?
本章共 3.5讲
第三篇 相互作用和场
第十一章 变化中的磁场和电场
§ 11.1 电磁感应（续）
一, 法拉第电磁感应定律
二, 动生电动势
三, 感生电动势（涡旋电场）
四, 自感
1, 自感现象 (实验 )
K
B
R
AL,R
?
?
K接通时,B立即亮,A逐渐亮；
K断开时,B立即灭,A逐渐灭。
t
LI
o
LI
o
t
A灯电流,
由于回路中电流变化，引起穿过回路包围面积的全
磁通变化，从而在回路自身中产生感生电动势的现
象叫自感现象
自感电动势 L?2,自感系数
由叠加原理,?? BB ?? d IB ?
磁通链,? ??
sm SBN
?? d? Im ?? LIm ??
由毕 -沙定律,IB ?d（ 1）定义,
自感系数,
IL
m??
L等于当线圈中通有单位电流时，穿过线圈的全磁通,
由线圈形状、大小、匝数、周围介质分布等因素决定,
（ 2）物理意义
负号,楞次定律内容,总是阻碍 的变化 L? I
由法拉第定律
t
)LI
t
mL
d
d(
d
d ???? ??
若 为常数 L
t
IL
L d
d??? tILL dd???
L等于当线圈中电流变化率为一个单位时,线圈中自
感电动势的大小,
:L 描述线圈电磁惯性的大小,
若 一定,线圈阻碍 I变化能力越强, ??
LL ?,t
I
d
d
（ 3）计算
设 分布 求 BI ? ? ??
sm SBN
?? d?
IL
m??
r?
n
S
l
[例 ]求长直螺线管自感系数（已知 ）
rlSVn ??? 0,,??
IVnn l B SN B Sm 2?? ???
VnIL m 2?? ??
提高 的途径 L
V增大
提高 n
放入 值高的介质 r? 实用
解,设螺线管通有电流 I
由安培环路定理
nIH ?
nIHB r ??? ?? 0
I
练习,p343 11 - 12
已知,
求：（ 1）该螺线管应该绕多少匝？
（ 2）实际上绕的匝数应该比理论值多还是少,
为什么？
H100.1cm,51cm,20 4????? L.dl
（ 2）实际上不可能真正线密绕,线泄漏,
绕的匝数要多一些,
B?
（ 1）
3 0 0
4
4
)(
2
0
2
2
0
2
0
??
???
d
lL
N
d
l
l
N
VnL
??
?
??
匝
解,
五,互感
1,互感现象
回顾中学原副线圈实验,
R
?
K
G
原线圈
副线圈
一个载流回路中电流变化，引起邻近另一回路中
产生感生电动势的现象 — 互感现象,
互感电动势
2I
2 112?
21?
1I
2 1
变化 变化 1I 线圈 2 中产生 21?
2I 变化 变化 12? 线圈 1 中产生 12?
21?
2, 互感系数
2
12
1
21
IIM
?? ??
M等于当一回路中通过单位电流时，引起的通过另
一回路的全磁通,
互感系数 M
当线圈几何形状、相对位置、周围介质均一定时,
121221 IN ?? ?? 12121 IM??
212112 IN ?? ?? 21212 IM??
MMM ?? 2112
（ P330 例 2）
（ 1）定义
（ 2）物理意义
,dddd 12121 tIMt ???? ?? t
IM
t d
d
d
d 212
12 ????
??
???
t
IM
d
d
21
1
?
t
I
d
d
12
2
??
M等于当一个回路中电流变化率为一个单位时，在
相邻另一回路中引起的互感电动势,
（ 3）计算
设 的磁场分布 穿过回路 2 的 11 II 1B? 21?
得
1
21
IM
??? ??
2
d1221 s SBN ???
[例 ]求两共轴长直细螺线管的互感系数
222
111
?M
l.L.N.R
l.L.N.R
已知,
求,1N
2N
l
22R12R
1L
2L
自学教材,P327 例 9（设外管通电流 求解）
采用设内管通电流 重做, 2I
1I
?2B
)( 22222 RrIlNIn ?? ??
)( 0 2Rr ?
解,设内管通电流 2I
2I
穿过外管的全磁通,
?
??
?? ?
221
2112 d
1
SBN
SBN
s
内
??
?
22221 RIlNN ?? ?
1N
2N
l
22R12R
1L
2L2I
2
12
IM
?? 2
221 Rl
NN ???
又,2
1
21
1
2
11 )( Rll
NVnL ??? ??? 2
1
2
1 R
l ???
2
2
2
2
2 Rl
NL ???
21
1
2 LL
R
RM ??
1N
2N
l
22R12R
1L
2L
两螺线管共轴，且, 完全耦合
两螺线管轴相互垂直,,不耦合,
1, 21 ?? KRR
0?K
一般情况,
21 LLKM ?
)10(,?? KK
耦合系数
练习,P343 11-16
) (41 LLM ?????
