?
本章共 7讲
第三篇 相互作用和场
第九章 电相互作用和静电场
§ 9.3 高斯定理
高斯 （德 ）
（ 1777-1855）
德国数学家和物理学家。
长期从事于数学并将数学应用于物理
学、天文学和大地测量学等领域的研
究,著述丰富，成就甚多。他一生中
共发表 323篇（种）著作，提出 404项
科学创见。
在 CGS电磁系单位制中磁感应强度的
单位定为高斯，便是为了纪念高斯在
电磁学上的卓越贡献。
其上每点切向, 该点 方向 E?电
场
线 通过垂直 的单位面积的条数等于场强的大小,
即其疏密与场强的大小成正比,
E?
一,电场线
, 空间矢量函数，描述电场参与动量传递的性质。
定量研究电场：对给定场源电荷求出其分布函数
定性描述电场整体分布：电场线方法
E?
? ?rE ??
有限长均匀带电
直线的电场线
q?
实例,
电偶极子的电场线
?+
-
从方法论上认识电场线的意义
牛 顿,空间是盛放质点的容器,
法拉第,在空间寻找力的载体，提出场的概念,
并设想空间贯穿着力线，来描述场。
麦克斯韦,总结出法拉第力线描述的数学形式,
建立严密的电磁场方程,
, 在法拉第的许多贡献中，最伟大的一个就是力
线的概念了。借助于它可以把电场和磁场的许多性
质，最简单而又极富启发性的表示出来。,
－－ W.Thomson
二, 电通量
1）通过面元的电通量,
SESESEe ?? d)c o s(ddd ???? ? ??
微元分析法,以平代曲；
以恒代变。
面积元矢量,nSS ?? dd ?
面积元范围内 视为均匀 E?
通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过
该面的电通量,
?
n?
Sd
E?
S
引入场线（力线）求空间矢量的通量和环流是描述空
间矢量场的一般方法,
?
n?
Sd
E?
S
?? ??? ss ee SE ?? dd ??
2）通过曲面 的电通量 S
2
?? ?
2
?? ?
2
?? ?
3）通过封闭曲面的电通量
? ?? se SE ?? d?
S
E?
E?
?n?
?
n?
2/0 ?? ??
2/ ??? ??
规定：封闭曲面外法向为正
穿入的电场线
穿出的电场线 00??ee??
练习 1,空间有点电荷 q, 求下列情况下穿过曲面的电通量
1) 曲面为以电荷为中心的球面
2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
单个点电荷场中，由 +q 发出的电场线延伸到,
由 而来的电场线到 -q 终止。在无电荷处，电场线
不中断、不增加。
?
?
1）曲面为以电荷为中心的球面
0:0 ?? eq ?
0:0 ?? eq ?0?q
S
E?
r
0?q
S
E?
r
? ? ? ??????
0
2
0
3
0
d44 dd ?????? qSrqr SrqSEe
????
结果与 r 无关
2）曲面为包围电荷的任意封闭曲面
q
S
E?
S?
S?
q
S
E?
0?
?? qesse ???
00 ?? e:q ?
00 ?? e:q ?
3）曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
结论,? ???
se SE
?? d? ? ?? ?
外在
内在
Sq
Sqq
0
0?
思考,1）是否存在 q 恰好在 S 面上的情况？
0???se?
S?
q
E?
高斯面是无厚度的数学面。在其附近，任何实际的带电体均不能
简化为点电荷。所以，只可能存在 q在 S外、在 S内，或一部分在
S外，一部分在 S内的情况，而没有 q恰好在 S上的情况。
2）上述结论与库仑定律 有何关系？ 21 rF ?
正是由于库仑定律的平方反比关系，才能得到穿过高斯面
的电通量计算结果与 r 无关，所以高斯定理是库仑定律平
方反比关系的反映。
练习 2,空间有点电荷系, 求穿过空间
任意封闭曲面 S 的电通量
nq...q,q 21
1q
2q
nq
S
曲面上各点处电场强度,
nEEEE
????? ????
