第 5章 弯曲应力
5-1 概述
F F
梁的横截面具有纵向对称线，所有
对称线组成纵向对称平面，外载荷作用
在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对
称平面内弯曲成一条平面曲线。
平面弯曲
F
M
Fa
F
－ F
Q
0,0 ?? MQ
剪切（横力）弯曲
0,0 ?? MQ
纯弯曲
已知内力求应力＝
已知合力求分力
合力少，分力多,
平衡方程有６个。
a a F F
x
y
0??? ??? ZYX 0??? ??? zyx mmm
超静定问题
变形观察
dx
n1
m1 m2
n2
a1 a2
b1 b2
o1 o2
5 -２ 弯曲正应力
1,横向线仍为直线,但相对转动 ?d ;
2,纵向线由直线变成曲线,有些伸长,有些缩短 ;
平截面假设,
横截面在弯曲变形后仍然保持平面 。
既不伸长又不缩短纤维层。 中性层
3,纵向线与横向线仍然互相垂直。
z
y
y
中性轴 中性层与横截面的交线。
??? 2121d oobbx 21o ?? d?
21bb ?? d)( y??
??
?????
d
dd)(
21
2121 ????? y
bb
bbbb
?? y? 几何关系
M M ?d
物理关系,
???
yEE ?? 中性层 ( y 的起点 )在哪里？
怎样算? ?1 平衡条件找答案
0?? ?? ZY
0?? ym
0?? xm 自动满足
0??X
中性层
通过形心
yz 为形心
主惯性轴
Mm z ??
MIEAyEAy zAA ??? ?? ??? dd 2
yIM
z
??
ZEI
M?
?
1 0dd ??? ??
zyAA J
EAyzEAz
???
??A Ad? ?? ?A AyE d? 0?zSE??A AyE d?
得到实验验证
公式适用条件
1,比例加载 ;
2,纯弯曲与
剪切弯曲 ;
3,平面弯曲。
注意事项,M,y 与 ? 的
正负号之间的关系
M ?dA
x
z
y
通过变形来判断。
解, Nm9 0 018.0105 3 ????? FaM
竖放时 433 cm54
12
6030
12 ?
??? bhI
Z
求,(1)截面竖放时距离中性层 20mm
处的正应力和最大正应力 ;
(2)截面横放时的最大正应力,
max??
max???
M P a3.33:mm20 ???? yIMy
Z
?
M P a501054 03.0900 4m a xm a x ?????? yIM
Z
?
横放时
433 cm5.13
12
3060
12 ?
??? hbI
Z
4m a xm a x 105.13
15.0900
?
????? y
I
M
Z
?
m a x2M P a1 0 0 ? ???
例 5-1 已知图示简支梁
2mm6030 ??? hb 的矩形,
kN5,mm1 8 0 ?? Fa
截面为
h
b
20
y a a F F
5 -3 弯曲正应力强度条件
?? ?
m a xm a x yI
M
Z
?
?? ?
m a xm a x yI
M
Z
?
?? ? m a xyIW ZZ ?? ?
m a xyIW ZZ
?? ZZ WW,
抗弯截面系数
弯曲正应力
强度条件 ][m a x
?
?
? ?? ??
ZW
M ][
m a x
?
?
? ?? ??
ZW
M
y
I
M
z
??
例 5-2 已知简支梁的最大弯矩 M P a160][,k N m5.7m a x ?? ?M
求：按正应力强度条件选择下列
截面的尺寸并比较其重量。 解,
圆形
32
3DW
Z
??
6
2bhW
Z ?
矩形
圆环 )1(
32
43 ?? ?? DW
Z
工字钢
][
m a x
?
MW
Z ?
mm2.781 6 0 32105.73
6
???? ?D圆形
mm9.79)5.01(160 32105.73 4
6
?? ??? ?D圆环
mm3.4141 6 0 6105.73
6
?? ???b矩形
工字钢 3cm9.46?ZW №10 3cm49?ZW
21 cm48?A 22 cm6.37?A
23 cm34?A 24 cm14?A
?4321,:,AAAA
1:43.2:69.2:43.3?
