?
本章共 5讲
第二篇 实物的运动规律
第八章 相对论
§ 8.4 狭义相对论动力学基础
一,改造经典力学的两条原则
改造后的力学定律必须是洛仑兹变换的不变式,
1.狭义相对性原理（对称性思想）的要求
2.对应原理的要求
新理论应该包容那些在一定范围内已被证明是正确
的旧理论，并在极限条件下回到旧理论。
即,
相对论力学定律 经典力学定律 cu??
相对论力学量 经典力学量 cu??
思路,重新定义质量、动量、能量，使相应的守恒
定律在相对论力学中仍然成立。
二、质量概念的修正
1、质速关系
设在相对论中，质量与时间、长度一样，与惯性
系的选择有关。
静系中,动系中,0m )u(m
理想实验,全同粒子的完全非弹性碰撞
x
x
s
u
s
xv
A
A
B
B
固结于粒子 B的 S 系 固结于粒子 A的 S ' 系
s?
u?
s?
xv?
A
A B
B
x?
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x
x
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u
s
xv
A
A
B
B
固结于粒子 B的 S 系 固结于粒子 A的 S ' 系
s?
u?
s?
xv?
A
A B
B
x?
x?
在两坐标系中，粒子系统质量守恒、动量守恒。
)v(M)u(mm x??0
xx v)v(Mu)u(m ?
)u(mm
u)u(mv
x ??
0
解得,
)v(M)u(mm x???0
xx v)v(Mu)u(m ????
)u(mm
u)u(mv
x ????
0
0
2
2
0
1
m
c
u
m
)u(m ??
?
?
得质速关系,
0m)u(m ?
cu??满足对应原理要求
)u(mm
u)u(mv
x ????
0;)u(mm u)u(mv x ??
0
代入洛仑兹速度变换,
21 c
uv
uvv
x
x
x
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???
将
cu
m
0m
o 1.0 c
u
e??
mF
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u?
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R
实验验证（质谱仪）,
测高速电子的荷质比
由经典理论,
常数??
?
BR
u
m
e
R
mu
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2
??
????
m
e
u
m
e
c
u
m
e
m
e
时：当
0
2
2
0
1
?
由相对论理论,
考夫曼实验结果：电子质量随速度变化
现代实验中，电子可以被加速到与光速之差只有
300亿分之一，相应,质速关系仍
与实验相符。 0
4104 mm e ??
练习,?,sm10skm100
0151 ????? ?? mmv
如果物体以小于一百多 km/s速率运动，其质量在 10－ 6
的精度内不变。
0 0 0 0 0 0 0 5 6.1109101111 161022
0
??????? cvmm ?
虽然在低速下是一个非常
小的效应，但要求我们的
观念发生深刻的变化。
物体质量并不恒定，它随
速率增大而增大。
三,质能关系
)cucu(mm)cu(m)u(m ???????? ? 4
4
2
2
002
1
2
2
0 8
3
2
111?
将质速关系按幂级数展开，得
两边同乘以 得
)cu(umcmmc ????? 2
2
2
0
2
0
2
4
31
2
1
2c
2
0
2
0
cmmc
EEE k
??
??
相对论动能
cu??
2021 umE k ?
定义, 2mcE ?
200 cmE ?
总能量
静能量
质能关系
2k 21 mvE ?
2mcE ?
202 cmmcE k ??
