?
本章共 7讲
第三篇 相互作用和场
第九章 电相互作用和静电场
习题课,的计算 UE,?
(1) 由定义求
(3) 由高斯定理求
(2) 由点电荷 (或典型电荷分布 ) 公式和叠加原理求 E?
(4) 由 与 的关系求 UE ?
一, 的计算 E?
典型静电场,
点电荷,
均匀带电圆环轴线上,
无限长均匀带电直线,
均匀带电球面,
无限大均匀带电平面,
3
04 r
rqE
??
??
?
232204
1
)xR(
iqxE
??
??
??
带电直线）?? ( 2
0 r
E ???
3
04
,0 rrqEE ??
???
?? 外内
带电平面）?? ( 2
0?
?E
EEq ?? ?? dd
思路：叠加法
练习 1,求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度
1,均匀带电，线密度为
2,上半部带正电，下半部带负电，线密度为
3,非均匀带电，线密度为
?
??? s in0?
?
?
y
xR o 解,1）
沿径向;
4
d
d
dd
2
0 R
q
E
Rq
??
??
?
?
??d
E?d
qd
RREEE xx 00 0 24
ds i ns i ndd
??
?
??
???? ? ????? ???
R
iE
o
02 ??
?
??
??
0d ?? ? yy EE
用分量叠加,
如图，由对称性,?
y
xR o
??d
E?d
qd
E??d
q?d
解,2）
沿径向;
4
dd
dd
2
0 R
qE
Rq
??
??
?
?
对称性分析与 1）有何不同？
R
jE
o
02 ??
?
??
???
RREEE
/
yy
0
2
0 0
2
0 24
dc o s2c o sd2d
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?
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???? ?? ????? ???
0d ?? ? xx EE
?
y
xR o
??d
E?d
qd
??
E??d
q?d
解,3） 有无对称性？
0d ??? ? yy EE
R
i
RiEiE x 00 0
2
0
84
ds i nd
?
?
??
????
????
??? ??
沿径向;
4
d
d
dd
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2
0
0
R
q
E
Rq
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???
?
?
??
)-s i n (s i n ??? ?? ?
y
xR o
??d
E?d
qd
E??d
q?d
存在如图所示的对称性
练习 2,求均匀带电半球面 (已知 R,?) 球心处电场,
x
R
?
o
y 思考,〈 1〉 用哪种方法求解?
叠加法,??? EEq ?? ddd
〈 2〉 是否一定取点电荷？?q ?d
将半球面视为由许多圆环拼成,
x
R
o
y
E?d y?
?
dl
哪一个正确？
xySq d2dd ??? ????
?????? dc o s2d2d RRlyq ?????
(3) 的大小，方向？ E?d
(4) 能不能由 直接积分？ 积分限如何确定？ Ed
x
R
o
y
E?d y?
?
dl
00 0
0 4d2
s i nc o sd 2
?
??
?
???? ??? ? ?EE
沿 方向 。 x?
因为各圆环在 o 点处 同向,可直接积分 。 E?d
?
?
???
??
?
??
d
2
s i nc os
4
ds i n
4
d
d
0
3
0
22
0
2
3
??
?
?
R
qR
)xy(
qx
E
其方向取决于 的符号，若,则 沿－ x 。 ? 0?? E?d
思考,
〈 1〉 选用哪种方法求解更方便？
练习 3,求半径 R,电荷体密度
（ 为常数, ）带电球体内外的场强, k
rk??
Rr?
未破坏电场分布的球
对称性,用高斯定理求解方便,
rk??
〈 2〉 选高斯面？
R
?
o
? ???s rESE 24d ???
同心球面 S (半径 r ) r Ro
?
S
r
S
？对否
内
3
4 3r
r
kVq ?? ?????
)3( ?? 内q
:Rr ? 22
0 0
2d4d kRrrrkVq
R R
??? ??????? ? ?? 内
:Rr ? 22
0 0
2d4d krrrrkVq
r r
??? ??????? ? ?? 内
rrrkVq ?????? d4dd 2??
rr
?d
Ro
?
S
r?
