?
本章共 5.5讲
第三篇 相互作用和场
第十章 运动电荷间的相互作用和稳恒磁场
§ 10.3 磁场的高斯定理和安培环路定理（续）
0d ???S SB ?? 无源场
?? ?? 内qSES
0
1d
?
?? 有源场
高斯定理
0d ???L lE ?? 保守场
d ???L lB ??？
环路定理 比较
静电场
稳恒磁场
一般方法,
用高斯定理和环路定理描述空间矢量场的性质。
一, 磁场高斯定理
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与
平面交点 o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向
与电流成右旋关系。
B?
I
ro
L
Il
r
I
l
r
I
lB
r
LL
0
2
0
0
0
d
2
c o s 0d
2
d
?
?
?
?
?
?
??
????
?
??
?
??
二,稳恒磁场的安培环路定理
1.导出,可由毕 — 沙定律出发严格推证
采用,以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流磁场 （从特殊到一般）
与环路绕行方向成右旋关系的电流对环流的贡献为
正，反之为负。
如果规定 与 L 绕向成右旋关系 与 L 绕向成左旋关系 0?I
0?I
统一为,
IlBL 0d ???? ??
若电流反向,
Il
r
I
l
r
I
lB
r
r
L
0
2
0
0
2
0
0
d
2
c o sd
2
d
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
??
??
B?
I
ro
L
2）选择在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径
IIrrIlBlB LLL 02000 d2d2dc o sd ???????? ? ????? ???? ??
B?
?
?d
l?d
r?
L
I
I0??若电流反向，则为
B? ??d
l?dr?
L
I Ⅹ
???
如果规定 与 L 绕向成右旋关系,反之 0?I 0?I
统一为,
IlBL 0d ???? ??
3）闭合路径不包围电流
? ? 0)(
2
)dd(
2
ddd
0
0
21
21
????
??
?????
??
???
??
?
?
??
?
?
I
I
lBlBlB
LL
LLL
??????
?
1L
2L
I
不穿过 的电流：对 上各点 有贡献；
对 无贡献。
穿过 的电流：对 和 均有贡献 L B? lB
L
?? d??
B?LL
lBL ?? d??
4）闭合路径不在垂直于电流的平面内
?
???
????
????
?
??
??
?
?
0d
dd
)dd(d
//
//
//
L
LL
LL
lB
lBlB
llBlB
??
????
?????
0cos ??
)(0
)(0
LI
LII
不穿过
穿过?
I
L
o
o? L?
l?d
?l?d
//l?d
//l?d
?
???
??
?
???????
??????
)L(
i
L
n
LL
n
LL
I
lBlBlB
l)BBB(lB
穿过
0
21
21
ddd
dd
?
??
?
????
??
?
????
5）空间存在多个长直电流时
由磁场叠加原理
nBBBB
????? ????
21
1I
L
3I
2I
4I
2.推广：稳恒磁场的安培环路定理
?? ??
)(
0d
L
iL IlB
穿过
???
稳恒磁场中，磁感应强度 沿任意闭合路径
的线积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代
数和与真空磁导率的乘积,
B? L
成立条件：稳恒电流的磁场
场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）,L
环路上各点总磁感应强度（包含空间穿过,
不穿过 的所有电流的贡献） L
:B? L
穿过以 为边界的任意曲面的电流的代数和,
,
)(
?
L i
I
穿过
?? ??
)(
0d
L
iL IlB
穿过
???
L
21
)(
2 III
L
i ???
穿过
例如,
规定,0?iI
0?iI
与 L 绕向成右旋关系
与 L 绕向成左旋关系
?? ??
)(
0d
L
iL IlB
穿过
???注意,
安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场）
的环流：只与穿过环路的电流代数和有关 B?
与空间所有电流有关,B?
穿过 的电流：对 和 均有贡献 L B?
lBL ?? d??
不穿过 的电流：对 上各点 有贡献；
对 无贡献
L B?
lBL ?? d??
