?
本章共 7讲
第三篇 相互作用和场
第九章 电相互作用和静电场
§ 8.4 环路定理 电势
一, 静电力的功
可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关，
与所通过的路径无关,
此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场,
)rr(qqr rqqAA
baL
r
r
b
a
11
44
dd
0
0
2
0
0 ???? ? ?
????
2
0
0
3
0
0
4
d
4
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r
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r
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场源电荷,
检验电荷,
0q
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r
a
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b
a
r
r
?
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b
Fq ?0
L
q
l?d
rdr??
?
二, 环路定理
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零,反映了 静电场
是保守力场,
凡保守力都有与其相关的势能,静电场是有势场,
由静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关，
与所通过的路径无关 —— 静电力是保守力
0dd 0 ????? ? ? lEqlFA L L ????
静电场中任意闭合路径
静电场环路定理,
路径上各点的总场强
? ??L lE 0d ??
三, 电势能 W
由
? ???????
??????
b
a
baab
P
WW)WW(lEqA
WEA
??
d0静电力
保
令 ?
????
零势点
a
ab lEqWW
?? d0
0
在场中某点的电势能等于将 由该点沿任
意路径移到零势点过程中电场力做的功,
0q0q得,
:aW 静电场与场中电荷 共同拥有, 0q
:0q/Wa 取决于电场分布、场点位置和零势点选取，
与场中检验电荷 无关,可用以描述静电场
自身的特性。
0q
四, 电势
? ???
零势点
a
a
a lEq
WU ?? d
0
静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势
能，或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力
所做的功,
电势差,
? ????
b
a
baab lEUUU
?? d
静电场中 a, b 两点的电势差等于将单位正电荷
由 a 沿任意路径移至 b 过程中静电力做的功,
注意,
1,U 为空间标量函数
2,U 具有相对意义，其值与零势点选取有关,
但 与零势点选取无关,
abU
3.U 遵从叠加原理 （零势点相同）,
即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单独
存在时在该点产生的电势的代数和,
?? iUU
1.由保守力与其相关势能的关系,
UU)
q
W
(
q
F
E
WEqF
g r a d
00
0
?????????
????
?
?
??
五,电场强度与电势的关系
静电场中某点的场强等于该点电势梯度的负值 。
即,的大小是 沿电场线方向的空间变化率,
其指向是 U 降低最快的方向,
UE?
给出又一种求 的方法,E?
)k
z
U
j
y
U
i
x
U
(E
z
U
E,
y
U
E,
x
U
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??UE g r a d???
2.电场线与等势面的关系
等势面,电场中电势相等的点
的集合，两两相邻的等势面之
间的电势差相等。
+q
实际问题中常常先由实验测得等势面分布，再通过
电场线与等势面的关系得出电场线分布。
电场线与等势面垂直，指向电势降低的方向,
电场强处等势面较密，电场弱出等势面较稀。
作心电图时人体的
等势面分布
电偶极子的电场线和等势面
六, 电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求）
〈 1〉确定 分布 E?
〈 2〉选零势点和便于计算的积分路径
〈 3〉由电势定义
? ????
零势点 零势点
计算
a a
aa UlElEU dc o sd ?
??
注意,
? 为所选积分路径上各点的总场强,
若路径上各段 的表达式不同，应分段积分。
E?
E?
? ????
零势点 零势点
a a
a lElEU dc o sd ?
??
注意,
一般,场源电荷有限分布,选 0??U
场源电荷无限分布,不选 0?
?U
许多实际问题中选,
0?地球U
? 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
[例一 ] 点电荷 q 场中的电势分布
解,
3
04 r
rqE
??
??
?
令 0??U
EPro ??
q
沿径向积分
r
q
r
rq
r
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4
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U
ro
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[例二 ] 均匀带电球面场中电势分布 （, ） Rq
令,沿径向积分 0??U
rr
q
r
rrq
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P r
1
4
4
d
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0
3
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外外
由高斯定理
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0
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0
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E ?
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R
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E?
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r
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恒量
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o
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均匀带电球面内电势与球面处
电势相等,
球面外电势与电量集中于球心
的点电荷情况相同,
r1?
rRo
Rq04??
U试设想等势面形状
2R
[例三 ]无限大均匀带电平面 场中电势分布, ??
?
?
xaoa ?
?? ??
电场分布,
),( 0
)(
0
axax
axaiE
???
?????
??
?
?
