固体物理_黄昆_题库_ 20050404 PART ONE 填空问题 Q01_01_001 原胞中有p个原子。那么在晶体中有3支声学波和33p ?支光学波？ Q01_01_002 按结构划分，晶体可分为7大晶系, 共14布喇菲格子? Q01_01_004 面心立方原胞的体积为 3 1 4 a?=；其第一布里渊区的体积为 3 3 4(2 ) * a π ?= Q01_01_005 体心立方原胞的体积为 3 2 a ?=；第一布里渊区的体积为 3 3 2(2 ) * a π ?= Q01_01_006 对于立方晶系，有简单立方、体心立方和面心立方三种布喇菲格子。 Q01_01_007 金刚石晶体是复式格子，由两个面心立方结构的子晶格沿空间对角线位移 1／4 的长 度套构而成，晶胞中有8个碳原子。 Q01_01_008 原胞是最小的晶格重复单元。对于布喇菲格子，原胞只包含1个原子； Q01_01_009 晶面有规则、对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为晶体；在凝结过程中不 经过结晶（即有序化）的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为非晶体。由晶粒组成的固体，称 为多晶。 Q01_01_010 由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为布喇菲格子。满足 ijji ba πδ2=? G G ? ? ? ≠= == )(0 )(2 ji jiπ 关系的 1 b G , 2 b G , 3 b G 为基矢，由 322211 bhbhbhG h KKKK ++=构成的格子， 称作倒格子。 由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做复式格子。其原胞中有两个以上的原子。 Q01_03_001 由N个原胞构成的晶体，原胞中有l个原子，晶体共有3lN个独立振动的正则频率。 Q01_03_002 声子的角频率为ω，声子的能量和动量表示为ω=和q K =。 Q01_03_003 光学波声子又可以分为纵光学波声子和横光学波声子，它们分别被称为极化声子和电 磁声子 Q01_03_004 一维复式原子链振动中，在布里渊区中心和边界，声学波的频率为 ? ? ? ? ? → ±= = 0,0 2 ,) 2 ( 2 1 1 q a q M πβ ω；光学波的频率 ? ? ? ? ? ? ? ±= → = a q m q 2 ) 2 ( 0) 2 ( 2 1 2 1 2 πβ μ β ω Q01_04_001 金属的线度为L，一维运动的自由电子波函数 ikx e L x 1 )( =ψ；能量 m k E 2 22 = =； REVISED TIME: 05-9-16 - 1 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 波矢的取值 L n k π2 = Q01_04_002 电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有() () ik r k reur k ψ ? = K K K K K 形式？式中() k ur K K 在 晶格平移下保持不变。 Q01_04_003 如果一些能量区域中，波动方程不存在具有布洛赫函数形式的解，这些能量区域称为 禁带，即带隙；能带的表示有扩展能区图式法 、简约布里渊区图式法、周期性能区图式法三种图式。 Q01_04_004 在能量标度下，费米自由电子气系统的态密度 2 1 )( CEEN =。 Q01_04_005 在动量标度下，费米自由电子气系统的态密度 3 () 4 c V Nk π = K 。 Q01_04_006 电子占据了一个能带中所有的状态，称该能带为满带；没有任何电子占据（填充）的 能带，称为空带；导带以下的第一个满带，或者最上面的一个满带称为价带；最下面的一个空带称 为导带；两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为带隙。 Q01_04_007 能带顶部电子的有效质量为 负 （填写正，或负）；能带底部电子的效质量为 正 （填 写正，或负）。 Q01_06_001 温度升高，金属的导电率减小，半导体的导电率增大。对于金属，温度越高，金属中 的晶格振动对电子的散射作用越大。而在半导体中则是有更多的电子从价带激发到导带中。 Q01_06_002 自由电子气系统的费米能级为, 空间费米半径 0 F E k = 0 2 F F mE k =； 电子的平均能量 0 5 3 FKin EE = Q01_06_003 温度为时，K0 N个自由电子构成的三维自由电子气，体系的能量 0 0 5 3 F NEE = Q01_07_001 N型半导体主要含有一种施主，如果施主的能级是，施主浓度为，在足够低的 温度下，载流子主要是从施主能级 D E D N 激发到导带的电子。当温度很低时，只有很少的施主被电离。当 温度足够高时，施主几乎全部被电离，导带中的电子数接近于施主数。 REVISED TIME: 05-9-16 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 PART TWO 简述问题 Q02_02_001 原子结合成晶体时，原子的价电子产生重新分布，从而产生不同的结合力，分析离子 性、共价性、金属性和范德瓦耳斯性结合力的特点。 离子性结合：正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近，当靠近到一定程度时，由于泡利不 相容原理，两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。当排斥力和吸引力相互平衡 时，形成稳定的离子晶体； 共价性结合：靠两个原子各贡献一个电子，形成所谓的共价键； 金属性结合：组成晶体时每个原子的最外层电子为所有原子所共有，因此在结合成金属晶体时， 失去了最外层（价）电子的原子实“沉浸”在由价电子组成的“电子云”中。在这种情况下，电子 云和原子实之间存在库仑作用，体积越小电子云密度越高，库仑相互作用的库仑能愈低，表现为原 子聚合起来的作用。 范德瓦耳斯性结合：惰性元素最外层的电子为8个，具有球对称的稳定封闭结构。但在某一瞬时 由于正、负电中心不重合而使原子呈现出瞬时偶极矩，这就会使其它原子产生感应极矩。非极性分 子晶体就是依靠这瞬时偶极矩的互作用而结合的。 Q02_03_001 什么是声子？ 晶格振动的能量量子。在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动，晶格振动能量可以用 声子来描述，声子可以被激发，也可以湮灭。 Q02_03_002 什么是固体比热的德拜模型？并简述计算结果的意义。 德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质，有1个纵 波和2个独立的横波。 计算结果表明低温极限下： 3 4 )( 15 12 )/( D DV T RTC Θ =Θ π —与温度的3次方成正比。 温度愈低，德拜近似愈好，说明在温度很低时，只有长波格波的激发是主要的。 Q02_03_003 什么是固体比热的爱因斯坦模型？并简述计算结果的意义。 对于有N个原子构成的晶体，晶体中所有的原子以相同的频率ω 0 振动。 计算结果表明温度较高时：—— 与杜隆－珀替定律一致。 BV NkC 3? 温度非常低时： Tk B BV B e Tk NkC 0 20 )(3 ω ω = = ? =——按温度的指数形式降低，与实验结果不符。 3 ATC V = 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别。 Q02_04_001 根据能带理论简述金属、半导体和绝缘体的导电性； REVISED TIME: 05-9-16 - 3 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 对于金属：电子在能带中的填充可以形成不满带，即导带，因此它们一般是导体。对于半导体： 从能带结构来看与绝缘体的相似，但半导体禁带宽度较绝缘体的窄，依靠热激发即可以将满带中的 电子激发到导带中，因而具有导电能力。 对于绝缘体：价电子刚好填满了许可的能带，形成满带。导带和价带之间存在一个很宽的禁带， 所以在电场的作用下没有电流产生。 Q02_04_002 简述近自由电子近似模型、方法和所得到的主要结论。 考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏较小。作为零级近似，可以 用势场的平均值代替离子产生的势场：)(rVV K =。周期性势场的起伏量VVrV ?=?)( K 作为微扰来 处理。当两个由相互自由的矩阵元状态k K 和 n Gkk KKK +='的零级能量相等时，一级修正波函数和二级 能量修正趋于无穷大。 即： 22 n Gkk KKK +=，或者0) 2 1 ( =+? nn GkG KKK ，在布里渊区的边界处，能量发出突变，形成一系列 的能带。 Q02_04_003 简述紧束缚近似模型的思想和主要结论。 