第 6 章 弯曲变形
拉压变形 l?
扭转变形 ?
弯曲变形
挠度 v 截面形心的竖向位移
转角 ? 截面绕中性轴转过的角度 挠度曲线
?
v
6-1 概 述
?
)(xv 挠度曲线方程
)(x? 转角方程
)(t a n xvdxdv ???? ?? ?? ? dxdv ?
ZEI
M?
?
1
232 )1(
1
v
v
??
???
? )(xv???ZIE
xMxv )()( ??? 挠曲线
基本微分方程
? ??? CdxEI xMxv
Z
)()(
DCxd x d xEI xMxv
Z
??? ?? )()(
? ??? CdxxMxvEI Z )()(
?? ??? DCxd x d xxMxvEI Z )()(
边界条件 已知的挠度和转角
6-2 直接积分法
?
挠度曲线 v
?
例 6-1 求下列各梁的挠曲线方程及最大挠度和转角
解,2
2)( x
qxM ??弯矩方程
CqxCdxxqxvEI Z ??????? ? 62)( 32
DCxqxDCxdxxqxvEI Z ???????? ? 246)( 43
边界条件,
0,0,???? vvlx 6
3qlC ?
8
4qlD ??
)43(24)( 434 xxllEIqxv
z
???? )(6)( 33 xlEIqxv
z
???
x l
q
EIz
)(8
4
m a x ?
??
zEI
qlv )(
6
3
m a xm a x
zEI
qlv ??? ?
解,lFbR A ? lFaRB ?
xlFbxRxM A ??)(1 )0( ax ＜＜
???? )()(2 axFxRxM A
)( axFxlFb ??? )( lxa ＜＜
1
2
1 2 Cxl
FbvEI
Z ???
11
3
1 6 DxCxl
FbvEI
Z ???
边界条件
a b F
RA RB l
0:,0:0 21 ???? vlxvx
2121,,vvvvax ?????
连续条件
33
2 )(66 ax
Fx
l
FbvEI
Z ???
22 DxC ??
2
22
2 )(22 Cax
Fx
l
FbvEI
Z ?????
得 0
21 ?? DD
)(6 2221 bllFbCC ????
)(6 2221 blxxEIl Fbv
Z
???
])()([6 32232 axblblxxEIl bFv
Z
?????
a F
v1 v2
A B
C
b
奇异函数法
axFFxlbaxFxRxM A ??????)(???vEI
CaxFFxlbEI ???? 22 212?
DCxaxFFxlbE I v ????? 33 616
边界条件 0:,0:0 21 ???? vlxvx
得 0?D )(
6
22 bl
l
FbC ???
ba＞ 极值点在 AC 段
)(
39
)( 322
m a x ?
??
lEI
blFbv
Z
ba? 极值点在 C 点
)(48
3
m a x ??
ZEI
Flv
0?b Fb 形成一个力偶 M
极值点 llx 577.030 ??
3
22
0
blx ??
)(39
2
m a x ??
ZEI
Mlv
中点挠度
ZEI
Mllvv
16)2
2
1 ?? （中
相对误差
％％中 64.2
m a x
m a x ???
v
vv?
a F
v1 v2
A B
C
b a
A B
b F
M
讨论：最大挠度
6-3 查表叠加法
例 6-3 求梁指定截面
的挠度和转角。
（ 1）
Acv ?,
解,
)(245385 )2(5
44
1 ???
ZZ
C EI
qa
EI
aqv
)(648 )2(
43
2 ???
ZZ
C EI
qa
EI
aFv
)(83
4
21 ????
Z
CCC EI
qavvv
)(324 )2(
33
1
ZZ
A EI
qa
EI
aq ???
)(216 )2(
33
2
ZZ
A EI
qa
EI
aq ???
a a
F = q a
A B
q
C
q
a a
A B C
a a
F
A B C
)(65
3
21
Z
AAA EI
qa??? ???
（ 2）
ACCv ??,,解,??? )()( mvFvv CCC
)(48)(
3
???
Z
C EI
FlFv
??? )()( mF CCC ???
)(24)(
2
Z
C EI
Flm ?? ?
)()( mF AAA ??? ??
F
A B C
2l 2l
)(16)(
2
Z
A EI
FlF ??
)(48)(
2
Z
A EI
Flm ??
