?
本章共 3讲
第二篇 实物的运动规律
第三章 运动的描述
§ 3.4 运动学的两类基本问题 (习题课 )（续）
二,已知加速度（或速度）及初始条件，求质点任一
时刻的速度和运动方程 (积分法）。
)t(,)t(),t(,)t(
)t(r,)t(v)v,rt(,)t(a
????? ??
??
00
00
0
0
时
时 ?????
一,已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度
（微分法）；
???,)t(a,v)t(r ?? ;???
第二类问题
[例 1]已知,质点沿直线运动,
000 vvxx:t;)t(aa ????
求,
)(,)( txtv
解,
*tavv
tavv
tav
tav
t
v
a
t
t
tv
v
d
d
dd
dd
d
d
0
0
0
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?
?
??
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??
?
?
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tvxx
tvx
tvx
t
x
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t
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x
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0
d
d
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x
x
x
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x
x
v
t
v
a
0
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d2
dd
d
d
d
d
d
d
d
d
2
0
2
? ?xaa ?若：
思考,若加速度 a =恒量，三个 *式成为什么形式？
*tavv t d00 ???
*tvxx t??? 00 d
??? xx *xavv 0 d2202
)xx(avv
attvxx
atvv
0
2
0
2
2
00
0
2
2
1
???
???
??
用类比方法写出用角量表示的圆周运动公式和
? = 恒量 时的形式
思考,
??? t tvxx 00 d
??? xx xavv 0 d2202
tavv t d00 ???
)xx(avv
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tt
t
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0
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2
1
?????
????
???
???
???
??
[例 2]火箭竖直向上发射，加速度随时间变化规律如图所示。
求火箭在 t=50 s 时燃料用完瞬间的速度和高度。
20 50
1
0
15
0
)sm( -2?a
)(t s
解,写出 a (t) 表达式
?a
)t()t(
)t(t
502020
6
1
10
200
2
1
????
??
-150
20
20
00 sm4 7 5d206
110d
2
1 ??
?????? ????? ?? t)t(ttvv
或从曲线下的面积求出 ??? t tavv
00 d;0;0 00 ?? hv初始条件：
高度分两段算,
前阶段的末状态即后阶段
的初状态。
m7666sm100:s20 -1,hvt ????
0;0
2
1
:s200
00
1
??
?
?
hv
ta
初始条件：
? ?
?
????
???
t t
t
ttttvhh
tttvv
0 0
32
101
0
2
01
12
1
d
4
1
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4
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2
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20 50
1
0
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)sm( -2?a
)(t s
m78 9 1 6
d
3
2 0 0
3
20
12
76 6 6d
50
20
50
20
2
22
.
t)
tt
(.tvhh
?
?????? ? ?
m7.666
sm100
3
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6
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-1
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??
?????
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h
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初始条件：
3
200
3
20
12d3
20
6100d
2
20 20
22 ?????
??
?
? ????? ? ? tttttavv t t
20 50
1
0
15
0
)sm( -2?a
)(t s
[例 3]已知,x-t 曲线为如图所示抛物线
求,a-t,v-t 图，运动方程
? ?mx
??st
o
a
b?45
1
3
2 2.5
解,1）质点作何种运动？
x-t 曲线为抛物线（二次曲线）
常数?? 2
2
d
d
t
xa
质点作匀变速直线运动
a) ?2
1
00tg:1;145tg:0
??
?
?
?
??????
t
vv
a
vtvt
ab
ba
??
v) ?3 tatvv a ???? 1
? ?-2sm?a
??st
o
1?
? ?-1sm?v
??st
o
1
1
4) 运动方程;221 0
2
2
0 ?????? x
ttattvxx
a
? ?mx
??st
o
a
b?45
1
3
2 2.5
625.0
05.2
0 ?
??
x
xt
得：
时由：
? ?SI2185 2ttx ????
[例 4] 一艘快艇在速率为 时关闭发动机，其加速
度,式中 为常数，试证明关闭发动机后又
行驶 x 距离时，快艇速率为,
0v
2kva ?? k
kxevv ?? 0
证明,
kx
v
v
x
evvkx
v
v
xk
v
v
xk
v
v
kv
x
vv
t
x
x
v
t
v
a
?