紧束缚近似方法的思想：电子在一个原子（格点）附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其 它原子（格点）势场的作用看作是微扰，将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组 合，这样可以得到原子能级和晶体中能带之间的关系。 一个原子能级ε i 对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。当原子形成固体后，形成了一系列 的能带。 能量较低的能级对应内层电子，其轨道较小，原子之间内层电子的波函数相互重叠较少，所以对应 的能带较窄。 能量较高的能级对应外层电子，其轨道较大，原子之间外层电子的波函数相互重叠较多，所以对应 的能带较宽。 Q02_05_001 什么是空穴？ 一个空的 1 k K 状态的近满带中所有电子运动形成的电流和一个带正电荷，以e 1 k K 状态电子速度 )( 1 kv e K K 运动的粒子所产生的电流相同。这个空状态称为空穴。 Q02_05_002 将粒子看作是经典粒子时，它的速度和运动方程是什么？ 电子状态变化基本公式：F dt kd K K = = )( ; 电子的速度：Ev kk ?= = K 1 Q02_05_003 简述导带中的电子在外场作用下产生电流的原因。 导带中只有部分状态被电子填充，外场的作用会使布里渊区的状态分布发生变化。所有的电子状 态以相同的速度沿着电场的反方向运动，但由于能带是不满带，逆电场方向上运动的电子较多，因 此产生电流。 REVISED TIME: 05-9-16 - 4 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 Q02_05_004 简述满带中的电子在外场作用下不产生电流的原因。 有外场E时，所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动。在满带的情形中，电子的运 动不改变布里渊区中电子的分布。所以在有外场作用的情形时，满带中的电子不产生宏观的电流。 Q02_06_001 从电子热容量子理论简述金属中的电子对固体热容的贡献。 在量子理论中，大多数电子的能量远远低于费密能量，由于受到泡利原理的限制不能参与热 激发，只有在附近约范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献。计算结果表明电子 的热容量与温度一次方成正比。 0 F E 0 F E Tk B ~ Q02_06_002 为什么温度较高时可以不考虑电子对固体热容量的贡献？ 在量子理论中，大多数电子的能量远远低于费密能量，由于受到泡利原理的限制不能参与热 激发，只有在附近约范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献。在一般温度下，晶 格振动的热容量要比电子的热容量大得多；在温度较高下，热容量基本是一个常数。 0 F E 0 F E Tk B ~ Q02_06_003 为什么温度较低时可以必须考虑电子对固体热容量的贡献？ 在低温范围下，晶格振动的热容量按温度的3次方趋于零，而电子的热容量与温度1次方成正比， 随温度下降变化比较缓慢，此时电子的热容量可以和晶格振动的热容量相比较，不能忽略。 Q02_06_004 为什么在绝对零度时，金属中的电子仍然具有较高的能量？ 温度时：电子的平均能量（平均动能）：0=T 0 3 5 Kin F E= E，电子仍具有相当大的平均能量。因 为电子必须满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子 不可能都填充在最低能量状态。 Q02_06_005 简述研究金属热容量的意义，并以过渡元素Mn、Fe、Co和Ni具有较高的电子热容量 为例说明费密能级附近能态密度的情况。 许多金属的基本性质取决于能量在附近的电子，电子的热容量 F E BBFV kTkENC )])(( 3 [ 0 2 π =与 成正比，由电子的热容量可以获得费米面附近能态密度的信息。 )( 0 F EN 过渡元素Mn、Fe、Co和Ni具有较高的电子热容量，反映了它们在费米面附近具有较大的能态密度。 过渡元素的特征是d壳层电子填充不满，从能带理论来分析，有未被电子填充满的d能带。由于原 子的d态是比较靠内的轨道，在形成晶体时相互重叠较小，因而产生较窄的能带，加上的轨道是5 重简并的，所以形成的5个能带发生一定的重叠，使得d能带具有特别大的能态密度。过渡金属只 是部分填充d能带，所以费密能级位于d能带内。 Q02_06_006 简述金属接触电势差的形成？ 两块不同的金属A和B相互接触，由于两块金属的费米能级不同，当相互接触时可以发生电子 交换，电子从费米能级较高的金属流向费米能级较低的金属，使一块金属的接触面带正电（电子流 REVISED TIME: 05-9-16 - 5 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 出的金属），使另一块金属的接触面带负电（电子流入的金属），当两块金属达到平衡后，具有相同 的费米能级，电子不再流动交换。因此在两块金属中产生了接触电势差。 Q02_07_001 以对Si掺入As后形成的N型半导体为例，简述掺杂对半导体导电能力的影响。 对纯的半导体材料掺入适当的杂质，也能提供载流子。在Si掺入As后形成的N型半导体，杂质 在带隙中提供带有电子的能级，能级略低于导带底的能量，和价带中的电子相比较，很容易激发到 导带中形成电子载流子。 Q02_07_002 如图XCH007_018_02所示, 简述N沟道晶体管的工作原理。 栅极电压很小时，源区S和漏区D被P型区隔开， 即使在SD之间施加一定的电压，但由于SP和DP区构 成两个反向PN结，因此只有微弱的PN反向结电流。 如果栅极电压达到或超过一定的阈值，在P型半导体和 氧化物表面处形成反型层——电子的浓度大于体内空穴 的浓度，反型层将源区S和漏区D连接起来，此时在SD 施加一个电压，则会有明显的电流产生。 通过控制栅极电压的极性和数值，使MOS晶体管处于 导通和截止状态，源区S和漏区D之间的电流受到栅极 电压的调制——集成电路应用。 Q02_07_003 半导体本征边吸收光的波长为多少？ 本征光吸收光子的能量满足： g E≥ω=， λ π ω c2 =， g E c ≥ λ π=2 , 长波极限： g E c=π λ 2 0 =—— 本征吸收边。 Q02_07_004 简述半导体本征激发的特点。 在足够高的温度时，由满带到导带的电子激发（本征激发）将是主要的。本征激发的特点是每产 生一个电子同时将产生一个空穴: 有：pn ≈ 由 Tk EE B eNNnp +? ? ? +? =， Tk E B g eNNpn 2 ? +? =≈，其中 +? ?= EEE g 为带隙宽度。 因为：，因此本征激发随温度变化更为陡峭。在这个范围里，测量和分析载流子随温度的 变化关系，可以确定带隙宽度。 ig EE >> Q02_07_005 什么是非平衡载流子？ 在热平衡下，半导体中的杂质电子，或价带中的电子通过吸收热能，激发到导带中（载流子的产 生），同时电子又可以回落到价带中和空穴发生复合（载流子的复合），最后达到平衡时，载流子的 产生率和复合率相等，电子和空穴的浓度有了一定的分布。 REVISED TIME: 05-9-16 - 6 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 电子和空穴的浓度满足： Tk E B g eNNpn ? +? = 00 在外界的影响作用下，电子和空穴浓度可能偏离平衡值。如本征光吸收将产生电子—空穴对。 即有： 00 ppp,nnn ?=?= ??——称为非平衡载流子 Q02_07_006 以在P型材料形成的PN结为例，简述光生伏特效应? 利用扩散掺杂的方法，在P型半导体的表面形成一个薄的N型层，在光的照射下，在PN结及其 附近产生大量的电子和空穴对，在PN结附近一个扩散长度内，电子－空穴对还没有复合就有可能 通过扩散达到PN结的强电场区域（PN结自建电场），电子将运动到N型区，空穴将运动到P型区， 使N区带负电、P区带正电，在上下电极产生电压 —— 光生伏特效应。 Q02_07_007 什么是异质结的窗口效应？ 光子能量小于宽带隙的N型层，即 Ng Eh )(<ν，可以透过N型层，在带隙较窄的P型层被吸收。 用同质PN结制作光电池，入射光的大部分在表面一层被吸收，由于表面缺陷引起的表面复合和高 掺杂层中载流子寿命低等因素，使得一些电子－空穴对不能到达强电场以前，就发生了复合，降低 了太阳能电池的效率。利用异质结的窗口效应，可以有效地减小电子－空穴的复合率，提高太阳能 电池的光电转换效率。 Q02_07_008 对于掺杂的N型半导体在热平衡下，为什么导带中电子的浓度越高，价带中空穴的浓 度越低？ 半导体中的电子和金属中的电子一样服从费密——狄拉克统计。 导带中电子浓度： Tk EE B F eNn ? ? ? ? =和价带中空穴浓度： Tk EE B F eNp + ? ? + =， Tk EE B eNNnp +? ? ? +? = 在N型半导体中，施主越多，激发到导带中的电子越多，电子跃迁与价带中空穴发生复合的几率越 大，因此满带中的空穴越少。 Q02_07_009 什么是本征光吸收跃迁和电子－空穴复合发光？ 