?
本章共 3讲
第二篇 实物的运动规律
第五章 角动量 角动量守恒定律
第五章 角动量 角动量守恒定律
数学家和哲学家追求数学的最初生长点的研究，
恰像一次向远处的地平线走去的旅行。终点似乎就
在前面，可是走过去之后发现，它还在前方。
但是旅行者毕竟一次又一次地大开眼界。他发
现了越来越广大的世界。
－－摘自 张景中 （院士）, 数学与哲学,
显然，这段话对物理学也适用。
刚体定轴转动定律
角动量
转动
惯量
角动量时
间变化率
力矩
角动量
定理
角动量
守恒定律
结构框图,
重要性,中学未接触的新内容
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；
微观粒子的角动量具有量子化特征；
角动量守恒定律与空间旋转对称性相对应。
学时,6
难点,角动量概念,
角动量定理及角动量守恒定律的应用
重点,
概念,角动量，转动惯量，力矩，角冲量,
规律,刚体定轴转动定律,
角动量定理的微分形式和积分形式,
角动量守恒定律,
§ 5.1 角动量 转动惯量
一、角动量
0?? CvMp ?? 总
由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，
系统有机械运动，总动量却为零？
说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。
问题,将一绕通过质心的固定轴转动
的圆盘视为一个质点系，系统总动量
为多少？ C
?M
*引入与动量 对应的角量 —— 角动量（动量矩） p? L?
动量对参考点（或轴）求矩
1.质点的角动量
m
o
p?
r?
?vmrprL ????
? ????
定义,
?? ??
?
prpr
mvrL ?s i n
大小,
?p
?r
方向,
服从右手定则。
组成的平面，和垂直于 pr ??
y
z
m ?
r?
p?
o
?r
L?
?p
*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点
旋转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
物理意义,作直线运动设 m
p?
m
o r?
? ?po? r??
??
?
? Lppr
Lo
，大小相同，则：、若
为参考点：以 0
?
0??? Lo ?为参考点：以
2.质点系角动量
系统内所有质点对 同一参考点 角动量的矢量和
?
ip?
o
1r?
ir?
im
2r?
1p?
2p?
? ? ? ?????
i i i
iiiiii vmrprLL
??????
?
?
?
???
???
ici
ici
vvv
rrr
???
???
有 '：对质心
无 '：对参考点
?
ip?
o
cr?
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im
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c
? ?
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ii
i
ici
i i
iiic
ici
i i
iiic
ii
i
ic
vmrvmrvmr
vvmrvmr
vmrrL
?????????
???????
????
?? ?
? ?
?
??????
?????
????
与 i无关
ii
i
ici
i i
iiic vmrvmrvmrL ????????? ?? ?
???????
??
i
imM设
第一项,
? ???
i
cciic vMrvmr
????
即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，
该质点对参考点的角动量
以质心为代表，描述质点系整体绕参考点的旋转运
动，称为质点系的轨道角动量。
CC vMrL
??? ??
轨道即：
由
M
rm
rM
rm
r i
ii
c
i
ii
c
?? ?
???
?
?
?
?
0??????? ccci
i
i vrMvmr
????
质心对自己的位矢
ii
i
ici
i i
iiic vmrvmrvmrL ????????? ?? ?
???????
第二项,
c
i
iici
i
i vrmvmr
???? ????? ?? Ci
ii
vM
rm
M ?
?
?
?
?
?
与 i 无关
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点 O的选择无
关，描述系统的内禀性质,
第三项,
?自旋L?
ii
i
i vmr
?? ????
各质点相对于质心角动量的矢量和
于是,
自旋轨道 LL
vmrvMrL ii
i
icc
??
?????
??
?????? ?
自旋L?
轨道L
?
L?
轨道L
?自旋L?
ii
i
ici
i i
iiic vmrvmrvmrL ????????? ?? ?
??????? 与 i 有关
3.定轴转动刚体的角动量
iv?
im
o ir?
??
转动
平面
z
转轴,角速度
刚体上任一质点
转轴与其转动平面交点
绕 圆周运动半径为
??
im
z
im ir
O
O
对 的角动量,im
??
??? ???
?
?
?
?
方向：沿
大小,2iiiiiio
io
rmvmrLL
??? 2iiio rmL ?即,
iiiio vmrL
??? ??
O
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量（即质点对参考点 o的角
动量在 z轴上的投影）为,
?2iiioiz rmLL ??? ?
?
刚体对 z 轴的总角动量为,
?