证明,
1L 2L
L?
2L1L
L??顺接 反接
1L 2L
I
L?反接
MIILIL 221 ????
MLLIL '' 221 ???? ?
由上面两式, ) (
4
1 4 '''''' LLMMLL ????
MIILIL 221 ????
MLLIL ' 221 ???? ?
1L 2L
L?
I
顺接
思考,
2L1L
????L
I
0????L
0221 ???? MIILIL?
?? ????
2
1
2
d
2d
10
12121
R
R
s r
rhINSBNN
?
??? ??
1
210 ln
2 R
RhIN
?
??
h
2R
1R
h
N
I
sd
[例 ]矩形截面螺绕环尺寸如图,密绕 匝线圈,
其轴线上置一无限长直导线，当螺绕环中通有电流
时，直导线中的感生电动势为多少？ tII ?c o s
0?
N
解 1,这是一个互感问题
先求,M
设直导线中通有电流 1I
1I
r
IB
?
?
2
10
1 ?
1
21
IM
??
1
20 ln
2 R
RNh
?
??
t
IM
d
d 2
1 ???
tR
RNh
d
dln
2 1
20
?
??? )tI( ?c o s0
tRRN h I ?? ?? s i nln2
1
200 ??
h
2R
1R
h
N
I
sd
解 2,由法拉第定律求解,
螺绕环 ?
内B rNI??20 0?外B,
如何构成闭合回路？
无限长直导线在无穷远处闭合
穿过的回路磁通量,
SBSBSBSB
R
R
R
R ????????
dddd
2
2
1
1
0
???????? ?? ??
?
外内外?
??
2
1
d
2
0
R
R r
rIhN
?
? tI
R
RNh ?
?
? c o sln
2 01
20 ??
h
2R
1R
h
N
I
sd
td
d?? ??
tRRN h I ?? ?? s i nln2
1
200 ??
§ 11.2 磁场能量
一, 自感磁能
RIK
???
01K
R
L?
2 1
?0I
由 21 ?K IR
t
IL
L ??? d
d?
K
R
L?
2 1
L??
tLRII
tI
I
dd
00
?? ??
L
tR
I
I dd ??
tLRII ??
0
ln
tLRtLR e
ReII
?? ?? ?
0
tLRtLR e
ReII
?? ?? ?
0
t
I
R
?
o
电流由 过程中自感电动势所做的功等于线圈
中储存的磁能
0?I
ILItItILtIA L dddddd ?????? ?
2
0
2
1 d d LIILIAA
I
???? ??
2
2
1 LIAW
m ??
自感磁能,
对长直螺线管,
n
BIVnL
?? ??,
2
可以推广到一般情况
?)(21 2Vn? VBnB ?? ?? 2)(
2
2?? 2
2
1 LIW
m
代入自感磁能公式,
二, 磁场能量
1,磁能密度：磁场单位体积内的能量
BHBVWw mm 212
2
??? ?
VBHVBVwW
VV rV
mm d2
1d
2d 0
2 ???
??? ??
2,磁场能量
3.电场能量与磁场能量比较
电场能量 磁场能量
电容器储能
C
QQUCU
22
1
2
1 22 ??
自感线圈储能 2
2
1LI
电场能量密度
2
02
1
2
1 EEDw
re ????
磁场能量密度
r
m
BBHw
?? 0
2
22
1 ??
能量法求 C L能量法求
电场能
?? V ee VwW d 磁场能量 ?? V mm VwW d
[例 ]P343 11-18
已知,同轴薄筒电缆
求,L
l,,R,R 21 ?
解,设电缆中通有如图流向电流 I,由安培环路定理,
??? ?? ?? ?
?I
1Ro2R
?I
1R
2R
?
?B
)( 2 21 RrRrI ????
),( 0 21 RrRr ??
r
取体积元,rrlV d2d ???
1
2ln
2 R
RlL
?
??得：
自学 P331 [例 3]
1
2
2
ln4 RRlIW ???
2
2
1 LIW ?
1
2
2
2 ln
42
1
R
RlILI
?
??
1
2
2
2
222
ln4d2)2(2d2 2
1 R
RlIrrl
r
IVBW R
R
V
?? ???? ???????
小结,
电磁感应
动生电动势
感生电动势
（涡旋电场）
自感电动势
互感电动势 磁场能量
IL
m?? tILL dd???
2
12
1
21
IIM
?? ??
t
IM
d
d 1
21 ??? t
IM,
d
d 2
12 ???
lBvL ??? d)( ??? ?动?
?? L感? StBlE s ?
???
dd ?????? ?感
tN
m
d
d ?? ??法拉第电磁感应定律