?
本章共 3讲
第二篇 实物的运动规律
第三章 运动的描述
§ 3.3 运动的描述（续）
一, 描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述
二,质点运动的自然坐标描述
自然坐标系,
原点固接于质点,沿质点运动轨道
的切向和法向 为 坐标轴 。切向以
质点前进方向为正，记做,
法向以曲线凹侧方向为正，记
做 。
??
n?
A
B
??
n?
??
n?
（ 1） 位置,在轨道上取一固定点 O,用质点距离 O
的路程长度 s，可唯一确定质点的位置。 位置 s有
正负之分。
??
o
p
n?s
1,在自然坐标中描述质点的运动
（ 2） 位置变化, s?
p?
s?（ 3） 速度,沿切线方向。
t
s
t
rv
d
d
d
d ?? ???
dd ?? ???? tsvv ???
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A
B
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?
s?
Bv
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速度的改变为,
nvvv
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（ 4） 加速度,
A
B
Av
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Bv
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E
B
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C Av?
Bv?
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第一项,??? ??? tvtvtv
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dl i m l i m
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000 t
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B
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第二项,
n
v
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s
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t
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t
v
t
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d
d
d
d
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????
曲率半径
曲率 ??
s?
y
x
o
A
naan
v
t
va ????? ?????
???
2
d
d
?? ?? tva dd?
切向加速度,
描述速度大小改变的快慢，不影响速度的方向。
nva n ?? ?
2
?法向加速度,
描述速度方向改变的快慢，不影响速度的大小。
??
n?
a?
?a?
na?
?
nvtvnaaa n ????? ????
2
d
d ????
大小,
22
naaa ?? ?
?
方向,
?
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??
总是指向曲线凹侧 a?
讨论
dtddd vtv ?
?
a? ?a??
Bv?
v??
v?
Av?
??
n?
a?
?a?
na?
?
练习 1,判断下列说法是否正确？
1） 恒等于零的运动是匀速率直线运动。
2） 作曲线运动的质点 不能为零。
3） 恒等于零的运动是匀速率运动。
4） 作变速率运动的质点 不能为零。
na
na
?a
?a
×
×
×
√
(1) a? 0 匀速率运动； a? 0 变速率运动
(2) an 0 直线运动 ; an 0 曲线运动
小结,
?
? ?
?
恒
恒
C
A
B
0v?
?
g?g?g?
?sing?s i ng? 0
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0
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v
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0
g
v
g
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??
g?
g?g?
CA B
a?
?a
na
?
练习 2,一物体做抛体运动,已知 讨论,?,v
0
1.角位置 ?
O O' θ
s
参考
方向
)t(PR
三, 圆周运动的角量描述
线量 —— 在自然坐标系下，基本参量以运动曲线
为基准，称为线量。
角量 —— 在极坐标系下，基本参量以旋转角度为
基准，称为角量。
单位：弧度（ rad）
逆时针为正
2.角位移 ?? ??
)tt(P ??? s ?
3.角速度
平均角速度,
t?
?? ??
角速度,
ttt d
dlim
0
??? ?
?
??
??
O
R P v?
??
o?
rv ??? ?? ?
大小, Rrv ??? ?? s i n
方向, 右手定则
? r?
??
旋转方向
角速度矢量 ??
方向：右手螺旋法则
垂直于运动平面,沿轴
??
复习 矢量的乘法
zzyyxx BABABABABA ??????? ?c o s
??
标积（点积）,
?s i n???? BABA ??大小,
A?
B?
?
x
y
z
OkBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
????
????
???
???
矢积（叉积）,
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
???
??
??
i? j?
k?
方向：右手定则,
垂直于（ ）平面 BA??,
BA ???
4,角加速度
平均角加速度,
t?
?? ??
角加速度,
2
2
d
d
d
dlim
0 tttt
???? ??
?
??
??
5.角量与线量的关系
2
22
)(
d
d
d
d
d
d
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?
?
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?
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R
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R
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R
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s
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n
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O O'
R
θ
参考
方向
?? )t(P
)tt(P ???
s
s?
