?
本章共 5.5讲
第三篇 相互作用和场
第十章 运动电荷间的相互作用和稳恒磁场
习题课 (第十章 )
一,基本概念,
稳恒磁场，磁感应强度，磁通量，电流的磁矩,
磁场强度,……
二,基本规律,
高斯定理－无源场
安培环路定理－涡旋场 ??
?
??
??
)L(
0d
0d
穿过
i
L
S
IlB
SB
?
??
??
毕－萨定律
安培定律
三,基本计算,
2） 的计算,mP? ???
mmm PPnISP
???? d;dd
3）磁力、磁力矩
BPM
FFBlIF
Bvqf
m
mmm
m
???
?????
???
??
???
??
? d;dd
1） 的计算 B?
? ??
S
m SB
?? d?磁通量
叠加法
安培环路定理（对称性）
BBI ?? ?? d)(d 各种典型电流
? ? BBl ??? ?? 毕－沙定律dId
??2dd qI ?带电体旋转：
4）典型电流分布的磁场（ P307－ 308）
??????????
z
xoj?
[例一 ] p 310 10-11
xy平面内无限大导体平板,电流沿 y方向，线密度 j,
求,分布 B? x方向单位长度上的电流
解 1,用叠加原理
思考,
如何选取积分元？
dI＝?
dB的大小、方向？
xjI dd ?取电流管,
r
IB
?
?
2
dd 0? 方向如图
Idr
r
B?d
B?d
由对称性,
0d ?? ? zz BB
??????????
z
'B?dr
Id
'Id
r?
B?d
B?d
'B?d
z
?
?
x
xo
j?
能否利用对称性化简？
?
??
??
??
??
??
r
z
r
xj
BBB x
?
?
?
2
d
c o sdd
0
? ??? ?? 220 d2 zx xzj?? zxzzj a r c t g12 0 ?? ?? ??? 20 j??
xz ??, 0
xz ??, 0
无限大载流平面上下为均匀场
20j?
20j?? x
B
o
解 2.用安培环路定理
思考,如果载流平面不是无限宽，能否用叠加原理
求解？
能否用安培环路定理求解？
jllBlBL 0 2d ????? ?? 20 jB ??得,由,
如何在对称性分析的基础上选择安培环路？
选如图安培环路,
取顺时针方向为正方向。
z
??????????xj?
L
l
（可以）
（不能）
[例二 ] P310 10-12
在半径 的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一个
半径为 的圆柱形空腔：,电流 在截面
内均匀分布，方向平行于轴线，求,
doo ??r
R
I
1,圆柱轴线上磁感应强度
OB
?
即在空心部分中补上与实体具
有相同的电流密度的两个反向
电流（ 和 ）
这等价于原来的空心部分,
?
?
解：用补偿法
部分电流与原电流 构
成实心圆柱电流,
方向向外,1
I
I?
?
R
r
?
d
I?
P
O O?
原电流分布等效于,
实心圆柱电流, 方向,磁场
空腔部分反向电流 方向,磁场
?
1I
?2I
1B
?
2B
?
所求磁场为,21 BBB ??? ??
电流密度,
22 rR
Ij
?? ??
21 RjI ??
22 rjI ??
电流,
d
IB
O ?
?
2
20
2 ?
由安培环路定理,
01 ?OB
)rR(d
IrBBB
ooo 22
2
0
21 2 ???? ?
?
方向如图，与 成右旋关系 2I
R
r
?
d
I?
oB
?
P
o o?
B?2,空心部分中任一点 P的磁感应强度
1r?
? ?
1B
?
2r?
2B
?
x
2L
1I
o
o?
2I
1L
y
d?
P
对空腔内任一点 P, 设,
1rOP ? 2rPO ??
由安培环路定理,2
1011 2d1 rjrBlBL ??? ????
??
2
10
1
jrB ??得,
2
20
2
jrB ??同理可得,
R
r
?
d
I?
oB
?
P
o o?
21 BBB
??? ??
1
0
2 rk
j ?? ?? ?
2
20
2 rk
jr ?? ?? ?
)(2 210 rrkj ??? ??? ? dkj ?? ?? 20?
空腔内为垂直于 的均匀磁场,d?
)rR(
IdB
22
0
2 ?? ?
?
1r?
? ?
1B
?
2r?
2B
?
x
2L
1I
o
o?
2I
1L
y
d?
P
B?
1
110
1 2 r
rkjrB ??? ?? ?
2
220
2 2 r
rkjrB ??? ??? ?
