?
本章共 7讲
第三篇 相互作用和场
第九章 电相互作用和静电场
要求,电场与金属导体相互作用机理
及相互影响后电场的计算,
一, 金属导体与电场的相互作用
特征：体内存在大量的自由电子
§ 9.6 静电场中的导体
无外场时自由电
子无规运动,
“电子气”
在外场 中
1,无规运动；
2,宏观定向运动
0E?
0E?
E??
导体内电荷重新分布
出现附加电场
直至静电平衡
'E?
E??
0E?
0
0
?
??? EEE ???内
静电平衡,导体内部及表面均无电荷定向运动,
导体上电荷及空间电场分布达到稳定,
空间电场,
0
表面表面
内
?
?
E
E
?
?E E E ? ? ? ? ? ?
0
?
?
?
?
- -
- -
要计算静电平衡时的电场分布，首先要知道其
电荷分布,
静电平衡 条件,
0
0
0
表面表面
内
???
???
'
'
EEE
EEE
???
???
或,
导体是等势体
导体表面是等势面,
a
b
0d ???? ? lEU baab ??
证明,
0c o s0 ?? ?或E??
二,静电平衡时导体上的电荷分布
1.导体内无净电荷（ ），电荷只分布于导体表面, 0??
1）实心导体（即只有外表面的导体）
s?
高斯面 S（宏观小，微观大）
0d11d
00
???? ?? VqSE
s
??? 内内 ??
0?内E?静电平衡条件
0???
净电荷只分布于外表面,
0??
净电荷只分布
于外表面,
?
?
? ??
??
?
?
??
??
?
?
0?? ?0??
? ??
?
??
??
?
实验：一种极酷的发型！
2）空腔导体（有内、外表面），腔内无电荷
s
'S
同上，作高斯面 S ′,
可证明导体内 0??
紧贴内表面作高斯面 S
0d11d
00
???? ???
内表面
内内内 SqSE
s
?????
若,,q 0 0 ??? 内内 ?
s
则必然有 处,
电场线由 沿电场线方向电势降低,
导体内表面有电势差, 与静电平衡条件：导
体表面为等势面矛盾,
所以 净电荷只能分布于外表面,
.?? ???
0?内?
00 ?? ??,
?? ??
?
?
?
??
? ?
?
???
??
??
???
??
净电荷只能分布于外表面,0;0 ?? 内??
电场线不能进入腔内，即,静电屏蔽,
?
00?
??EE ??
- -
- -
- - + + +
+ +
高
压
带
电
作
业
3）空腔导体，腔内有电荷
空腔外表面电荷由电荷守恒决定,
空腔内表面电荷与腔内电荷等值异号,
紧贴内表面作高斯面 S
01d
0
?? ??? 内内 qSE
s ?
??
0? ?? 内q
Sq?
－ q
－
－ －
－
－
思考,
(1)空腔原不带电，腔内电荷 q,腔内、外表面电量？
(2)空腔原带电 Q,腔内电荷 q,腔内、外表面电量？
(1)空腔原不带电，腔内电荷 q,腔内、外表面电量？
(2)空腔原带电 Q,腔内电荷 q,腔内、外表面电量？
? ???
?
???
?
q
q
?
q?
?
?
?-
-
- -
-
qq
qq
??
??
外
内
qQq
qq
??
??
外
内
? ???
?
???
?
q
?
q?
? ?
?
?-
-
- -
-
qQ?
? ?-
(3）空腔能屏蔽腔内电荷 q的电场吗？
有什么办法能实现这种屏蔽？
qq ?
腔接地,内外电场互不影响,
腔不接地, 腔内不受腔外电荷影响
腔外要受腔内电荷影响
? ???
?
??
??
q
q
?
q?
?
?
?-
-
- -
-
(4)腔内电荷 q 的位置移动对
分布有无影响？
外内外内,，,EE
????
qq ?
? ???
?
??
??
q
q
?
q?
?
?
