固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406 §7.3 半导体中电子的费密统计分布 1. 半导体载流子的近似玻耳兹曼统计 半导体中的电子和金属中的电子一样服从费密——狄拉克统计。在金属中，电子填充空带的部分形 成导带，相应的费密能级位于导带中。 对于掺杂不太多的半导体，在热平衡下，导带中有从施主能级激发到导带中的电子，价带中还有少 量的空穴。 —— 半导体中电子的费密能级位于带隙之中 —— 且有 , FB F B E E kT E E kT ?+ ?>> ?> 导电电子在导带各能级分布的几率： 1 1 )( + = ? Tk EE B F e Ef 由于, 如图XCH007_006_01所示。 TkEEEE BFF >>?>? ? 所以 Tk EE B F eEf ? ? ≈)(——导带中的电子接近经典玻耳兹曼分布。 从 Tk EE B F eEf ? ? ≈)(得出：—— 导带中每个能级上电子的平均占据数很小。 1)( <<Ef 满带中空穴占据的几率——不被电子所占据的几率： 11 1()1 11 FF BB EE E E kT kT fE ee ?? ?=? = + + 由于, 如图XCH007_006_01所示。 TkEEEE BFF >>?>? + REVISED TIME: 05-5-23 - 1 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406 所以 Tk EE B F eEf ? ? ≈? )(1—— 空穴占据状态的E越低（电子的能量），对于空穴来说能量越高，空 穴平均占据数越小（电子占据数越大）。 在半导体材料中，导带能级和满带能级远离费密能量，因此导带接近于空的，满带接近于充满。分 布函数如图XCH007_006所示。 2. 费密能级和载流子浓度 电子在导带底附近的能量： * 22 2 )( ? ? += m k EkE = K 电子在满带顶附近的能量： 22 * () 2 k Ek E m + + =? K = 自由电子能态密度： ∫ ? = dS E V EN k 3 4 )( π ， 2 23 4 4 )( k k mV EN π π ?= = 将 = )(2 * ?? ? = EEm k和 = )(2 * EEm k ? = ++ 分别代入得到导带底和满带顶的能态密度： *3/2 *3/2 33 44 () (2 ) , () (2 ) VV NE m EE NE m E E hh π π ???++ =?= + ? E 导带电子浓度：，() () E nfENEd ? ∞ ? = ∫ ∫ ∞ ? ? ? ? ? ?= E Tk EE dEEEem h n B F 2/3* 3 )2( 4π ∫ ∞ ? ? ? ? ? ? ? ?? ?= E Tk EE Tk EE dEEEeem h n BB F 2/3* 3 )2( 4π 令： Tk EE B ? ? =ξ ∫ ∞ ? ? ? ? ? = 0 2/12/3* 3 )2( 4 ξξ π ξ deeTkm h n Tk EE B B F ， Tk EE B B F e h Tkm n ? ? ? ? = 3 2/3* )2(2 π 引入有效能级密度： 3 2/3* )2(2 h Tkm N B? ? = π REVISED TIME: 05-5-23 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406 电子浓度： F B EE kT nNe ? ? ? ? = ——单位体积中导电电子数就是如同导带底处的个能级所应含有的电子数。 ? E ? N 单位体积空穴浓度：(1 ( )) ( ) E p fEN EdE + + ?∞ =? ∫ Tk EE B F eNp + ? ? + =，其中 3 2/3* )2(2 h Tkm N B+ + = π 将 Tk EE B F eNn ? ? ? ? =和 Tk EE B F eNp + ? ? + =相乘得到： B EE kT np N N e ? + ? ? ?+ = —— 在温度不变的情况下：半导体中导带电子越多，空穴越少，反之亦然。 *** N型半导体中，施主越多，激发到导带中的电子越多，导带中的电子本征跃迁回价带与空穴复 合的数目越多。因此，价带中的空穴越少。 3. 杂质激发 如果N型半导体主要含有一种施主，施主的能级位置：，施主浓度：，在足够低的温度下， 载流子主要是从施主能级激发到导带的电子。 D E D N 导带中电子的数目就是空的施主能级数目：)](1[ EfNn D ?=，] 1 1 [ /)( TkEE D BDF e Nn ? + = 由消去得到： TkEE BF eNn /)( ?? ? ? = F E TkEE D BD e N n N n /)( 1 ? ? ? + = 其中为导带底施主能级的能量差——施主的电离能： D EE ? ? Di EEE ?= ? 因此有： D TkE Nnne N Bi =+ ? 2/ 1 导带中电子的数目： / 1/2 / 1[14( ) ] 2 iB iB EkT D EkT N e N n e N ? ? ?+ + = REVISED TIME: 05-5-23 - 3 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406 当温度很低时：， —— 只有很少的施主被电离。 iB ETk << TkE D Bi eNNn 2/2/1 )( ? ? ≈ 当温度足够高时：由于 3 2/3* )2(2 h Tkm N B? ? = π ，因此有 / 1 iB EkTD N e N ? << 将 TkE TkED Bi Bi e N e N N n / 2/1/ 2 ])(41[1 ? ? ++? =中平方根项展开得到： D TkE TkED N e N e N N n Bi Bi ≈ +++? = ? ? / / 2 ])(21[1 " 说明施主几乎全部被电离，导带中的电子数接近于施主数。 对于P型半导体，受主的能级位置：，受主浓度：，在足够低的温度下，载流子主要是从施 主能级激发到导带的电子。 A E A N 满带中空穴的浓度： TkE TkEA Bi Bi e N e N N p / 2/1/ 2 ])(41[1 + + ++? =——其中受主的电离能： + ?= EEE Ai 在足够低的温度下：， —— 只有很少的受主被电离。 iB ETk << /21/2 () iB EkT A pNN e ? + ≈ 4. 本征激发 在足够高的温度时，由满带到导带的电子激发（本征激发）将是主要的。本征激发的特点是每产生 一个电子同时将产生一个空穴。有：pn ≈ 由 Tk EE B eNNnp +? ? ? +? =， 2 g B E kT np NNe ? ?+ ≈= —— +? ?= EEE g 为带隙宽度。 因为： —— 本征激发随温度变化更为陡峭 ig EE >> —— 在这个范围里，测量半导体电导率随温度的变化关系，可以分析确定带隙宽度。 REVISED TIME: 05-5-23 - 4 - CREATED BY XCH