某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方程为
（ 1） t =2s 时，该点的角速度和角加速度为多大？
（ 2）若主轴直径 D = 40 cm，求 t = 1 s 时,
该点的速度和加速度
)(tt SI343 ????
练习 3
-12 sra d16423:s2 ?????? ?t
2ra d1226 ????? s?
解,（ 1） 由运动方程得边缘一点的角速度和角加速度
t
t
t
t
6
d
d
43
d
d 2
??
???
?
?
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?
)(tt SI343 ????
? ? ? ?
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2.12.06
432.04.043
2
1
2
1
222
22
????
????
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tra
ttra
ttDrv
n
?
?
??
?
（ 2）由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、
切向加速度和法向加速度
? ? )(..a
)(.a
)(.)(.vt
n
22
2
1
sm892043
sm21
sm414320s1
?
?
?
?????
??
?????
?
时，
作图表示 t=1s其位置、速度、加速度
?
??
0.83
2.1
8.9
a r c t ga r c t g
)sm(87.98.92.1
22222
???
??????
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?
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a
a
va
aaa
n
n
的夹角为与
此时总加速度的大小为
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34
1
3
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???
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t
tt
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a?
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o
P
质点 P位置如图所示
四, 刚体的运动
1,基本形式
平动 —— 刚体运动时,若其上任意两点连线的方
位始终不变,这种运动称为刚体的平动。平动时刚
体上各质点的速度、加速度、轨道均相同，可归结
为质点运动。
转动 —— 刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动，
叫做刚体的转动。该直线叫刚体的 转轴 。
定轴转动,转轴为固定直线的转动叫做刚体的定轴
转动。
一般运动 —— 平动与转动叠加。
2.刚体定轴转动
? 平面运动
? 圆周运动
圆心：转轴与转动平面的交点
定轴转动刚体上各质点的运动,
?
其运动平面
－ 转动平面
?转动平面垂直于转轴
各点的角速度矢量 的方向均
沿轴线
? 离转轴距离不同的点圆周运动
的线量不同，但角量相同。
??
??
转动
平面
O
v?
??
r?
R
?
v??
* 简化为研究 转动平面 内的 运动
* 用角量作整体描述
* 在轴上选正方向，各角量均表示为代数量
???? ?
如何简化？
注意,
对于刚体定轴转动,
角速度的方向只有
两个,只需在轴上
选定正方向，用角
速度的 正、负 就可
表示其方向，不必
用矢量表示。
0??
0??
+
_
练习 4
一刚体以每分钟 60转速率绕 z 轴逆时针匀速转动，
设某时刻刚体上某点 P 的位矢为,
该时刻 P点的速度为,
-1
scm
4314
8181253
8181252
01 5 761 2 52941
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???
???
单位均为
k.v.
j.i.v.
j.i.v.
k.j.i.v.
??
???
???
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3
4
5
x
y
z
P
o
Pv?
Pr?
定性分析：正确答案,2
cmk5j4i3r P ???? ???
该时刻 P点的速度为,
543
200 ??
kji
rv
???
???
???
)scm(8.181.25 -1???? jiv ??? 正确答案,2
定量计算,
1sr a d2 ??? k?? ??
3
4
5
x
y
z
P
o
Pv?
Pr?
??
cmk5j4i3r P ???? ???
§ 3.4 运动学的两类基本问题（习题课）
二,已知加速度（或速度）及初始条件，求质点任一
时刻的速度和运动方程 (积分法）。
)t(,)t(),t(,)t(
)t(r,)t(v)v,rt(,)t(a
????? ??
??
00
00
0
0
时
时 ?????
一,已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度
（微分法）；
???,)t(a,v)t(r ?? ;???
第一类问题
[例 1]已知粒子运动方程 ( S I )593 23 ???? tttx
分析粒子的运动情况
1.其轨迹为一条直线
注意 —— 凡直线运动，可将坐标原点选在轨道直线
上，建立一维坐标，将各矢量按代数量处理。
2
2
d
d
d
d
t
xa,
t
xv,x,xa,v,r,r ????? ????
x
o P v?
2.该粒子作一般变速直线运动
66
963
593
2
23
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???
????
ta
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tttx
-1
-6
2 1 3
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o ??
