19 - 8 量子力学简介
量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等
价的理论 —— 矩阵 力学和 波动 力学,
相对论量子力学 （ 1928 年，狄拉克）：描述高
速运动的粒子的波动方程,
薛定谔（ Erwin Schrodinger，
1887~1961）奥地利物理学家,
1926年建立了以薛定谔方程
为基础的波动力学,并建立了量子
力学的近似方法,
.,
19 - 8 量子力学简介
一 波函数 概率密度
1） 经典的波与波函数
)(π2c o s),( 0
?
?
x
tEtxE ??
)(π2c o s),( 0
?
?
x
tHtxH ??
电磁波
)(π2c o s),(
?
? xtAtxy ?? 机械波
]eR e [),(
)(π2i
?
?
x
t
Atxy
??
?
经典波为 实 函数
19 - 8 量子力学简介
2） 量子力学波函数（ 复函数 ）
)(π2i
0 e),(
pxEt
htxΨ
??
? ? 自由 粒子平面波函数
),,,( tzyxΨ描述 微观 粒子运动的 波 函数
h
E
??
p
h
??微观粒子的 波粒二象性
自由 粒子能量 和动量 是 确定 的，其德布罗
意频率和波长均不变, 可认为它是一 平面 单色波,
平面单色波波列 无限长,根据不确定原理,粒子在
x方向上的位置 完全不 确定,
E p?
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某一时刻出现在某点附近在体积元 中的粒子
的 概率为
Vd
VΨVΨ dd *2 ?Ψ
1d2 ?? VΨ 归一化条件
( 束缚态 )
某一时刻在整个空间内发现粒子的 概率为
3） 波函数的统计意义
*2 ???Ψ
概率密度 表示在某处 单位 体积内粒子出现的 概率,
正实数
19 - 8 量子力学简介
二 薛定谔方程（ 1925 年 ）
自由粒子 薛定谔方程的建立
)(π2i
0 e),(
pxEt
htxΨ
??
? ?自由 粒子平面波函数
上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
Ψ
h
p
x
Ψ
2
22
2
2 π4
??
?
?
E Ψ
ht
Ψ π2i
??
?
?
自由粒子 )c??(v kEE ? k2 2 mEp ?
t
Ψh
x
Ψ
m
h
?
?
?
?
?
?
π2
i
π8 2
2
2
2一维运动自由粒子
的含时 薛定谔方程
19 - 8 量子力学简介
t
Ψh
ΨtxE
x
Ψ
m
h
?
?
??
?
?
?
π2
i),(
π8 p2
2
2
2
一维运动粒子的含时薛定谔方程
若粒子在势能为 的势场中运动
pk EEE ??pE
质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 ),( txΨΨ ?
)(pp xEE ? 粒子在 恒定势场 中的运动
hEtxtxtxΨ /π2i
0 e)()()(),(
??? ???
在 势场 中 一维 运动粒子的 定态 薛定谔方程
0)()(
π8
d
d
p2
2
2
2
??? xEE
h
m
x
?
?
19 - 8 量子力学简介
0)(
π8
p2
2
2
2
2
2
2
2
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
EE
h
m
zyx
在 三维 势场中运动粒子的 定态 薛定谔方程
拉普拉斯算子
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
?
?
?
?
?
?
?
??
0)(
π8
p2
2
2 ???? ?? EE
h
m
定态 薛定谔方程
定态 波函数 ),,( zyx?
19 - 8 量子力学简介
波函数的 标准条件,单值的，有限的和连续的,
1ddd
,,
2 ??
????? zyx
zyx?1） 可归一化 ;
?
zyx ?
?
?
?
?
? ???
,,2） 和 连续 ;
),,( zyx?3） 为有限的、单值函数,
1） 能量 E 不随时间变化；
2） 概率密度 不随时间变化, 2?
定态波函数性质
19 - 8 量子力学简介
三 一维势阱问题
?pE
axxE
ax
????
??
,0,
0,0
p
粒子 势能 满足的 边界 条件
pE
??
pE
a xo
1） 是固体物理金属中自由电子的简化模型；
2） 数学运算简单，量子力学的基本概念、原理
在其中以简洁的形式表示出来,
意义
0)(
π8
d
d
2
2
2
2
?? x
h
mE
x
?