20cm
相对论质能关系
曲线与经典关系
的比较
实验验证,
?核嬗变,由参加反应各原子质量，反应前后能量损失计算出
的光速与实验值相符。
-182 sm1098.2 ??????? cmcE
?正负电子对湮灭,由质能关系计算出的辐射波长与实验值相符。
21 ?? ??? ?? ee
质能关系的意义,
1）质量概念进一步深化
相对论总能 包含了物体的全部能量（机械能、电
磁能、原子能等），解决了经典物理未能解决的物体总
能问题；
质量是约束能量的形式，是能量的载体。质量、能
量不可分割，没有脱离质量的能量，也没有无能量的质
量。无论物质如何运动，二者只由常数 相联系。
E
2c
2）质能关系统一了质量守恒定律和能量守恒定律。
在经典物理中二者互相独立，在相对论中二者关
联，平行进行。在孤立系统内,
静质量 动质量
静能 动能
总质量、总能量不变
3）质能关系是人类打开核能宝库的钥匙。
mcE ??? 2
裂变：重核分裂为中等
质量的核
聚变：轻核聚合为中等
质量的核
质量亏损，释放结合能
应用：原子弹、氢弹,
核电站 ……
安全、清洁、经济的能源。
法 国,76％； 立陶宛,73％； 比利时,58％；
保加利亚,47％； 韩 国,43％； 日 本,36％；
德 国,30％ 美 国,20％； 中 国：～ 10％
煤电成本 /核电成本,
法国,1.75； 德国,1.64； 意大利,1.57；
日本,1.51； 韩国,1.7…
100万千瓦容量机组使附近居民受到的辐射量比较,
煤电,0.05毫希 /年；核电,0.02毫希 /年,
2003年止,全世界运行核电机组,438台；
总装机容量,3.5亿千瓦；
占发电量,16％
小资料
秦山第二核电站
鸟瞰
我国核电站：大亚湾，秦山一期、二期、三期，
岭澳 … 正建设先进的高温气冷堆示范电站
对人本身及其命运的关心，必须永
远成为一切技术努力的主要兴趣所
在 …… 以使我们心灵的创造成为人类
的幸事而不是灾祸。绝对不要迷失在
你的图形和方程式中。
－－－爱因斯坦
广岛,1945年 8月
四、能量与动量的关系
1.相对论动量 vmv)v(mp ???
0???
满足对应原理。vmpcv ?? 01 ???? ?
2.能量与动量的关系
由
2mcE ?
vmp ?? ? 消去 得 m
2
2
4
2
2
pEcvpEcv ??? ??
于是
2
2
2
2
0
2
2
0
11 p
E
c
cm
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c
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cmE
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420222 cmcpE ??
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20cm
pc
420222 cmcpE ??
当 时 cv ?? 讨论,
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2
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222
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cmE
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)EE)(EE(
EEpc
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???
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0
2
k 2 m
pE ?
满足对应原理
五,相对论动力学基本方程
从相对论角度审视经典力学的基本定律,
1.惯性定律保持不变，在相对论中成立。
有关惯性、惯性定律、惯性系的内容，相对论没有本质
上的进一步发展。
在惯性系的判定上提出了循环逻辑论证的方法论错误。
在惯性系外延关系上，有以下的推广,
*指出了不存在绝对的、静止的惯性系；
*一切物理定律在所有的惯性系中，具有协变性；
*同一物理事件在不同的惯性系之间的时、空联系是
洛仑兹变换。
2.牛顿第二定律
相对论动力学基本方程
vmvmp ??? 0???由
动量与速度 v 的关系，不再是线性关系。
t
mv
t
vm
t
vm
t
pF
d
d
d
d
d
)(d
d
d ????? ????
讨论,
（ 1）力既可以改变物体的速度，也可改变物体的质量；
（ 2）力与加速度 的方向一般不会相同；
t
v
d
d?
amtvmFcv ?
??
00 d
d1)3( ????? ?
满足对应原理，回到牛顿第二定律。
x
x
x
v
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F
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2
2
1
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)vcu(
FF
x
y
y
??
??
21?
)vcu(
FF
x
z
z
??
??
21?
第 10章引入磁场时将运用相对论力的变换式,
3.确立“场”的实在地位，牛顿第三定律失去意义。
在牛顿力学中，强调的是物体相互作用的宏观效果
（动力学、形变等）。由于当时尚未有“场”概念
的提出，相互作用的性质、过程，常常用“超距作
用” 形而上学化。所以 牛顿第三定律建立在超距作
用和绝对时空观基础之上。
相对论承认“场”是物质存在的形式，是传递相互
作用的载体。因而第三定律由包含“场”动量在内
的动量守恒定律所取代。
粒子 粒子 场
小结：相对论动力学的三个主要关系
0220 1 mcum)u(m ????
质速关系,
能量与动量的关系,
420222 cmcpE ??
质能关系,
2020 cmmcEEE k ????动能
mcE ??? 2
200 cmE ?
总能
静能
2mcE ?
练习 1 用相对论讨论光子的基本属性
1.光子的能量 2mchE ?? ?
2.光子的质量
2
2
0 1 c
umm ??由
可知
才能为有限值，只有时当 mm,cu 00 ??
一切以光速运动的微观粒子，其静止质量必为零。
即：光子在任何参考系中均以光速运动，找不到
与光子相对静止的参考系。
?