本征光吸收：光照可以将价带中的电子激发到导带中，形成电子—空穴对，这一过程称为本征光 吸收。电子－空穴对复合发光是本征光吸收的逆过程，即导带底部的电子跃迁到价带顶部的空能级， 发出能量约为带隙宽度的光子。 Q02_07_010 为什么半导体掺杂可以提高其导电能力？ 理想的半导体材料是没有缺陷或没有杂质，半导体中的载流子只能是激发到导带中的电子和价带 中的空穴。对纯的半导体材料掺入适当的杂质，也能提供载流子。因此实际的半导体中除了与能带 对应的电子共有化状态以外，还有一些电子可以为杂质或者缺陷原子所束缚，束缚电子具有确定的 能级，杂质能级位于带隙中接近导带的位置，在一般温度下即可被激发到导带中，从而对半导体的 导电能力产生大的影响。 Q02_07_011 什么是P型和N型半导体？ REVISED TIME: 05-9-16 - 7 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 根据掺杂元素对导电的不同影响，杂质态可分为两种类型。 杂质在带隙中提供带有电子的能级，能级略低于导带底的能量，和价带中的电子相比较，很容易激 发到导带中，称为电子载流子。主要含有施主杂质的半导体，主要依靠施主热激发到导带的电子导 电——N型半导体。 杂质提供带隙中空的能级，电子由价带激发到受主能级要比激发到导带容易的多。主要含有受主杂 质的半导体，因价带中的一些电子被激发到施主能级，而在价带中产生许多空穴，主要依靠这些空 穴导电——P型半导体。 Q02_07_012 半导体中掺入深能级杂质，对半导体的导电有何影响？ 1) 可以成为有效复合中心，大大降低载流子的寿命；2) 可以成为非辐射复合中心，影响半导体 的发光效率；3) 可以作为补偿杂质，大大提高半导体材料的电阻率。 Q02_07_013 以在Ge半导体掺入As为例，简述为什么类氢杂质能级的施主能级位于导带附近？ 一个第IV族元素Ge（4价元素）被一个第V族元素As（5价元素）所取代的情形，As原子和近邻 的Ge原子形成共价键后尚剩余一个电子。因为共价键是一种相当强的化学键，束缚在共价键上的电 子能量很低，从能带的角度来说，就是处于价带中的电子。多余一个电子受到As + 离子静电吸引，其 束缚作用是相当微弱的，在能带图中，它位于带隙之中，且非常接近导带底。这个电子只要吸收很 小的能量，就可以从带隙跃迁到导带中成为电子载流子。 REVISED TIME: 05-9-16 - 8 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 PART THREE 计算题 Q03_01_001 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 由倒格子定义： 321 32 1 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π； 321 13 2 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π； 321 21 3 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π 体心立方晶格原胞基矢： 123 (),(),( 222 aa a i jk a i jk a i jk=?++ = ?+ = ?+) K KKKK KK KK KKK 体心立方晶格原胞体积： 3 2 1 a=? 倒格子基矢： 23 1 12 3 2 2 2()( 22 2 ()() 4 aa a a bijk aa a a ijk ijk )ijk π π π × ==??+×+ ?× ? =? ?+×+? ? ? G G KKKK KKK GGG KKKKKK 1 2 ()bjk a π =+ KKK 同理： 31 2 12 3 2 2() aa bik aa a a π π × ==+ ?× KK K GGG ； 12 3 12 3 2 2() aa bij aa a a π π × = =+ ?× K K K K K GGG 可见由 321 ,, bbb KKK 为基矢构成的格子为面心立方格子。 面心立方格子原胞基矢： 123 (), (), ( 222 aaa ajkakiai=+ =+ =+ KK KKK )j K 面心立方格子原胞体积： 3 4 1 a=? 倒格子基矢： 321 32 1 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π， 1 2 ()bijk a π = ?++ KKK K 同理 2 2 ()bijk a π =?+ KKKK ， 3 2 ()bijk a π =?+ KKK K 可见由 321 ,, bbb KKK 为基矢构成的格子为体心立方格子。 Q03_01_002 证明倒格子原胞体积为 c v 3 )2( π ，其中为正格子原胞的体积。 c v 倒格子基矢 321 32 1 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π； 321 13 2 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π； 321 21 3 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π REVISED TIME: 05-9-16 - 9 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 倒格子体积：)()()( )2( )( 211332 3 3 321 * aaaaaa v bbbv c c KKKKKK KKK ×××?×=×?= π CBABCACBA KKKKKKKKK )()( ???=×× [][ ] 1211312132113 )())()()( aaaaaaaaaaaaa KKKKKKKKKKKKK ?=?×??×=××× 33 * 231* (2 ) (2 ) () c cc vaaa vv π π =×?= KKK Q03_01_003 证明：倒格子矢量 332211 bhbhbhG KKKK ++=垂直于密勒指数为(的晶面系 ) 321 hhh K K 因为， ijji ba πδ2=? 332211 bhbhbhG KKKK ++= 如图XCH_001_047所示。 3 3 2 2 3 3 1 1 , h a h a CB h a h a CA KKKK ?=?= 很容易证明：0,0 321321 =?=? CBGCAG hhhhhh KK 即G K 与晶面系正交。 )( 321 hhh Q03_01_004 如果基矢c,b,a K K K 构成简单正交系，证明晶面族的面间距为： )(hkl 222 )()()( 1 c l b k a h d ++ = 并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理。 对于简单正交系：cba K K K ⊥⊥ , 原胞的基矢：a kcajbaia K K K K K K === 321 ,, 倒格子基矢： 321 32 1 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π； 321 13 2 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π； 321 21 3 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π 将kcajbaiaa K K K K K K === 321 ,,代入倒格子的定义式得：k c bj b bi a b KKKKKK πππ 2 , 2 , 2 321 === 倒格子矢量 321 blbkbhG KKKK ++=，k c lj b ki a hG KKKK πππ 222 ++= 晶面族的面间距：)(hkl 12 22 d G hb kb lb 3 π π == ++ KKKK， 222 1 () () () d hkl abc = ++ REVISED TIME: 05-9-16 - 10 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理。 Q03_01_005 指出立方晶格（111）面与（100）面，（111）面与（110）面的交线的晶向。 如图XCH_001_051_01所示（111）面与（100）面的交线的晶向为AB JJJG JJJG 将平移，A点到原点O，B点的位矢：AB B R aj ak=? + KK K 因此，（111）面与（100）面的交线的晶向：AB aj ak=? + JJJG K K —— [0 1 1] AB JJJG 如图XCH_001_051_02所示（111）面与（110）面的交线的晶向 将平移，A点到原点O，B点的位矢：AB JJJG B R ai aj=?+ K K K 因此，（111）面与（110）面的交线的晶向： AB ai aj=?+ JJJG K K —— [1 10] Q03_01_006试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立 方晶格的维格纳—塞茨原胞(Wingner-Seitz)。 