?
本章共 3讲
第二篇 实物的运动规律
第五章 角动量 角动量守恒定律
§ 5.2 角动量的时间变化率 (续 )
一,质点角动量的时间变化率
二,力矩
三,质点系角动量的时间变化率
四, 刚体定轴转动定律
t
LM
d
d ?? ?
外 t
LM z
z d
d?
对定轴
由 ?JL
z ?
??? JtJJttLM zz ???? dd)(dddd
得
刚体定轴
转动定律
比较,
?
?
?
?
?
?JM
amF
z
?? －矢量式
－标量式
?
?
?
?
?
?JM
amF
z
??
地位相同
刚体定轴转动问题
平动问题
J 是物体转动惯性的量度。
是物体平动惯性的量度。
改变物体平动状态的原因
改变物体绕轴转动状态的原因
m
F?
zM
[例 ] 一定滑轮的质量为,半径为,一轻绳两边
分别系 和 两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳
与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，
求滑轮转动角速度随时间变化的规律。
m
1m 2m
r
已知,0
021 ??,r,m,m,m
求,? ??t ??
思路,
质点平动与 刚体定轴转动关联问题,
隔离法，分别列方程,
先求角加速度
再 ?? ?
2m
1m
r
m
解,在地面参考系中，分别以
为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律
和刚体定轴转动定律建立方程。
m,m,m 21
1T
1a?
gm1
2a?
2T
gm2
TT?aa 2121 ??思考,
2m
1m
r
m
× 因为重滑轮加速转动
)1(amTgmm 11111 ??向下为正:
)2(amgmTm 22222 ??向上为正:
r
+
1T
2T
N
mg
O
四个未知数,
三个方程？
?,T,T,aaa 2121 ??
以顺时针方向为正方向
绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系,
)(ra 4??
解得,
? ?
rmmm
gmm
?
?
??
?
? ??
??
2
1
21
21? ? ?
rmmm
gtmmt
?
?
??
?
? ??
????
2
1
21
21
0 ???
：滑轮 m
)3(mr21JrTrT 221 ?? ???
如图示，两物体质量分别为 和,滑轮质量
为,半径为 。已知 与桌面间的滑动摩擦系
数为,求 下落的加速度和两段绳中的张力。
1m
m
2m
r 2m
? 1m
练习,
2m
1m
o mr?
解,在地面参考系中，选取, 和滑轮为研究
对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得,
1m 2m
2m
2T
a
gm2
gm2?
N
1m
1T
agm
1
o
1T
2T
xN
yN
向里 +
列方程如下,
?
?
?
ra
mrr)TT(
amgmT
amTgm
?
??
??
??
2
21
222
111
2
1
可求解
[例 ] 质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于
盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长
为 l 的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑
动，试求当圆盘两侧绳长差为 s 时，绳的加速度的大
小。
解,在地面参考系中，建立如图 x
坐标，设绳两端坐标分别为 x1,x2，
滑轮半径为 r 有,
rxx
BBABAAl
????
?????
21
,xlmm,xlmm 2BB1AA ???? ??
rlmm ???AB 21
xxs ??
o
x1
x2
s
M A B
A?
B?
r
x
m
用隔离法列方程：（以逆时针方向为正）
o
x1
x2
s
M A B
A?
B?
r
x
m
CA CB T1
J T2
r,C
A
T1
mAg
,CB
T2
mBg
M
BA o
amTgm A1A ??
amgmT BB2 ??
J βrTrT 21 ??
2AB2ABM rmMr21JJJ ????
o
x1
x2
s
M A B
A?
B?
r
x
m
CA CB 解得,
l)Mm(
m g sa
2
1??
?ra ?又：
21 xxs ??
§ 5.3 角动量定理
一、角动量定理的微分形式
1.质点
MFrtL ???
?
????dd由,tML dd ?? ?得：
2.质点系
外＝由,Mt
L ??
d
d tML dd
外得：
?? ?
tJJM d
d ?? ??
轴由：
tMJ dd 轴得,??
3.定轴刚体
二、角动量定理的积分形式
积分形式
（有限时间过程 ）
微分
形式
质点
质点系
定轴
刚体
瞬时
效应
t
LM
d
d ?? ?
t
LM
d
d ?? ?
外
?JM ?轴 tMJ dd 轴??
tML dd ?? ?
tML dd 外?? ?
?
?
?
?
??
?? ?
J
JtM
t
t
2
1
2
1
dd轴
LLtM L
L
t
t
??? ?