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-1
-6
2 1 3
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? ?-2sm?a
向 +x运动？
向 -x运动？
-1t;3
0
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?
t
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31
0
???
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t
:v
-1
-6
2 1 3
-12
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st
? ?-1sm?v
-1
-6
2 1 3
-12
o ??
st
? ?-2sm?a 何时加速？
何时减速？
a,v同号
a,v异号
t < -1,粒子向 + x 减速运动
-1 < t <3,粒子向 - x 运动；
-1 < t <1,加速,1 < t <3,减速
t > 3,粒子向 + x 加速运动
66963593 223 ????????? ta,ttv,tttx
转折性时刻
120223
01261
6950
333
111
000
?????
??????
??????
avx:t
avx:t
avx:t
o
0?t
5
0v
0a
-6
1?t
mv
01 ?a
3?t
-22 0?v
a
)(x m
返回加速运动3?t
重要性,由运动叠加原理，质点的一般曲线运动均
可以归结为直线运动处理。
[例 2] 已知,( S I )5155 2 j)tt(itr ??? ???
1.质点做什么运动？
2.找一个实例
平面曲线运动
jaj)t(iv ????? 1010155 ?????
jiv,r:t ???? 15500 00 ????
质点从原点出发，初速度为
0v?
合运动：斜抛运动
为竖直上抛运动gatvy yy ?????? 101015:
匀速直线运动0,5,?? xx avx
3.求抛射角、轨道方程、射程、射高
?27a r c t g 3a r c t g
0
0 ???
x
y
v
v?
抛射角,
jiv ??? 1550 ??
53
2x
xy ??
2515
5
tty
tx
??
?
轨道方程,
o X
y
x
Y
2/X
0v?
?
m150 ?? Xy
射程,
m25.11m5.7 ?? Yx
射高,
4.求a?a:t
n ???? ??时s1
ja
j)t(iv ?
?
???
10
10155
??
???
jirt
jttitr ??
?
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105:1
)515(5 2
???
???
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15
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10
5
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10124
3210
d
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t
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-11-21 sm25sm1725:1 ???????? v,.at ?
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a
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m1725
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1
2
11
.
a
v
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n
n
???
?????
?
?
注意,结果保留 2－ 3位有效数字
[例 3]距海岸（视为直线） h=500米处有一艘静止的船 A，
船上的探照灯以每分钟 1转的转速旋转，当光束与岸边
成 时，光点沿岸边移动速度多大？ ?60??
解,首先建立 P 的运动方程 x(t)
?
??
?
?
22 c o sd
d
c o sd
d
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h
t
h
t
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v
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2
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A
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讨论
hvvhv p ???? ??? c o sc o s
下面解法错在哪里？
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x
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A
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21
2
0
1
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limlimlim vvtrtrtrv
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2
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x
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h
A
v?
[例 4]一质点沿半径为 R的圆周运动，路程与时间的
关系为
求：（ 1）任意时刻 t，质点加速度的大小和方向；
（ 2）什么时刻质点加速度的大小等于 b，这时质
点已转了几圈？
? ?SI21 20 bttvs ??
解,由
质点的速率
btvtsv ??? 0dd
? ?SI21 20 bttvs ??
? ?
? ?
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4
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2
2
4
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b
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?
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加速度的大小为
速度，法向加速度和切向加任意时刻
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? ? ?
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btv
a
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n
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2
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与切向轴的夹角为
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R
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0
1
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?
????
解得时间
，令加速度
。时质点还没有反向转动可见，
，，解得令
b
v
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0
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?
???
R
bt
R
v
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RR
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2
1
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?
程为用角量表示质点运动方
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P
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R
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P
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R
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?
42
2
0??
转过的圈数为
代入运动方程，将 bvt 0?
Rb
v
b
v
R
b
b
v
R
v
22
2
0
2
000 ??
?
??
?
????
可得,
本章共 3讲
第二篇 实物的运动规律
第三章 运动的描述
§ 3.3 运动的描述（续）
一, 描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述
二,质点运动的自然坐标描述
自然坐标系,
原点固接于质点,沿质点运动轨道
的切向和法向 为 坐标轴 。切向以
质点前进方向为正，记做,
法向以曲线凹侧方向为正，记
做 。
??
n?