?-
-
- -
-
腔内电荷 q 的位置移动对 分布有影响；
对 分布无影响。
外外, E
??
内内, E
??
当静电平衡时，导体,净电荷只能分布于表面,
?表?
0??
2,静电平衡时导体表面电荷面密度与表面紧邻处场强
成正比,
EP ?
SS ' ??
0?E?
S过表面紧邻处 P 作平行于
表面的面元,以 为底，
过 P的法向为轴，作如图高
斯面 S 。
S? S?
SSESESESESE
s S S S'
????????????? ? ? ?
? ?
??
0
1 dddd
侧
????????
0?内E? 0cos ??
nE
E
??
0
0
?
?
?
?
?
??
思考,
〈 1〉 设带电导体表面某点电荷密度为, 外侧附
近场强, 现将另一带电体移近，该点场
强是否变化？公式 是否仍成立？
?
0???E
0???E
导体表面 变化，外侧附近场强 变化,
而 仍然成立。
?
0???E
E
EP ?
SS ' ??
0?E?
S
〈 2〉 无限大带电平面,
带电导体表面附近,0???E
02???E 是否矛盾？
121 2 ???? ???式中
如果计及带电面的厚度?
S
几何面
E? E?
2? 1?
? ?????s SSESE
0
2d ????
，不产生矛盾。式中
平面产生的。
不单是一个带电这里的
1?? ?
E
?
导体内
0?E?
S
1?
2? E
?
? ?????s SSESE
0
d ????
3,孤立导体 与表面曲率有关, ?
三, 有导体存在时的 分布 UE,?
尖端放电现象及
其应用
导体上的
电荷分布
计算 分布
（ 方法同前 ）
UE,?
静电平衡条件
电荷守恒定律
求解思路,
[例一 ] 相距很近的平行导体板,分别带电
求电荷分布,
b,a ba Q,Q
?
4321 ????
ba QQ
a b
S
解,设平板面积为 S
由电荷守恒,
b
a
QSS
QSS
??
??
43
21
??
??
（ 1）
（ 2）
由静电平衡条件,
02222
0
4
0
3
0
2
0
1 ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
内aE
（ 3）
02222
0
4
0
3
0
2
0
1 ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
内bE （ 4）
由 （ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4） 解得,
即,相背面 等大同号,
相对面 等大异号,
?
?
S
QQ
S
QQ
ba
ba
2
2
32
41
?
???
?
??
??
??
?
4321 ????
ba QQ
a b
S
1R
2R
3R
qAB
q
q?
〈 1〉 外球壳的电荷分布及电势
[例二 ]带电量 q, 半径 的导体球 A外有一内半径,
外半径 的同心导体球壳 B,求, 3R
1R 2R
解,
qq
qq
B
B
?
??
外
内
; )1(
303000 444
)(
4 R
q
R
q
r
q
r
qUU
PB ???????? ??
????
P
r
〈 2〉 将 B 接地再重新绝缘，结果如何？
0
?
??
外
内
B
B
q
qq
0, ?? 地接地 UUB B
1R
2R
3R
qAB
q?
?
〈 3〉 然后将 A 接地,A,B 电荷分布及 B 电势
如何变化？
A 球电荷入地,B 球壳－ q 分布于表面，对吗？
04
30
???? RqUU BA ??
与接地条件矛盾，不对！
1R
2R
3R
AB
q?
?
设 A 带电 则 q?
,qqqqq 'B'B ???? 外内
1R
2R
3R
AB
q?
qq??
q??
04 44
302010
?????? RqqRqRqU
'''
A ??????
由,
qRRRRRR qRRq ' ????
213132
21
即 A 所带部分电荷入地,
0
213132
321 ?
??
????
RRRRRR
qR)RR(qqq '
B 外
044
2131320
21
30
??? ???? )RRRRRR( q)RR(RqU BB ???? 外
?? BU
1R
2R
3R
AB
q?
qq??
q??