写成矢量式,
小结,形成均匀磁场的方法
长直载流螺线管
无限大载流平面上、下
亥姆霍兹圈
……
圆柱载流导体内平行于轴线的空腔
R
d
I?
B?
o o?
[例三 ] P311 10-15
已知,iEE ?? ? kBB,?? ??
,q,m,d ? ivv ?? 00 ?
m
q??
m在 P点恰不与板相碰
求,P点轨道曲率半径 Pr
y
z xo
0v?
q,m
d
B?
A
P
?+ -
解,定性分析 q在电磁场中的运动,y
z xo
0v?q,m
d
B?
A
P
?+ - Pv?
??
Q
mF?
eF?
n?
由对称性原理：轨道为平面曲线,
q在任意位置 Q受力如图
恰不与板相碰,板, //vP?
q在位置 P受力如图
P点法向方程,
P
P
P r
vmqEB q v 2?? （ 1）
2
0
2
2
1
2
1 mvmvq E d
P ??
过程能量方程, （ 2）
)2(
)2(
2
0
2
0
EvEd
m
q
Bq
Ed
m
q
vm
r P
??
?
?
由 （ 1）,（ 2）得,
)2(
2
2
0
2
0
EvEdB
Edv
??
??
??
?
y
z xo
0v?q,m
d
B?
A
P
?+ - Pv?
??
Q
mF?
eF?
n?
eF?
mF?
[例题 ] P312 10-19
解,图中 分布如何形成的？ B?
j?
上B
?
下B?
+ 0B? ???????????
已知,
求,载流平面上单位面积所受
磁场力
21 B,B
??
1B
?
2B
?
x
z
j? ? ??? ?? ? ????
由安培环路定理,
2
0 jBBB ????
下上
2 120
BBB ??
BBB ?? 01
0
12
?
BBj ??
BBB ?? 02
2 12
BBB ??
2
0 jB ??
由
无限大载流平面上任一电流元受载流平面上其它
电流磁场力的合力为零,只计算其所受均匀场
的作用,
0B
?
j?
0B?z
x
???????????
SjyxjlI dddd ??电流元
SjBlIBF ddd 00 ??
单位面积受力,
?? jBSF 0dd 2 12 BB ?
0
12
?
BB ??
0
2
1
2
2
2?
BB ?? z?方向
本章共 3.5讲
第三篇 相互作用和场
第十一章 变化中的磁场和电场
第十一章 变化中的磁场和电场
J,C,Maxwell
（ 1831－ 1879）
法拉第实验所提供的存在力线
的美妙例子，促使我相信力线是某
种实际存在的东西 ……,我主要是抱
着给法拉第这些观念提供数学基础
的愿望来承担这部著作的写作工作。
－－－麦克斯韦
相对论建立以前，人们通过对变化中的场的研究认
识到电场与磁场的联系，并建立了经典电磁学的基
本方程,
结构框图,
法拉第电磁感应
定律
感应电动势的
计算
磁场能
量
麦克斯韦的两
条假设
涡旋电场
位移电流
经典电磁理论的
基本方程
重点,
法拉第电磁感应定律，动生电动势，涡旋电场，感生电动势，
自感，互感，磁场能，位移电流，麦克斯韦方程组
难点,
感应电动势的计算，涡旋电场，位移电流，麦克斯韦方程组
学时,7
§ 11.1 电磁感应
一, 法拉第电磁感应定律
1820年, 奥斯特实验：电 — 磁
1821 — 1831年：法拉第实验：磁 — 电
对称性
Faraday
1791-1867
法拉第是著名的自学成才的英国科学家。
生于贫苦铁匠家庭。仅上过小学,13岁便在
书店里当学徒。后来受到化学家戴维的赏识，
踏上科学研究道路。主要从事电学、磁学、
磁光学、电化学方面的研究，并在这些领域
取得了一系列重大发现。在 1831年发现了电
磁感应定律。这一划时代的伟大发现，使人
类掌握了电磁运动相互转变以及机械能和电
能相互转变的方法，成为现代发电机、电动
机、变压器技术的基础。
内容,闭合回路中感应电动势的大小与通过回路的
磁通量的变化率成正比,
tN
m
d
d ?? ??
穿过每匝线
圈的磁通量 线圈匝数
楞次定律要求
,通过线圈的磁通链数 （全磁通） mm N ?? ?
tt
N
tN
mmm
d
d
d
)d(
d
d ???? ??????
中学原副线圈实验,
铁棒插入、取出时，
电流计指针偏转。 K
原线圈
副线圈
铁
棒
G
nIB r?? 0?
nIH ?