??
?
??
i
ii
i
i
i
i
izz
mr
mrLL
2
2
?
?
v?
md
o r?
??
转动
平面
z
mr
mrLL zz
d
dd
2
2
?
??
?
??
?
?
对质量连续分布的刚体,
刚体对 z 轴的总角动量 为,
（ 即质点对轴上某参考点 o的角动量在 z轴上的投影）
令
??
i
ii mrJ
2 mrJ d2??
?JLz ?
二、刚体对轴的转动惯量
1.定义
?? i ii mrJ 2
刚体对某定轴的转动惯量等于其各质点的质量
与该质点到转轴距离的平方之积求和。
若质量连续分布，则 mrJ d2??
刚体对轴的转动惯量 J
与刚体总质量有关
与刚体质量分布有关
与转轴的位置有关
2,计算
mrJ d2??
积分元选取,
?md
l,l dd 线元：线密度,??
S,S dd 面元：面密度,??
V,V dd 体元：体密度,??
md
md
m d
练习
1.由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过
A 垂直于纸面的轴的转动惯量
l
ll
l
A
m m2 m3
m4
m5
2
2
22
32
254
232
ml
)l)(mm(
)l(mmlJ
?
??
??
2,一长为 的细杆，质量 均匀分布,求该杆对过
杆一端端点且垂直于杆的 z 轴的转动惯量。
L m
23
0
22
3
1
03
1dd mLLx
L
mx
L
mxmxJ L ???? ? ?
xLmxm ddd ?? ?
练习
Lmd
o
x
x
z
xd
3,求质量 m,半径 R 的均匀球壳对直径的转动惯量
练习
24 R
m
?? ?
???? ds i n2d2d RRlrS ???
??? ds i n21dd mSm ??
解,取离轴线距离相等的点的
集合为积分元
o
r
R
ld
??d
m
md
? ? ??? ds i n21ds i ndd 3222 mRmRmrJ ???
? ? ???
?
??
0
232
3
2ds i n
2
1d mRmRJJ
4,求质量 m,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
练习
o
r
rdR
m
解,以距中心,厚
的球壳为积分元
r rd
rrV d4d 2??
3
3
4 R
m
?
? ?
Vm dd ??
2
3
4
0 5
2d2d mR
R
rmrJJ R ??? ??
3
42 d2d
3
2d
R
rmrrmJ ???运用上题结果
注意,对同轴的转动惯量具有可加减性。
o r1 r2 m
1
m2
同轴圆柱
22
2
11
2
22
12
rmrm
JJJ z
??
??
22
2
11
2
22
12
rmrm
JJJ z
??
??
r1
r2
m1 m2
空心圆盘 z
平行轴定理
CD
d
m
2mdJJ CD ??
正交轴定理
yxz JJJ ??
对平面刚体
y
x
z
o
两个常用定理,证明见教材 92页
一些均匀刚体的转动惯量表（教材 P93）
练习
解 2,222
48
7
4
3
4
3
3
1
443
1 mLLmLmJJJ
oBoAz ???
??
?
???
?
??
?
????
解 3,
2
2
2
2
48
7
412
1
4 mL
LmmLLmJJ
Cz ???
??
?
????
?
??
?
???
2
43
4
22
48
7dd mLll
L
mmlJ L
L
z ??? ??
?
解 1,
C
A
4L
m B
o
z
L
5.求长 L、质量 m 的均匀杆对
z 轴的转动惯量
用多种方法求,
一、质点角动量的时间变化率
t
prp
t
r)pr(
tt
L
d
d
d
d
d
d
d
d ??????? ??????
prL ??? ??
Fr
t
p
r
t
L
vmvpvp
t
r
????
?
?????
?
?
?????
??????
d
d
d
d
0
d
d
质点
位矢 合力
§ 5.2 角动量的时间变化率 力矩
r?
F?
?
o
d
m
FrtL ??
?
??dd
质点角动量的时间变化率等于质点所受合力的力矩
大小,FdrFFr ??? ?s in??
方向,服从右手定则 力矩
FrM ??? ??
二、力矩
1,对参考点的力矩,
服从右手定则。组成的平面和垂直于方向：,Fr ??
?s i nFrFd ?大小：
?
?
????
?????
FrFr
FFrFrM o
????
??????
//
// )(F
?
//F?
?F?
r?
o
d
m
z
2,对轴的力矩
zM
第一项,
//FrM
??? ??
