1
Mechanics of Fluid
2
3
Chapter 7 Fundament of viscosity
liquid dynamics
§ 7–1 Introduction
§ 7–2 Dynamic differential equation of viscosity
liquid-Navier-Stokes equation
§ 7–3 Axial flowing between two concentric cylinder
§ 7–4 Flow between two parallel plates
§ 7–5 Flow around a sphere Flow with minor Reynolds
number
§ 7–6 Fundamental equation of turbulent
flow—Reynolds equation
Chapter 7 exercises
4
第七章 粘性流体动力学基础
§ 7–1 引言
§ 7–2 粘性流体的运动微分方程
——纳维 —斯托克斯方程
§ 7–3 两同心圆柱间的轴向流动
§ 7–4 两平行平板间的流动
§ 7–5 绕圆球的小雷诺数流动
§ 7–6 紊流的基本方程 —雷诺方程
第七章 习题
5
Chapter 7 Fundament of viscosity liquid dynamics
§ 7-1 Introduction
Real liquid in nature takes on viscosity,so study dynamics of
viscosity liquid is important to project,
6
第七章 粘性流体动力学基础
§ 7-1 引言
自然界中的真实流体都是具有粘性的，因此研究粘性流
体的动力学问题，对于工程实际有着重要的意义。
7
§ 7-2 Dynamic differential equation of viscosity liquid
——Navier—Stokes equation
In balanced or dynamic ideal fluid,surface force act on fluid micro-group only is
compressive stress(pressure) that normal to surface,and compressive stress takes on a
little isotropy.But in dynamic viscosity fluid,because of influence of viscosity,surface
force act on fluid micelle is not only compressive stress but also shear stress,
And compressive stress at one point does not take on isotropy any longer.Shown as
figure（ 7— 1）,because surface force have three component in each infinitesimal,so
one point in real fluid,such as stress of point A in figure can be expressed with stress
matrix composed of nine elements,
nP ?
一,stress in viscosity fluid
8
§ 7-2 粘性流体的运动微分方程
——纳维 —斯托克斯方程
在平衡流体或运动的理想流体中，作用在流体微团上的表面力
只有与表面相垂直的压应力（压强），而且压应力又具有一点上各
向同性的性质。但在运动的粘性流体中，由于粘性的影响，作用在
流体微团上的表面力不仅有压应力 还有切应力 。而且一点上
的压应力 也不在具有各向同性的性质了。如图（ 7— 1）所示，因为
每个微元表面上的表面力都有三个分量，故而实际流体中一点，例
如图中 A点上的应力可用九个元素组成的一个应力矩阵
nP ?
一、粘性流体中的应力
9
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
p
p
p
??
??
??
（ 7— 1）
Called two rank symmetrical stress
tensor.Sum of normal stress of its diagonal is invariable of stress
tensor,
definition,
Slat,that third of stress tensor invariable is average isotropy
pressure p。
10
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
p
p
p
??
??
??
（ 7— 1）
来代表。称之为二阶对称应力
张量。其对角线上法向应力之和为应力张量不变量。
定义,
应力张量不变量的三分之一统计平均各向各向同性压强 p。
11
First suffix of stress expresses direction of normal of surface that stress act
on; second suffix expresses direction of stress.When,denoting
normal stress,otherwise denoting shear stress.Making them labeled on three
infinitesimal surface concluding point A,then shown as figure 7— 1,here assuming
normal stress that outside acts on three surface along positive direction of
coordinate,shear stress along negative direction,
i
j ji? ijF
figure 7— 1 stress component of viscosity fluid
y
z
x
zzp
zx?
xy?
yyp
yz?
yx?
xxpxz?
xy?
A
12
应力的第一个下标 表示应力作用面的法线方向；第二个下
标 表示应力的方向。当 时 代表法向应力，否则代表切
应力 。将它们标注在包含 A点在内的三个微元表面上，则如图
7— 1所示，这里假定外界对微元这三个表面的法向应力都沿坐标
的正向，切向应力都沿坐标的负向。
i
j ji? ijF
y
z
x
zzp
zx?
xy?
yyp
yz?
yx?
xxpxz?
xy?
图 7— 1 粘性流体的应力分量
A
13
二, Constitutive equation
In order to establish constitutive equation of Newton fluid,
Stokes put forward following assumption,
(1)small deformation,viz,Stress and deformation velocity are linear,
(2)isotropy,that is relation of stress and deformation velocity do not
change with coordinate changing;
(3)when viscosity coefficient,stress state simplifies into ideal
stress state,0??
Narrating as preceding,when viscosity liquid occurs relative
motion
dt
d
dy
du ???? ?? （ 7— 2）
Equation that confirms relation of stress and deformation velocity called
constitutive equation,
Definition,
14
二,本构方程
为建立牛顿流体的本构方程，斯托克斯 提出如
下假设,? ?S to k e s
（ 1）小变形，即应力与变形速度成线性；
（ 2）各向同性，即应力与变形速度的关系不随坐标变换而
变化；
（ 3）当粘性系数 时，应力状态简化为理想流体的应
力状态。
0??