维格纳—塞茨原胞：由某一个格点为中心，做出最近各点 和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间为维格纳— 塞茨原胞。如图所示为一种二维格子的维格纳—塞茨原胞。 简单立方、面心立方晶格和体心立方晶格如图 XCH001_002、007和003所示。 简单立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立正方体。 REVISED TIME: 05-9-16 - 11 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 如图XCH001_058所示。 面心立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。如 图XCH001_059所示。 体心立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿 立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体。八个面是正六边 形，六个面是正四边形。如图XCH001_060所示。 Q03_02_001 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为：2ln2=α 马德隆常数： ∑ ++ ? ?= ++ 321 321 ,, 2/12 3 2 2 2 1 )( )1( ' nnn nnn nnn α 对于一维一价离子： ∑ ? ?= n n n )1( 'α，选定某一个离子为参考离子，假定离子数目很大，参考离子 左右两边各有一个异号离子。 ] )1( 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 [2 N N ? ++?+?+??= "α，当∞→N时：2ln2α = Q03_02_002 若一晶体中两个离子间的相互作用能表示为：() m ur rr n α β =?+。计算： 1）平衡间距 0 r 2）结合能（单个原子的） W 3）体弹性模量 4）若取eVWnmrnm 4,3.0,10,2 0 ====，计算βα,的值。 晶体总的内能：() ( ) 2 mn N Ur rr α β =?+ —— N为原子的总数 1）令 0 0 rr dU dr = =，0 1 0 1 0 =+? ++ nm r n r m βα —— 平衡时原子的间距： 1 0 () nm n r m β α ? = REVISED TIME: 05-9-16 - 12 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 2）单个原子的结合能： 0 00 11 () ( ) 22 mn Wur rr α β =? =? ? +将 mn m n r ? = 1 0 )( α β 代入得到 1 (1 )( ) 2 nm mn W nm αβ α ? =? 3）体弹性模量； 0 2 2 0 )( V V U K V ? ? ? = V r r U V U ? ? ? ? = ? ? ，晶体的体积： —— 其中为一常数， 3 NArV = A N为原子的总数。 211 3 1 )( NArr n r m V U nm ++ ?= ? ? βα 0 0 ] 3 1 )[( 2112 2 VV nm VV NArr n r m rV r V U = ++ = ? ? ? ? ? = ? ? βα , ][ 9 1 000 2 0 2 2 0 2 2 0 nmnm VV r n r m r n r m VV U βαβα +?+?= ? ? = 因为0 3 1 )( 2 0 1 0 1 0 0 =?= ? ? ++ = NArr n r m V U nm VV βα —— 平衡位置满足的条件 即： nm r n r m 00 βα =，代入上面的表达式得到：][ 9 1 0 2 0 2 2 0 2 2 0 nm VV r n r m VV U βα +?= ? ? = ][ 9 ][ 9 1 ][ 9 1 00 2 000 2 000 2 0 2 2 0 nmmnnm VV rrV nm r m n r n m Vr n n r m m VV U βααββα +??=+?=+?= ? ? = 又 nm rr U 00 0 βα +?=，)( 9 0 2 0 2 2 0 U V mn V U VV ?= ? ? = 0 2 2 0 )( V V U K V ? ? ? =， 0 0 9 mn KU V = 4） eVWnmrnm 4,3.0,10,2 0 ==== 由 mn m n r ? = 1 0 )( α β 和 mn m n n m W ? ?= 1 ))(1( α β α 10 0 4 r W =β， -96 10 5.9 10 eV mβ =× ? ][ 10 0 2 0 W r r += β α， 19 2 4.5 10 eV mα ? =× ? REVISED TIME: 05-9-16 - 13 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 Q03_02_003 已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为) 4 ( 2 )( 0 2 n rr eN rU β πε α +?=，现以 ρ r ce ? 来代替排斥项 n r β ，且当晶体处于平衡时，这两者对互作用势能的贡献相同，试求和n ρ的关系。 将结合能在平衡位置处展开： 0 rr = "+? ? ? += = )()( 2 1 )()( 00 0 rr r U rUrU rr 选取结合能形式：) 4 ( 2 )( 0 2 n rr eN rU β πε α +?= "+? ? ? += = )()( 2 1 )()( 00 0 rr r U rUrU rr 以 ρ r ce ? 代替 n 0 r β 后，) 4 ( 2 )(' 0 2 ρ πε α r ce r eN rU ? +?= "+? ? ? += = )() ' ( 2 1 )(')(' 00 0 rr r U rUrU rr 根据题意：，)(')( 00 rUrU = ρ β 0 0 r n ce r ? = 在平衡位置：0) ' ()( 00 = ? ? = ? ? == rrrr r U r U ， ρ ρ β 02 0 1 0 r n e r c r n ? ? = 由 ρ β 0 0 r n ce r ? =， ρ β 0 0 lnlnln r crn ?=? 由 ρ ρ β 02 0 1 0 r n e r c r n ? ? =，ρ ρ β lnln2lnln)1(lnln 0 00 ??+=??+ r rcrnn ρ ρ β lnlnlnlnlnln 0 00 ??=+?? r cnrrn 所以 ρlnlnln 0 =? nr，ρnr = 0 将ρnr = 0 代入 ρ β 0 0 r n ce r ? = nn e c n = )( ρ β , 1 () n ec n ρ β = REVISED TIME: 05-9-16 - 14 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 Q03_03_001 讨论N个原胞的一维双原子链 （相邻原子间距为a），其2N格波解，当 M m=时与一维单原子链的结果一一对应。 如图XCH003_005所示，质量为M的原 子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… 质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… 牛顿运动方程： )2( )2( 2221212 121222 nnnn nnnn M m μμμβμ μμμβμ ???= ???= +++ ?+   —— 体系N个原胞，有2N个独立的方程 方程解的形式： ])12([ 12 ])2([ 2 aqnti n qnati n Be Ae +? + ? = = ω ω μ μ 将带回到运动方程得到： ])12([ 12 ])2([ 2 aqnti n qnati n Be Ae +? + ? = = ω ω μ μ ? ? ? =?+? =?? ? ? ? ? ? ? ?+=? ?+=? ? ? 0)2()cos2( 0)cos2()2( 2)( 2)( 2 2 2 2 BMAaq BaqAm BAeeBM ABeeAm iaqiaq iaqiaq ωββ βωβ ββω ββω 若A、B有非零的解，系数行列式满足：0 2cos2 cos22 2 2 = ?? ?? ωββ βωβ Maq aqm 1 22 2 2 () 4 {1 [1 s i n ] } () mM mM aq mM m M ωβ + =±? + 两种不同的格波的色散关系： 1 22 2 2 1 2 2 () 4 {1 [1 s i n ] } () () 4 {1 [1 s i n ] } () mM mM aq mM m M mM mM aq mM m M ωβ ωβ + ? + =+? + + =?? + a q a 22 ππ ≤<? —— 第一布里渊区 —— 第一布里渊区允许q的数目：/ N aNa π π = 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波。