?
本章共 5.5讲
第三篇 相互作用和场
第十章 运动电荷间的相互作用和稳恒磁场
习题课 毕 — 沙定律应用
求解电流磁场分布基本思路,
将电流视为电流元
（或典型电流）
的集合
电流元（或典型电流）
磁场公式
和磁场叠加原理
电流磁场
分布
[例一 ] 直线电流的磁场
解,建立如图坐标
21,,,??aI
已知,
求,分布 B?
2?B
P
A
l I
1?
ao
lI ?d 在直电流（ AB）上取电流元
2
0 4 s i ndd rlIB ? ??? ? ; 方向
各电流元在 P 点 同向 B?d
? ???
B
A r
lIBB
2
0
4
s i ndd
?
??
??
??
s i n s i n
dd c t g
2
aralal ????统一变量,
???
? ?
)c os( c os
4
ds i n
4
21
0
0 2
1
方向??
?
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I
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B
2?B
P
A
l I
1?
lI?d
r??
?
B?dao
??? )c o s( c o s4 210 方向???? aIB
式中
场点到直电流距离
:1?
:a
终点到场点矢径与 I方向的夹角,2?
起点到场点矢径与 I方向的夹角
讨论,1,无限长直电流：,0
1 ??? ??
a
IB
?
?
2
0?
I
内密外疏
I
B?
2?B
P
A
l I
1?
lI?d
r??
?
B?
ao
讨论,
0 0d ?? BB ??,0 ?? 或?
2,直导线及其延长线上点
)c o s( c o s4 210 ???? ?? aIB
I
P
R
练习,半径 R,无限长半圆柱金属面通电流 I,
求轴线上磁感应强度 B?
?
??
?
ddd IR
R
II ???
解,通电半圆柱面 —
电流管（无限长直电流）集合, Id ?d
R
I
R
IB
2
00
2
d
2
dd
?
??
?
? ??
方向如图
?Id
?d
R
x?
P
y
B?d
0d ?? ? yy BB由对称性,
?Id
?d
R
x?
P
y
B?d
?I?d
'dB?
R
I
R
IBBB
x 200 20 2
ds i n s i nd
?
?
?
???? ? ???? ??
沿 方向 x?
xP
R o
[例二 ] 圆电流轴线上的磁场（ ） RI,
lI ?d解,在圆电流上取 电流 元
? r? B?d
2
0
2
0
4
d
4
90s i ndd
r
lI
r
lIB
?
?
?
? ?? ?
方向如 图
lI ?d
I
各电流元在 点 大小相等，方向不同,由对称性, P B?d
? ?? ?? 0d BB
x
PRo
? r? B?d
?
'dB?
y
z
P
B?d
lI?d
I
lI ??d
2
3
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d
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4
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22
2
0
2
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R
R
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
x?, 方向 （右螺旋 法则）
ixR IRB ??
23)(2 22
2
0
??
?
轴线上
x
PR o
? r? B?d
?
'dB?
lI?d
'lI ?d
I
讨论,
nRIP m ?? 2???圆电流磁矩,
2323 )(2)(2 22
0
22
2
0
xR
P
xR
iIRB m
???? ?
?? ???圆电流 轴线上磁场,
2,圆心处磁 场
R
INBN
R
IB
2, ; 2
0000 ?? ?? 匝,x 0?
1,定义电流的磁矩
nSIP m ?? ??
规定正法线方向,与 绕向成右旋关系 In?
电流所包围的面积,S
I
S
mP? n
?
讨论,
3,画 B－ x 曲线
xo
B
ixR IRB ??
23)(2 22
2
0
??
?
练习,求下图中??
oB?
o
R
I
I
o
R
?? 8 00 RIB ? RIR IB ??? 4 83 000 ??
?
练习,亥姆霍兹圈,两个完全相同的 N 匝共轴密绕短
线圈，其中心间距与线圈半径 R 相等，通同向平行等
大电流 I。 求轴线上 之间任一点 P 的磁场, 21,oo
xI
P
1o
匝N
R ?? R
R 匝N
o 2oI
?
??
?
2
3])
2([(2
22
2
0
xRR
N I RB
P
?
2
3])
2([(2
22
2
0
xRR
N I R
??
?
720 00 RNI.B ??
680 00201 RNI.BB ???