[例三 ] 内半径为 R的导体球壳原来不带电，在腔内离
球心距离为 处，固定一电量 q的点电荷，用
导线将球壳接地后再撤去地线，求球心处电势, )Rd(d ?
解,〈 1〉 画出接地前的电荷分布图,
由静电平衡条件，腔内壁非
均匀分布的负电荷对外效应等
效于,
在与 同位置处置, q? q?
q?
do
qq ??
??
?? ??? ??R
?
??
?
?
?
?
〈 2〉 外壳接地后电荷分布如何变化？
内壁电荷分布不变
0
0
?
????? ?
外壁
外壁内壁地壳
q
UUUUU q
q?
do
q?
?
?? ??? ??R
?
〈 3〉 由叠加法求球心处电势,
)
Rd
(
q
R
q
d
q
UUU q
11
4
44
0
00
0
??
?
???? ?
??
????
内壁
[例四 ] 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电
场强度 垂直于地面向下，大小约为 ；在
离地面 高的地方,也是垂直于地面向下的，
大小约为 2 5 N/C,
〈 1〉 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度,
〈 2〉 假设地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在
地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度,
km5.1
C/N100
E?
E?
解,地球 —— 球对称,
离地面不远处 ( h<<R )—— 面对称
可以用高斯定理 求解,
如何选择高斯面？
h
2E?
1E?
S?
S
〈 1〉 作底面平行于地面，高 h=1500 m 的直圆柱为
高斯面,
由高斯定理,
? ?????
s
SESESE 12d ??
Shq ??? ? ???
00
1 1
内
)(.
)(
.
.
h
)EE(
313
3
12
120
mC10434
25100
1051
10858
??
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
h
2E?
1E?
S?
S
〈 2〉 作高斯面如图,
SSESE
s
???????? ??
0
2
1d ??
由高斯定理,
)(.
.E
210
12
20
mC10858
1 0 010858
??
?
????
?????? ??
0?E?导体内
? 地面
2E?
S
S?
小结,
导体上的
电荷分布
计算 分布
（ 方法同前 ）
UE,?
静电平衡条件
电荷守恒定律
练习,若 A 带电, B 带电,求,1q 2q
〈 1〉 图中 1,2,3,4 各区域的 和 分布,
并画出 和 曲线,
UE ?
rE ? rU?
〈 2〉 若将球与球壳用导线连接，情况如何？
〈 3〉 若将外球壳接地，情况如何？
BA
1R
2R
3R
12 qq
4
3
2
1
2
40
21
43
2
20
1
21
4
0
4
0
r
qq
EE
r
q
EE
??
??
?
??
??
4
21
0
4
3
21
2
1
2
1
0
2
3
21
0
3
3
21
2
1
1
1
0
1
4
1
4
1
4
1
4
1
r
qq
U;)
R
qq
R
q
r
q
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R
qq
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R
qq
R
q
R
q
(U
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?
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???
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?
???
????
????
2111 qqqqqqq BBA ????? 外内
<1>
BA
1R
2R
3R
4
3
2
1
11 qq?
21 qq ?
U
E
r
r
o 1R 2R 3R
rUrE ??,曲线
<2>若将球与球壳用导线连接，情况如何？
2
40
21
4
321
4
0
r
qq
E
EEE
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???
4
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30
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qq
U
R
qq
UUU
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???
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21;0 qqqqq BBA ???? 外内
BA
1R
2R
3R
12 qq ?
4
3
2
1
rUrE ??,曲线
U
E
r
r
o 1R 2R 3R
<3>若将外球壳接地，情况如何？
040 432
20
1
21 ???? EEr
qEE
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0
0
)(
4
1
)(
4
1
4
3
2
1
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2
1
1
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0
1
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U
U
R
q
r
q
U
R
q
R
q
U
??
??
011 ???? 外内 BBA qqqqq
BA
1R
2R
3R
4
3
2
1
11 - qq
rUrE ??,曲线
U
E
r
r
o 1R 2R 3R