21
包括 S 内,S 外，所有电荷的贡献。
穿过 S 的电通量,
?
?? ??
?????
?????????
内q
SESESESE
enee
nse
0
21
21
1
dddd
?
???
?
?
??
?
??????
只有 S 内的电荷对穿过 S 的
电通量有贡献。
1q
2q
nq
S
练习 3,请总结穿过静电场中任意封闭曲面的电通量
与空间电荷分布的关系。
三,高斯定理
静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电通量
等于该封闭曲面所包围的电量代数和的 倍,
01?
?? ?? 内qSE
s 0
1d
?
??
高斯面，封闭曲面,S
真空电容率,
0?
S 内的净电荷,内?q
通过 S的电通量,只有 S内电荷有贡献,es?
S上各点的总场,S 内外所有电荷均有贡献,,E?
1.式中各项的含义
2,揭示了静电场中“场”和“源”的关系
电场线有头有尾
:q?
:q?
发出 条电场线，是电场线的“头”
吸收 条电场线，是电场线的“尾”
0?q
0?q
“头”
“尾”,源”
静电场的重要性质 —— 静电场是有源场
3.反映了库仑定律的平方反比关系，而且更普遍。
4.利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场
成立条件,静电场
求解条件,电场分布具有某些对称性,
才能找到恰当的高斯面，使 中待求 的大
小为常量，并且能够提到积分号外，从而简便地求
出 分布。
? ?s SE d ?? E?
E?
常见类型,场源电荷分布
球对称性
轴对称性
面对称性
[例一 ] 求均匀带电球体（ q,R ） 的电场分布
R
oq
r
E
E
?
?
d
d
'
'EE ?? dd ?
q
q
?d
d P
S
对称性分析,
以 O 为中心,r 为半径的球面 S 上各点彼此等价
大小相等
方向沿径向 E?
E?
以 O 为中心的球面 S 上各点
以半径 r 的同心球面 S为高斯面 确定高斯面,
R
oq
E
E
?
?
d
d
'
'EE ?? dd ?
q
q
?d
d P
S
r
由高斯定理,
?? ???? 内qrESEs
0
2 14d
??
??
)r()q(E 204 ???? 内
? ? ????s s rESESE 24d0c o sd ????
通过 S 的电通量,
2
04
rqEqq:Rr ????? ? 外内
3
0
3
3 4
3
4
3
4 R
qrEr
R
qq:Rr
??
?
?
???? ? 内内
)r()q(E 204 ???? 内
2
04 R
q
??
o
r? 21r?
r
E
R
球体外区域 ~ 电量集中
于球心的点电荷
球体内区域 rE ?
讨论,
1,求均匀带电球面（ ）的电场分布，并画出
曲线,
q,R
r~E
2,如何理解带电球面 处 值突变？ ERr ?
)(
4
)(
3
0
Rr
r
rq
Rr
E ?
?
?
??
??
0
rRo
E
21 r?
高斯面,半径 r 的同心球面
带电面上场强 突变是采用面模型的结果，实际问
题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放弃
面模型而还其体密度分布的本来面目,
E
)(
43
)(
)( )(
3
)( 0
22
0
2
0
3
1
3
2
212
3
1
0
1
Rr
r
q
r
RR
RrR
r
R
r
Rr
E
??
?
???
?
?
???
?
?
?
计算带电球层（ ）
的电场分布
?,R,R 21
1R
2R
o
?
带电球层的电场分布
21 RRO
EEE
厚度
较大
厚度
较小
厚度为
零球面
21 RRO 21 RRo ? r
a
c
b1R
2R
?
[例二 ] 无限长均匀带电直线（ ）的电场 ?
'q
o
q
d
d
r
P
E
EE
E
'
'
?
??
?
d
dd
d
?
与 地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面,
对称性分析,点处合场强 垂直于带电直线,P E?