<4> 电场强度的大小，方向？
由高斯定理,
1d
0
?? ?? 内qSEs ???
14
0
2 ???
内qrE ??
rr
?d
Ro
?
S
r?
得,
0
2
0
2
24
2
???
? k
r
krE ??
内
2
0
2
2
0
2
24
2
r
kR
r
kRE
???
? ??
外
沿径向 o R r
E
02?
k
2
1
r?
练习 4,在半径 R1,体电荷密度 ? 的均匀带电球体内挖
去一个半径 R2的球形空腔。空腔中心 o2与带电球体中心
o1 相距为 a [(R2+ a )< R1],求空腔内任一点电场 。
思考,(1) 选用何种方法求解？
1o
1R
? 2oa?
2R
P挖去空腔 —— 失去球对称性,
能否恢复对称性？ 补偿法！
半径 R 1均匀带电实心球体在 P点的场强,
半径 R 2均匀带电实心球体在 P点的场强,2E?
1E?
1r?
1E?2E?
2r?
所求场强 21 EEE P ??? ??
而, 均可由高斯定理求出, 1E? 2E?
(2) 作高斯面 求 21,SS 21,EE ??
0
1
1 3?
? rE ?? ?
3
1
0
2
11 3
414 rrE ??
?? ???
3
2
0
2
22 3
414 rrE ??
?? ???
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2
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?rE ?? ?
0
21
0
21 33 ?
?
?
? a)rr(EEE
P
??????
?????
腔内为平行于
的均匀电场！
aoo ??21
1o
1R
? 2oa?
E?
2R
1o
1R
? 2oa? 2R
P
1s
2s
1r?
1E?2E
?
2r?
(3) 思考,请总结获得均匀电场的方法
?? ??0?
??E
……
1o
1R
? 2oa?
E?
2R
?
02?
??EE?
分析,场源电荷分布具有面对称性，可视为由许多无
限大带电平面组成，能够用高斯定理求解。
在 x<0,x>b 区域，为均匀电场,EP1＝ EP2＝ E外, 二者
方向沿 x轴, 指向相反。
在 0<x<b 区域，电场强度与 x 相关。
练习 5,厚度为 b的无限大带电平板，电荷面密度
分布如图所示。
求,
0
???
?
?
xE
E
E
?
?
?
内
外
x o b
kx??
P P1 P2
作高斯面 S1
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s 1 0
1
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得,
0
2
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外
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xi
kb
E
P
P
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x o b
kx??
P P1 P2
s1
S?
外E?外E?
2
2
0
SkbxSkxVq b ?????? ??? dd ?
内
dx
作高斯面 S2
d ?? ?? 内qSE
s 2 0
1
?
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? ?????2 )(s SEESE 内外?? d
x o b
kx??
P P1 P2 S?
外E? 内E?
S2
2
2
0
SkxxSkxVq x ?????? ??? dd ?
内
得,
? ?bxibxkE ????
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?
???
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2
2
0
??
?内
2
2,0 bxE ?? 得：令：
内
?
? ??
零势点
a
a lEU
??
d1,场强积分法
注意,
(1) 积分与路径无关，可依题意选最简便的积分路径,
(2) 为路径上各点总场，若各区域 表达式不同,
应分段积分,
E?E?
(3) 积分值与零势点选取有关, 选取原则,
0?有限处U
电荷有限分布选
电荷无限分布选
0??U
二, U 的计算 (场强积分法,叠加法 )
2,叠加法
思路,???? UUUq ddd
注意,应用典型带电体的电势公式
选取相同的零势点,
典型带电体的电势,
点电荷,
均匀带电圆环轴线上,
均匀带电球面,
r
qU
04??
?
2122
04 )xR(
qU
?? ??
r
qU
04??
?外RqU
04??
?内
练习 6,求无限长均匀带电圆柱体 电势分布。,)R( ?
R
?
解,用场强积分法,
先由高斯定理求电场分布,
如何选高斯面？
高
斯
面
h
r
高
斯
面
h
r
选高 h 半径 r 的同轴
圆柱面为高斯面,
?? ???? 内qrhESEs
0
12d
??
