?
本章共 3讲
第二篇 实物的运动规律
第三章 运动的描述
第二篇 实物的运动规律
第三章 运动的描述
伽利略（意）
1564－ 1642
首先要研究物体怎样运动，然后才能
研究物体为什么运动。
—— 伽利略
相对
运动
质点和
刚体
参考系
坐标系
运动的
描述
运动学
两类基
本问题
结构框图
重点,
1.模型, 质点、质点系、刚体,
2.概念,位矢、位移、速度、加速度；
角位置、角位移、角速度、角加速度；
惯性系、非惯性系；
3.计算, 运动学的两类基本问题
难点, 相对运动
课时, 6
1、质点,当物体的线度和形状在所研究的问题中
的作用可以忽略不计时，将物体抽象为一个具有质
量，但无形状大小的“点”。
思考,
质点和几何学上的点有什么不同？
它是否一定是宏观尺度很小的物体？
§ 3.1 质点和刚体
2、质点系：质点的集合。
m1 m2
mi mn ???
n
i
imm
1
一、基本概念
质量连续分布物体,
?? mm d
dm
Vd?
?md Sd?
ld?
刚 体,不计物体在外力作用下产生的形变。
即：任意两质点间距离保持不变的质点系。
质点 质点系 刚体 集合 特例
二、相互关系,
§ 3.2 参考系和坐标系
一, 运动是绝对的，对运动的描述是相对的。
描述运动的相对性,
?只有事先选定一个作为参考的物体，才能具体
描述物体如何运动
?选定的参考物体不同，对同一物体运动的描述
可能有不同的结果。
运动的绝对性,
?所有物体都处于运动、变化之中，绝对静止
的物体是不存在的。
2,坐标系
为了定量的描述物体的运动，在选定的参考系上建
立的带有标尺的数学坐标,简称坐标系。
坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。
1,参考系
为了描述一个物体的运动而选定的另一个作
为参考的物体（～观察者），叫参考系。
任何实物物体均可被选作参考系 ;场不能作为
参考系。
二、参考系和坐标系
常见的坐标系,直角坐标系,
极坐标系,
柱坐标系,
球坐标系,
自然坐标系,
……
x
y
z
O
P
直角坐标 系 极坐标系
O
极 轴
径 向 角 向
r
?
P
自然坐标系
O
n? ?
?
P
r?
三,惯性系和非惯性系
1、惯性系,惯性定律在其中成立的参考系，即其
中 不受外力作用的物体（自由粒子）永远保持静止
或匀速直线运动的状态。
2、非惯性系,惯性定律在其中不成立的参考系,
[例 ]
甲：惯性系；乙：非惯性系
在动力学中在进一步讨论二者的区别。
甲 乙
0a
?
N
mg
A
§ 3.3 运动的描述
一,描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述
要解决任何具体力学问题,首先应选取一个适当的
参考系,并建立适当的坐标系,否则就无从讨论物体
的运动,
1.描述质点在空间的位置 —— 位置矢量
* 定义,从参考点 O 指向
空间 P 点的有向线段 叫
做 P 点的 位置矢量,简称
位矢或矢径。
Pr?
OPPr ??
?
O
P
Pr?
(教材中，矢量用黑体表示 )
*直角坐标描述
x yzo ?
单位矢量,
k,j,i ???
直角坐标中位矢的表达式
kzjyixr ???? ???
222 zyxrr ???? ?
大小,
1c o sc o sc o s
c o sc o sc o s
222 ???
???
???
???
r
z
,
r
y
,
r
x方向,
?
o
?
?
y
x
z
r?
? ?z,y,xP
x
z
y
j?
k?
i?
在直角坐标系中，质点运动方程的具体形式为,
*k)t(zj)t(yi)t(xr ?????? ???
)t(rr ?? ?
随时间变化的函数 称为质点的运动方程。 r? )t(r?
质点的运动方程
由 *式写出对应的参数方程,
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
?
?
? 消去参数 t 质点运动的
轨迹方程
质点运动的轨迹方程
[例 1] 图中,OA = BA = AC,OA 以角速度 ? 绕 O
旋转,B,C 分别 沿 y,x 轴运动,BC上有一点 P,
已知 BP = a,PC = b,求 P 点的轨迹方程。
?
y
O x
B
A
C
? r
P(x,y)
a
b
思路,
（ 1）确定 P 的位置
jyixr ??? ??
（ 2）写出参数方程
（ 3）消去 t,得到轨迹方程
解,以 OA 与 x 轴重合时为
计时起点，则,? =?t
?
y
O x
B
A
C
? r
P(x,y)
a
b
jtbitar ??? ?? s i nco s ??