1
方向垂直于轴，其效果是改变轴的
方位，在定轴问题中，与轴承约束力
矩平衡，不影响物体绕轴转动状态。
第二项,
??? FrM
???
2
方向平行于轴，其效果是改变物体绕轴转动状态，称为力对
轴的矩，在轴上选择正方向，可以将其表为代数量,
???? FrM z
??
即,
? ? ? ? ? ?xyzxyz
zyx
o
yFxFkxFzFjzFyFi
FFF
zyx
kji
FrM
??????
???
???
???
???
xyz yFxFM ??
Mz为力对 o 点 的力矩在 z 轴方向的分量
注意, 力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。
???? ??? ooo MMM 21
???? zzz MMM 21
矢量和
代数和
思考, 合力为零时，其合力矩是否一定为零？
合力矩为零时，合力是否一定为零？
?? ?? 0,0 oMF ??
o
F? F?
?? ?? 0,0 oMF ??
F?
F?
o
例,
不
一
定
由图可知,作用力和反作用力
对同一参考点合力矩为零。
从而，质点系内力矩矢量和
一定为零。
0??
i i
M 内? 1?
2?
12f
?
21f
?
1m
2m1r?
2r?
d
o
例,质量为,长为 的细杆在水平粗糙桌面上
绕过其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正
比，杆与桌面间的摩擦系数为,求摩擦力矩。
m L
?
解,
rkrrm ddd ?? ?
设杆的线密度 kr??
omd
?
f?d
z
r?
22
d2d,2
L
rmrm
L
mk ??得
2
0 2
1
d
d
kLrkr
mm
L
??
?
?
?由
rrL mgmgf d2dd 2?? ??
omd
?
f?d
z
r?
frM dd ??
m g L
rr
L
mg
MM
L
?
?
3
2
d
2
d
0
2
2
??
??? ??
实际意义,半径 R,质量 m 的匀质圆盘，与桌面间摩擦系
数 μ,求摩擦力矩。
简化模型,
长 R,线密度 总质
量 m 的细杆 kr??
f?f??
?
r
Ro
?
md
rrR mr d rRmm d22d 22 ???? ??
三、质点系角动量的时间变化率
对 个质点 组成的质点系，由
Nm,,m,m ?21
t
LFrM
d
d ???? ???
两边求和得
? ?? ???
i i
ii
i
i MMt
LL
t 内外
????
d
d
d
d
内外
内外
内外
NN
N
MM
t
L
MM
t
L
MM
t
L
??
?
??
??
?
??
?
??
??
??
d
d
d
d
d
d
22
2
11
1
0??
i
iM 内
??
外外 ii FrMt
L ???? ???? ?
id
d
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩
的矢量和 (合外力矩 )
N
注意,
1.合外力矩 是质点系所受各外力矩的矢量和，
而非合力的力矩。
外M
?
2.质点系内力矩的作用,
不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量在
系内各质点间的分配。
外外 ii FrMt
L ???
?
??? ?
id
d
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩
的矢量和 (合外力矩 )
本讲内容小结：三个基本概念
1.角动量
vmrprL ????? ????质点
自旋轨道 LLvmrvMrL iii icc
??????? ???????? ?质点系
定轴刚体
?? JmrL
i iiz ?
?? 2
2.转动惯量
??
i
ii mrJ
2 mrJ d
2??
3.力矩
FrM ??? ?? ???? FrM z ?? 0??
i i
M 内?
本章共 3讲
第二篇 实物的运动规律
第五章 角动量 角动量守恒定律
第五章 角动量 角动量守恒定律
数学家和哲学家追求数学的最初生长点的研究，
恰像一次向远处的地平线走去的旅行。终点似乎就
在前面，可是走过去之后发现，它还在前方。
但是旅行者毕竟一次又一次地大开眼界。他发
现了越来越广大的世界。
－－摘自 张景中 （院士）, 数学与哲学,
显然，这段话对物理学也适用。
刚体定轴转动定律
角动量
转动
惯量
角动量时
间变化率
力矩
角动量
定理
角动量
守恒定律
结构框图,
重要性,中学未接触的新内容
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；
微观粒子的角动量具有量子化特征；
角动量守恒定律与空间旋转对称性相对应。
学时,6
难点,角动量概念,
角动量定理及角动量守恒定律的应用
重点,
概念,角动量，转动惯量，力矩，角冲量,
规律,刚体定轴转动定律,
角动量定理的微分形式和积分形式,
角动量守恒定律,
§ 5.1 角动量 转动惯量
一、角动量
0?? CvMp ?? 总
由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，
系统有机械运动，总动量却为零？
说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。
问题,将一绕通过质心的固定轴转动
的圆盘视为一个质点系，系统总动量
为多少？ C
?M
*引入与动量 对应的角量 —— 角动量（动量矩） p? L?