)(24)481161(
22
ZZ EI
Fl
EI
Fl ???
F
A B C
2l 2l
m=Fl/2
A B
C
2l 2l
m
作业 6-1 (b), 6-3 (c,d),6-6,
6-2 画在书上
思考题,
如何证明弯曲时梁的轴向位移远小于梁
的挠度？
讨论,车削加工时，弯曲变形造成的“让刀”使工件
尺寸产生何种误差？
(B)
(C)
(A)
(D)
例 6-4 求图示悬臂梁的 vC
解一：增减载荷
q
a aq
C
q
a a C
a aq
C B
)(8 )2(
4
1 ?? EI
aqv
C
avv BBC 222 ???
)(8
4
2 ?? EI
qav
B )(6
3
2 EI
qa
B ??
)(247
4
?? EIqa
21 CCC vvv ??
q
a a
A B
C
??? 21 CCC vvv
)(24412472
444
???? EIqaEIqaEIqa
2B? v
B2
解二：逐段刚化法
先假设 BC 段刚性，只有 AB 段变形
avv BBC 111 ???
)(12723
423
1 ???? EI
qa
EI
aM
EI
aQv BB
B
)(1219
4
111 ???? EI
qaavv
BBC ?
)(2
322
1 EI
qa
EI
aM
EI
aQ BB
B ????
a
A BQ BM
1Bv
1B?
再考虑 BC 段的变形 ( AB 段刚性 )
)(8
4
2 ?? EI
qav
C
)(2441
4
21 ???? EI
qavvv
CCC
q
a a
A B
C
B q
a a
A
C
1Cv
q
a a
A
C
1Cv
B
2Cv
q
a a
A B
C
))(6(6 dd 2 ??? xaxEI xqv C
)(2441d
42
??? ? EIqavv aa CC
q
a a
x
xqd
C
解三,
a a
A
C
qaF ?
2
3a
解四：等效力系代换
)(4881)236(6
)23( 42
???? EIqaaaEI
aqa
v C
％2.182 8182 ????
( 转角误差更大 )
单元划分越小精度越
高，求导精度降低。
xqF dd ? 积分 在 x 截面处取
讨论,车削加工时，弯曲变形造成的“让刀”使工件
尺寸产生何种误差？
(B)
(C)
(A)
(D)
例 6-5 求图示简支梁的 vC
CACA vvv ??,0解,
机动灵活
细致全面 2ql
A B
4l 4l 4l 4l
A B
EI 2EI C
AC??
C
Cv 2
ql
2ql
6-4 变形比较法求解超静定梁
例 6-6 求下列超静定梁的支反力
q
l l
1Cv
l lRC
2Cv
解：解除多余约束代之以约束反力
平衡方程 qlRR
AC 22 ??
约束条件 0
21 ??? CCC vvv
)(2453 8 4 )2(5 441 ??? EIqlEIlqv C
物理方程
)(648 )2( 332 ??? EI lREI lRv CCC
补充方程 0
624
5 34 ??
EI
lR
EI
ql C
解得 )(45 ?? qlR C
)(83 ??? qlRR BA
l l
A B EI C
q
RA RB RC
解：解除多余约束代之以约束反力
q
A
B
C
l
a a
EI
EA
D
q
A B C
l
a a
F
D
约束条件 0?
Dv CDC lv ???
q
A B C a a
F
AE
lFl
CD ?? )()( qvFvv CCC ??
EI
aFFv
C 3
)2()( 3?
EI
qaqv
C 24
41)( 3??
代入约束条件
EI
qa
EA
Fl
EI
Fav
D 24
41
3
8 43 ??? 0?
（补充方程）
可解得 F 及所有支反力。
CDC lv ??
6-5 梁的刚度条件与提高梁的刚度的措施
作业 6-4 (b),6-7,6-9,6-11
梁的刚度条件 lv ][
m a x ?? ][m a x ?? ?
提高梁的刚度的措施
（ 1）提高梁的强度的措施对提高梁的刚度都有效；
减小弯矩、增大截面惯性矩
（ 2）减小梁的跨度效果明显；
等强度梁在保证强度的条件下可最大限度节约
材料，却增大了梁的变形
超静定梁可明显提高梁的刚度
（ 3）增加材料的弹性模量；
材料力学图形元素库
? ? NA公式框 圆柱
固定支座 可动支座 固定端
均布载荷 单元体
?字母框 ? ? ＜ ＜
＜ ＞ ≤ ≥ ≯ ≮ ≠
拉压变形 l?