???
??
??
??????
? ?
0
0
0
2
ln
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
0
证毕
§ 3.5 相对运动
一,运动的绝对性和描述运动的相对性
?只有相对于确定的参考系才能具体描述物体的运动,
?选择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。
一个坐标系中
的描述
另一坐标系中
的描述
变换
二,低速 下的变换 )cv( ??
分别从 系和 系描述
质点 的运动
)x y zo(S ? )zyxo(S ??????
P
真空中的光速
P
O
O?
x
y y?
x?
v?
S S?
COBCABPAPO rrrrr ????? ????
推广,OPr ??
POr?
OOOPPO rrr ?? ??
???位置矢量
COBCABPAPO vvvvv ????? ????
OOOPPO
OOOPPO
vvv
rrr
??
??
??
??
???
???
:
:
速度矢量
位移矢量 ???
OOOPPO aaa
oo
?? ??
? ???,),( 间只有相对平动时当加速度矢量
设 系相对于 系沿 方向以速率 运动,；以 和 重合时为计时起点
SS? x u
o o?zzyyxx ??? //,//,//
x
y
z
x?
y?
z?
u?
ut
S S?
o o?
伽利略
坐标变换
tt
zz
yy
utxx
??
??
??
???
zz
yy
xx
vv
vv
uvv
??
??
???伽利略
速度变换
三,变换参考系的运动学意义, 处理问题简便
解 1,以岸为参考系，分别写出船和艇的运动方程，
令其坐标相等，得相遇条件。
建立如图坐标系
[例 ]一条船平行于平直海岸航行，离岸距离为 D，
速率为 V。一艘快艇从港口出发去拦截这条船，快
艇速率 v <V，试证明快艇必须在船驶过海岸线上某
点以前出发才行，该点离港口的距离为,
22 vV
v
Dx ??
o
xx
D
v?
V?
?
y
船
Dy
Vtx
?
?
1
1
艇
?
?
s i n
c o s
2
2
vty
vtxx
?
??
相遇,
21
21
yy
xx
?
?
?
?
s i n
c o s
vtD
vtxVt
?
??即
消去 t 得,? ?
*v DvVx ? ?s i nc o s??
令
0dd ??x
解出 代入 * 得 ?
minx
求极值,
o
xx
D
v?
V?
?
y
思考,以船为参考系，相遇条件是什么？
v??解 2,以船为参考系，设艇对船的速度为
Vvv ??? ???
? ?
AB
AwB
wABwBA
vv
vv
vvv
??
??
???
??
???
??
A
Av
?
Bv
?
Av??
BAv?
B
若 的延长线过,则, 相撞。
BAv? A A B
相遇条件：,?? ?
最小最大时当 x?
艇出发时,
22D
Ds i n
x?
??
22
m i n
22
vV
v
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得：
由：
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证毕
o
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有最大值：?,Vv ?
V
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ms i m ?
o
x
D V
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x
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V?
v??
m?
?
[例 ]皮球“超常”弹跳
h
m
M
甲,
实验室观察者
乙,
上观察者 M
,Mm ??
已知,皮球从离地面一定高度处自由落下，完全
弹性碰撞,
求,跳起的高度之比。Mm,
地面参考系，以向上为正，由动量、能量守恒,解 1,
M
m
v??
v?
M
m
2v?
1v?
甲
甲 +
+
21 mvMvmvMv ???
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1 mvMvv)mM( ???
vvmM mMv ???? 31
vvmM mMv 332 ????
解得,
弹跳高度,为 ； 为 9 m
hM h
碰撞前,
碰撞后,
解 2,
M
m
v
v
甲
M
m
v3
v
甲 m
M
v2
乙
m
M v2
乙
弹跳高度,为 ； 为 9 m
hM h
[例 ]河水自西向东流动，速度为 。一轮船
在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西,相
对于河水的航速为 。此时风向为由东向
西，风速为 。试求在船上观察到的烟囱
冒出的烟缕的飘向（设烟离开烟囱后很快就获得与
风相同的速度）。
1hkm20 ??