B与磁介质有关，引起闭合回路中产生感应电动势的
是通过回路的 通量的变化，而不是 通量的变化 B? H?
讨论,
（ 1） 通量还是 通量？还是二者皆可？ H?Bm ?,?
楞次定律的本质是能量守恒。
2）：线圈中感应电流磁场与磁铁互相排斥，
磁铁减速运动，其动能转变为感应电流能量。
不违反能量守恒定律。
（ 2）式中负号含义, 楞次定律的本质是什么？
v??
s NN s
v??
sN sN
1） 2）
1）：线圈中感应电流磁场与磁铁互相吸引，
磁铁加速运动和感应电流能量从何而来？违反
能量守恒定律，故不能成立。
t
t
N
m
m
d
d
d
d
?
?
?
??
??
? ???? s sm SBSB dc o sd ?? ??
引起 变化的原因,
m? 变化S,,B ?
（ 3）引起 变化的原因有哪些？与参考系选择有关吗？ m?
不同惯性系中的变换很难概括为一个简单公式,
分两种情况处理。
v??
s N sN
对线圈参考系,变化 B?
对磁铁参考系,
相对位置关系变化。与 SB?
[例 ]
二,动生电动势
1,磁场分布不变，导体运动引起穿过回路的磁通
量变化所产生的感应电动势叫动生电动势 。
2,产生机理,产生 的非静电力是什么力？ 动?
平衡时
, 电源,反抗 做功，将 由负极 正极,
维持 的非静电力 — 洛仑兹力
cd
mf
?
q?ef? ?
U?
mf
?
l
?
?
ef
?
d
c
v??
B?
?
?
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??
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l
UqqEq v B ???
B lvU ??
动?
产生 的非静电力
BvqfF mK ???? ???
BvqfE mK ??
??
???
非静电场强
?
?
?
???
（经内电路）
动 lE K
??
d? ?
?
?
??
（经内电路）
lBv
???
d)(
由电动势定义,
lBvL ??? d)( ??? ?动?
或,
mf
?
l
?
?
ef
?
d
c
v??
B?
?
?
U?
??
?
3,能量关系
洛仑兹力不对运动电荷做功
洛仑兹力充当非静电力 矛盾？
思考,
0?fmA
0??mfA
0?FmA
y
mF
?
x
?
?
d
c ?
?
B?
?
mf
?
mf?
?
?
V?
v?
'v?
?
如图所示,
充当非静电力的只是载流子所受总磁场力
的一个分力 m
F?
mf
?
4, 计算（两种方法）
（ 2）由法拉第定律求
t
m
d
d?? ??
如果回路不闭合，需加辅助线使其闭合。
大小和方向可分别确定, ?
（ 1）由电动势定义求
lBvlE LL K ????? d)(d ????? ??动?
?
?
?
???
（经内电路）
动 lBv
???
d)(?
[例一 ]长 的铜棒,绕其固定端 在均匀磁场
中，以 逆时针转动,铜棒与 垂直,
求
B?
OAL O B?
?
?动?
l?A
o
??
??
B?
L
llB
lvBlBv
d
dd)(d
?
?
?
????
???
解 1,取线元 l?d
lv ??
)( Bv ??? 与 同向 l?dBv
???
l?d
v?
2
2
1dd LBllBL
o
???? ? ? ???
?? oA
???? 22 21dd21dd BLtBLt m ???
由楞次定律, ?? oA,
解 2,
构成扇形闭合回路 AOCA
?? 221 LBBS A O C Am ???
L
A
?
B?
?
?
o C
[例二 ] P342 11 -7
已知,求,x,v,a,b,I ?
？动 ??
M x
v?
b
a
o
I
N
Qx
P
l?d
B?? 解 1,
?? Bv ?? xIv??20
方向
?
方向 ?
x
IB
?
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2
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Bv ????
????
???
?
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lBv
lBv
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M
L
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lBv
M
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lBv
L
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b
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b
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ax
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?
?
?
??
?
?
?
?
顺时针指向
xbS dd ?
??? SBm ?? dd ?
x
xIb
?
?
2
d0
x
IB
?
?
2
0?
解 2,
?? ? mm ?? d ? ? ax
x x
xIb d
2
0
?
?
x
axIb ?? ln
2
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?
????? txxt mm dddddd ??? 动 )(2 0 axx I v a b???
v
顺时针指向
x
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a
B??
o
I
x
sd
[例三 ] p342 11 - 6
已知,v,b,aI ?,
求,
NM UU ?,动?