?
c
h
c
h
c
Em ???
22光子
光子的质量,
又由 0;
0420222 ??? mcmcpE
可知
?
? h
c
h
c
Ep ???
光子
3.光子的动量
太阳辐射能流 -23 mW1036.1 ??
产生光压
-26 mN105.4 ?? ?
例如
问题,合成粒子的静止质量是 吗？ 04m
一个静质量为 的粒子，以 的速率运动，
并与静质量为 的静止粒子发生对心碰撞以后粘
在一起，求合成粒子的静止质量。
cv 8.0?0m
03m
练习 2
v=0.8c
3m0 m（ v） M（ u） u＝？
思路,动量守恒
能量守恒
M（ u）＝？
u＝？
M0＝？
非弹性碰撞，为什么能量守恒？ －－总能守恒
由于 60
801
1
0
2
0
2
2,
m
.
m
c
v
m
m o ?
?
?
?
?
代入（ 2）式得
0
0
0 3
14
603 m.
mmM ???
解,设合成粒子的运动质量为 M,速率为 u,
由动量守恒和能量守恒,
)(Mcmccm
)(Mumv
23
1
222
0 ??
?
再代入（ 1）式得 c
m
c.
.
m
M
mv
u
7
2
3
14
80
60
0
0
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?
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又由
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2
1
c
u
M
M o
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? 得
0
2
02
2
0 4747
21
3
141 m.m
c
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?
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?????
解,（ 1）由题意
2
1
1
20
0
0
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???
)
c
v(vm
vm
p
p
?
?
可得 c.cv 86 60
2
3 ??
在什么速度下，粒子的动量等于其非相对论动量
的两倍？又在什么速度下，粒子的动能等于其非相
对论动能的两倍？
练习 3
（ 2）由题意
2
2
1
2
1
0
0
2
0
2
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???? ?
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m
m
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mv
E
E
k
k
可得 c.cv 86 60
2
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对不对？
不对！
2
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k ????
（ 2）由题意
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?
得 c.cv 7860
2
15 ???
解,
由题意
M e V0020202,cmmcE ????
可得
1405 1 10 205 1 102
0
2
0
2
0
2
0
...cm Ecmcmmcmm ???????
已知,一个电子的静能为,经同步
加速器加速后，能量增量为,
求,该电子质量与其静质量之比。
M eV5110,
M eV0020,
练习 4
观察者甲以 0.8c 速率相对于观察者乙运动，
甲携带长 L,截面积 S,质量为 m 的棒，棒沿运动方
向安放，求乙和甲测定的棒的密度之比。
练习 5
解,棒相对于甲静止，甲测定的密度为,
LS
m??
棒相对于乙运动，设乙测定的 质量为 m',
长度为 L'，截面积为 S'，有,
SSLcvL
cv
mm ??????
?
??,1,
1
22
22
乙测定的密度为,??
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m
SL
m
78.29258.01 1 22 ??????? ???
本章共 5讲
第二篇 实物的运动规律
第八章 相对论
§ 8.4 狭义相对论动力学基础
一,改造经典力学的两条原则
改造后的力学定律必须是洛仑兹变换的不变式,
1.狭义相对性原理（对称性思想）的要求
2.对应原理的要求
新理论应该包容那些在一定范围内已被证明是正确
的旧理论，并在极限条件下回到旧理论。
即,
相对论力学定律 经典力学定律 cu??
相对论力学量 经典力学量 cu??
思路,重新定义质量、动量、能量，使相应的守恒
定律在相对论力学中仍然成立。
二、质量概念的修正
1、质速关系
设在相对论中，质量与时间、长度一样，与惯性
系的选择有关。
静系中,动系中,0m )u(m
理想实验,全同粒子的完全非弹性碰撞
x
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s
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xv
A
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固结于粒子 B的 S 系 固结于粒子 A的 S ' 系
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A
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在两坐标系中，粒子系统质量守恒、动量守恒。
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解得,
)v(M)u(mm x???0
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得质速关系,
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代入洛仑兹速度变换,
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实验验证（质谱仪）,
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由经典理论,
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由相对论理论,
考夫曼实验结果：电子质量随速度变化
现代实验中，电子可以被加速到与光速之差只有
300亿分之一，相应,质速关系仍
与实验相符。 0
4104 mm e ??