1hkm10 ??
?30
1hkm10 ??
解析法,
建立如图所示坐标系,
由题意可知 风地v?
船水v?
水地v?
?30
y
x
o
东
北
风地v?
船水v?
水地v?
?30
y
x
o
东
北
)(j
iv
)(iv
)(iv
1
1
1
hkm30c o s20
30s i n20
hkm10
hkm10
?
?
?
??
??
???
??
?
??
??
??
?
?
船水
风地
水地
根据相对速度公式
)(j.i
)ji(ii)(
vvv
vvvvv
1
hkm31710
30c o s2030s i n201010
?
????
??????
???
????
??
????
???
?????
??
船水水地风地
水船地水风地风船烟船
.30
hkm20
1
飘去向南偏西
的速率烟以
即在船上观察，
?
?
?
北 y
x
东
?
风船v?
-10
-17.3
o
)h( k m31710 1????? j.iv ??? 烟船
?30
3.17
10
a r c t g
)h( k m20)3.17()10 122
??
?????? ?
?
（烟船v
图解法,
根据相对速度公式,
)()( 船水水地风地
水船地水风地
风船烟船
vvv
vvv
vv
???
???
??
?????
???
?
风地v? 水地v??
船水v??
风船v? ??30
?
30
hkm20
1
?
??
?
?
)(v
烟船
.30
hkm20 1
飘去的速率向南偏西
即在船上观察，烟以
?
??
风地v?
船水v?
水地v?
?30
y
x
o
东
北
练习,一飞机以速度 v0 水平飞行，并相对飞机以水平
速度 v 向前发射炮弹，不计空气阻力和发射对飞机速
度的影响。则对站在地面上的观察者，炮弹的轨迹方
程是
,
对飞机上的观察者
其轨迹方程是 。 2
2
2v
gxy ?
2
0
2
)(2 vv
gxy
??
2
0
2
1
)(
gty
tvvx
?
??对地面
2
2
1
gty
vtx
?
?对飞机
x
y
o
本章共 3讲
第二篇 实物的运动规律
第三章 运动的描述
§ 3.4 运动学的两类基本问题 (习题课 )（续）
二,已知加速度（或速度）及初始条件，求质点任一
时刻的速度和运动方程 (积分法）。
)t(,)t(),t(,)t(
)t(r,)t(v)v,rt(,)t(a
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一,已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度
（微分法）；
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第二类问题
[例 1]已知,质点沿直线运动,
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思考,若加速度 a =恒量，三个 *式成为什么形式？
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用类比方法写出用角量表示的圆周运动公式和
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[例 2]火箭竖直向上发射，加速度随时间变化规律如图所示。
求火箭在 t=50 s 时燃料用完瞬间的速度和高度。
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解,写出 a (t) 表达式
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或从曲线下的面积求出 ??? t tavv
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的初状态。
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[例 3]已知,x-t 曲线为如图所示抛物线
求,a-t,v-t 图，运动方程
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1
3
2 2.5
解,1）质点作何种运动？
x-t 曲线为抛物线（二次曲线）
常数?? 2
2
d
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质点作匀变速直线运动
a) ?2
1
00tg:1;145tg:0
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4) 运动方程;221 0
2
2
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1
3
2 2.5
625.0
05.2
0 ?
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xt
得：
时由：
? ?SI2185 2ttx ????
[例 4] 一艘快艇在速率为 时关闭发动机，其加速
度,式中 为常数，试证明关闭发动机后又
行驶 x 距离时，快艇速率为,
0v
2kva ?? k
kxevv ?? 0
证明,
kx
v
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0
证毕
§ 3.5 相对运动
一,运动的绝对性和描述运动的相对性
?只有相对于确定的参考系才能具体描述物体的运动,
?选择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。
一个坐标系中
的描述
另一坐标系中
的描述
变换
二,低速 下的变换 )cv( ??
分别从 系和 系描述
质点 的运动
)x y zo(S ? )zyxo(S ??????
P
真空中的光速
P
O
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x
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S S?