??
hrqRr 2, ?? ??? ? 内
02?
? rE ?
内 径向
h
r
R
?
S
r
RE
0
2
2?
??
外 径向
hrqRr 2, ?? ??? ? 内
令 r = 0 处 U= 0,沿径向积分
? ? ????
0 0
02
dd
r r
rrrEU
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内内
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0
0
2
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r
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2
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?
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RR ??
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R
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0
内外外 ?? ??
0
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2
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d
2
d
R
R
r
rr
r
rR
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?
?
?
rE ~ 曲线和 rU ~ 曲线 E
r1?r?
R ro
U
对数曲线
2r? R ro
练习 7,电量 q均匀分布在长为 2L的细棒上 。求,
(1) 细棒中垂面上距细棒中心 a处 P 点的电势 。
(2) 细棒延长线上距细棒中心 b处 P?点的电势。
L? o L?
q
P a
b
?
x
? ??
?
'P
y 解,叠加法
将带电细棒视为点电荷集合
xLqq d2d ? 0??U令
qd
r
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2122
0 )ax(L
xqUU L
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?? ??
? ??a
LaL
L
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0
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(1)
r
qU
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d
2122
0 )ax(L
xq
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)(8 dd
0
' xbL
xqUU L
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Lb
Lb
L
q
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8 0??
(2) 求 细棒延长线上距细棒中心 b处 P ?点的电势
8
d
4
d
d
0
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)xb(L
xq
)xb(
q
U
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?
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L? o L?
q
b
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x
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y
qd
练习 8,证明电力线如图分布的电场不可能是静电场。
静电场特性,
有源
保守
高斯定理
环路定理
? ? ????? ba dc lElE 0dd ????
lEcdab ??? d,??? 上
q
E?
作如图环路, abcd
a b
c d
,
,
大小不等而
上路径相等又
E
bcda?
（电力线密度不同）
?? ??? adcb lElE ???? dd
? ? ? ? ? ??????????? L
b
a
c
b
d
c
a
d
lElElElElE 0ddddd
??????????
违反静电场环路定理,如图所示电场不是静电场。
自学：教材 P229 [例一 ]
q
E?
a b
c d
本章共 7讲
第三篇 相互作用和场
第九章 电相互作用和静电场
习题课,的计算 UE,?
(1) 由定义求
(3) 由高斯定理求
(2) 由点电荷 (或典型电荷分布 ) 公式和叠加原理求 E?
(4) 由 与 的关系求 UE ?
一, 的计算 E?
典型静电场,
点电荷,
均匀带电圆环轴线上,
无限长均匀带电直线,
均匀带电球面,
无限大均匀带电平面,
3
04 r
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232204
1
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带电平面）?? ( 2
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?E
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思路：叠加法
练习 1,求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度
1,均匀带电，线密度为
2,上半部带正电，下半部带负电，线密度为
3,非均匀带电，线密度为
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xR o 解,1）
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如图，由对称性,?
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解,2）
沿径向;
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解,3） 有无对称性？
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存在如图所示的对称性
练习 2,求均匀带电半球面 (已知 R,?) 球心处电场,
x
R
?
o
y 思考,〈 1〉 用哪种方法求解?
叠加法,??? EEq ?? ddd
〈 2〉 是否一定取点电荷？?q ?d
将半球面视为由许多圆环拼成,
x
R
o
y
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?
dl
哪一个正确？
xySq d2dd ??? ????
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(3) 的大小，方向？ E?d
(4) 能不能由 直接积分？ 积分限如何确定？ Ed
x
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因为各圆环在 o 点处 同向,可直接积分 。 E?d
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其方向取决于 的符号，若,则 沿－ x 。 ? 0?? E?d
思考,
〈 1〉 选用哪种方法求解更方便？
练习 3,求半径 R,电荷体密度
（ 为常数, ）带电球体内外的场强, k
rk??
Rr?
未破坏电场分布的球
对称性,用高斯定理求解方便,
rk??
〈 2〉 选高斯面？
R
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同心球面 S (半径 r ) r Ro
?