2m
15kN/m
M 7.5kNm
2?dD 2?bh 工字钢
例 5-3 图示悬臂梁 M P a90][,M P a40][,kN5 ??? ?? ??F
20
100
20
100
40
80 cz
解,k N m5
m a x ?M 4cm5 3 3?cZI
固定端,mm80,mm40 m a xm a x ?? ?? yy
M P a5.374010533 105 4
6
m a x ???
???
?
?
ZW
M?
M P a75m a x ?? ??
ZW
M?同理
∴ 构件安全 倒过来将不安全！
][m a x ??? ?? ??
ZW
M ][
m a x ??? ?? ??
ZW
M
作业,5-2,5-5
5-6,5-7
求：校核强度 F 1m
ZIb
SQ ???
假设所有的 ? 都平行于 y
5-4 弯曲切应力（剪应力）及强度条件
剪切弯曲 0,0 ?? ?Q 横截面不再保持平面（翘曲）
实心细长梁 工程上一般忽略不计。
薄壁或短粗梁,?? ? 需要考虑切应力及其强度条件
F
dx
dx Q
M Q
M+dM
b
h 矩形截面梁,
y
N1 N
2
dx
Qd ?
QdNN ??? 120??X
???? ??
?? SI
MdA
I
MdAN
ZA ZA
??1
??? S
I
dMMN
Z
2 b d xQd ? ????
ZbI
S
dx
dM ????
M+dM
M
dx
??? S
I
dMNN
Z
12
Q 通过 y,? 对称于 y
截面两侧 ? 平行于 y
,?＜＜?
b h 假设同一高度 y 处 ? 相等 ＜ ＜
)4(22 )( 2
2
yhbyyhbyAS ????? ????
)2(21)2(21 yhyhyy ??????
)4(2d 2
22
yhbbS hy ??? ?? ??
12
)
4
(
2
3
2
2
bh
b
y
hb
Q ?
?? 0:2 ??? ?hy
A
Q
bh
Qy
2
3
2
3:0
m a x ???? ??
例 5-4 比较矩形截面悬臂梁的最大正应力和最大切应力 。
解：,
max lFM ? FQ ?max
,6 2m a x bh lF?? bhF23max ??
F l
h
b
h
l4
m a x
m a x ?
?
?
max?
)4(6 2
2
3 y
h
bh
Q ??
b
2
h
2
h
y
?A
Q
?y
:,bhbh ＜? 切应力假设不成立，将产生较大误差
圆形截面梁,
A
Q
3
4
max ??
薄壁圆环截面,
A
Q2
ma x ??
工字钢截面,
0
m a x Bh
Q
A
Q ??
腹板
?
][m a x ?? ?
切应力
强度条件
h
0h
例 5.2（续） M P a80][ ??,求：校核各梁的切应力强度
解,kN152
m a x ?? qlQ 圆形 21 cm48?A M P a2.4m a x ??
矩形 2
3 cm34?A M P a6.6m a x ??
圆环 2
2 cm6.37?A M P a0.8m a x ??
工字钢 2cm9.3?
腹板A M P a3.39m a x ??
正应力越小
切应力越大
正应力两缘
切应力中间
正应力中央
切应力两头
Q 2ql
正应力是主要矛盾 !!!
5-5 提高梁的强度的措施
等强梁的概念与应用
一、合理安排载荷和支座
][m a x ??? ?? ??
ZW
M ][
m a x ??? ?? ??
ZW
M
l a a
q
l
F
8/2m a x qlM ?
4/m a x FlM ?
q
l
F
M Fa
辅梁的合理长度？
空心优于实心
二、合理设计和选用截面
矩形优于圆形
4/22 da ??
dda 886.02/ ?? ?
33
33
1 1 6.068 8 6.06 ddaW z ??? 3
3
0 9 8 2.032 ddW z ?? ? %18??
zy II ?
2/2 ah ?
%40??
1
2?
b
h %33???
%33???
树干为什么是圆的？
(受载方向确定 )
塑性材料与脆性材料梁的特点,
塑性材料,???? ??
m a xm a x,][][ yy??
脆性材料,????
m a xm a x,][][ yy ＜＜ ??
