固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406 § 6.2 功函数和接触势差 1. 热电子发射和功函数 实验指出，热电子发射电流密度： Tk W B ej ? ~ —— W：功函数 —— 金属中，电子处于势阱高度为χ（正离子的吸引），如图XCH006_008所示，当电子从外界获 得足够的能量，有可能脱离金属，产生热电子发射电流。 V 经典电子论热电子发射电流密度的计算 势阱中的电子服从麦克斯韦速率分布率，速度在 区间的电子数密度： vdvv +→ KKK vde Tk m ndn Tk mv B B K 2 2 3 0 2 ) 2 ( ? = π ， zyx dvdvdvvd = K 电子沿X方向发射，发射电流密度： Tk mv x mv xzy B B eqvdvdvdv Tk m nj 2 2 1 2 3 0 2 2 )() 2 ( ? > +∞ ∞? +∞ ∞? ?= ∫∫∫ χ π 1/2 0 () 2 B kT B kT jnq e m χ π ? =? 在经典电子论中，功函数χ=W—— 势阱的深度 V 量子理论热电子发射电流密度的计算 经典电子论中的电子相当于导带中的电子，导带底与势阱对应，χ为导带底的一个电子离开金属必 须作的功（有时也称电子的真空能级）。如图XCH006_008所示。 根据金属中电子气模型，电子的能量： m k E 2 22 = = 电子的速度： dk kdE kv )(1 )( = =， m k v K =K = 电子的动量：kp K = K = REVISED TIME: 05-5-12 - 1 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406 电子的能量： 2 2 1 mvE = 单位体积（V=1）中，在 zyx dkdkdkkd = K 中量子态数：kddZ K 3 )2( 1 2 π ?= 由 m k v K =K =，vmk K = K 1 = —— 两边微分得到： xx mdvdk = 1 =， yy mdvdk = 1 =， zz mdvdk = 1 = vd m dZ K = 3 ) 2 (2 π ?= 费米分布函数： 2 1 ()/ 2 1 () 1 FB mv E k T fv e ? = + zyx dvdvdvvd = K 内统计平均电子数： 2 3 1 ()/ 2 1 2( ) 2 1 FB mv E k T m dZ dv e π ? =? + K = 离开金属表面电子的能量满足：TkEmv BF >>? 2 2 1 2 1 / /3 2 2( ) 2 B FB mv k T EkT m dn e e dv π ? =? K = —— 与vde Tk m ndn Tkmv B B K 2/ 2 3 0 2 ) 2 ( ? = π 对比 —— 2 3 0 /3 ) 2 () 2 (2 Tk m ne m B TkE BF ππ ?? = 从 TkB B e m Tk qnj χ π ? ?= 2/1 0 ) 2 (直接写出量子理论的计算结 果： 2 3 4( ) (2 ) F B E kT B mkT q je χ π π ? ? =? = 功函数： F EW ?=χ —— 如图XCH006_009所示 REVISED TIME: 05-5-12 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406 2. 不同金属中电子的平衡和接触电势 任意两块不同的金属A和B相互接触，或用导线连接，由于两块金属的费米能级不同，当相互接触 时可以发生电子交换，电子从费米能级较高的金属流向费米能级较低的金属，使一块金属的接触面 带正电（电子流出的金属），使另一块金属的接触面带负电（电子流入的金属），当两块金属达到平 衡后，具有相同的费米能级，电子不再流动交换。因此在两块金属中产生了接触电势差。如图 XCH006_010_01和XCH006_010_02所示。 V 接触电势差的计算 —— 如果两种金属的真空能级相同，即： AB χ χχ= = 单位时间从金属A单位表面逸出的电子数： 2 1 3 4( ) (2 ) A B W kT B mkT q Ie π π ? = = —— AF WE A χ=? 单位时间从金属B单位表面逸出的电子数： 2 2 3 4( ) (2 ) A B W kT B mkT q Ie π π ? = = —— BF WE B χ=? 如图XCH006_011所示，两种金属的费密能级不同，电子从费密能高的金属流向费密能低的金属。 REVISED TIME: 05-5-12 - 3 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406 如果, 从金属A逸出的电子数大于从金属B逸出的电子数，金属A接触面带正电，金属B 接触面带负电，它们分别产生的静电势： BA WW < 0,0 <> BA VV。 两块金属中的电子分别具有附加的静电势能： 00 >?<? BA qVandqV 此时金属A和金属B发射电子数： 2 1 3 2 2 3 4( ) (2 ) 4( ) (2 ) AA B B B B WqV kT B WqV kT B mkT q Ie mkT q Ie π π π π + ? + ? ′= ′ = = = 当两块金属达到平衡时： 12 AABB I IWqVWq′′=??→+ =+V 接触电势差： 1 ( AB B A VV WW q ?= ?) FB E and W E —— 将W AFAB χ χ= ?=?代入得到： 1 () A B FA FB VV E E q ?= ? 接触电势差来源于两块金属的费米能级不一样高。 电子从费米能级较高的金属流向费米能级较低的金 属，达到平衡时，电子不再流动，两块金属的费米 能级相同，接触电势差只好补偿了原来两块金属的 费米能级差。如图XCH006_012所示。 —— 脱出功为电子的真空能级χ与费米能级之 差：WE F E F χ=? FB E and W E —— 如果两种金属的真空能级不同，即：W AAFA BB χ χ= ?=? 接触电势差： 11 ()( AB FA FB B A VV E E qq )χ χ?= ? + ? REVISED TIME: 05-5-12 - 4 - CREATED BY XCH