L
比较
0d ???S SB ??
无源场
?? ?? 内qSES
0
1d
?
??
有源场
高斯定理 环路定理
静电场
稳恒
磁场
0d ???L lE ??
保守场、有势场
?? ??
）（穿过 L
iL IlB 0d ?
??
非保守场、无势场
（涡旋场）
三,安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
?? ??
)(
0d
L
iL IlB
穿过
???
适用条件,稳恒电流的磁场
求解条件,电流分布（磁场分布）具有某些对称性,
以便可以找到恰当的安培环路,使积分
能够计算，成为 B与路径长度的乘积形式，从而方
便地求解
L lBL ?? d??
B?
[例一 ] 无限长均匀载流圆柱体 内外磁场, ? ?RI,
（电流分布均匀。）
o
r
P
?
I
R
o PL L I
'B?d
??
B?d
'Id
Id
r
在 平面内，作以 为中心、半径 的圆环,
上各点等价,大小相等，方向沿切向 。
以 为安培环路,逆时针绕向为正,
对称性分析,
LI ?
B?
ro
+ L
L
?? ???? 内IrBlBL 0 2d ????
rr
IB 1
2
0 ??
?
?
外
:Rr ? II ??
内 o PL L? I
外B?
r
内B? P?
R
:Rr ?
2
2
2
2 R
Irr
R
II ???? ?
?内
rRIrB ?? 202 ??内
方向与 指向满足右旋关系 IB?
B
o R r
r
1?
r?
思考,无限长均匀载流直圆筒 曲线？ r~B
0?内B
r
IB
?
?
2
0?
外
方向与 指向满足右旋关系
外B
? I
等价于全部电流集中于轴线的无限长直电流
B
o R r
r
1?
练习,无限长均匀载流圆柱体（ ）如图，求通过
截面 （ ）的磁通量, hR,2S
IR,
I
h
RR
S
B??,
Sd Sd
微元分析法,取 rhS dd ? 方向相同B与S且d ??
2 20RIrB ???内 2 0 rIB ???外
解,磁场分布
方向如图所示
SBSBs
S
m dd 内
内
? ???? ??? SBS d外
外
??
rhRIrR d20 20?? ?? )2ln21(4d2 0
2 0 ??? ?
?
?
?
? Ihrh
r
IR
R
模型,螺距为零，视为一系列平行圆电流紧密排列。
????????
In,????????????????????????????????
l
Ro
n
[例二 ] 无限长载流直螺线管的磁场（ 线密绕）,, nI
单位长度上的匝数 lR??,对邻近场点
回顾,P 278 [例 4]载流直螺线管轴线上磁场,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
22
1
1
22
2
20
2 Rx
x
Rx
xnIB
P
?
载流 圆截面 直螺线管内 轴线上 的磁场,
无限长,
,; 21 ?????? xx
nIB 0??
解,对称性分析,
无限长,M,1, 2 面均可视为中垂面，其上离轴线
距离相等的点彼此等价，其磁感应强度大小、方向
相同。
M1 2
????????
In,????????????????????????????????
21 M
p1 p2
本题作更一般的讨论。
又,1, 2 面到 M 距离相等，关于 M 镜像对称,
是轴矢量，可如下证明管内各点磁感应强度方向只
能与轴线平行。
B?
:B? 轴矢量（赝矢量）
B? B?
I I B
?
B?I
I
????????
In,????????????????????????????????
21 M
p1 p2 只能平行于轴线,
不能有垂直于轴线的分量。
B?
要 21 PP BB ?? ?
B?
∴ 无限长载流直螺线管磁场,
平行于轴任一直线上各点
大小相等，方向沿轴,
B?
下面证明螺线管内外磁场均匀,
0dd
,
?????
??
??
a
d
c
b
lBlB
adBbcB
????
??
?
0ddddd ?????????? ?????
a
d
d
c
c
b
b
a
lBlBlBlBlB ??????????