A
B
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n?
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n?
（ 1） 位置,在轨道上取一固定点 O,用质点距离 O
的路程长度 s，可唯一确定质点的位置。 位置 s有
正负之分。
??
o
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1,在自然坐标中描述质点的运动
（ 2） 位置变化, s?
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s?（ 3） 速度,沿切线方向。
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（ 4） 加速度,
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切向加速度,
描述速度大小改变的快慢，不影响速度的方向。
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描述速度方向改变的快慢，不影响速度的大小。
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22
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讨论
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na?
?
练习 1,判断下列说法是否正确？
1） 恒等于零的运动是匀速率直线运动。
2） 作曲线运动的质点 不能为零。
3） 恒等于零的运动是匀速率运动。
4） 作变速率运动的质点 不能为零。
na
na
?a
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×
×
×
√
(1) a? 0 匀速率运动； a? 0 变速率运动
(2) an 0 直线运动 ; an 0 曲线运动
小结,
?
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恒
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练习 2,一物体做抛体运动,已知 讨论,?,v
0
1.角位置 ?
O O' θ
s
参考
方向
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三, 圆周运动的角量描述
线量 —— 在自然坐标系下，基本参量以运动曲线
为基准，称为线量。
角量 —— 在极坐标系下，基本参量以旋转角度为
基准，称为角量。
单位：弧度（ rad）
逆时针为正
2.角位移 ?? ??
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3.角速度
平均角速度,
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角速度,
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0
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o?
rv ??? ?? ?
大小, Rrv ??? ?? s i n
方向, 右手定则
? r?
??
旋转方向
角速度矢量 ??
方向：右手螺旋法则
垂直于运动平面,沿轴
??
复习 矢量的乘法
zzyyxx BABABABABA ??????? ?c o s
??
标积（点积）,
?s i n???? BABA ??大小,
A?
B?
?
x
y
z
OkBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
????
????
???
???
矢积（叉积）,
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
???
??
??
i? j?
k?
方向：右手定则,
垂直于（ ）平面 BA??,
BA ???
4,角加速度
平均角加速度,
t?
?? ??
角加速度,
2
2
d
d
d
dlim
0 tttt
???? ??
?
??
??
5.角量与线量的关系
2
22
)(
d
d
d
d
d
d
d
d
?
?
?
?
?
?
?
??
?
R
R
Rv
a
R
t
R
t
v
a
R
t
R
t
s
v
RsRs
n
???
???
???
????
O O'
R
θ
参考
方向
?? )t(P
)tt(P ???
s
s?
某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方程为
（ 1） t =2s 时，该点的角速度和角加速度为多大？
（ 2）若主轴直径 D = 40 cm，求 t = 1 s 时,
该点的速度和加速度
)(tt SI343 ????
练习 3
-12 sra d16423:s2 ?????? ?t
2ra d1226 ????? s?
解,（ 1） 由运动方程得边缘一点的角速度和角加速度
t
t
t
t
6
d
d
43
d
d 2
??
???
?
?
?
?
)(tt SI343 ????
? ? ? ?
? ? 2.043
2.12.06
432.04.043
2
1
2
1
222
22
????
????
???????
tra
ttra
ttDrv
n
?
?
??
?
（ 2）由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、
切向加速度和法向加速度
? ? )(..a
)(.a
)(.)(.vt
n
22
2
1
sm892043
sm21
sm414320s1
?
?
?
?????
??
?????
?
时，
作图表示 t=1s其位置、速度、加速度
?
??
0.83
2.1
8.9
a r c t ga r c t g
)sm(87.98.92.1
22222
???
??????
?
?
?
?
a
a
va
aaa
n
n
的夹角为与
此时总加速度的大小为
?4 5 6r a d8
:1
34
1
3
??
?
???
?
?
t
tt
v?
a?