思考,先由电场强度和电势的关系，定性分析电势变化
规律，再定量计算。
两极板之间,电势沿 － x 方向均匀降低。
两极板外侧,电势为恒量。
电荷无限分布，在有限远处选
零势点,令,沿 轴积
分, 0?oU
x
?
?
xaoa ?
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,区域axa ???
0
0
0
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x
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xx
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,区域ax ?
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xx
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— 曲线如图 xU
xaoa?
U
0?
?a
0?
?a?
?
?
xaoa ?
?? ??
2,叠加法
〈 1〉将带电体划分为电荷元 qd
〈 3〉由叠加原理,? ??? UUUU d d 或
〈 2〉选零势点，写出 在场点的电势 Udqd
[例四 ] 求均匀带电圆环（ R,q） 轴线上的电势分布
r
qU
04
dd
???
在圆环上取点电荷,
令
qd
0??U
解,
xPxo
r
qd
Rq
2
1)(4 4
dd
22
0
0
0 xR
q
r
qUU q
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????
可进一步由电势分布求轴线上的电场强度分布
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0
4
d
d
xR
iqx
i
x
U
E
?
?
??
??
?
??
xPxo
r
qd
Rq E?
练习
一锥顶角为 的圆台，上下底面半径分别为 和,
其侧面均匀带电，电荷面密度为,以无穷远处为电
势零点，求顶点 的电势。
?2
1R 2R
?
O
????
????
c o sdtg2
c o sd2dd
xx
xrSq
??
???
解,将圆台侧面视为由许多圆环
组成，建立如图坐标系，在 x 处
取高 dx 的圆环,
?
1R
2R
?
O
r
x
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qU d
2
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4
dd
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由叠加原理,
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xUU
R
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1R
2R
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O
r
x
qd
[例五 ] 求均匀带电球壳腔内任意点的电势,
已知,?,R,R
21
求,
PU 1R
2R
o? P
解,将带电球壳视为许多
均匀带电球面的集合,
取半径,厚 的球壳
为电荷元,
rr d
rrq d4d 2 ??? ??
,0??U令 在腔内产生的电势,qd
00
2
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即：腔内各点等势
由叠加原理,
AR
Aq
BR
Bq
o
1
2
3
已知,两个均匀带电同心球面 BABA q,q,R,R
求,
321 U,U,U
练习
解,带电球面的电势分布,
球面内,
球面外,
RqU 04 ???
rqU 04 ???
由叠加原理可以计算各区域的电势分布
由叠加原理得,
B
B
A
A
A R
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B
BA
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30
3 4,r
qqURr BA
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[例六 ] 已知,U-x 曲线如图，求,E-x 曲线
x
o
U
x
o
E
x
UE
x ?
???
小 结
一,静电场环路定理,? ??
L lE 0d
??
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零,反映了
静电场是保守力场，是有势场,
二,电势、电势能、电势差
? ??
零势点
a
a lEqW
??
d0
? ??
零势点
a
a lEU
??
d
电 势,
电势差,? ???? b
a
baab lEUUU
??
d
电势能,
三, 电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求）
〈 1〉确定 分布 E?
路径上各点的总场强，若路径上各
段的表达式不同，应分段积分
〈 3〉由电势定义
? ????
零势点 零势点
计算
a a
aa UlElEU dc o sd ?
??
〈 2〉选零势点和便于计算的积分路径
选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
2,叠加法
〈 1〉将带电体划分为电荷元 qd
〈 3〉由叠加原理,? ?
?? UUUU d d 或
〈 2〉选零势点，写出 在场点的电势 Udqd
给出又一种求 的方法,E?
)( kzUjyUixUE ???? ??????????
UE g r a d???
四,电场强度与电势的关系
五,典型带电体的电势分布
21)(4 22
0 xR
qU
?? ??
3.均匀带电圆环轴线上的电势分布,
恒量内 ?? RqU
04 ?? rr
qU 1
4 0 ?? ??外
r
qU
04??
?