在螺线管内作如图矩形回
路 abcd,其包围的电流为零，
由安培环路定理,
0d
)(
0 ??? ??
L
iL IlB
穿过
???
????????
In,????????????????????????????????
a b
cd B
?
????????
In,????????????????????????????????
a b
cd B
?
???
??
??????
????
c
d
d
c
b
a
d
c
b
a
lBlBlB
lBlB
??????
????
ddd
0dd得：
cdabcdab
dcab
BBBB
dcBabB
??
???
??? 由此可得：，即：
螺线管内磁场是均匀的。
在螺线管外作如图矩形回路,
同理可证螺线管外的磁场也是均匀的。
dcba ????
a? b?
c?d?
0＝＝ 外外 ?? BB ??又：螺线管外的磁场是均匀的。
实际问题,有限长载流螺线管在无限远处磁场为零。
理想模型,对 R << L,邻近处场点 无限长载流螺线管,
其内部磁场均匀,在轴线方向无限远处磁场不为零,
姑且认为 在非轴线方向无限远处磁场为零。
B?螺距为零,
磁感应线
不泄漏。
下面说明螺线管内外磁场大小,
???? ? ????????? addccbL ba lBlBlBlBlB ?????????? ddddd
abBabB ?????? 000 co s ?
abnII ??? 内
下面求螺线管内磁场,
作矩形安培环路如图,
规定,+
??
??????????
????????????????????????????????????
d
B?
c
ab
I n
abnIabB 0????
nIB 0??
由 安培环路定律,
比较,
上节例题,无限长圆截面螺线管轴线上 nIB 0??
本例,螺线管截面可以是任意异形截面,
无限长载流螺线管内为均匀磁场。 nIB 0??内
思考,
如果螺距不为零 （ 螺旋电流 ） 对以上结果有无影响？
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? B??
I
n
//I
?I
rr
I
r
IB 1
22
0//0 ???
?
?
?
?
外
,nIB 0??内 螺线管内磁场不变
4
1
102
0, 2 m,m,02.0,m4000;
2
1
－
内
外
内
外
＝得：
取：＝
?
??? ?
B
B
rRn
nrB
B
?
前面认为在螺线管外磁场为零 －－可行！
?B?
R??
练习,半径 R的无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速 旋 转
??,R.已知,
求,内部
nIB 0??等效于长直螺线管,
单位长度上电流,
?nI
解,
?
???
22 ??? RnI
??? R0?nIB 0??
??? ?? RB 0?
o 1R
2R
N,I
[例三 ] 载流螺绕环的磁场分布（ ） I.N.R.R
21
对称性分析,
环上各点 方向：切向 B?
同心圆 环
大小相等的点的 集合,B?
以中心 o,半径 r 的圆环为安培环路 +
o 1R
2R
N,I
L
r
?? ???? 内IrBlBL 0 2d ????
0?外B
:,21 RrRr ??
0?? 内I
:21 RrR ??
r
NIB
?
?
2
0?
内
NII ?? 内
r
1?
r1Ro
B
2R
o 1R
2R
N,I
L
r
练习,
若螺绕环截面为正方形，求通过螺绕环截面的磁通量,
rRRrhS )d(dd 12 ???
rRR
r
NI
SBm
)d(
2
dd
12
0 ??
??
?
?
?
??
内
?? ??? 21 d)(2 d 120 RRmm r rRRNI????
1
2
12
0 ) l n(
2 R
RRRNI ??
?
?
Sd
12 RRh ??
1R2R
I,N
小结,
1.熟悉典型问题结果
运动点电荷,
无限长直电流,
圆电流轴线上,
长直载流螺线管,
螺绕环,.,
2.总结出用安培环路定理求解磁场分布的思路
— 由 求 分布, ?
? ?? 内IlBL 0 d ??? B
?
对称性分析 — 选环路 L并规定绕向,