? ??? ??
2
1
2
1
dd
LLtM LLtt ???
?
? ??? ?? 2
1
2
1
dd外
注意,
1,力矩对时间的积累,角冲量（冲量矩）
定义,
?
2
1
d
t
t
tM?
效果,改变角动量
p?
一定时间过程的变化量与 对应 ?2
1
d
t
t
tF?
时间变化率与 对应 F?
2,比较,
L?
一定时间过程的变化量与 对应
?
2
1
d
t
t
tM?
时间变化率与 对应 M?
3,同一式中,等角量要对同一参考
点或同一轴计算。
????,J,L,M
三、角动量定理的应用举例 —— 旋进
1、陀螺
（ 1）当陀螺不转动，即 时,
在重力矩 作用下,
陀螺将绕垂直于黑板的轴转动,
即倒地。
0?L?
gmrc ?? ?
（ 2）当陀螺自转，即 时,0?L?
由于重力矩,将不改变 的大小,
只改变 的方向。
使陀螺绕竖直轴旋转 — 旋进
L?Lgmrc ??? ??
L?
LL ?? ?? dLgmrM c ????? ??? tLM dd
??
?
最终效果：陀螺绕竖直轴旋转 —— 旋进
)(L MtL LtΩ ?????? ???? s i nds i nddd
?
旋进角速度,
L?
cr?
gm?
? L?
L?d
?d
tΩ d
d??
L??
2.车轮的旋进 （演示）
o
L?
L?? M
?
L?d
Ω??
o
讨论,
?改变 的方向，旋进方向是否改变？
?改变配重,对旋进有什么影响？
?用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生什么现象？
?
G
3.回转仪实验,
如图所示的杠杆陀螺仪。当陀螺仪高速旋转时，
移动平衡物 B，杆不会倾斜，而是在水平面内绕 O 旋
转。这种运动称为旋进运动，它是在外力矩作用下产
生的回转效应 。
4、炮弹的旋进（录像）
c
??
r?
v?
f?
gm?
5、旋进现象在自然界广泛存在,
地球的旋进；
用电子在外磁场中的旋进解释物质的磁化的本质；
…..,
录象,
1-2-9 ② 角动量定理 6分钟
1-2-9 ③ 角动量守恒 10分钟
本章共 3讲
第二篇 实物的运动规律
第五章 角动量 角动量守恒定律
§ 5.2 角动量的时间变化率 (续 )
一,质点角动量的时间变化率
二,力矩
三,质点系角动量的时间变化率
四, 刚体定轴转动定律
t
LM
d
d ?? ?
外 t
LM z
z d
d?
对定轴
由 ?JL
z ?
??? JtJJttLM zz ???? dd)(dddd
得
刚体定轴
转动定律
比较,
?
?
?
?
?
?JM
amF
z
?? －矢量式
－标量式
?
?
?
?
?
?JM
amF
z
??
地位相同
刚体定轴转动问题
平动问题
J 是物体转动惯性的量度。
是物体平动惯性的量度。
改变物体平动状态的原因
改变物体绕轴转动状态的原因
m
F?
zM
[例 ] 一定滑轮的质量为,半径为,一轻绳两边
分别系 和 两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳
与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，
求滑轮转动角速度随时间变化的规律。
m
1m 2m
r
已知,0
021 ??,r,m,m,m
求,? ??t ??
思路,
质点平动与 刚体定轴转动关联问题,
隔离法，分别列方程,
先求角加速度
再 ?? ?
2m
1m
r
m
解,在地面参考系中，分别以
为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律
和刚体定轴转动定律建立方程。
m,m,m 21
1T
1a?
gm1
2a?
2T
gm2
TT?aa 2121 ??思考,
2m
1m
r
m
× 因为重滑轮加速转动
)1(amTgmm 11111 ??向下为正:
)2(amgmTm 22222 ??向上为正:
r
+
1T
2T
N
mg
O
四个未知数,
三个方程？
?,T,T,aaa 2121 ??
以顺时针方向为正方向
绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系,
)(ra 4??
解得,
? ?
rmmm
gmm
?
?
??
?
? ??
??
2
1
21
21? ? ?
rmmm
gtmmt
?
?
??
?
? ??
????
2
1
21
21
0 ???
：滑轮 m
)3(mr21JrTrT 221 ?? ???
如图示，两物体质量分别为 和,滑轮质量
为,半径为 。已知 与桌面间的滑动摩擦系
数为,求 下落的加速度和两段绳中的张力。
1m
m
2m
r 2m
? 1m
练习,
2m
1m
o mr?
