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本章共 7讲
第三篇 相互作用和场
第九章 电相互作用和静电场
§ 9.9 静电场的能量
一, 电容器的能量
储能 = 过程中反抗电场力的功,
电容器（储能元件）储能多少？
模型,将 由负极移向
正极板的过程
极板电量
板间电压 UQ???00
Q
0
0
Q?
U?
Q
qd?
q?
q?
u?
0
0
Q?
U?
Q
qd?
q?
q?
u?
UQ)U(CCQW ????? 21212 2
2
电容器的能量,
C
Qq
C
qAA Q
2dd
2
0
??? ? ?
qCqquA ddd ????
计算,
二, 电场能量
1.电场能量密度
EDEVWw re 2121 20 ??? ??
以平行板电容器为例 EdU ??
d
SC r?? 0?
2
1
2
1 2 ??? )U(CW VEdE
d
S
r
r 2
0
220
2
1 ???? ?
2,电场能量
VEVEDVwW rVVV e d21d21d 20 ????? ???
2R
r?
1R
o
[例 ]用能量法推导球形电容器（ ）电容公式
r.R.R ?21
q
q?
q?解,设极板带电量
)RrRrq
r
212
0
( 4 ?????
)( 0 1Rr ?
?E
)( 0 2Rr ?
取半径 r，厚度 dr的同心球壳为积分元
Vd
r
rd
rrV d4d 2??
rr)rq(VEW
r
r
R
RrV d442
1d
2
1 22
2
0
0
2
0
2
1
???????? ??? ??
21
12
0
2
8 RR
RRq
r
??
???
2R
r?
1R
oq
q?
Vd
r
rd
得,
12
21
04 RR
RRC
r ?? ???
21
12
0
22
82 RR
RRq
C
q
r
??
???
由,
C
qW
2
2
?
又,
21
12
0
2
8 RR
RRqW
r
??
???
[例 ] 圆柱形电容器（ ）
r,L,ba ?,
1,保持与端电压 V 的电源连接,将介质层从电容器
内拉出，求外力的功,
2,断开电源，将介质层拉出,求外力的功,
L
r?
b ao
不同点,
保持与电源连接
V 不变,Q 可变,电源要做功；
断开电源
Q不变, 电源不做功,
共同点,电容器电容变化 (变小 )。
分析
解,原电容,
拉出介质层后,
a
b
LC r
ln
2 0????
C
a
b
LC ??
ln
2 0' ??
1）不断开电源
两板电势差 = 电源端电压 = V 保持 不变,
什么量变化？
怎么变？ ?CF V
L
r?
b ao
0)(22121 '
2
22' ?????? CCVCVVCW
电容器储能变化,
极板电量变化,
0)( ?????? VCCCVVCQ ''
有电荷回流电源, 电源做功,
0)(2 ?????? CCVQVA '?
由功能原理,WAA ???
?外
0)1(
ln
2
1
2
1
(
2
202
22
2
?????
??????????
V
a
b
L
V)CC(
V)CC()CC(V)CC
V
AWA
r
'
'''
?
??
?外
?
C
F
Q?
能量转换过程,外力做功
电场能减少 对电源充电
2）,断开电源
极板电量 Q不变，电源不做功,
电容器储能变化
0)11(222
2222
?????? CCVCCQCQW ''
由功能原理
'
'
C
CCCVWA
2
)(2 ????
外 0)1(
ln
20 ??? V
a
b
L
r
r ????
F?
能量转换过程,
外力做功 电场能增加
L
r?
b ao
思考题,1,p254 9.9.3
W,D,q,CE,U ?
W,E,U?D,q C
2,比较 p253 [例二 ]和 p266 9-41
对电子采用不同模型计算，结果数量级相同,
插入电介质
不断开电源
断开电源
不变量 增大量 减小量
§ 9.10 稳恒电场
稳恒电场,存在电荷宏观定向运动,（电流）
通过截面 S的电流强度 I不变
通过截面内各点电流密度 不变 j? 稳恒电流
空间电荷分布不变（流入 = 流出），电场分布不变
静电场,相对于观察者静止的电荷周围的电场
静电感应, 电荷瞬间宏观定向运动 只讨论实现
介质极化, 电荷瞬间微观定向运动 平衡后电场
? ??L lE 0d ??
性质,
?? ??
)
0d
内S(s
qSD ??