截面上下对称 圆形，矩形，工字形，槽钢；
截面上下不对称 T 形，不等边工字型，不等边矩形框
讨论：钢筋混凝土楼板钢筋应该铺设在哪一边？
作业
5-9
5-12
5-18
三、等强度梁的概念与应用
材料力学图形元素库
? ? NA公式框 圆柱
固定支座 可动支座 固定端
均布载荷 单元体
?字母框 ? ? ＜ ＜
＜ ＞ ≤ ≥ ≯ ≮ ≠
5-1 概述
F F
梁的横截面具有纵向对称线，所有
对称线组成纵向对称平面，外载荷作用
在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对
称平面内弯曲成一条平面曲线。
平面弯曲
F
M
Fa
F
－ F
Q
0,0 ?? MQ
剪切（横力）弯曲
0,0 ?? MQ
纯弯曲
已知内力求应力＝
已知合力求分力
合力少，分力多,
平衡方程有６个。
a a F F
x
y
0??? ??? ZYX 0??? ??? zyx mmm
超静定问题
变形观察
dx
n1
m1 m2
n2
a1 a2
b1 b2
o1 o2
5 -２ 弯曲正应力
1,横向线仍为直线,但相对转动 ?d ;
2,纵向线由直线变成曲线,有些伸长,有些缩短 ;
平截面假设,
横截面在弯曲变形后仍然保持平面 。
既不伸长又不缩短纤维层。 中性层
3,纵向线与横向线仍然互相垂直。
z
y
y
中性轴 中性层与横截面的交线。
??? 2121d oobbx 21o ?? d?
21bb ?? d)( y??
??
?????
d
dd)(
21
2121 ????? y
bb
bbbb
?? y? 几何关系
M M ?d
物理关系,
???
yEE ?? 中性层 ( y 的起点 )在哪里？
怎样算? ?1 平衡条件找答案
0?? ?? ZY
0?? ym
0?? xm 自动满足
0??X
中性层
通过形心
yz 为形心
主惯性轴
Mm z ??
MIEAyEAy zAA ??? ?? ??? dd 2
yIM
z
??
ZEI
M?
?
1 0dd ??? ??
zyAA J
EAyzEAz
???
??A Ad? ?? ?A AyE d? 0?zSE??A AyE d?
得到实验验证
公式适用条件
1,比例加载 ;
2,纯弯曲与
剪切弯曲 ;
3,平面弯曲。
注意事项,M,y 与 ? 的
正负号之间的关系
M ?dA
x
z
y
通过变形来判断。
解, Nm9 0 018.0105 3 ????? FaM
竖放时 433 cm54
12
6030
12 ?
??? bhI
Z
求,(1)截面竖放时距离中性层 20mm
处的正应力和最大正应力 ;
(2)截面横放时的最大正应力,
max??
max???
M P a3.33:mm20 ???? yIMy
Z
?
M P a501054 03.0900 4m a xm a x ?????? yIM
Z
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横放时
433 cm5.13
12
3060
12 ?
??? hbI
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4m a xm a x 105.13
15.0900
?
????? y
I
M
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m a x2M P a1 0 0 ? ???
例 5-1 已知图示简支梁
2mm6030 ??? hb 的矩形,
kN5,mm1 8 0 ?? Fa
截面为
h
b
20
y a a F F
5 -3 弯曲正应力强度条件
?? ?
m a xm a x yI
M
Z
?
?? ?
m a xm a x yI
M
Z
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m a xyIW ZZ
?? ZZ WW,
抗弯截面系数
弯曲正应力
强度条件 ][m a x
?
?
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ZW
M ][
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?
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ZW
M
y
I
M
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例 5-2 已知简支梁的最大弯矩 M P a160][,k N m5.7m a x ?? ?M
求：按正应力强度条件选择下列
截面的尺寸并比较其重量。 解,
圆形
32
3DW
Z
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6
2bhW
Z ?
矩形
圆环 )1(
32
43 ?? ?? DW
Z
工字钢
][
m a x
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MW
Z ?
mm2.781 6 0 32105.73
6
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mm9.79)5.01(160 32105.73 4
6
?? ??? ?D圆环
mm3.4141 6 0 6105.73
6
?? ???b矩形
工字钢 3cm9.46?ZW №10 3cm49?ZW
21 cm48?A 22 cm6.37?A
23 cm34?A 24 cm14?A
?4321,:,AAAA
1:43.2:69.2:43.3?