P点运动方程,
消去 t 得轨迹方程,
12
2
2 ?? b
y
a
x 2
?
?
?
?
?
tby
tax
?
?
s i n
c o s
参数方程,
此即椭圆规原理
y
O x
B
A
C
P
a
b
?
椭圆规原理
[例 2]已知：质点的运动方程
j)t(itr ??? 222 ???
求,(1)质点的运动轨迹；
(2)t = 0s及 t = 2s时，质点的位置矢量。
(SI)
国际单位制
解,(1) 先写参数方程
?
?
?
??
?
22
2
ty
tx
消去 t 得轨迹方程,
42
2x
y ??
质点的运动轨迹为抛物线
(2) 位置矢量,
t=0时,x=0 y = 2
t=2时,x=4 y = -2 jir
jr
???
??
24
2
???
?
42
2x
y ??
jir
jr
???
??
24
2
???
?o
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
? x
y
作图
位置矢量的大小,
47.4
)2(4
,2
22
?
??????
??
rr
rr
?
?
位置矢量的方向,
2326
4
2
a r c t g:
90
0
2
a r c t g:
???
?
???
??
?
?
?
?
?
?
轴之间的夹角与
轴夹角与
xr
xr
o
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
? x
y
2.描述质点位置变动的大小和方向 —— 位移矢量
末
位
矢
初
位
矢
位矢
增量
位移
矢量
定义,质点沿曲线运动
ArAt ?,时刻：
BrBtt ?,:时刻??
A
B
O
Ar? Br?
时间内位置变化
rrrAB AB ??? ????
r??
t?
直角坐标表示（以二维情况为例）,
A
B
O
Ar? Br?
y
x
Ax
Ay
Bx
By
x?
?
r??
y?
jyix
j)yy(i)xx(r ABAB
??
???
????
?????
jyixr AAA ??? ??
jyixr BBB ??? ??
x
y
?
?? a r c t g? 22 )y()x(r ????? ?
rr;rr ???? ??讨论,
AB rrr ??? ???
位移（位矢增量）的大小,
ABAB rrrrr ?????
??
位矢大小的增量,
rr ??? ?
Br
?O
r??
r?
如图，一般情况下
Ar
?
讨论,比较位移和路程
ABr ?? ? A
B
s?
r??
位移,是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点
运动轨迹无关，只与始末点有关。
路程,是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点
运动轨迹有关
sr ??? ? 何时取等号？
直线（直进）运动
曲线运动 0??t
?? ABs
?
[例 3]求例 2中 P,Q 两点间的位移和路程。
o
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
? x
y
0? r??
解,(1)位移,
ji
jji
rrr
??
???
???
44
224
??
???
????
jir
jr
???
??
24
2
???
?
m65544 22,)(r ????? ?
44
4a r c t g ?? ????
?
大小,
方向,
o
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
? x
y
0? r??
(2)路程,
22 ddd )y()x(s ??
dx
dy ds
??? QP ss d
xx
yxs
xxy
x
y
ty
tx
d4
2
1
)d()(dd
d
2
1
d
4
2
2
2
2
22
2
2
??
??
???
???
?
?
?
??
?
于是
o
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
? x
y
0? r??
注意,数学方法在物理问题中的应用。
? ?? ?
m
ln
91.5
x4x4x4x
4
1 4
0
22
?
?????
xx421ss 4
0
2Q
P
dd ?? ????
3.描述质点运动的快慢和方向 —— 速度矢量
r??
粗略描述,
ArAt ?,时刻：
BrBtt ?,:时刻??
?t内位移,
A
B
O
Ar? Br?
r??
t
rv
?
?? ??
平均速度,
物理思想？
变速运动 总效果相同的匀速直线运动 类比
精确描述
速度是位矢对时间的一阶导数，其方向沿轨道上质
点所在处的切线，指向前进的一侧。
注意速度的矢量性和瞬时性。
t
r
t
rv
t d
dl i m
0
???
????
??
瞬时速度,当△ t 趋于 0时,B点趋于 A 点，平均速
度的极限表示质点在 t 时刻通过 A 点的瞬时速度，
简称 速度 。表示为,
A
BB?
B?
v?
r??
在直角坐标系中,
kvjviv
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
v
zyx
???
?????
???
????
d
d
d
d
d
d
d
d
kzjyixr ???? ???
速度的大小,
222
zyx vvvv ???
?
平均速率
t
sv
?
??
瞬时速率
t
s
t
sv
t d
dlim
0
????