总的格波数目为2N。 当M m=： 1 22 2 2 {1 [1 s in ] }aq m ωβ=±? REVISED TIME: 05-9-16 - 15 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 2 2 (1 cos )aq m β ω =± 4 cos 2 4 sin 2 aq m aq m β ω β ω + ? = = —— 两种色散关系如图XCH003_017所示 在长波极限),0( aq >>→ λ情况下：当q，0→ 2 ) 2 sin( qaqa ≈ ，(2 )q m β ω ? = —— 与一维单原子晶格格波的色散关系一致。 Q03_03_002质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的力常数交错等于 1 cβ =和 2 10cβ =，并且最近邻的间距。 /2a 1） 求出色散关系和分析计算0,qq a π ==处格波的频率值； 2） 大致画出色散关系图。 如图XCH003_018所示，设蓝色标记的原子位 于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。 红色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程： 21222112 21 1 2 21 122 22 () () nnn m m 1n μ ββμ βμ βμ μ ββμ βμ βμ +? +++ =? + + + =? + + +   —— 体系N个原胞，有2N个独立的方程 方程解的形式： 1 [(2) ] 2 2 1 [(21) 2 21 it naq n it n aq n Ae Be ω ω μ μ ? ?+ + = = ] ，将其带回到运动方程得到： 11 2 22 12 12 11 2 22 12 1 ()( 2 ()( iaq iaq iaq iaq mA e e B A mB e e A B ωβ β ββ ωβ β ββ ? ? ?= + ?+ ?= + ?+ ) ) ，令 22 12 12 , mm β β ωω== 11 222 2 2 22 12 1 2 11 22 222 22 12 1 ()( ) iaq iaq iaq iaq Ae eB eeA B ωωω ω ω ωω ωωω ? ? +? ? + = +?+? 0 = REVISED TIME: 05-9-16 - 16 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 若A、B有非零的解，系数行列式满足： 11 222 2 2 22 12 1 2 11 22 222 22 12 1 (),( 0 iaq iaq iaq iaq ee ee ωωω ω ω ωω ωωω ? ? +? ? + ++? = ? ) 1111 2222 2 2 2 2 222 12 1 2 1 2 ()( ) 0() iaq iaq iaq iaq ee e eωωω ω ω ω ω ?? +? ? + =+ 将 1 cβ =和 2 10cβ =， 22 2 01 2 10 , cc mm 2 0 1ω ωω== = =ω代入得到 222 44 000 (11 ) 20(10 c 01) osaqωω ωω?? = 解得： 22 0 (11 20cos 101)qaωω=± + —— 两种色散关系 0q =： 22 0 (11 121)ωω=±： 0 22 0 ω ω ω + ? = = q a π =： 22 0 (11 81)ωω=±： 0 0 20 2 ω ω ω ω + ? = = 色散关系如图XCH003_019所示。 Q03_03_003 计算一维单原子链的频率分布函数)(ωρ 设单原子链长度 NaL = 波矢取值h Na q ×= π2 ，每个波矢的宽度： Na q π2 =，状态密度 π2 Na dq间隔内的状态数：dq Na π2 ，对应±，q ω取相同值 因此dq Na d π ωωρ 2 2)( ×= 一维单原子链色散关系：) 2 (sin 4 22 aq m β ω = 令 m β ω 4 0 =，) 2 sin( 0 aq ωω = 两边微分得到 dq aqa d ) 2 cos( 2 0 ωω = REVISED TIME: 05-9-16 - 17 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 将 2 0 2 1) 2 cos( ω ω ?= aq 代入dq aqa d ) 2 cos( 2 0 ωω = dq a d 22 0 2 ωωω ?=， 22 0 2 ωω ω ? = d a dq ω ωω ππ d a Na dq Na 22 0 12 2 2 2 2 ? ×=× 频率分布函数 22 0 21 () N ρω π ω ω = ? Q03_03_004 设三维晶格的光学振动在0=q附近的长波极限有： 2 0 )( Aqq ?=ωω 证明：频率分布函数 ? ? ? ? ? > <? = 0 0 2/1 0 2/32 0 )( 1 4)( ωω ωωωω πω A V f 三维晶格振动的态密度 3 )2( π V qd K 间隔内的状态数：dqq V 2 3 4 )2( π π 对两边微分得到 2 0 )( Aqq ?=ωω Aqdqqd 2)( ?=ω，)( 2 1 qd Aq dq ω?= 将)( 2 1 qd Aq dq ω?=和ωω ?= 0 1 A q代入 dqq V 2 3 4 )2( π π 得到)()( 1 4 4 )2( 2/1 02/32 2 3 qd A V dqq V ωωω π π π ?= 所以 1/2 00 23/2 1 () ( ) 4 V f A ω ωω ωω π =?< 在 0 ωω >，为虚数，有 2/1 0 )( ωω ? () 0f ω = Q03_04_001 写出一维近自由电子近似，第n个能带（1, 2, 3n =）中，简约波矢 a k 2 π =的零级波 函数。 REVISED TIME: 05-9-16 - 18 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 一维近自由电子近似，用简约波矢表示的波函数 )] ])2([ 2 11 ([)( 2 22 2 2 x a n i n n mx a i xki k e a n kk m V LL eex π π π ψ ∑ +? +×= = 第n个能带零级波函数： 22 () 0 2 11 () imx i m x ikx aa n xee e LL ππ a π ψ + == 如图XCH004_006所示。 第一个能带：m，0= 0 2 1 1 () ix a x e L π ψ = 第二个能带： 2 () 0 2 2 1 1, ( ) ix aa e L ππ ψ ?+ =? =mx， 3 0 2 2 1 () ix a xe L π ψ ? = 第三个能带： 2 () 0 2 3 1 1, ( ) ix aa mx，e L ππ ψ ?+ == 5 0 2 3 1 () ix a x e L π ψ = Q03_04_002 电子在周期场中的势能函数： ? ? ? ? ? ?≤≤+? +≤≤??? = bnaxban bnaxbnanaxbm xV )1(0 ])([ 2 1 )( 222 ω 且ba 4=，ω是常数。 1) 画出此势能曲线，并计算势能的平均值； 2) 用近自由电子模型，计算晶体的第一个和第二个带隙宽度。 REVISED TIME: 05-9-16 - 19 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 势能曲线如图XCH004_049所示。 势能的平均值： ∫ ? = L ikxikx dxe L xVe L V 0 1 )( 1 ∫ + ? ? ??= bna bna ikxikx dxe L naxbme L NV 1 ]})([ 2 1 { 1 222 ω ∫ + ? ??= bna bna dxnaxbm L N V ])([ 2 222 ω 令nax ?=ξ， NaL = ∫ ? ?= b b dbm a V ξξω )( 2 1 222 ， 2 2 96 a Vmω= 在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数 ∫ ?? = a kki dVe a nV 0 )'( )( 1 )( ξξ ξ , n a kk π2 ' += ∫ ? = a n a i dVe a nV 0 2 )( 1 )( ξξ ξ π 将 ? ? ? ? ? ?≤≤+ +≤≤?? = bb bbbm V ξ ξξω ξ 0 )( 2 1 )( 222 代入 ∫ ? ? ?= b b n a i dbme a nV ξξω ξ π )( 2 11 )( 222 2 ， ∫ ? ? ?