练习,?,sm10skm100
0151 ????? ?? mmv
如果物体以小于一百多 km/s速率运动，其质量在 10－ 6
的精度内不变。
0 0 0 0 0 0 0 5 6.1109101111 161022
0
??????? cvmm ?
虽然在低速下是一个非常
小的效应，但要求我们的
观念发生深刻的变化。
物体质量并不恒定，它随
速率增大而增大。
三,质能关系
)cucu(mm)cu(m)u(m ???????? ? 4
4
2
2
002
1
2
2
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3
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111?
将质速关系按幂级数展开，得
两边同乘以 得
)cu(umcmmc ????? 2
2
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相对论动能
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定义, 2mcE ?
200 cmE ?
总能量
静能量
质能关系
2k 21 mvE ?
2mcE ?
202 cmmcE k ??
20cm
相对论质能关系
曲线与经典关系
的比较
实验验证,
?核嬗变,由参加反应各原子质量，反应前后能量损失计算出
的光速与实验值相符。
-182 sm1098.2 ??????? cmcE
?正负电子对湮灭,由质能关系计算出的辐射波长与实验值相符。
21 ?? ??? ?? ee
质能关系的意义,
1）质量概念进一步深化
相对论总能 包含了物体的全部能量（机械能、电
磁能、原子能等），解决了经典物理未能解决的物体总
能问题；
质量是约束能量的形式，是能量的载体。质量、能
量不可分割，没有脱离质量的能量，也没有无能量的质
量。无论物质如何运动，二者只由常数 相联系。
E
2c
2）质能关系统一了质量守恒定律和能量守恒定律。
在经典物理中二者互相独立，在相对论中二者关
联，平行进行。在孤立系统内,
静质量 动质量
静能 动能
总质量、总能量不变
3）质能关系是人类打开核能宝库的钥匙。
mcE ??? 2
裂变：重核分裂为中等
质量的核
聚变：轻核聚合为中等
质量的核
质量亏损，释放结合能
应用：原子弹、氢弹,
核电站 ……
安全、清洁、经济的能源。
法 国,76％； 立陶宛,73％； 比利时,58％；
保加利亚,47％； 韩 国,43％； 日 本,36％；
德 国,30％ 美 国,20％； 中 国：～ 10％
煤电成本 /核电成本,
法国,1.75； 德国,1.64； 意大利,1.57；
日本,1.51； 韩国,1.7…
100万千瓦容量机组使附近居民受到的辐射量比较,
煤电,0.05毫希 /年；核电,0.02毫希 /年,
2003年止,全世界运行核电机组,438台；
总装机容量,3.5亿千瓦；
占发电量,16％
小资料
秦山第二核电站
鸟瞰
我国核电站：大亚湾，秦山一期、二期、三期，
岭澳 … 正建设先进的高温气冷堆示范电站
对人本身及其命运的关心，必须永
远成为一切技术努力的主要兴趣所
在 …… 以使我们心灵的创造成为人类
的幸事而不是灾祸。绝对不要迷失在
你的图形和方程式中。
－－－爱因斯坦
广岛,1945年 8月
四、能量与动量的关系
1.相对论动量 vmv)v(mp ???
0???
满足对应原理。vmpcv ?? 01 ???? ?
2.能量与动量的关系
由
2mcE ?
vmp ?? ? 消去 得 m
2
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满足对应原理
五,相对论动力学基本方程
从相对论角度审视经典力学的基本定律,
1.惯性定律保持不变，在相对论中成立。
有关惯性、惯性定律、惯性系的内容，相对论没有本质
上的进一步发展。
在惯性系的判定上提出了循环逻辑论证的方法论错误。
在惯性系外延关系上，有以下的推广,
*指出了不存在绝对的、静止的惯性系；
*一切物理定律在所有的惯性系中，具有协变性；
*同一物理事件在不同的惯性系之间的时、空联系是
洛仑兹变换。
2.牛顿第二定律
相对论动力学基本方程
vmvmp ??? 0???由
动量与速度 v 的关系，不再是线性关系。
t
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d
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讨论,
（ 1）力既可以改变物体的速度，也可改变物体的质量；
（ 2）力与加速度 的方向一般不会相同；
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满足对应原理，回到牛顿第二定律。
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21?
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21?