实验室用近似均匀磁场
x
o1o
2B1B
2o
[例三 ]均匀带电球面 ( ),绕直径以 匀速旋转 ?,R ?
求球心处
0B
?
?
?
R
o
x
旋转带电球面 许多环形电流 等 效
解,
?????? ds i n2 dd 2RqI ??等效圆电流,
r取半径 的环带 ?
r
Id
???? d2dd rRSq ???
?
?
R
o
x
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r
Id
?????
??????
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2
2
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R
R
RR
xr
Ir
B
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?
?
?
?
????????
?
RRBB 0
0
30
3
2ds i n
2d ?? ???
??? ?? RB 032?
写成矢量式,
B?d
方向如图
练习, 求,?
0 ?B
?已知,???,..R
思考,
d ?B?d ?I?d ?q
?? ??
R
rBB
0
0 d
4d ?
??? R? ? ??
? 04
1?
????? ?? RB 00 4 1?
写成矢量式,
r
IB
2
dd 0?? ?方向：o
R
??
?
?
rrq dd ???
?
?
2
dd qI ?
rd
r
[例四 ]带电圆环（ ）顺时针旋转（ ）求
mP
??..R.R ?21
?
1R2R
o
?
解 1,rrq d2d ??? ??
rrqI d2 dd ???? ??r
)(
2
1
dd
2
1
2
2
2
1
2
1
RR
rrII
R
R
R
R
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?? ??
??
??
)(21 2122 RRISP m ??? ?? )(
2122 RR ??? 22
1
2
2 )(2 RR ??
? ? ?
)(2 2122 RRqP m ?? ?
?? 对否？
解 2,rrq d2d ??? ??
rrqI d2 dd ???? ??
rrIrP m ddd 32 ? ? ?? ??
)(4 2122 RRqP m ?? ?
??
4
))((
)(
4
dd
2
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3
2
1
RRRR
RRrrPP
R
R
mm
??
?
???? ??
? ? ?
??
?
? ? ?
解 1.错误；解 2.正确！
?
1R2R
o
?
r
自学 p278 [例 4]
载流密绕直螺线管轴线上磁场,
思路,将螺线管视为由多匝紧密排列的圆电流组
成。建立如图坐标系，由圆电流轴线上的磁场分
布和磁场叠加原理计算。
L
R
n
P
x1 x2
x
o
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
22
1
1
22
2
20
2 Rx
x
Rx
xnIB ?
方向由右手螺旋定则确定
????????I
n????????????????????????????????
L
特例,无限长（ ）载流直螺线管内的磁场,
(下讲用安培环路定理求解 )
LR??
nIB 0??
（ 3） 由 叠加原理,（分量积分）
一,用毕 — 沙定律求 分布 B?
（ 1）将电流视为电流元集合（或典型电流集合）
（ 2）由毕 — 沙定律（或典型电流磁场公式）得 B?d
BB ?? d??
小结,
二,电流的磁矩
nSIP m ?? ??
三,部分典型电流磁场公式,
2,圆电流轴线上磁场,
1,无限长直电流,
圆电流圆心处磁场,
2323 )(2)(2 22
0
22
2
0
xR
P
xR
iIRB m
???? ?
?? ???
a
IB
?
?
2
0?
2 00 RIB ??
3,无限长载流直螺线管内的磁场,nIB 0??
容易混淆的静电场与稳恒磁场公式比较
304 r
ruqB
?
? ??? ??
相对于观察者以 匀速
直线运动的点电荷的磁场
u?
304
dd r rlIB ?? ??? ??
电流元 的磁场 lI?d点电荷电场
304 r
rqE
??
??
?
无限长均匀带电直线的电场
带电直线）?? ( 2
0 r
E ???
r
IB
?
?
2 0?
无限长直电流的磁场
（环绕电流）
容易混淆的静电场与稳恒磁场公式比较
2323 )(2)(2 22
0
22
2
0
xR
P
xR
iIRB m
???? ?
?? ???圆电流轴线上磁场
均匀带电圆环轴线上电场
232204
1
)xR(
iqxE
??
??
??
圆电流圆心处磁场
200 RIB ??
带电圆环 圆心处电场 0?E?