连接 构成闭合回路，
穿过回路 不变,
解,
m?
MN
0dd ????? NMM e Nmt ????
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本章共 5.5讲
第三篇 相互作用和场
第十章 运动电荷间的相互作用和稳恒磁场
习题课 (第十章 )
一,基本概念,
稳恒磁场，磁感应强度，磁通量，电流的磁矩,
磁场强度,……
二,基本规律,
高斯定理－无源场
安培环路定理－涡旋场 ??
?
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穿过
i
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毕－萨定律
安培定律
三,基本计算,
2） 的计算,mP? ???
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3）磁力、磁力矩
BPM
FFBlIF
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m
mmm
m
???
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???
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???
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1） 的计算 B?
? ??
S
m SB
?? d?磁通量
叠加法
安培环路定理（对称性）
BBI ?? ?? d)(d 各种典型电流
? ? BBl ??? ?? 毕－沙定律dId
??2dd qI ?带电体旋转：
4）典型电流分布的磁场（ P307－ 308）
??????????
z
xoj?
[例一 ] p 310 10-11
xy平面内无限大导体平板,电流沿 y方向，线密度 j,
求,分布 B? x方向单位长度上的电流
解 1,用叠加原理
思考,
如何选取积分元？
dI＝?
dB的大小、方向？
xjI dd ?取电流管,
r
IB
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dd 0? 方向如图
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由对称性,
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xz ??, 0
xz ??, 0
无限大载流平面上下为均匀场
20j?
20j?? x
B
o
解 2.用安培环路定理
思考,如果载流平面不是无限宽，能否用叠加原理
求解？
能否用安培环路定理求解？
jllBlBL 0 2d ????? ?? 20 jB ??得,由,
如何在对称性分析的基础上选择安培环路？
选如图安培环路,
取顺时针方向为正方向。
z
??????????xj?
L
l
（可以）
（不能）
[例二 ] P310 10-12
在半径 的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一个
半径为 的圆柱形空腔：,电流 在截面
内均匀分布，方向平行于轴线，求,
doo ??r
R
I
1,圆柱轴线上磁感应强度
OB
?
即在空心部分中补上与实体具
有相同的电流密度的两个反向
电流（ 和 ）
这等价于原来的空心部分,
?
?
解：用补偿法
部分电流与原电流 构
成实心圆柱电流,
方向向外,1
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实心圆柱电流, 方向,磁场
空腔部分反向电流 方向,磁场
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所求磁场为,21 BBB ??? ??
电流密度,
22 rR
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电流,
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由安培环路定理,
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方向如图，与 成右旋关系 2I
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B?2,空心部分中任一点 P的磁感应强度
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写成矢量式,
小结,形成均匀磁场的方法
长直载流螺线管
无限大载流平面上、下
亥姆霍兹圈
……
圆柱载流导体内平行于轴线的空腔
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[例三 ] P311 10-15
已知,iEE ?? ? kBB,?? ??
,q,m,d ? ivv ?? 00 ?
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求,P点轨道曲率半径 Pr
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[例题 ] P312 10-19
解,图中 分布如何形成的？ B?
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求,载流平面上单位面积所受
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2 12
BBB ??
2
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由
无限大载流平面上任一电流元受载流平面上其它
电流磁场力的合力为零,只计算其所受均匀场
的作用,
0B
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0B?z
x
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SjyxjlI dddd ??电流元
SjBlIBF ddd 00 ??
单位面积受力,
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1
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BB ?? z?方向
本章共 3.5讲
第三篇 相互作用和场
第十一章 变化中的磁场和电场
第十一章 变化中的磁场和电场
J,C,Maxwell
（ 1831－ 1879）
法拉第实验所提供的存在力线
的美妙例子，促使我相信力线是某
种实际存在的东西 ……,我主要是抱
着给法拉第这些观念提供数学基础
的愿望来承担这部著作的写作工作。
－－－麦克斯韦
相对论建立以前，人们通过对变化中的场的研究认
识到电场与磁场的联系，并建立了经典电磁学的基
本方程,
结构框图,
法拉第电磁感应
定律
感应电动势的
计算
磁场能
量
麦克斯韦的两
条假设
涡旋电场
位移电流
经典电磁理论的
基本方程
重点,
法拉第电磁感应定律，动生电动势，涡旋电场，感生电动势，
自感，互感，磁场能，位移电流，麦克斯韦方程组
难点,
感应电动势的计算，涡旋电场，位移电流，麦克斯韦方程组
学时,7
§ 11.1 电磁感应
一, 法拉第电磁感应定律
1820年, 奥斯特实验：电 — 磁
1821 — 1831年：法拉第实验：磁 — 电
对称性
Faraday
1791-1867
法拉第是著名的自学成才的英国科学家。
生于贫苦铁匠家庭。仅上过小学,13岁便在
书店里当学徒。后来受到化学家戴维的赏识，
踏上科学研究道路。主要从事电学、磁学、
磁光学、电化学方面的研究，并在这些领域
取得了一系列重大发现。在 1831年发现了电
磁感应定律。这一划时代的伟大发现，使人
类掌握了电磁运动相互转变以及机械能和电
能相互转变的方法，成为现代发电机、电动
机、变压器技术的基础。
内容,闭合回路中感应电动势的大小与通过回路的
磁通量的变化率成正比,
tN
m
d
d ?? ??