?薛定谔方程
19 - 8 量子力学简介
),0(,0 axx ???? ? xxE ????,0,p?
2
2π8
h
mE
k ?
axE ??? 0,0p
0
π8
d
d
2
2
2
2
?? ?
?
h
mE
x
0
d
d 2
2
2
?? ?
?
k
x
kxBkxAx c o ss i n)( ???
波函数的 标准条件,单值、有限和连续,
0,0,0 ???? Bx ?? kxAx s i n)( ??
??
pE
a xo
19 - 8 量子力学简介
?nkaka ???,0s i n?
2
2π8
h
mE
k ? 2
2
2
8 ma
h
nE ?
?,3,2,1,?? n
a
nk ? 量子数
基态 能量 )1(,
8 2
2
1 ?? n
ma
h
E
激发态 能量 ),3,2(,
8 2
2
2 ??? n
ma
h
nE n
一维无限深方势阱中粒子的 能量 是 量子化 的,
0s i n,??? kaAax ?? 0s in ?? ka
??
pE
a xo
19 - 8 量子力学简介
022
2
??
?
?
?
?
k
x
kxAx s i n)( ??
x
a
nAx πs in)( ??
归一化 条件 1dd
0
*2 ?? ?? ?
??
xx a ???
1dπs in
0
22 ?? xx
a
nA a
)0(,
π
s i n
2
)( axx
a
n
a
x ????
?,3,2,1,?? n
a
nk ? 量子数
??
pE
a xo
a
A 2?
19 - 8 量子力学简介
??
pE
a xo
x
a
n
a
x πs in2)( 22 ?? 概率密度
2
2
2
8 ma
h
nE n ? 能量
0
π8
d
d
2
2
2
2
?? ?
?
h
mE
x
波动方程
)0(,πs in2 axx
a
n
a
??
?)( x?
),0(,0 axx ??
波函数
?,3,2,1?n 量子数
19 - 8 量子力学简介
0?x 2a a
1?n
2?n
3?n
4?n
n?
0?x 2a a
2
n?
x
a
nAx πs in)( ?? x
a
n
a
x πs in2)( 22 ??
0p ?E
1E
14E
19E
116E
19 - 8 量子力学简介
四 对应原理
在某些 极限 的条件下，量子规律可以 转化 为经
典规律,
2
2
1
8
)12(
ma
h
nEEE nn ????? ?
势阱中相邻 能级 之 差
21,1 amE ??
能量 ),3,2,1(,
8 2
2
2 ??? n
ma
h
nE n
能级 相对 间隔
nma
h
n
ma
h
n
E
E
n
n 2
88
2 2
2
2
2
2
??
?
当 时，,能量视为 连续 变化, ??n 0)( ??
nn EE
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例,电子在 的势阱中, m100.1 2???a
eV1054.7
8
2 152
2
?????? n
ma
h
nE （ 近似于连续 ）
当 时,（ 能量分立 ） eV4.75nm10.0 ???? nEa
当 很大时，,量子效应不
明显，能量可视为 连续 变化，此即为 经典对应,
amn,,0?? E
物理意义
eV1077.3
8
152
2
2
2 ????? n
ma
h
nE
19 - 8 量子力学简介
五 一维方势垒 隧道效应
?)(p xE
axx ??,0,0
axE ??0,p0
一维方势垒
0pEE ?
粒子的能量
0pE
)(p xE
ao x
隧道效应
从左方射入
的粒子，在各区
域内的波函数
1? 2? 3?
)( x?
a xo
19 - 8 量子力学简介
1? 2? 3?
)(x?
a xo
粒子的能量虽 不 足以
超越势垒,但在势垒中似
乎有一个隧道,能使少量
粒子穿过而进入
的区域,所以人们形象地
称之为 隧道效应,
ax ?
隧道效应的本质, 来源于微观粒子的波粒二相性,
量子围栏照片
1981年宾尼希和罗雷尔
利用电子的隧道效应制成了扫描遂
穿显微镜 ( STM ),可观测固体表面
原子排列的状况, 1986年宾尼希又
研制了原子力显微镜,
应用