= b b n a i dbe a m nV ξξ ω ξ π )( 2 )( 22 2 2 ∫ ? ? ?= b b a i dbe a m V ξξ ω ξ π )( 2 22 2 2 1 REVISED TIME: 05-9-16 - 20 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 42 22 2 () 2 b i a b m Veb a π ξ ω dξ ξ ? ? =? ∫ 晶体的第一个禁带宽度： 11 2 g E V= 晶体的第二个禁带宽度： 22 2 g E V= Q03_04_003 一维周期势场中电子的波函数满足布洛赫定理。如果晶格常数为 ,电子的波函数为 a 1）πψ a x x k sin)( = 2） ∑ ∞ ?∞= ??= m m k maxfix )()()(ψ 3）πψ a x ix k 3 cos)( = 4） ∑ ∞ ?∞= ?= l k laxfx )()(ψ，求电子在这些态中的波矢。 根据布洛赫定理 )()( reRr n Rki n K K K KK ψψ ? =+ 一维情形 )()( xenax inka ψψ =+ , )()( xeax ika ψψ =+ 1）电子的波函数：πψ a x x k sin)( = ππψ a x a ax ax k sinsin)( ?= + =+，)()()( xexax k ika kk ψψψ =?=+ 故 1?= ika e k a π = 2）电子的波函数： ∑ ∞ ?∞= ??= m m k maxfix )()()(ψ ∑ +∞ ∞? ???=+ ])1([)()( amxfiax m k ψ ∑ +∞ ∞? ? ????= ])1([)( 1 amxfii m )()()( xilaxfii k l ψ?=???= ∑ +∞ ∞? 所以： ie ika ?= 2 k a π =? REVISED TIME: 05-9-16 - 21 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 3）电子的波函数：)( 3 cos )( 3cos)( x a x i a ax iax kk ψππψ ?=?= + =+ 故 1?= ika e k a π = 4）电子的波函数： ∑ ∞ ?∞= ?= l k laxfx )()(ψ ∑ +∞ ?∞= ??=+ l k alxfax ])1([)(ψ )()( xmaxf k m ψ=?= ∑ +∞ ?∞= ，故 1= ika e 0k = Q03_04_004 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数。 当只计入最近邻格点原子的相互作用时，s态原子能级 相对应的能带)(kE s K 函数可以表示为： ∑ = ?? ??= NearestR Rki ss s s s eRJJkE KK KK )()( 0 ε 面心立方晶格如图XCH_001_007所示。任意选取一个格 点为原点。 有12个最邻近的格点，其位置为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 0, 2 , 2 0, 2 , 2 0, 2 , 2 0, 2 , 2 aa aa aa aa ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 , 2 ,0 2 , 2 ,0 2 , 2 ,0 2 , 2 ,0 aa aa aa aa ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 ,0, 2 2 ,0, 2 2 ,0, 2 2 ,0, 2 aa aa aa aa 将kj a i a R s KKKK 0 22 ++=等12个格矢代入 ∑ = ?? ??= NearestR Rki ss s s s eRJJkE KK KK )()( 0 ε s原子态波函数具有球对称性： 0* 0 1 () ( )[() ()]()} si s i JJR RU V d? ξξξ?ξ== ? ? ∫ ξ K KKKKK K 01 () s s ik Rs s R Nearest Ek J J eε ?? = =?? ∑ K K K ，将kj a i a R s KKKK 0 22 ++=代入进行计算。 ()(0) K 22 sxyz aa kR ki kj kk i j k?= + + ? + + KKK KKKK ，() 2 s xy a kR k k?= + K K () 222 (cos sin )(cos sin ) 222 xy x y aaa ikk ik ik yy xx ka ka ka ka eee ?+ ? ? ==? ? 2 —— 类似的表示共有12项 REVISED TIME: 05-9-16 - 22 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 经过化简得到： 01 ( ) 4 (cos cos cos cos cos cos ) 22 22 22 yys xxzz s ka ka ka ka ka ka Ek J Jε=?? + + K 体心立方格子如图XCH_001_003所示，任意选取一个格点为原点。 有8个最邻近的格点，其位置为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 aaa aaa aaa aaa ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 aaa aaa aaa aaa 将k a j a i a R s KKKK 222 ++=等8个格矢代入 ∑ = ?? ??= NearestR Rki ss s s s eRJJkE KK KK )()( 0 ε s原子态波函数具有球对称性： 0* 0 1 () ( )[() ()]()} si s i JJR RU V d? ξξξ?ξ== ? ? ∫ ξ K KKKKK K 01 () s s ik Rs s R Nearest Ek J J eε ?? = =?? ∑ K K K 将 222 s aaa R ij=++ KK KK k代入进行计算。 ()() K 222 sxyz aaa kR ki kj kk i j k?= + + ? + + KKK KKKK ，() 2 s xyz a kR k k k?= ++ K K () 2222 (cos sin )(cos sin )(cos sin ) 22222 xyz x y z aaaa i k k k ik ik ik yy xx z ka ka ka ka ka ka eeee ?++ ? ? ? ==? ? ? 2 z —— 类似的表示共有12项 经过化简后得到： 01 () 8 cos cos cos 222 ys xz s ka ka ka Ek J Jε=?? K Q03_04_005 有一个一维单原子链，原子间距a，总长度LNa= 1）用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带)(kE s K 函数。 2）求出其能带密度函数的表达式 时的费密能级和处的能态密度。 0 F E 0 F E3）如每个原子s态中只有一个电子，计算T K0= REVISED TIME: 05-9-16 - 23 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 只计入最近邻格点原子的相互作用时，s态原子能级相对应的能带)(kE s K 函数可以表示为： ∑ = ?? ??= NearestR Rki ss s s s eRJJkE KK KK )()( 0 ε —— 任意选取一个格点为原点。 s原子态波函数具有球对称性： 01 () s s ik Rs s R Nearest Ek J J eε ? ? = =?? ∑ K K K 有两个最近邻的格点，其坐标为： ? ? ? ?a a 代入 ∑ = ?? ??= NearestR Rki ss s s s eRJJkE KK KK )()( 0 ε得到： )()( 10 ikaika s s eeJJkE ? +??=ε 01 () 2 cos s s E kJJkaε=?? 能带函数： 一维情形下的能态密度：， kaJJkE s s cos2)( 10 ??=ε dkkaaJkdE s )sin2()( 1 = 1 0 2 )( cos J JkE ka s s +? = ε ， 2 1 0 ) 2 )( (1sin J JkE ka s s +? ?= ε dk J JkE aJkdE s s s 2 1 0 1 ) 2 )( (12)( +? ?= ε ， dk J JkE aJkdE s s s 2 1 0 1 ) 2 )( (12)( +? ?= ε )( ))((4 1 2 0 2 1 kdE JkEJa dk s s s +?? = ε 对于一维格子，波矢为k and k+ ?具有相同的能量，此外考虑到电子自旋有2种取向，因此在区 间的状态数： dk 4 2 Na dZ dk π =?， 22 10 21 () 4(() ) s s s N dZ dE k JEk J π ε = ??