如前所述，当粘性流体发生相对运动时
dt
d
dy
du ???? ?? （ 7— 2）
确定应力与变形速度关系的方程叫做本构方程。
定义,
15
Due to dynamic analysis of fluid micro-group,angular
deformation velocity of fluid micro-group in plane xoy
y
u
x
u
dt
dd xy
z ?
??
?
???? ??? 2
taking replace in formula（ 7— 2）
dt
d?
dt
dd ?? ?
?
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x
u
z
u
z
u
y
u
y
u
x
u
zx
yxzzx
yz
xzyyz
xy
zyxxy
?????
?????
?????
2
2
2
similarly
?
（ 7— 3）
formula（ 7— 3） called general Newton internal friction law,
16
根据流体微团运动分析可知，流体微团在 xoy平面上的角
变形速度为
y
u
x
u
dt
dd xy
z ?
??
?
???? ??? 2
将式（ 7— 2）中 以 代之
dt
d?
dt
dd ?? ?
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???
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???
x
u
z
u
z
u
y
u
y
u
x
u
zx
yxzzx
yz
xzyyz
xy
zyxxy
?????
?????
?????
2
2
2
同理
?
（ 7— 3）
式（ 7— 3）称为广义牛顿内摩擦定律。
17
In viscosity fluid,alike angular deformation velocity produces
shear stress,linear deformation velocity produces appending shear
stress,According to Newton internal friction law
z
u
y
u
x
u
z
zz
y
yy
x
xx
?
?
??
?
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??
?
?
??
??
??
??
2
2
2
?
（ 7— 4）
formulas（ 7— 3）、（ 7— 4） are constitutive equations
18
在粘性流体中，与角变形速度产生切应力一样，线变形
速度产生附加切应力。根据牛顿内摩擦定律
z
u
y
u
x
u
z
zz
y
yy
x
xx
?
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??
?
?
??
?
?
??
??
??
??
2
2
2
?
（ 7— 4）
式（ 7— 3）、（ 7— 4）为本构方程。
19
In fact when fluid moving,normal stress of one
point is
5 a )(7
2
2
2
—
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z
u
ppp
y
u
ppp
x
u
ppp
z
tzztzz
y
tyytyy
x
txxtxx
??
??
??
where is dynamic pressure in ideal fluid motion,
tp
From Stat,definition of average isotropy on
pressure,obtaining
20
实际流体运动时，一点上的法向应力为
5 a )(7
2
2
2
—
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????
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z
u
ppp
y
u
ppp
x
u
ppp
z
tzztzz
y
tyytyy
x
txxtxx
??
??
??
式中 为理想流体运动时的动压强。
tp
由统计平均各向同性压强的定义，得
21
5 b )(7 )(32)(31 —zuyuxuppppp zyxtzzyyxx ????????????? ?
Eliminating from formula（ 7— 5a）、（ 7— 5b）,then obtaining
5 c )(7
2)(
3
2
2)(
3
2
2)(
3
2
—
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z
u
z
u
y
u
x
u
pp
y
u
z
u
y
u
x
u
pp
x
u
z
u
y
u
x
u
pp
zzyx
zz
yzyx
yy
xzyx
xx
??
??
??
22
5 b )(7 )(32)(31 —zuyuxuppppp zyxtzzyyxx ????????????? ?
从（ 7— 5a）、（ 7— 5b）两式中消去,则得
5 c )(7
2)(
3
2
2)(
3
2
2)(
3
2
—
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z
u
z
u
y
u
x
u
pp
y
u
z
u
y
u
x
u
pp
x
u
z
u
y
u
x
u
pp
zzyx
zz
yzyx
yy
xzyx
xx
??
??
??
23
? ? d x d y d zkfjfifd x d y d zf zyxm ?? ??? ???
Supposing velocity of infinitesimal is,then particle acceleration u?
kdtdujdtduidtdudt ud zyx ???
?
???
According to,listing motion equation of infinitesimal
parallel to direction x ? ? amF
??
d x d y d z
dt
du
d x d ydz
z
d x d y
d x d zdy
y
d x d zd y d zdx
x
p
pd y d zpd x d y d zf
xzx
zxzx
yx
yxyx
xx
xxxxx
?
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????
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???
Supposing density of fluid infinitesimal in figure 7— 1 is,
then mass of infinitesimal is
potential body force is
?
,d x d y d z?
三,Navier-Stokes equation
24
设图 7— 1所示流体微元的密度为,则微元质量为
有势的质量力为
?,d x d y d z?
? ? d x d y d zkfjfifd x d y d zf zyxm ?? ??? ???