有势（保守）
有源
一, 电流密度矢量
1,电流的形成
电流
传导电流
运流电流
位移电流
电 场
载流子,自由电子、正负离子,
电子 — 空穴对、库柏对,
孤子 …
金属导电的经典解释,
电场中，自由电子除热运动外，叠加定向加速运动,
频繁碰撞使加速运动间断进行,
其平均效果为定向匀速运动 —— 漂移运动,
比较
漂移速率 u,
18 sm 103 ???
134 sm 1010 ??? ??
132 sm 1010 ???热运动平均速率,
电场传播速率,
?S通过垂直于 I 指向的截面 的电流强度,
由金属导电的经典解释（载流子 q的漂移运动）表示
?
? ?
?
??
?? Sq n ut
tuSqn
t
QI
tu?
?S
I
n
q
?? ?? ??? ?? ???? ??
q n uSI ?
?d
d
2,电流密度矢量
大小,通过与该点 垂直的单位截面的电流
方向,与 的漂移运动方向（ 方向）相同 q? E?
E?
uqnnSIj ??? ??
?
0d
d
分布,电流线
其切向即 方向
其疏密 大小 j??
j?
j?
I
I
j?与 的关系,I
?稳恒电流一定是闭合的，或两端通向无穷远,
（在无穷远处闭合）
?稳恒电流的电场分布不随时间变化,
3,稳恒电流条件：穿过封闭曲面 S的 通量为零 j?
0d ???
s
Sj ??
通过某截面的电流强度即电流密度
矢量 通过该面的通量, j?
? ?? S SjI ?? d
SjSjSjI ?? dc o sddd ???? ? ?
n?
?Sd
Sd
E?
j?
? ?
分布不随
时间变化
E,Q ?
高斯定理
环路定理适用
?? ??
) 0
d
内S(s
qSD ??
有源
? ??L lE 0d ??
保守
0?E?
.I 0?
导体内
一经建立，不需能
量维持,
?I 恒量
0?E?
导体内
E? 分布不变
其存在一定伴随能量
转换
静
电
场
稳
恒
电
场
相 同 不 同 比较
二, 电源电动势 —— 稳恒电场的能量来源
电源作用,
提供非静电力,将＋ q 由负极移向正极，保持
极板间电势差,以形成持续的电流, kF
?
+ -
eF?
??
eF?
??
R
不能形成持续电流
?
?
eF
? ?? eF
???
RK
???k
F? eF?
能够形成持续电流
作用机理,
反抗 做功，将其他形式能转变为电能
eF
?
kF
?
?? ???
kF
?
eF
?
U?
断路,
ek FF
?? ?? 时平衡
通路
外电路,
内电路,
eF
? 作用，将 由正极 负极 q? ?
ek FF
?? ? 将 由负极 正极 q?
ek F,F
?? 共同作用形成持续电流,
?
?
?
eF
? ?? eF
???
RK
???k
F? eF?
能量转换
:kF? 做功如何？
非静电场强,qFE
kk
?? ?
0d ??? ? lEA L k ??
非静电力搬运单位正电荷绕闭合回路一周做功,
非静电力为非保守力
外电路,
内电路,
?
?
?
?? 0d lF e
??
eF
?
?
?
?
?? 0d lF e ??
0d ??? lF
L
e
??静电力为保守力
?
?
eF? ?
? eF???
RK
???kF
?
eF?
：可量度电源将其他形式能
转变为电能的能力大小 lEL k ?? d??
定义,电源电动势
lEL k ?? d?? ??
若 只在内电路存在,
kE
?
?
?
?
??
（经内电路）
lE k
??
d?
? ??
规定指向,
练习,
?
?
?
??
（经内电路）
lE k
??
d??
?
?
???
（经外电路）
lEU e
??
d
电源路端电压 电源电动势
比较
试比较电源路端电压和电源电动势这两个概念
练习,
单位正电荷从电源正极出发，沿闭合回路一周，又回
到电源正极时，下列哪种说法正确？
1）静电力所做总功为零；
2）非静电力所做总功为零；
3）静电力和非静电力做功代数和为零；
4）在电源内只有非静电力做功,
在外电路只有静电力做功。
三, 欧姆定律与焦耳定律的微分形式
欧姆定律 焦耳定律
积分形式
微分形式
RIPtRIQ 22 ; ???RUI ??
电流密度
Ej ?? ??
热功率密度
2Ew ??
??
1?电导率,
电阻定律,
S
LR ?? ?电阻率,
电流密度,Ej ?? ??
热功率密度,2Ew ??
电流的形成及其热效应都是场作用的结果
与 点点对应, E?
w,j?
自学,p255— p 256
VCD：静电的应用