解,在地面参考系中，选取, 和滑轮为研究
对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得,
1m 2m
2m
2T
a
gm2
gm2?
N
1m
1T
agm
1
o
1T
2T
xN
yN
向里 +
列方程如下,
?
?
?
ra
mrr)TT(
amgmT
amTgm
?
??
??
??
2
21
222
111
2
1
可求解
[例 ] 质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于
盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长
为 l 的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑
动，试求当圆盘两侧绳长差为 s 时，绳的加速度的大
小。
解,在地面参考系中，建立如图 x
坐标，设绳两端坐标分别为 x1,x2，
滑轮半径为 r 有,
rxx
BBABAAl
????
?????
21
,xlmm,xlmm 2BB1AA ???? ??
rlmm ???AB 21
xxs ??
o
x1
x2
s
M A B
A?
B?
r
x
m
用隔离法列方程：（以逆时针方向为正）
o
x1
x2
s
M A B
A?
B?
r
x
m
CA CB T1
J T2
r,C
A
T1
mAg
,CB
T2
mBg
M
BA o
amTgm A1A ??
amgmT BB2 ??
J βrTrT 21 ??
2AB2ABM rmMr21JJJ ????
o
x1
x2
s
M A B
A?
B?
r
x
m
CA CB 解得,
l)Mm(
m g sa
2
1??
?ra ?又：
21 xxs ??
§ 5.3 角动量定理
一、角动量定理的微分形式
1.质点
MFrtL ???
?
????dd由,tML dd ?? ?得：
2.质点系
外＝由,Mt
L ??
d
d tML dd
外得：
?? ?
tJJM d
d ?? ??
轴由：
tMJ dd 轴得,??
3.定轴刚体
二、角动量定理的积分形式
积分形式
（有限时间过程 ）
微分
形式
质点
质点系
定轴
刚体
瞬时
效应
t
LM
d
d ?? ?
t
LM
d
d ?? ?
外
?JM ?轴 tMJ dd 轴??
tML dd ?? ?
tML dd 外?? ?
?
?
?
?
??
?? ?
J
JtM
t
t
2
1
2
1
dd轴
LLtM L
L
t
t
??? ?
? ??? ??
2
1
2
1
dd
LLtM LLtt ???
?
? ??? ?? 2
1
2
1
dd外
注意,
1,力矩对时间的积累,角冲量（冲量矩）
定义,
?
2
1
d
t
t
tM?
效果,改变角动量
p?
一定时间过程的变化量与 对应 ?2
1
d
t
t
tF?
时间变化率与 对应 F?
2,比较,
L?
一定时间过程的变化量与 对应
?
2
1
d
t
t
tM?
时间变化率与 对应 M?
3,同一式中,等角量要对同一参考
点或同一轴计算。
????,J,L,M
三、角动量定理的应用举例 —— 旋进
1、陀螺
（ 1）当陀螺不转动，即 时,
在重力矩 作用下,
陀螺将绕垂直于黑板的轴转动,
即倒地。
0?L?
gmrc ?? ?
（ 2）当陀螺自转，即 时,0?L?
由于重力矩,将不改变 的大小,
只改变 的方向。
使陀螺绕竖直轴旋转 — 旋进
L?Lgmrc ??? ??
L?
LL ?? ?? dLgmrM c ????? ??? tLM dd
??
?
最终效果：陀螺绕竖直轴旋转 —— 旋进
)(L MtL LtΩ ?????? ???? s i nds i nddd
?
旋进角速度,
L?
cr?
gm?
? L?
L?d
?d
tΩ d
d??
L??
2.车轮的旋进 （演示）
o
L?
L?? M
?
L?d
Ω??
o
讨论,
?改变 的方向，旋进方向是否改变？
?改变配重,对旋进有什么影响？
?用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生什么现象？
?
G
3.回转仪实验,
如图所示的杠杆陀螺仪。当陀螺仪高速旋转时，
移动平衡物 B，杆不会倾斜，而是在水平面内绕 O 旋
转。这种运动称为旋进运动，它是在外力矩作用下产
生的回转效应 。
4、炮弹的旋进（录像）
c
??
r?
v?
f?
gm?
5、旋进现象在自然界广泛存在,
地球的旋进；
用电子在外磁场中的旋进解释物质的磁化的本质；
…..,
录象,
1-2-9 ② 角动量定理 6分钟
1-2-9 ③ 角动量守恒 10分钟