2m
15kN/m
M 7.5kNm
2?dD 2?bh 工字钢
例 5-3 图示悬臂梁 M P a90][,M P a40][,kN5 ??? ?? ??F
20
100
20
100
40
80 cz
解,k N m5
m a x ?M 4cm5 3 3?cZI
固定端,mm80,mm40 m a xm a x ?? ?? yy
M P a5.374010533 105 4
6
m a x ???
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ZW
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∴ 构件安全 倒过来将不安全！
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M
作业,5-2,5-5
5-6,5-7
求：校核强度 F 1m
ZIb
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假设所有的 ? 都平行于 y
5-4 弯曲切应力（剪应力）及强度条件
剪切弯曲 0,0 ?? ?Q 横截面不再保持平面（翘曲）
实心细长梁 工程上一般忽略不计。
薄壁或短粗梁,?? ? 需要考虑切应力及其强度条件
F
dx
dx Q
M Q
M+dM
b
h 矩形截面梁,
y
N1 N
2
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QdNN ??? 120??X
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Z
2 b d xQd ? ????
ZbI
S
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M+dM
M
dx
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Z
12
Q 通过 y,? 对称于 y
截面两侧 ? 平行于 y
,?＜＜?
b h 假设同一高度 y 处 ? 相等 ＜ ＜
)4(22 )( 2
2
yhbyyhbyAS ????? ????
)2(21)2(21 yhyhyy ??????
)4(2d 2
22
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12
)
4
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2
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?? 0:2 ??? ?hy
A
Q
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Qy
2
3
2
3:0
m a x ???? ??
例 5-4 比较矩形截面悬臂梁的最大正应力和最大切应力 。
解：,
max lFM ? FQ ?max
,6 2m a x bh lF?? bhF23max ??
F l
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b
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l4
m a x
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2
3 y
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y
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:,bhbh ＜? 切应力假设不成立，将产生较大误差
圆形截面梁,
A
Q
3
4
max ??
薄壁圆环截面,
A
Q2
ma x ??
工字钢截面,
0
m a x Bh
Q
A
Q ??
腹板
?
][m a x ?? ?
切应力
强度条件
h
0h
例 5.2（续） M P a80][ ??,求：校核各梁的切应力强度
解,kN152
m a x ?? qlQ 圆形 21 cm48?A M P a2.4m a x ??
矩形 2
3 cm34?A M P a6.6m a x ??
圆环 2
2 cm6.37?A M P a0.8m a x ??
工字钢 2cm9.3?
腹板A M P a3.39m a x ??
正应力越小
切应力越大
正应力两缘
切应力中间
正应力中央
切应力两头
Q 2ql
正应力是主要矛盾 !!!
5-5 提高梁的强度的措施
等强梁的概念与应用
一、合理安排载荷和支座
][m a x ??? ?? ??
ZW
M ][
m a x ??? ?? ??
ZW
M
l a a
q
l
F
8/2m a x qlM ?
4/m a x FlM ?
q
l
F
M Fa
辅梁的合理长度？
空心优于实心
二、合理设计和选用截面
矩形优于圆形
4/22 da ??
dda 886.02/ ?? ?
33
33
1 1 6.068 8 6.06 ddaW z ??? 3
3
0 9 8 2.032 ddW z ?? ? %18??
zy II ?
2/2 ah ?
%40??
1
2?
b
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%33???
树干为什么是圆的？
(受载方向确定 )
塑性材料与脆性材料梁的特点,
塑性材料,???? ??
m a xm a x,][][ yy??
脆性材料,????
m a xm a x,][][ yy ＜＜ ??
截面上下对称 圆形，矩形，工字形，槽钢；
截面上下不对称 T 形，不等边工字型，不等边矩形框
讨论：钢筋混凝土楼板钢筋应该铺设在哪一边？
作业
5-9
5-12
5-18
三、等强度梁的概念与应用
材料力学图形元素库
? ? NA公式框 圆柱
固定支座 可动支座 固定端
均布载荷 单元体
?字母框 ? ? ＜ ＜
＜ ＞ ≤ ≥ ≯ ≮ ≠