?a?
na??
o
P
质点 P位置如图所示
四, 刚体的运动
1,基本形式
平动 —— 刚体运动时,若其上任意两点连线的方
位始终不变,这种运动称为刚体的平动。平动时刚
体上各质点的速度、加速度、轨道均相同，可归结
为质点运动。
转动 —— 刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动，
叫做刚体的转动。该直线叫刚体的 转轴 。
定轴转动,转轴为固定直线的转动叫做刚体的定轴
转动。
一般运动 —— 平动与转动叠加。
2.刚体定轴转动
? 平面运动
? 圆周运动
圆心：转轴与转动平面的交点
定轴转动刚体上各质点的运动,
?
其运动平面
－ 转动平面
?转动平面垂直于转轴
各点的角速度矢量 的方向均
沿轴线
? 离转轴距离不同的点圆周运动
的线量不同，但角量相同。
??
??
转动
平面
O
v?
??
r?
R
?
v??
* 简化为研究 转动平面 内的 运动
* 用角量作整体描述
* 在轴上选正方向，各角量均表示为代数量
???? ?
如何简化？
注意,
对于刚体定轴转动,
角速度的方向只有
两个,只需在轴上
选定正方向，用角
速度的 正、负 就可
表示其方向，不必
用矢量表示。
0??
0??
+
_
练习 4
一刚体以每分钟 60转速率绕 z 轴逆时针匀速转动，
设某时刻刚体上某点 P 的位矢为,
该时刻 P点的速度为,
-1
scm
4314
8181253
8181252
01 5 761 2 52941
?
?
??
???
???
单位均为
k.v.
j.i.v.
j.i.v.
k.j.i.v.
??
???
???
????
3
4
5
x
y
z
P
o
Pv?
Pr?
定性分析：正确答案,2
cmk5j4i3r P ???? ???
该时刻 P点的速度为,
543
200 ??
kji
rv
???
???
???
)scm(8.181.25 -1???? jiv ??? 正确答案,2
定量计算,
1sr a d2 ??? k?? ??
3
4
5
x
y
z
P
o
Pv?
Pr?
??
cmk5j4i3r P ???? ???
§ 3.4 运动学的两类基本问题（习题课）
二,已知加速度（或速度）及初始条件，求质点任一
时刻的速度和运动方程 (积分法）。
)t(,)t(),t(,)t(
)t(r,)t(v)v,rt(,)t(a
????? ??
??
00
00
0
0
时
时 ?????
一,已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度
（微分法）；
???,)t(a,v)t(r ?? ;???
第一类问题
[例 1]已知粒子运动方程 ( S I )593 23 ???? tttx
分析粒子的运动情况
1.其轨迹为一条直线
注意 —— 凡直线运动，可将坐标原点选在轨道直线
上，建立一维坐标，将各矢量按代数量处理。
2
2
d
d
d
d
t
xa,
t
xv,x,xa,v,r,r ????? ????
x
o P v?
2.该粒子作一般变速直线运动
66
963
593
2
23
??
???
????
ta
ttv
tttx
-1
-6
2 1 3
-12
o ??
st
? ?-1sm?v
-1
-6
2 1 3
-12
o ??
st
? ?-2sm?a
向 +x运动？
向 -x运动？
-1t;3
0
??
?
t
:v
31
0
???
?
t
:v
-1
-6
2 1 3
-12
o ??
st
? ?-1sm?v
-1
-6
2 1 3
-12
o ??
st
? ?-2sm?a 何时加速？
何时减速？
a,v同号
a,v异号
t < -1,粒子向 + x 减速运动
-1 < t <3,粒子向 - x 运动；
-1 < t <1,加速,1 < t <3,减速
t > 3,粒子向 + x 加速运动
66963593 223 ????????? ta,ttv,tttx
转折性时刻
120223
01261
6950
333
111
000
?????
??????
??????
avx:t
avx:t
avx:t
o
0?t
5
0v
0a
-6
1?t
mv
01 ?a
3?t
-22 0?v
a
)(x m
返回加速运动3?t
重要性,由运动叠加原理，质点的一般曲线运动均
可以归结为直线运动处理。
[例 2] 已知,( S I )5155 2 j)tt(itr ??? ???
1.质点做什么运动？
2.找一个实例
平面曲线运动
jaj)t(iv ????? 1010155 ?????
jiv,r:t ???? 15500 00 ????