P与 地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面
对称性分析,点处合场强 垂直于带电直线
取长 L 的同轴圆柱面，加上底、下底构成高斯面 S
?? ?? ???????
侧上 下
SESESESE
S
???????? dddd
rLE
SESESE
?
??
2
d0c o sd
2
c o sd
2
c o s
??
??? ?? ?
侧上 下
?
L
S
?
'q
o
q
d
d
r
P
E
EE
E
'
'
?
??
?
d
dd
d
?
00
12d
?
?
??
LqrLESE ????? ??
内
??由高斯定理,
r
E
02
??
???
r E
1 ?
L
S ?
'q
o
q
d
d
r
P
E
EE
E
'
'
?
??
?
d
dd
d
?
r o
E
讨论,1.无限长均匀带电柱面 ( )的电场分布 ?,R
E
r
o R
R ?
对称性分析,柱对称
选高斯面,同轴圆柱面
由高斯定理计算
r
E
:Rr
E
:Rr
0
2
0
??
?
?
?
?
?
2.求无限长,均匀带电柱体的电场分布时，高斯面
如何选取？
3.当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时,
能否用高斯定理求电场分布？
如果不能，是否意味着高斯定理失效？
讨论,
高
斯
面
l
r
高
斯
面
l
r
不能,
不是。
[例三 ] 无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度 ） ?
如何构成封闭的高斯面？
对称性分析,视为无限长均匀带电直线的集合
方向 垂直于带电平面,
离带电平面距离相等的场点
彼此等价
E?
o
?
x
E?dE??d
PP?
高斯面,两底面与带电平面平行、离带电平面距离相
等，轴线与带电平面垂直的柱面。
SE
SESESE
???
??? ???
2
d
2
c o sd0c o sd0c o s
侧右左
???
? ?? ??????
右 侧左
SESESE ?????? dddSE
S
?? d? ?
xo
n?
n?
S?
S?
00
1
2
?
?
?
S
q
SESE
?
??
????
?
?
内
??
d
由高斯定理,
02?
?
02?
??
x
o
E
02?
??E
其指向由 的符
号决定 ?
讨论,1.本题是否还有其它构成高斯面的方法？
底面与带电平面平行、轴线与带电平面垂直的任意
形状的柱面均可（不一定为圆柱面）。
可以为任意形状
2.带电平面上电场强度突变的原因？
采用面模型，未计带电平面的厚度。
自学教材 226页
例 6,计算厚 h 的均匀带电无限大平行气体层的
电场分布。
y
o
E
2
h
2
h?
02?
?
02?
??
x
o
E
h=0
[例四 ] 半导体 P N 结内外的电场,
解,对称性分析
虽然电荷非均匀分布，但
随 x 变化规律未破坏面对称性。
?
在 处,P 区与 N 区电荷的
电场相互抵消,
Lx?
0?E?
xLoL ?
?? PN
已知,P N 结内电荷体密度分布
求,电场分布,
)(
),( 0)(
LxLax
LxLxx
????
?????
xLxoL ?
SE ? ?
?? PN,Lx ? 选如图高斯面
? ? ?? ??????????? 左 右 侧 SESESESESE ???????? dddd
0c o s0 ?? ?E? 穿入
)(
2
1
dd
22 xLSa
xSaxVq
L
x
????
????? ? ?? ?内
x)xL(aE ???? 2 22
0?
方向沿
?? ?? 内qSE
s 0
1d
?
??由高斯定理,
总结,由高斯定理求电场分布的步骤
1,由电荷分布的对称性分析电场分布的对称性,
2,在对称性分析的基础上选取高斯面, 目的是使
能够积分，成为 E 与面积的乘积形式。 ? ?
s SE
?? d
3.由高斯定理 求出电场的大小,
并说明其方向,
?? ?? 内qSE
s 0
1d
?
??
（球对称、轴对称、面对称三种类型）