第 10章引入磁场时将运用相对论力的变换式,
3.确立“场”的实在地位，牛顿第三定律失去意义。
在牛顿力学中，强调的是物体相互作用的宏观效果
（动力学、形变等）。由于当时尚未有“场”概念
的提出，相互作用的性质、过程，常常用“超距作
用” 形而上学化。所以 牛顿第三定律建立在超距作
用和绝对时空观基础之上。
相对论承认“场”是物质存在的形式，是传递相互
作用的载体。因而第三定律由包含“场”动量在内
的动量守恒定律所取代。
粒子 粒子 场
小结：相对论动力学的三个主要关系
0220 1 mcum)u(m ????
质速关系,
能量与动量的关系,
420222 cmcpE ??
质能关系,
2020 cmmcEEE k ????动能
mcE ??? 2
200 cmE ?
总能
静能
2mcE ?
练习 1 用相对论讨论光子的基本属性
1.光子的能量 2mchE ?? ?
2.光子的质量
2
2
0 1 c
umm ??由
可知
才能为有限值，只有时当 mm,cu 00 ??
一切以光速运动的微观粒子，其静止质量必为零。
即：光子在任何参考系中均以光速运动，找不到
与光子相对静止的参考系。
?
?
c
h
c
h
c
Em ???
22光子
光子的质量,
又由 0;
0420222 ??? mcmcpE
可知
?
? h
c
h
c
Ep ???
光子
3.光子的动量
太阳辐射能流 -23 mW1036.1 ??
产生光压
-26 mN105.4 ?? ?
例如
问题,合成粒子的静止质量是 吗？ 04m
一个静质量为 的粒子，以 的速率运动，
并与静质量为 的静止粒子发生对心碰撞以后粘
在一起，求合成粒子的静止质量。
cv 8.0?0m
03m
练习 2
v=0.8c
3m0 m（ v） M（ u） u＝？
思路,动量守恒
能量守恒
M（ u）＝？
u＝？
M0＝？
非弹性碰撞，为什么能量守恒？ －－总能守恒
由于 60
801
1
0
2
0
2
2,
m
.
m
c
v
m
m o ?
?
?
?
?
代入（ 2）式得
0
0
0 3
14
603 m.
mmM ???
解,设合成粒子的运动质量为 M,速率为 u,
由动量守恒和能量守恒,
)(Mcmccm
)(Mumv
23
1
222
0 ??
?
再代入（ 1）式得 c
m
c.
.
m
M
mv
u
7
2
3
14
80
60
0
0
?
?
??
又由
2
2
1
c
u
M
M o
?
? 得
0
2
02
2
0 4747
21
3
141 m.m
c
uMM ??
?
??
?
?????
解,（ 1）由题意
2
1
1
20
0
0
?
?
???
)
c
v(vm
vm
p
p
?
?
可得 c.cv 86 60
2
3 ??
在什么速度下，粒子的动量等于其非相对论动量
的两倍？又在什么速度下，粒子的动能等于其非相
对论动能的两倍？
练习 3
（ 2）由题意
2
2
1
2
1
0
0
2
0
2
0
???? ?
?
m
m
vm
mv
E
E
k
k
可得 c.cv 86 60
2
3 ??
对不对？
不对！
2
0
2
0
2
2
1 vmcmmcE
k ????
（ 2）由题意
2
2
1
1
2
1 2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
?
?
?
?
?
vm
cm)(
vm
cmmc
E
E
k
k ?
于是 2
2
2
1
1
1
c
v
)
c
v
(
??
?
得 c.cv 7860
2
15 ???
解,
由题意
M e V0020202,cmmcE ????
可得
1405 1 10 205 1 102
0
2
0
2
0
2
0
...cm Ecmcmmcmm ???????
已知,一个电子的静能为,经同步
加速器加速后，能量增量为,
求,该电子质量与其静质量之比。
M eV5110,
M eV0020,
练习 4
观察者甲以 0.8c 速率相对于观察者乙运动，
甲携带长 L,截面积 S,质量为 m 的棒，棒沿运动方
向安放，求乙和甲测定的棒的密度之比。
练习 5
解,棒相对于甲静止，甲测定的密度为,
LS
m??
棒相对于乙运动，设乙测定的 质量为 m',
长度为 L'，截面积为 S'，有,
SSLcvL
cv
mm ??????
?
??,1,
1
22
22
乙测定的密度为,??
?
?? 2
1 ????
???
? LS
m
SL
m
78.29258.01 1 22 ??????? ???