穿过每匝线
圈的磁通量 线圈匝数
楞次定律要求
,通过线圈的磁通链数 （全磁通） mm N ?? ?
tt
N
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d
d
d
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d
d ???? ??????
中学原副线圈实验,
铁棒插入、取出时，
电流计指针偏转。 K
原线圈
副线圈
铁
棒
G
nIB r?? 0?
nIH ?
B与磁介质有关，引起闭合回路中产生感应电动势的
是通过回路的 通量的变化，而不是 通量的变化 B? H?
讨论,
（ 1） 通量还是 通量？还是二者皆可？ H?Bm ?,?
楞次定律的本质是能量守恒。
2）：线圈中感应电流磁场与磁铁互相排斥，
磁铁减速运动，其动能转变为感应电流能量。
不违反能量守恒定律。
（ 2）式中负号含义, 楞次定律的本质是什么？
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s NN s
v??
sN sN
1） 2）
1）：线圈中感应电流磁场与磁铁互相吸引，
磁铁加速运动和感应电流能量从何而来？违反
能量守恒定律，故不能成立。
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t
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m
d
d
d
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引起 变化的原因,
m? 变化S,,B ?
（ 3）引起 变化的原因有哪些？与参考系选择有关吗？ m?
不同惯性系中的变换很难概括为一个简单公式,
分两种情况处理。
v??
s N sN
对线圈参考系,变化 B?
对磁铁参考系,
相对位置关系变化。与 SB?
[例 ]
二,动生电动势
1,磁场分布不变，导体运动引起穿过回路的磁通
量变化所产生的感应电动势叫动生电动势 。
2,产生机理,产生 的非静电力是什么力？ 动?
平衡时
, 电源,反抗 做功，将 由负极 正极,
维持 的非静电力 — 洛仑兹力
cd
mf
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动?
产生 的非静电力
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BvqfE mK ??
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非静电场强
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（经内电路）
动 lE K
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（经内电路）
lBv
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由电动势定义,
lBvL ??? d)( ??? ?动?
或,
mf
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ef
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B?
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U?
??
?
3,能量关系
洛仑兹力不对运动电荷做功
洛仑兹力充当非静电力 矛盾？
思考,
0?fmA
0??mfA
0?FmA
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mF
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B?
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V?
v?
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?
如图所示,
充当非静电力的只是载流子所受总磁场力
的一个分力 m
F?
mf
?
4, 计算（两种方法）
（ 2）由法拉第定律求
t
m
d
d?? ??
如果回路不闭合，需加辅助线使其闭合。
大小和方向可分别确定, ?
（ 1）由电动势定义求
lBvlE LL K ????? d)(d ????? ??动?
?
?
?
???
（经内电路）
动 lBv
???
d)(?
[例一 ]长 的铜棒,绕其固定端 在均匀磁场
中，以 逆时针转动,铜棒与 垂直,
求
B?
OAL O B?
?
?动?
l?A
o
??
??
B?
L
llB
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???
解 1,取线元 l?d
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???
l?d
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2
2
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o
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?? oA
???? 22 21dd21dd BLtBLt m ???
由楞次定律, ?? oA,
解 2,
构成扇形闭合回路 AOCA
?? 221 LBBS A O C Am ???
L
A
?
B?
?
?
o C
[例二 ] P342 11 -7
已知,求,x,v,a,b,I ?
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M x
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方向
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顺时针指向
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解 2,
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v
顺时针指向
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[例三 ] p342 11 - 6
已知,v,b,aI ?,
求,
NM UU ?,动?
连接 构成闭合回路，
穿过回路 不变,
解,
m?
MN
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NM UU ?