??
讨论,（ 1）速度与速率的关系
区别,速度是矢量，速率是标量。
平均速度,
t
r
t
rv
t d
dl i m
0
???
????
??
瞬时速度
t
rv
?
?? ??
讨论,
vv ??
（ 2） 平均速度的大小是否等于平均速率？
vv
sr
??
???
?
?
?
一般情况下，平均速度的大小不等于平均速率。
t
s
t
r
?
?
?
? ?
vv ??
（ 3） 速度的大小是否等于速率？
v
t
s
t
r
v
sr
tt
????
???
????
d
d
d
d
lim lim
00
?
?
?
?
速度的大小等于速率。
dddd,tstr ?
?
即
l i ml i m
00 t
s
t
r
tt ?
??
?
?
????
?
即：
讨论,
讨论,
trtr dddd ?
?（ 4）
t
r
t
s
t
rv
d
d
d
d
d
d ???? ??
位矢大小的
时间变化率
位矢时间变化率
（速度）的大小
l i ml i m
00 t
r
t
r
tt ?
??
?
?
????
?
即：
rr
rr
dd
?
???
?
??
Br?O
r??
r?A
r?
[例 4]已知,
)(j)t(itr SI22 2 ??? ???
求, 2秒末速度的大小
? ? ? ?
-1
2
4
3
4
2
22
2
sm583
5
58
2
4
2
d
d
422
22
????
?
??
?????
???
.vt
t
t
t
r
v
tttr
tytx
解一,
? ?
-1
2
222
2
sm474522
12
22
22
d
d
22
????
????
???
???
???
.vt
tvvv
tvv
jti
t
r
v
jtitr
yx
yx
??
?
?
??
?
解二,
请判断正误并说明理由
解一错误，解二正确！
4.描述质点速度大小、方向变化的快慢 —— 加速度矢量
平均加速度,
质点在 A, B 两点的速度分别
是 在△ t 时间内 从 A
运动到 B,其速度改变 为,
,v,v BA ??
AB vvv
??? ??? A
B Bv?
Av
?
Av
?
v??
用 可粗略描述质点速度大小和方向改变
的快慢,称为平均加速度 。
表示为,
t
va
?
?? ??
tv ???
物理思想？
变速运动 总效果相同的匀变速直线运动 类比
瞬时加速度,当△ t 趋于 0 时,求得 平均加速度的
极限，表示质点 通过 A 点的瞬时加速度，简称 加
速度 。表示为
2
2
0 d
d
d
d
d
d
d
dl i m
t
r)
t
r(
tt
v
t
va
t
?????
??????
??
加速度等于速度对时间的一阶导数,或位矢对时间的
二阶导数。
直角坐标系表示,
222
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
zyx
zyx
zyx
aaaa
kajaia
k
t
z
j
t
y
i
t
x
k
t
v
j
t
v
i
t
v
t
v
a
???
???
???
????
?
???
???
???
?
?
kvjvivktzjtyitxtrv zyx ??????
??
??????? dddddddd
[例 5]已知,
)(j)t(itr SI22 2 ??? ???
求, 2秒末加速度的大小
? ?
j
t
v
a
jti
t
r
v
jtitr
?
?
?
??
?
?
???
2
d
d
22
d
d
22
2
???
???
???
解,
o
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
? x
y
a =2m.s-2,沿 -y 方向，与时间无关。
vtv dtddd ?
?讨论,
tvtv
t ?
??
?
?
???? 00t
l i ml i m
?即,
Bv?
v??
v?
dt
d
d
d v
t
v
vv
??
???
?
?
?Av?
总结,描述质点运动的基本物理量
描述对象 物理量 定义
位置 位矢
位置变化 位移
位置变化率 速度
速度变化率 加速度
12 rrr ??? ???
t
rv
d
d ?? ?
)t(r,r ?? 中心
2
2
t
r
t
va
d
d
d
d ??? ??
课堂练习,教材Ｐ 47 复习思考题
3.3.1； 3.3.2
ab
b
a
rrabr)( ??? ???? d1
a
b
O
abs
ar
?
br
?
r??
1dr?
2dr?
3.3.1
ab
b
a
Sabr)( ??
?
? ?d2
? ???
?b
a
ab rrabr)(
???d3
参考解答,
参考解答,3.3.2
圆周运动
0
d
d
)4(
0
d
d
)3(
?
?
t
v
t
v
?
－ 匀速率运动
－ 匀速直线运动
(含静止 )
0
d
d
)2(
0
d
d
)1(
?
?
t
r
t
r
?
－ 静止
静止