质点从原点出发，初速度为
0v?
合运动：斜抛运动
为竖直上抛运动gatvy yy ?????? 101015:
匀速直线运动0,5,?? xx avx
3.求抛射角、轨道方程、射程、射高
?27a r c t g 3a r c t g
0
0 ???
x
y
v
v?
抛射角,
jiv ??? 1550 ??
53
2x
xy ??
2515
5
tty
tx
??
?
轨道方程,
o X
y
x
Y
2/X
0v?
?
m150 ?? Xy
射程,
m25.11m5.7 ?? Yx
射高,
4.求a?a:t
n ???? ??时s1
ja
j)t(iv ?
?
???
10
10155
??
???
jirt
jttitr ??
?
???
105:1
)515(5 2
???
???
o
1a?
1na?
1?a?
15
? ?my
? ?mx
10
5
1v?
? ? 2222 10155 tvvv yx ?????
10124
3210
d
d
2 ??
???
tt
)t(
t
va
?
-11-21 sm25sm1725:1 ???????? v,.at ?
o
1a?
1na?
1?a?
15
? ?my
? ?mx
10
5
1v?
2-
1
-1
1
-2
1
sm10
sm25sm17251
???
????????
a
v.a:t ?
m1725
sm1725
1
2
1
1
-22
1
2
11
.
a
v
.aaa
n
n
???
?????
?
?
注意,结果保留 2－ 3位有效数字
[例 3]距海岸（视为直线） h=500米处有一艘静止的船 A，
船上的探照灯以每分钟 1转的转速旋转，当光束与岸边
成 时，光点沿岸边移动速度多大？ ?60??
解,首先建立 P 的运动方程 x(t)
?
??
?
?
22 c o sd
d
c o sd
d
tg
h
t
h
t
x
v
hx
???
??
1-
2
sm8.69
30c o s
60
2
500
3060
??
?
?
??
?
??
?
??
v P
?
?
pv?
h
A
?x o
讨论
hvvhv p ???? ??? c o sc o s
下面解法错在哪里？
p? o
x
?
?
pv
h
A
v?
21
2
0
1
00
limlimlim vvtrtrtrv
tttp
?????? ??
?
??
?
??
?
??
?????? v?
o
A
x
r?
r??
r??
1r?? 2r??
p?
h
p
A
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x o
pv?
1v?
2v?
h
p
1-
2
sm8.69
30c o s
60
2
500
3060
??
?
?
??
?
??
?
??
v
又解,
?
?
?
?
?
2
c o sc o s
c o s
hv
v
h
v
p
??
?
p? o
x
?
?
pv?
h
A
v?
[例 4]一质点沿半径为 R的圆周运动，路程与时间的
关系为
求：（ 1）任意时刻 t，质点加速度的大小和方向；
（ 2）什么时刻质点加速度的大小等于 b，这时质
点已转了几圈？
? ?SI21 20 bttvs ??
解,由
质点的速率
btvtsv ??? 0dd
? ?SI21 20 bttvs ??
? ?
? ?
? ? ? ? 22
4
0
2
2
4
022
2
0
2
1
d
d
,
:)1(
Rbbtv
R
b
R
btv
aaa
b
t
v
a
R
btv
R
v
a
t
n
n
?????
?
???
???
?
??
?
?
加速度的大小为
速度，法向加速度和切向加任意时刻
na
?
?a?a?
? ? ?
? ?Rb
btv
a
a
a
n
?
?
??
2
0a r c t ga r c t g
?
?
与切向轴的夹角为
?
? ?
b
v
t
bRbbtv
R
a
0
222
0
1
)2(
?
????
解得时间
，令加速度
。时质点还没有反向转动可见，
，，解得令
b
v
t
b
v
t
0
00
?
???
R
bt
R
v
bt
RR
tv
R
s
??
???
0
20
2
1
?
?
程为用角量表示质点运动方
?
P
s
R
?
o
?
P
s
R
?
o
Rb
v
n
??
?
42
2
0??
转过的圈数为
代入运动方程，将 bvt 0?
Rb
v
b
v
R
b
b
v
R
v
22
2
0
2
000 ??
?
??
?
????
可得,