动量对参考点（或轴）求矩
1.质点的角动量
m
o
p?
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?vmrprL ????
? ????
定义,
?? ??
?
prpr
mvrL ?s i n
大小,
?p
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方向,
服从右手定则。
组成的平面，和垂直于 pr ??
y
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p?
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?p
*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点
旋转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
物理意义,作直线运动设 m
p?
m
o r?
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Lo
，大小相同，则：、若
为参考点：以 0
?
0??? Lo ?为参考点：以
2.质点系角动量
系统内所有质点对 同一参考点 角动量的矢量和
?
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? ? ? ?????
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cciic vMrvmr
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即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，
该质点对参考点的角动量
以质心为代表，描述质点系整体绕参考点的旋转运
动，称为质点系的轨道角动量。
CC vMrL
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轨道即：
由
M
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rM
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i
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质心对自己的位矢
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第二项,
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与 i 无关
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点 O的选择无
关，描述系统的内禀性质,
第三项,
?自旋L?
ii
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各质点相对于质心角动量的矢量和
于是,
自旋轨道 LL
vmrvMrL ii
i
icc
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轨道L
?自旋L?
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i i
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??????? 与 i 有关
3.定轴转动刚体的角动量
iv?
im
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??
转动
平面
z
转轴,角速度
刚体上任一质点
转轴与其转动平面交点
绕 圆周运动半径为
??
im
z
im ir
O
O
对 的角动量,im
??
??? ???
?
?
?
?
方向：沿
大小,2iiiiiio
io
rmvmrLL
??? 2iiio rmL ?即,
iiiio vmrL
??? ??
O
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量（即质点对参考点 o的角
动量在 z轴上的投影）为,
?2iiioiz rmLL ??? ?
?
刚体对 z 轴的总角动量为,
?
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i
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转动
平面
z
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d
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2
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对质量连续分布的刚体,
刚体对 z 轴的总角动量 为,
（ 即质点对轴上某参考点 o的角动量在 z轴上的投影）
令
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i
ii mrJ
2 mrJ d2??
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二、刚体对轴的转动惯量
1.定义
?? i ii mrJ 2
刚体对某定轴的转动惯量等于其各质点的质量
与该质点到转轴距离的平方之积求和。
若质量连续分布，则 mrJ d2??
刚体对轴的转动惯量 J
与刚体总质量有关
与刚体质量分布有关
与转轴的位置有关
2,计算
mrJ d2??
积分元选取,
?md
l,l dd 线元：线密度,??
S,S dd 面元：面密度,??
V,V dd 体元：体密度,??
md
md
m d
练习
1.由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过
A 垂直于纸面的轴的转动惯量
l
ll
l
A
m m2 m3
m4
m5
2
2
22
32
254
232
ml
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)l(mmlJ
?
??
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2,一长为 的细杆，质量 均匀分布,求该杆对过
杆一端端点且垂直于杆的 z 轴的转动惯量。
L m
23
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22
3
1
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1dd mLLx
L
mx
L
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xLmxm ddd ?? ?
练习
Lmd
o
x
x
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3,求质量 m,半径 R 的均匀球壳对直径的转动惯量
练习
24 R
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??? ds i n21dd mSm ??
解,取离轴线距离相等的点的
集合为积分元
o
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R
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m
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? ? ???
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3
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2
1d mRmRJJ
4,求质量 m,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
练习
o
r
rdR
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解,以距中心,厚
的球壳为积分元
r rd
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注意,对同轴的转动惯量具有可加减性。
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同轴圆柱
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空心圆盘 z
平行轴定理
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正交轴定理
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对平面刚体
y
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o
两个常用定理,证明见教材 92页
一些均匀刚体的转动惯量表（教材 P93）
练习
解 2,222
48
7
4
3
4
3
3
1
443
1 mLLmLmJJJ
oBoAz ???
??
?
???
?
??
?
????
解 3,
2
2
2
2
48
7
412
1
4 mL
LmmLLmJJ
Cz ???
??
?
????
?
??
?
???
2
43
4
22
48
7dd mLll
L
mmlJ L
L
z ??? ??
?