§ 10.3 磁场的高斯定理和安培环路定理
描述空间矢量场一般方法
用场线描述场的分布
用高斯定理，环路定理揭示场的基本性质
一, 磁场高斯定理
切向：该点 方向
疏密：正比于该点 的大小 1.磁感应线 B?
B?
特点
闭合,或两端伸向无穷远；
与载流回路互相套联；
互不相交,
2,磁通量
通过磁场中某给定面的磁感应线的总条数
SBSBSBm ?? ddc o sdd ???? ? ??
? B?
n?
Sd
微元分析法 （以平代曲，以恒代变）
SBSm ?? d?? ??
0?m?
对封闭曲面，规定外法向为正方向。
0?m?
进入的磁感应线
穿出的磁感应线
n?
n?
? B?
?
B?
3,磁场的高斯定理
穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零,
0d ??? SBS ??
磁场是 无源场
磁感应线闭合成环，无头无尾；
不存在磁单极,
0d ??? ? SBS ??
S
介绍：寻求磁单极问题
1.理论需要
（ 1）对称性需要
产生
电场
电荷
运动磁荷？
变化磁场
产生
磁场
磁荷？
运动电荷
变化电场
麦克斯韦方程尚不对称，暗示对电磁现象认识不完全
（ 2）解释电荷量子化要求（狄拉克理论）
)2( ghcne ?
（ n为整数）
基本电荷 基本磁荷
（ 3）大统一理论要求,
带有自发对称破缺的规范场理论得出磁单极质量
2
16
2 c
G e V10 ~
hcc
gm ??
基本磁荷 大统一能量尺度
大爆炸初期形成, 至今含量如何？
2,实验探求（ 1931 年 — 今）
1975 年,美国加州大学，休斯敦大学联合小组
报告,用装有宇宙射线探测器气球在 40 km 高
空记录到电离特强离子踪迹,认为是磁单极,
后来被证实为一次虚报,
1982 年,美国斯坦福大学报告，用 d=5 cm 的 超导
线圈放入 D=20 cm 超导铅筒,由于迈斯纳效应屏蔽
外磁场干扰，只有磁单极进入会引起磁通变化,
运行 151 天,记录到一次磁通突变, 改变量与
狄拉克理论相符 。 但未能重复，为一悬案,
人类对磁单极的探寻从未停止，一旦发现磁单极，
将改写电磁理论,根据对应原理，旧理论将成为新
理论在极限条件下的特例。
?? 方向：rIB ??2 0
SBm ?? dd ???
rlS dd ?
a
baIl
r
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m
????? ?? ? lndd
?
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22
00
??
练习, 已知,I,a,b,l 求,
解,
m?
I
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a
b
l
Sd
本章共 5.5讲
第三篇 相互作用和场
第十章 运动电荷间的相互作用和稳恒磁场
习题课 毕 — 沙定律应用
求解电流磁场分布基本思路,
将电流视为电流元
（或典型电流）
的集合
电流元（或典型电流）
磁场公式
和磁场叠加原理
电流磁场
分布
[例一 ] 直线电流的磁场
解,建立如图坐标
21,,,??aI
已知,
求,分布 B?
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练习,半径 R,无限长半圆柱金属面通电流 I,
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[例二 ] 圆电流轴线上的磁场（ ） RI,
lI ?d解,在圆电流上取 电流 元
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讨论,
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2,圆心处磁 场
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1,定义电流的磁矩
nSIP m ?? ??
规定正法线方向,与 绕向成右旋关系 In?
电流所包围的面积,S
I
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讨论,
3,画 B－ x 曲线
xo
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练习,求下图中??
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?? 8 00 RIB ? RIR IB ??? 4 83 000 ??
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练习,亥姆霍兹圈,两个完全相同的 N 匝共轴密绕短
线圈，其中心间距与线圈半径 R 相等，通同向平行等
大电流 I。 求轴线上 之间任一点 P 的磁场, 21,oo
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720 00 RNI.B ??
680 00201 RNI.BB ???
实验室用近似均匀磁场
x
o1o
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2o
[例三 ]均匀带电球面 ( ),绕直径以 匀速旋转 ?,R ?
求球心处
0B
?
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旋转带电球面 许多环形电流 等 效
解,
?????? ds i n2 dd 2RqI ??等效圆电流,
r取半径 的环带 ?
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2d ?? ???