+ 能态密度函数： 22 10 2 () () 4(() ) s s s dZ N NE dE k JEk Jπε == ?? k + 总的电子数 —— 其中 0 0 () () F k E s E E NNdE= ∫ 0 01 01 0 () 2 cos 2 s ks s k Ek JJka JJεε = =?? =?? 0 0 22 10 2 () 4(() ) F k E s s E s N Nd JEk Jπε = ??+ ∫ k REVISED TIME: 05-9-16 - 24 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 0 0 2 0 1 1 2 () 1 () 21( ) 2 F k E s s E s dE k Ek J J J ε π = ?+ ? ∫ 令： 1 0 2 )( J JkE s s +? = ε ξ，)( 2 1 1 kdE J d s =ξ， 2 2 1 1 dξ πξ = ? ∫ 0 0 0 1 2arcsin 2 F k E s s E EJ J ε π ?+ = 0 01 11 2 arcsin arcsin 222 Fs EJ J JJ ε π?+ ? ?= 0 0 1 0 2 Fs EJ J ε?+ = ， 0 0Fs E Jε=? 费密能级： 0T= K时的费密能级： 0 0Fs E Jε=? —— 代入 20 10 2 () 4( ) Fs N NE JE Jπε = ??+ 2 K 0T=时费密能级处的能态密度： 0 F E 1 () N NE Jπ = Q03_04_006 半金属交叠的能带： 22 11 1 1 2 2 220 02 2 ( ) (0) , 0.18 2 () ( ) ( ), 0.06 2 k Ek E m m m Ek Ek k k m m m =? = =+? = = KK = 其中为能带1的带顶，为能带2的带底，交叠部分： 1 (0)E 20 ()Ek 120 (0) ( ) 0.1EEk eV? = 由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带2中，而在能 带1中形成空穴，讨论时的费密能级。 0T= K 半金属的能带1和能带2如图XCH004_050所示。 能带1的能态密度 1 3 () 2 (2 ) k VdS NE Eπ = ? ∫ 2 1 k k E m ?= = ，将 11 1 2[(0) ()]mE Ek k ? = = 代入得到 11 2[ (0) ( )] / k EEEk?= ?= 1 m REVISED TIME: 05-9-16 - 25 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 2 1 3 111 1 () 2 4 (2 ) 2[ (0) ( )] / V NE k EEkm π π = ?= 3 1 2 1122 22 () ( ) (0) () (2 ) Vm NE E Ek π =? = 1 同理能带2的能态密度： 3 2 2 2222 22 () ( ) () ( ) (2 ) Vm NE Ek Ek π =? = 20 半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带，形成绝缘体。但由于能带交叠，能带1中的 电子填充到能带2中，满足 0 1(0) 0 2( ) 0 12 () () F Fk E E EE N E dE N E dE= ∫∫ 0 1(0) 0 2( ) 0 33 1222 11 2 2022 22 22 22 () (0) () () () () (2 ) (2 ) F F k E E EE Vm Vm EEkdE EkEkd ππ ?= ? ∫∫ == E 0 1(0) 0 2( ) 0 333 222 11 1 2 20 [(0) ()] [() ()] F Fk EE mE Ek mEk Ek?? = ? 3 2 00 11 2 20 [(0) ] [ ()] FF mE E mE E k?= ? 0 11 2 2 0 12 (0) ( ) F mE mE k E mm + = + —— 将和 12 0.18 , 0.06mmmm== 120 (0) ( ) 0.1EEk eV? =代入得到： 0 20 ( ) 0.075 F EEk eV=+ Q03_04_007 设有二维正方晶格，晶体势场为：) 2 cos() 2 cos(4),( y a x a UyxU ππ ?= 用近自由电子近似的微扰论，近似求出在布里渊顶角),( aa ππ 处的能隙。 晶体布里渊顶角),( aa ππ 处的能隙： 11 2VE g = 在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数 ∫ ?? = a Gi dVe a nV n 0 2 )( 1 )( ξξ ξ KK KK , n Rr G K K ?=ξ， yx ddd ξξξ = K ， n Gkk KKK =?' REVISED TIME: 05-9-16 - 26 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 ))((),( 2222 y a iy a ix a ix a i eeeeUyxU ππππ ?? ++?=，将 2211 , ξξ +=+= anyanx代入 ))((),( )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 21 22221111 ξ π ξ π ξ π ξ π ξξ +?++?+ ++?= an a ian a ian a ian a i eeeeUU ))((),( 2211 2222 21 ξ π ξ π ξ π ξ π ξξ a i a i a i a i eeeeUU ?? ++?= 布里渊顶角： yx k a k a k K ππ +=， yxn k a k a kGk KKK ππ ??=+='， yxn k a k a G K ππ 22 ??= 21 bbG n ??= KKK ∫∫ +?????? ++?= aa yx a a la a bbi a i a i a i a i ddeeeeeU a V yxyyxx 00 ) 11 ()( 2222 2 1 22121 )])(([ 1 ξξ ξξξ π ξ π ξ π ξ π KK KK ∫∫ +?? ++?= aa yx aa i a i a i a i a i ddeeeeeU a V yxyyxx 00 ) 22 ( 2222 2 1 )])(([ 1 ξξ ξ π ξ π ξ π ξ π ξ π ξ π ∫∫ ++?= aa yx a i a i ddeeU a V yx 00 44 2 1 )]1)(1([ 1 ξξ ξ π ξ π UV ?= 1 布里渊顶角),( aa ππ 处的能隙： 1 2 g E U= Q03_04_008 限制在边长为L的正方形中的N个电子，电子的能量为：)( 2 22 2 yx kk m E += = 1）求能态密度 2）求二维系统在绝对零度时的费米能量 将)( 2 22 2 yx kk m E += = 改写为 2 22 2 = mE kk yx =+，对于给定的能量，方程在波矢空间是一个圆。 在k空间，单位面积内的状态数： 2 2 )2( 2 π L ? 半径 2 2 = mE k =的圆内的状态数： 2 2 2 )2( 2 k L Z π π ??=，E mL Z 2 2 =π = 能量E到E+dE之间的状态数：dE mL dZ 2 2 =π = REVISED TIME: 05-9-16 - 27 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 能态密度： 2 2 () mL NE π = = 能量电子的数目：，dEEE +→ dEEfENdN )()(= dEEf mL dN )( 2 2 =π = 绝对零度时：0T = 0 2 2 0 2 2 0 F E E mL dE mL N F == ππ == ∫ 绝对零度时的费米能量： 2 0 2F N E mL π = = Q03_04_009 如果 2 )()( 22 2 2 = z z y y x x k m k m k m k EkE +++= , 求能态密度。 将 2 )()( 22 2 2 = z z y y x x k m k m k m k EkE +++=改写为1][ )( 2 1 2 2 2 2 =++ ? z z y y x x k m k m k m k EE = 这是k空间的一个椭球方程，其半轴a, b, c分别为 2 1 2 ] )(2 [ = kx EEm a ? =， 2 1 2 ] )(2 [ = ky EEm b ? =， 2 1 2 ] )(2 [ = kz EEm c ? = 椭球在k空间的体积abc k π 3 4 =? k空间的状态密度 3 ) 2 (2 π L ，椭球内的状态数: 2/32/3 2 2/13 )() 2 ()( 3 4 ) 2 (2 kzyx EEmmm L Z ?