1,点电荷 场中的电势分布,q
2,均匀带电球面场中电势分布,
本章共 7讲
第三篇 相互作用和场
第九章 电相互作用和静电场
§ 8.4 环路定理 电势
一, 静电力的功
可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关，
与所通过的路径无关,
此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场,
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二, 环路定理
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零,反映了 静电场
是保守力场,
凡保守力都有与其相关的势能,静电场是有势场,
由静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关，
与所通过的路径无关 —— 静电力是保守力
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静电场中任意闭合路径
静电场环路定理,
路径上各点的总场强
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三, 电势能 W
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在场中某点的电势能等于将 由该点沿任
意路径移到零势点过程中电场力做的功,
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:aW 静电场与场中电荷 共同拥有, 0q
:0q/Wa 取决于电场分布、场点位置和零势点选取，
与场中检验电荷 无关,可用以描述静电场
自身的特性。
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四, 电势
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静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势
能，或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力
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静电场中 a, b 两点的电势差等于将单位正电荷
由 a 沿任意路径移至 b 过程中静电力做的功,
注意,
1,U 为空间标量函数
2,U 具有相对意义，其值与零势点选取有关,
但 与零势点选取无关,
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3.U 遵从叠加原理 （零势点相同）,
即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单独
存在时在该点产生的电势的代数和,
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1.由保守力与其相关势能的关系,
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五,电场强度与电势的关系
静电场中某点的场强等于该点电势梯度的负值 。
即,的大小是 沿电场线方向的空间变化率,
其指向是 U 降低最快的方向,
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给出又一种求 的方法,E?
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2.电场线与等势面的关系
等势面,电场中电势相等的点
的集合，两两相邻的等势面之
间的电势差相等。
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实际问题中常常先由实验测得等势面分布，再通过
电场线与等势面的关系得出电场线分布。
电场线与等势面垂直，指向电势降低的方向,
电场强处等势面较密，电场弱出等势面较稀。
作心电图时人体的
等势面分布
电偶极子的电场线和等势面
六, 电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求）
〈 1〉确定 分布 E?
〈 2〉选零势点和便于计算的积分路径
〈 3〉由电势定义
? ????
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? 为所选积分路径上各点的总场强,
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一般,场源电荷有限分布,选 0??U
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许多实际问题中选,
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? 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
[例一 ] 点电荷 q 场中的电势分布
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令,沿径向积分 0??U
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均匀带电球面内电势与球面处
电势相等,
球面外电势与电量集中于球心
的点电荷情况相同,
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U试设想等势面形状
2R
[例三 ]无限大均匀带电平面 场中电势分布, ??
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思考,先由电场强度和电势的关系，定性分析电势变化
规律，再定量计算。
两极板之间,电势沿 － x 方向均匀降低。
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电荷无限分布，在有限远处选
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— 曲线如图 xU
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2,叠加法
〈 1〉将带电体划分为电荷元 qd
〈 3〉由叠加原理,? ??? UUUU d d 或
〈 2〉选零势点，写出 在场点的电势 Udqd
[例四 ] 求均匀带电圆环（ R,q） 轴线上的电势分布
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在圆环上取点电荷,
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可进一步由电势分布求轴线上的电场强度分布
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练习
一锥顶角为 的圆台，上下底面半径分别为 和,
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势零点，求顶点 的电势。
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[例五 ] 求均匀带电球壳腔内任意点的电势,
已知,?,R,R
21
求,
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解,将带电球壳视为许多
均匀带电球面的集合,
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即：腔内各点等势
由叠加原理,
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已知,两个均匀带电同心球面 BABA q,q,R,R
求,
321 U,U,U
练习
解,带电球面的电势分布,
球面内,
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由叠加原理可以计算各区域的电势分布
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[例六 ] 已知,U-x 曲线如图，求,E-x 曲线
x
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小 结
一,静电场环路定理,? ??
L lE 0d
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静电场强沿任意闭合路径的线积分为零,反映了
静电场是保守力场，是有势场,
二,电势、电势能、电势差
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零势点
a
a lEqW
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d0
? ??
零势点
a
a lEU
??
d
电 势,
电势差,? ???? b
a
baab lEUUU
??
d
电势能,
三, 电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求）
〈 1〉确定 分布 E?
路径上各点的总场强，若路径上各
段的表达式不同，应分段积分
〈 3〉由电势定义
? ????
零势点 零势点
计算
a a
aa UlElEU dc o sd ?
??
〈 2〉选零势点和便于计算的积分路径
选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
2,叠加法
〈 1〉将带电体划分为电荷元 qd
〈 3〉由叠加原理,? ?
?? UUUU d d 或
〈 2〉选零势点，写出 在场点的电势 Udqd
给出又一种求 的方法,E?
)( kzUjyUixUE ???? ??????????
UE g r a d???
四,电场强度与电势的关系
五,典型带电体的电势分布
21)(4 22
0 xR
qU
?? ??
3.均匀带电圆环轴线上的电势分布,
恒量内 ?? RqU
04 ?? rr
qU 1
4 0 ?? ??外
r
qU
04??
?
1,点电荷 场中的电势分布,q
2,均匀带电球面场中电势分布,