??? ?? RB 032?
写成矢量式,
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方向如图
练习, 求,?
0 ?B
?已知,???,..R
思考,
d ?B?d ?I?d ?q
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R
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[例四 ]带电圆环（ ）顺时针旋转（ ）求
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解 1,rrq d2d ??? ??
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?? 对否？
解 2,rrq d2d ??? ??
rrqI d2 dd ???? ??
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)(4 2122 RRqP m ?? ?
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解 1.错误；解 2.正确！
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自学 p278 [例 4]
载流密绕直螺线管轴线上磁场,
思路,将螺线管视为由多匝紧密排列的圆电流组
成。建立如图坐标系，由圆电流轴线上的磁场分
布和磁场叠加原理计算。
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方向由右手螺旋定则确定
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特例,无限长（ ）载流直螺线管内的磁场,
(下讲用安培环路定理求解 )
LR??
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（ 3） 由 叠加原理,（分量积分）
一,用毕 — 沙定律求 分布 B?
（ 1）将电流视为电流元集合（或典型电流集合）
（ 2）由毕 — 沙定律（或典型电流磁场公式）得 B?d
BB ?? d??
小结,
二,电流的磁矩
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三,部分典型电流磁场公式,
2,圆电流轴线上磁场,
1,无限长直电流,
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相对于观察者以 匀速
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（环绕电流）
容易混淆的静电场与稳恒磁场公式比较
2323 )(2)(2 22
0
22
2
0
xR
P
xR
iIRB m
???? ?
?? ???圆电流轴线上磁场
均匀带电圆环轴线上电场
232204
1
)xR(
iqxE
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圆电流圆心处磁场
200 RIB ??
带电圆环 圆心处电场 0?E?
§ 10.3 磁场的高斯定理和安培环路定理
描述空间矢量场一般方法
用场线描述场的分布
用高斯定理，环路定理揭示场的基本性质
一, 磁场高斯定理
切向：该点 方向
疏密：正比于该点 的大小 1.磁感应线 B?
B?
特点
闭合,或两端伸向无穷远；
与载流回路互相套联；
互不相交,
2,磁通量
通过磁场中某给定面的磁感应线的总条数
SBSBSBm ?? ddc o sdd ???? ? ??
? B?
n?
Sd
微元分析法 （以平代曲，以恒代变）
SBSm ?? d?? ??
0?m?
对封闭曲面，规定外法向为正方向。
0?m?
进入的磁感应线
穿出的磁感应线
n?
n?
? B?
?
B?
3,磁场的高斯定理
穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零,
0d ??? SBS ??
磁场是 无源场
磁感应线闭合成环，无头无尾；
不存在磁单极,
0d ??? ? SBS ??
S
介绍：寻求磁单极问题
1.理论需要
（ 1）对称性需要
产生
电场
电荷
运动磁荷？
变化磁场
产生
磁场
磁荷？
运动电荷
变化电场
麦克斯韦方程尚不对称，暗示对电磁现象认识不完全
（ 2）解释电荷量子化要求（狄拉克理论）
)2( ghcne ?
（ n为整数）
基本电荷 基本磁荷
（ 3）大统一理论要求,
带有自发对称破缺的规范场理论得出磁单极质量
2
16
2 c
G e V10 ~
hcc
gm ??
基本磁荷 大统一能量尺度
大爆炸初期形成, 至今含量如何？
2,实验探求（ 1931 年 — 今）
1975 年,美国加州大学，休斯敦大学联合小组
报告,用装有宇宙射线探测器气球在 40 km 高
空记录到电离特强离子踪迹,认为是磁单极,
后来被证实为一次虚报,
1982 年,美国斯坦福大学报告，用 d=5 cm 的 超导
线圈放入 D=20 cm 超导铅筒,由于迈斯纳效应屏蔽
外磁场干扰，只有磁单极进入会引起磁通变化,
运行 151 天,记录到一次磁通突变, 改变量与
狄拉克理论相符 。 但未能重复，为一悬案,
人类对磁单极的探寻从未停止，一旦发现磁单极，
将改写电磁理论,根据对应原理，旧理论将成为新
理论在极限条件下的特例。
?? 方向：rIB ??2 0
SBm ?? dd ???
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练习, 已知,I,a,b,l 求,
解,
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