= = π π dEEEmmm L dEENdZ kzyx 2/12/12/3 2 3 )()() 2 ( 3 4 ) 2 (2 2 3 )( ??== = π π 3 3/2 1/2 1/2 22 2 () ( ) ( ) ( ) 2 xyz k L NE mmm E E π =? = Q03_05_001 设一维晶体的电子能带可以写成：)2cos 8 1 cos 8 7 ()( 2 2 kaka ma kE +?= = ，式中a为晶 格常数。计算1）能带的宽度；2）电子在波矢k的状态时的速度；3）能带底部和能带顶部电子的 有效质量。 1）能带底部：， 0=k 0)0( =E 能带顶部： a k π =，)2cos 8 1 cos 8 7 ()( 2 2 ππ π +?= maa E = , 2 2 2 )( maa E = = π REVISED TIME: 05-9-16 - 28 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 能带宽度： 2 2 2 () (0)EE E ama π ?= ? = = 2）电子在波矢k的状态时的速度： dk kdE kv )(1 )( = =， 1 () (sin sin2 ) 4 v k ka ka ma =? = 3）由 2 2 2 /* k E m ? ? = =，)2cos 8 4 cos( 22 2 2 2 2 kaakaa mak E ?= ? ? = kaka m m 2cos 2 1 cos * ? = 能带底部电子的有效质量：，0=k *2mm= 能带顶部电子的有效质量： a k π =， 2 * 3 mm=? Q03_05_002 设电子等能面为椭球： 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 222 )( m k m k m k kE === K ++=，外加磁场B相对于椭球主轴方 向余弦为γβα ,, 1) 写出电子的准经典运动方程 2) 证明电子绕磁场回转频率为： *m qB =ω，其中 2 3 2 2 2 1 321 * γβα mmm mmm m ++ = 恒定磁场中电子运动的基本方程：Bkvq dt kd KK K K = ×?= )( )( 321 γβα kkkBB K ++= 电子的速度：)( 1 )( kEkv k K = K K ?= 电子能量： 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 222 )( m k m k m k kE === K ++= 3 3 2 2 1 1 )( k k E k k E k k E kE k K ? ? + ? ? + ? ? =?， 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 2 )( k m k k m k k m k kE k  =  =  = K ++=? 电子速度： 3 3 3 2 2 2 1 1 1 )( k m k k m k k m k kv  =  =  = K K ++= 将电子速度和磁感应强度代入电子运动方程：Bkvq dt kd KK K K = ×?= )(，应用 321 kkk  =×关系 REVISED TIME: 05-9-16 - 29 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 )}(){( 3213 3 3 2 2 2 1 1 1 γβα kkkk m k k m k k m k qB dt kd  K ++×++?= 运动方程： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??= ??= ??= )( )( )( 2 2 1 13 1 1 3 32 3 3 2 21 αβ γα βγ m k m k qB dt dk m k m k qB dt dk m k m k qB dt dk ， 123 23 231 31 312 12 ()0 ()0 ()0 dk k k qB dt m m dk k k qB dt m m dk k k qB dt m m γβ αγ βα ? + ?= ? ? ? + ?= ? ? ? + ?= ? ? 令 tititi ekkekkekk ωωω 0 33 0 22 0 11 ,, === 代入运动方程得到： 0 0 0 0 2 2 0 1 1 0 3 0 1 1 0 3 3 0 2 0 3 3 0 2 2 0 1 =?+ =?+ =?+ k m qB k m qB ki k m qB k m qB ki k m qB k m qB ki αβ ω γα ω βγ ω 0 3 0 2 0 1 ,, kkk有非零解，系数行列式为零：0 21 31 32 = ? ? ? ω αβ α ω γ βγ ω i m qB m qB m qB i m qB m qB m qB i 0} )()()( { 2 31 2 2 21 2 2 32 2 2 21 31 32 =+++?= ? ? ? βγαωω ω αβ α ω γ βγ ω mm qB mm qB mm qB i i m qB m qB m qB i m qB m qB m qB i 0=ω无意义，因此旋转频率： 21 2 31 2 32 2 mmmmmm qB γβα ω ++= 222 12 3 123 mm m qB mmm α βγ ω ++ = ，其中 * qB m ω= 123 222 12 3 * mmm m mm mα βγ = ++ REVISED TIME: 05-9-16 - 30 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 Q03_06_001在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成：。 如果一个摩尔的金属钾有个电子，求钾的费米温度和德拜温度 KmolmJTTC ?+= /57.208.2 3 23 106×=N F T D Θ。 一摩尔的电子对热容的贡献： B F B V k E Tk NC )( 2 0 2 0 π = 与实验结果比较得到： KmolJTk Tk Tk Nk E Tk N B FB B B F B ?×== /1008.2)( 2 )( 2 3- 2 0 0 2 0 ππ 费米温度： 2 -3 19624 2 2.08 10 B F k TN K π == ×× 根据德拜定律： 3 4 )( 5 12 D B V TNk C Θ = π 与实验结果比较得到： 4 3-3 12 ( ) 2.57 10 / 5 B D Nk T TJmolK π = ×? Θ 德拜温度： 4 1/3 -3 12 ()91 52.5710 B D Nk K π Θ= = ×× Q03_06_002 设N个电子组成简并电子气，体积为V，证明在KT 0=时 1） 每个电子的平均能量 0 5 3 F EU = 2） 自由电子气的压强满足UpV 3 2 = 金属中自由电子的能态密度： 2/12/3 2 ) 2 (4)( E h m VEN π= KT 0= 时，费米分布函数： ? ? ? > ≤ = )(0 )(1 )( 0 0 F F EE EE Ef 每个电子的平均能量： N dEEfEEN U ∫ ∞ = 0 )()( dEEE h m V N U F E ∫ = 0 0 2/12/3 2 ) 2 (4 1 π， 2/5 02/3 2 ) 2 (4 5 2 F E h m V N U π= 金属中的电子总数：， ∫ ∞ = 0 )()( dEEfENN 2/3 02/3 2 0 2/12/3 2 ) 2 (4 3 2 ) 2 (4 0 F E E h m VdEE h m VN F ππ == ∫ 将N代入 2/5 02/3 2 ) 2 (4 5 2 F E h m V N U π=得到： 0 3 5 F UE= REVISED TIME: 05-9-16 - 31 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_ 20050404 将电子气看作是理想气体，压强Unp 3 2 =，U V N p 3 2 = , 2 3 pVNU= Q03_07_001 InSb的电子有效质量0.015 e mm=，介电常数18ε =，晶格常数，计 算 0.6479an= m 1) 施主的电离能 2) 基态的轨道半径 3) 如果施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少？ 电离能： )2()4( * 222 0 4 =επε qm E i =， 4 222 0 0.015 (18) (4 ) (2 ) i mq E πε = = ， 4 6.3 10 i EeV ? =× 基态的轨道半径： 22 00 022 41841 * 0.015 0.015 aa mq mq πεε πε == = ==8 ，62.4anm= 相邻杂质原子的轨道之间发生交叠，杂质原子之间的间距：2 124.8da nm= = 施主浓度： 28 3 3 1 5.1 10 /ncm d ==× REVISED TIME: 05-9-16 - 32 - CREATED BY XCH