S
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<4> 电场强度的大小，方向？
由高斯定理,
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练习 4,在半径 R1,体电荷密度 ? 的均匀带电球体内挖
去一个半径 R2的球形空腔。空腔中心 o2与带电球体中心
o1 相距为 a [(R2+ a )< R1],求空腔内任一点电场 。
思考,(1) 选用何种方法求解？
1o
1R
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2R
P挖去空腔 —— 失去球对称性,
能否恢复对称性？ 补偿法！
半径 R 1均匀带电实心球体在 P点的场强,
半径 R 2均匀带电实心球体在 P点的场强,2E?
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所求场强 21 EEE P ??? ??
而, 均可由高斯定理求出, 1E? 2E?
(2) 作高斯面 求 21,SS 21,EE ??
0
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414 rrE ??
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腔内为平行于
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(3) 思考,请总结获得均匀电场的方法
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分析,场源电荷分布具有面对称性，可视为由许多无
限大带电平面组成，能够用高斯定理求解。
在 x<0,x>b 区域，为均匀电场,EP1＝ EP2＝ E外, 二者
方向沿 x轴, 指向相反。
在 0<x<b 区域，电场强度与 x 相关。
练习 5,厚度为 b的无限大带电平板，电荷面密度
分布如图所示。
求,
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d1,场强积分法
注意,
(1) 积分与路径无关，可依题意选最简便的积分路径,
(2) 为路径上各点总场，若各区域 表达式不同,
应分段积分,
E?E?
(3) 积分值与零势点选取有关, 选取原则,
0?有限处U
电荷有限分布选
电荷无限分布选
0??U
二, U 的计算 (场强积分法,叠加法 )
2,叠加法
思路,???? UUUq ddd
注意,应用典型带电体的电势公式
选取相同的零势点,
典型带电体的电势,
点电荷,
均匀带电圆环轴线上,
均匀带电球面,
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练习 6,求无限长均匀带电圆柱体 电势分布。,)R( ?
R
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解,用场强积分法,
先由高斯定理求电场分布,
如何选高斯面？
高
斯
面
h
r
高
斯
面
h
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选高 h 半径 r 的同轴
圆柱面为高斯面,
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0
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d
R
R
r
rr
r
rR
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rE ~ 曲线和 rU ~ 曲线 E
r1?r?
R ro
U
对数曲线
2r? R ro
练习 7,电量 q均匀分布在长为 2L的细棒上 。求,
(1) 细棒中垂面上距细棒中心 a处 P 点的电势 。
(2) 细棒延长线上距细棒中心 b处 P?点的电势。
L? o L?
q
P a
b
?
x
? ??
?
'P
y 解,叠加法
将带电细棒视为点电荷集合
xLqq d2d ? 0??U令
qd
r
8 dd
2122
0 )ax(L
xqUU L
LP ?
?? ??
? ??a
LaL
L
q 22
0
ln4 ??? ??
(1)
r
qU
04
dd
??? 8
d
2122
0 )ax(L
xq
?? ??
)(8 dd
0
' xbL
xqUU L
LP ?
?? ??
? ??
Lb
Lb
L
q
?
?? ln
8 0??
(2) 求 细棒延长线上距细棒中心 b处 P ?点的电势
8
d
4
d
d
0
0
)xb(L
xq
)xb(
q
U
?
?
?
?
??
??
L? o L?
q
b
?
x
? ?? 'P
y
qd
练习 8,证明电力线如图分布的电场不可能是静电场。
静电场特性,
有源
保守
高斯定理
环路定理
? ? ????? ba dc lElE 0dd ????
lEcdab ??? d,??? 上
q
E?
作如图环路, abcd
a b
c d
,
,
大小不等而
上路径相等又
E
bcda?
（电力线密度不同）
?? ??? adcb lElE ???? dd
? ? ? ? ? ??????????? L
b
a
c
b
d
c
a
d
lElElElElE 0ddddd
??????????
违反静电场环路定理,如图所示电场不是静电场。
自学：教材 P229 [例一 ]
q
E?
a b
c d