扭转变形 ?
弯曲变形
挠度 v 截面形心的竖向位移
转角 ? 截面绕中性轴转过的角度 挠度曲线
?
v
6-1 概 述
?
)(xv 挠度曲线方程
)(x? 转角方程
)(t a n xvdxdv ???? ?? ?? ? dxdv ?
ZEI
M?
?
1
232 )1(
1
v
v
??
???
? )(xv???ZIE
xMxv )()( ??? 挠曲线
基本微分方程
? ??? CdxEI xMxv
Z
)()(
DCxd x d xEI xMxv
Z
??? ?? )()(
? ??? CdxxMxvEI Z )()(
?? ??? DCxd x d xxMxvEI Z )()(
边界条件 已知的挠度和转角
6-2 直接积分法
?
挠度曲线 v
?
例 6-1 求下列各梁的挠曲线方程及最大挠度和转角
解,2
2)( x
qxM ??弯矩方程
CqxCdxxqxvEI Z ??????? ? 62)( 32
DCxqxDCxdxxqxvEI Z ???????? ? 246)( 43
边界条件,
0,0,???? vvlx 6
3qlC ?
8
4qlD ??
)43(24)( 434 xxllEIqxv
z
???? )(6)( 33 xlEIqxv
z
???
x l
q
EIz
)(8
4
m a x ?
??
zEI
qlv )(
6
3
m a xm a x
zEI
qlv ??? ?
解,lFbR A ? lFaRB ?
xlFbxRxM A ??)(1 )0( ax ＜＜
???? )()(2 axFxRxM A
)( axFxlFb ??? )( lxa ＜＜
1
2
1 2 Cxl
FbvEI
Z ???
11
3
1 6 DxCxl
FbvEI
Z ???
边界条件
a b F
RA RB l
0:,0:0 21 ???? vlxvx
2121,,vvvvax ?????
连续条件
33
2 )(66 ax
Fx
l
FbvEI
Z ???
22 DxC ??
2
22
2 )(22 Cax
Fx
l
FbvEI
Z ?????
得 0
21 ?? DD
)(6 2221 bllFbCC ????
)(6 2221 blxxEIl Fbv
Z
???
])()([6 32232 axblblxxEIl bFv
Z
?????
a F
v1 v2
A B
C
b
奇异函数法
axFFxlbaxFxRxM A ??????)(???vEI
CaxFFxlbEI ???? 22 212?
DCxaxFFxlbE I v ????? 33 616
边界条件 0:,0:0 21 ???? vlxvx
得 0?D )(
6
22 bl
l
FbC ???
ba＞ 极值点在 AC 段
)(
39
)( 322
m a x ?
??
lEI
blFbv
Z
ba? 极值点在 C 点
)(48
3
m a x ??
ZEI
Flv
0?b Fb 形成一个力偶 M
极值点 llx 577.030 ??
3
22
0
blx ??
)(39
2
m a x ??
ZEI
Mlv
中点挠度
ZEI
Mllvv
16)2
2
1 ?? （中
相对误差
％％中 64.2
m a x
m a x ???
v
vv?
a F
v1 v2
A B
C
b a
A B
b F
M
讨论：最大挠度
6-3 查表叠加法
例 6-3 求梁指定截面
的挠度和转角。
（ 1）
Acv ?,
解,
)(245385 )2(5
44
1 ???
ZZ
C EI
qa
EI
aqv
)(648 )2(
43
2 ???
ZZ
C EI
qa
EI
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)(83
4
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Z
CCC EI
qavvv
)(324 )2(
33
1
ZZ
A EI
qa
EI
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)(216 )2(
33
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A EI
qa
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A B
q
C
q
a a
A B C
a a
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A B C
)(65
3
21
Z
AAA EI
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（ 2）
ACCv ??,,解,??? )()( mvFvv CCC
)(48)(
3
???
Z
C EI
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??? )()( mF CCC ???
)(24)(
2
Z
C EI
Flm ?? ?
)()( mF AAA ??? ??
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A B C
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)(16)(
2
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FlF ??
)(48)(
2
Z
A EI
Flm ??
)(24)481161(
22
ZZ EI
Fl
EI
Fl ???
