 axqaxR B ????
2
2)( x
qxRxM
A ??
2)2(
2
1)2( axqaxR
B ????
)32( axa ??
)20( ax ??
02 ???? axR B
2
2 x
qxRM
A ??
2a a
q
A C
B
2qa
RA RB
Q qa
qa?
2qaM
22qa
解,支反力
qaRR BA ??
qaQ ?m a x
2m a x qaM ?
ARxQ ?)( qx? ???? axq 2
xRxM A?)( 221 qx? 2221 ???? axq
Q,M 通用方程的写法
（ 1） 采用统一坐标系，原点一般选在梁的左端；
（ 2） 剪力方程 Q（ x）,
0???? ii axF
分布力起点 1????
ii axq 分布力终点 11 ???? ?ii axq
集中力作用点
（ 3） 弯矩方程 M（ x）,
集中力偶作用点 0????
ii axm
（向上为正）
（顺针向为正）
1???? ii axF集中力作用点 （向上为正）
分布力起点 2
2
1 ????
ii axq 分布力终点 212
1 ????
?ii axq
4-6 刚架和曲杆的内力图及叠加法
刚架和曲杆可看作折线或曲线的梁，内力的计算和剪力
弯矩图的作法原理上与横梁相同。剪力的正负仍以外法线为
基准判断，弯矩图画在受压一侧。
例 4-5 作下列刚架和曲杆的内力图
F
a
a
2a
A B
C D
解：支反力 2,FRRFR
ByAyAx ???
M图
N图
+ -
2F 2F?
Q图
+
F
- 2F? Fa
2max FN ?
FQ ?max
aFM ?max
RA y RB y
RA x
R
F ?
?? s in)( PN ?
?? c o s)( PQ ??
?? s in)( PRM ?
－ Q图
F
＋
M图
FR ＋
N图
F
N M
Q
F ?
F 2Fa
a a
F
2Fa
2Fa
Fa
Fa?
23Fa
2Fa?
叠加法
作业,
4-2（ f,i）
4-3（ d,e）
* 写出 Q,M 通用方程