解 1,
C
A
4L
m B
o
z
L
5.求长 L、质量 m 的均匀杆对
z 轴的转动惯量
用多种方法求,
一、质点角动量的时间变化率
t
prp
t
r)pr(
tt
L
d
d
d
d
d
d
d
d ??????? ??????
prL ??? ??
Fr
t
p
r
t
L
vmvpvp
t
r
????
?
?????
?
?
?????
??????
d
d
d
d
0
d
d
质点
位矢 合力
§ 5.2 角动量的时间变化率 力矩
r?
F?
?
o
d
m
FrtL ??
?
??dd
质点角动量的时间变化率等于质点所受合力的力矩
大小,FdrFFr ??? ?s in??
方向,服从右手定则 力矩
FrM ??? ??
二、力矩
1,对参考点的力矩,
服从右手定则。组成的平面和垂直于方向：,Fr ??
?s i nFrFd ?大小：
?
?
????
?????
FrFr
FFrFrM o
????
??????
//
// )(F
?
//F?
?F?
r?
o
d
m
z
2,对轴的力矩
zM
第一项,
//FrM
??? ??
1
方向垂直于轴，其效果是改变轴的
方位，在定轴问题中，与轴承约束力
矩平衡，不影响物体绕轴转动状态。
第二项,
??? FrM
???
2
方向平行于轴，其效果是改变物体绕轴转动状态，称为力对
轴的矩，在轴上选择正方向，可以将其表为代数量,
???? FrM z
??
即,
? ? ? ? ? ?xyzxyz
zyx
o
yFxFkxFzFjzFyFi
FFF
zyx
kji
FrM
??????
???
???
???
???
xyz yFxFM ??
Mz为力对 o 点 的力矩在 z 轴方向的分量
注意, 力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。
???? ??? ooo MMM 21
???? zzz MMM 21
矢量和
代数和
思考, 合力为零时，其合力矩是否一定为零？
合力矩为零时，合力是否一定为零？
?? ?? 0,0 oMF ??
o
F? F?
?? ?? 0,0 oMF ??
F?
F?
o
例,
不
一
定
由图可知,作用力和反作用力
对同一参考点合力矩为零。
从而，质点系内力矩矢量和
一定为零。
0??
i i
M 内? 1?
2?
12f
?
21f
?
1m
2m1r?
2r?
d
o
例,质量为,长为 的细杆在水平粗糙桌面上
绕过其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正
比，杆与桌面间的摩擦系数为,求摩擦力矩。
m L
?
解,
rkrrm ddd ?? ?
设杆的线密度 kr??
omd
?
f?d
z
r?
22
d2d,2
L
rmrm
L
mk ??得
2
0 2
1
d
d
kLrkr
mm
L
??
?
?
?由
rrL mgmgf d2dd 2?? ??
omd
?
f?d
z
r?
frM dd ??
m g L
rr
L
mg
MM
L
?
?
3
2
d
2
d
0
2
2
??
??? ??
实际意义,半径 R,质量 m 的匀质圆盘，与桌面间摩擦系
数 μ,求摩擦力矩。
简化模型,
长 R,线密度 总质
量 m 的细杆 kr??
f?f??
?
r
Ro
?
md
rrR mr d rRmm d22d 22 ???? ??
三、质点系角动量的时间变化率
对 个质点 组成的质点系，由
Nm,,m,m ?21
t
LFrM
d
d ???? ???
两边求和得
? ?? ???
i i
ii
i
i MMt
LL
t 内外
????
d
d
d
d
内外
内外
内外
NN
N
MM
t
L
MM
t
L
MM
t
L
??
?
??
??
?
??
?
??
??
??
d
d
d
d
d
d
22
2
11
1
0??
i
iM 内
??
外外 ii FrMt
L ???? ???? ?
id
d
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩
的矢量和 (合外力矩 )
N
注意,
1.合外力矩 是质点系所受各外力矩的矢量和，
而非合力的力矩。
外M
?
2.质点系内力矩的作用,
不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量在
系内各质点间的分配。
外外 ii FrMt
L ???
?
??? ?
id
d
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩
的矢量和 (合外力矩 )
本讲内容小结：三个基本概念
1.角动量
vmrprL ????? ????质点
自旋轨道 LLvmrvMrL iii icc
??????? ???????? ?质点系
定轴刚体
?? JmrL
i iiz ?
?? 2
2.转动惯量
??
i
ii mrJ
2 mrJ d
2??
3.力矩
FrM ??? ?? ???? FrM z ?? 0??
i i
M 内?