COBCABPAPO rrrrr ????? ????
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速度矢量
位移矢量 ???
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设 系相对于 系沿 方向以速率 运动,；以 和 重合时为计时起点
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三,变换参考系的运动学意义, 处理问题简便
解 1,以岸为参考系，分别写出船和艇的运动方程，
令其坐标相等，得相遇条件。
建立如图坐标系
[例 ]一条船平行于平直海岸航行，离岸距离为 D，
速率为 V。一艘快艇从港口出发去拦截这条船，快
艇速率 v <V，试证明快艇必须在船驶过海岸线上某
点以前出发才行，该点离港口的距离为,
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求极值,
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思考,以船为参考系，相遇条件是什么？
v??解 2,以船为参考系，设艇对船的速度为
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v
xD
D
??
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得：
由：
Vvv ??? ???如图
证毕
o
x
D V
?
x
v?
V?
v??
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?
有最大值：?,Vv ?
V
v?
ms i m ?
o
x
D V
?
x
v?
V?
v??
m?
?
[例 ]皮球“超常”弹跳
h
m
M
甲,
实验室观察者
乙,
上观察者 M
,Mm ??
已知,皮球从离地面一定高度处自由落下，完全
弹性碰撞,
求,跳起的高度之比。Mm,
地面参考系，以向上为正，由动量、能量守恒,解 1,
M
m
v??
v?
M
m
2v?
1v?
甲
甲 +
+
21 mvMvmvMv ???
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1 mvMvv)mM( ???
vvmM mMv ???? 31
vvmM mMv 332 ????
解得,
弹跳高度,为 ； 为 9 m
hM h
碰撞前,
碰撞后,
解 2,
M
m
v
v
甲
M
m
v3
v
甲 m
M
v2
乙
m
M v2
乙
弹跳高度,为 ； 为 9 m
hM h
[例 ]河水自西向东流动，速度为 。一轮船
在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西,相
对于河水的航速为 。此时风向为由东向
西，风速为 。试求在船上观察到的烟囱
冒出的烟缕的飘向（设烟离开烟囱后很快就获得与
风相同的速度）。
1hkm20 ??
1hkm10 ??
?30
1hkm10 ??
解析法,
建立如图所示坐标系,
由题意可知 风地v?
船水v?
水地v?
?30
y
x
o
东
北
风地v?
船水v?
水地v?
?30
y
x
o
东
北
)(j
iv
)(iv
)(iv
1
1
1
hkm30c o s20
30s i n20
hkm10
hkm10
?
?
?
??
??
???
??
?
??
??
??
?
?
船水
风地
水地
根据相对速度公式
)(j.i
)ji(ii)(
vvv
vvvvv
1
hkm31710
30c o s2030s i n201010
?
????
??????
???
????
??
????
???
?????
??
船水水地风地
水船地水风地风船烟船
.30
hkm20
1
飘去向南偏西
的速率烟以
即在船上观察，
?
?
?
北 y
x
东
?
风船v?
-10
-17.3
o
)h( k m31710 1????? j.iv ??? 烟船
?30
3.17
10
a r c t g
)h( k m20)3.17()10 122
??
?????? ?
?
（烟船v
图解法,
根据相对速度公式,
)()( 船水水地风地
水船地水风地
风船烟船
vvv
vvv
vv
???
???
??
?????
???
?
风地v? 水地v??
船水v??
风船v? ??30
?
30
hkm20
1
?
??
?
?
)(v
烟船
.30
hkm20 1
飘去的速率向南偏西
即在船上观察，烟以
?
??
风地v?
船水v?
水地v?
?30
y
x
o
东
北
练习,一飞机以速度 v0 水平飞行，并相对飞机以水平
速度 v 向前发射炮弹，不计空气阻力和发射对飞机速
度的影响。则对站在地面上的观察者，炮弹的轨迹方
程是
,
对飞机上的观察者
其轨迹方程是 。 2
2
2v
gxy ?
2
0
2
)(2 vv
gxy
??
2
0
2
1
)(
gty
tvvx
?
??对地面
2
2
1
gty
vtx
?
?对飞机
x
y
o