F
A B C
2l 2l
m=Fl/2
A B
C
2l 2l
m
作业 6-1 (b), 6-3 (c,d),6-6,
6-2 画在书上
思考题,
如何证明弯曲时梁的轴向位移远小于梁
的挠度？
讨论,车削加工时，弯曲变形造成的“让刀”使工件
尺寸产生何种误差？
(B)
(C)
(A)
(D)
例 6-4 求图示悬臂梁的 vC
解一：增减载荷
q
a aq
C
q
a a C
a aq
C B
)(8 )2(
4
1 ?? EI
aqv
C
avv BBC 222 ???
)(8
4
2 ?? EI
qav
B )(6
3
2 EI
qa
B ??
)(247
4
?? EIqa
21 CCC vvv ??
q
a a
A B
C
??? 21 CCC vvv
)(24412472
444
???? EIqaEIqaEIqa
2B? v
B2
解二：逐段刚化法
先假设 BC 段刚性，只有 AB 段变形
avv BBC 111 ???
)(12723
423
1 ???? EI
qa
EI
aM
EI
aQv BB
B
)(1219
4
111 ???? EI
qaavv
BBC ?
)(2
322
1 EI
qa
EI
aM
EI
aQ BB
B ????
a
A BQ BM
1Bv
1B?
再考虑 BC 段的变形 ( AB 段刚性 )
)(8
4
2 ?? EI
qav
C
)(2441
4
21 ???? EI
qavvv
CCC
q
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A B
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1Cv
B
2Cv
q
a a
A B
C
))(6(6 dd 2 ??? xaxEI xqv C
)(2441d
42
??? ? EIqavv aa CC
q
a a
x
xqd
C
解三,
a a
A
C
qaF ?
2
3a
解四：等效力系代换
)(4881)236(6
)23( 42
???? EIqaaaEI
aqa
v C
％2.182 8182 ????
( 转角误差更大 )
单元划分越小精度越
高，求导精度降低。
xqF dd ? 积分 在 x 截面处取
讨论,车削加工时，弯曲变形造成的“让刀”使工件
尺寸产生何种误差？
(B)
(C)
(A)
(D)
例 6-5 求图示简支梁的 vC
CACA vvv ??,0解,
机动灵活
细致全面 2ql
A B
4l 4l 4l 4l
A B
EI 2EI C
AC??
C
Cv 2
ql
2ql
6-4 变形比较法求解超静定梁
例 6-6 求下列超静定梁的支反力
q
l l
1Cv
l lRC
2Cv
解：解除多余约束代之以约束反力
平衡方程 qlRR
AC 22 ??
约束条件 0
21 ??? CCC vvv
)(2453 8 4 )2(5 441 ??? EIqlEIlqv C
物理方程
)(648 )2( 332 ??? EI lREI lRv CCC
补充方程 0
624
5 34 ??
EI
lR
EI
ql C
解得 )(45 ?? qlR C
)(83 ??? qlRR BA
l l
A B EI C
q
RA RB RC
解：解除多余约束代之以约束反力
q
A
B
C
l
a a
EI
EA
D
q
A B C
l
a a
F
D
约束条件 0?
Dv CDC lv ???
q
A B C a a
F
AE
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CD ?? )()( qvFvv CCC ??
EI
aFFv
C 3
)2()( 3?
EI
qaqv
C 24
41)( 3??
代入约束条件
EI
qa
EA
Fl
EI
Fav
D 24
41
3
8 43 ??? 0?
（补充方程）
可解得 F 及所有支反力。
CDC lv ??
6-5 梁的刚度条件与提高梁的刚度的措施
作业 6-4 (b),6-7,6-9,6-11
梁的刚度条件 lv ][
m a x ?? ][m a x ?? ?
提高梁的刚度的措施
（ 1）提高梁的强度的措施对提高梁的刚度都有效；
减小弯矩、增大截面惯性矩
（ 2）减小梁的跨度效果明显；
等强度梁在保证强度的条件下可最大限度节约
材料，却增大了梁的变形
超静定梁可明显提高梁的刚度
（ 3）增加材料的弹性模量；
材料力学图形元素库
? ? NA公式框 圆柱
固定支座 可动支座 固定端
均布载荷 单元体
?字母框 ? ? ＜ ＜
＜ ＞ ≤ ≥ ≯ ≮ ≠