设微元的速度为,则质点的加速度为 u?
kdtdujdtduidtdudt ud zyx ???
?
???
根据,列出微元在 x 方向上的运动方程式为 ? ? amF ??
d x d y d z
dt
du
d x d ydz
z
d x d y
d x d zdy
y
d x d zd y d zdx
x
p
pd y d zpd x d y d zf
xzx
zxzx
yx
yxyx
xx
xxxxx
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???
三、纳维 —斯托克斯（ N—S）方程
25
Obtaining
dt
du
zyx
pf xzxyxxx
x ????
?
???
?
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??
?
??
?
?? ??
?
1
Substituting （ 7— 5c）、（ 7— 3） into,obtaining
dt
du
z
u
y
u
x
u
x
v
z
u
y
u
x
u
v
x
P
f
xzyx
xxx
x
???
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3
1
2
2
2
2
2
2
?
Similar motion equation are obtained for infinitesimal
parallel to direction y, z,
26
整理得
dt
du
zyx
pf xzxyxxx
x ????
?
???
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?
??
?
??
?
?? ??
?
1
将式（ 7— 5c）、（ 7— 3）代入，整理得
dt
du
z
u
y
u
x
u
x
v
z
u
y
u
x
u
v
x
P
f
xzyx
xxx
x
???
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3
1
2
2
2
2
2
2
?
同理可得微元 y, z 方向上运动方程式，于是有
27
5 d )(7
)(
3
1
)(
3
1
)(
3
1
2
2
2
—
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u
z
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uv
z
p
f
dt
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y
v
uv
y
p
f
dt
du
u
x
v
uv
x
p
f
dt
du
zz
z
yy
y
xx
x
?
?
?
Vector formula is,
)(31)( 2 uvuvpfuutudt ud m ??????????????? ?
Formula （ 7— 5d） is general motion differential equation for all
Newton fluid under condition it also called Navier-Stokes
equation,C o n st??
28
5 d )(7
)(
3
1
)(
3
1
)(
3
1
2
2
2
—
?
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u
z
v
uv
z
p
f
dt
du
u
y
v
uv
y
p
f
dt
du
u
x
v
uv
x
p
f
dt
du
zz
z
yy
y
xx
x
?
?
?
向量式为,
)(31)( 2 uvuvpfuutudt ud m ??????????????? ?
式（ 7— 5d）是在 条件下对一切牛顿流体都普遍
适用的运动微分方程式，亦称之为纳维 — 斯托克斯方程。
C o n st??
29
Physical meaning of this equation
is a c c l e r a tion o f f l u id p a r tic l e
ine r tia l f o r c e o f u n it m a ss f l u id)
is m a ss f o r c e o f u n it m a ss th a t a c t o n
f l u id m ic r o - g r o u p ;
1
is p r e ss u r e c o m p o sition o f u n it m a ss
m
du
dt
f
p
?
??
（ ；
2
f l u id tha t a c t o n l iqu id m ic r o - g r o u p;
is v isc o sity s h e a r p r e ss c o m p o sition o f u n it
m a ss f l uid tha t a c t on f l ui d m ic r o - g r o u p ;
( ) is v isc o sity v o l u m e e x p a n sib il ity o f u n it
3
vu
v
u
?
? ? ?
m a ss f l uid tha t a c t on f l u id m ic r o - g r o u p,
Form of formula（ 7— 5d） applied to impressible fluid,
30
方程的物理意义,
胀力。位质量流体粘性体积膨为作用在流体微团上单
力；位质量流体粘性剪切合为作用在流体微团上单；位质量流体的压强合力为作用在流体微团上单－
位质量的质量力；为作用在流体微团上单右边；位质量流体的惯性力）为流体质点加速度（单左边
)(
3
1
2
u
v
uv
p
f
dt
ud
m
???
?
?
?
式（ 7— 5d）应用于不可压缩流体的形式为
31
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
uv
z
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
uv
y
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
uv
x
p
f
z
z
z
y
z
x
zz
zz
y
z
y
y
y
x
yy
yy
x
z
x
y
x
x
xx
xx
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?
????
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?
2
2
2
1
1
1
?
?
?
?
（ 7— 6）
This is motion differential equation of imcompressible fluid,
usually called Navier-Stokes equation（ N— S equation）,
here
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
32
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
uv
z
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f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
uv
y
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
uv
x
p
f
z
z
z
y
z
x
zz
zz
y
z
y
y
y
x
yy
yy
x
z
x
y
x
x
xx
xx
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????
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2
2
2
1
1
1
?
?
?
?
（ 7— 6）
这就是不可压缩粘性流体的运动微分方程，通常称为纳
维 — 斯托克斯方程式（ N— S方程）。
式中
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
33
Similarly,in cylindrical coordinate
? ?
dt
du
uv
z
p
f
r
uu
dt
du
r
uu
r
uv
r
p
f
r
u
dt
du
r
uu
r
uv
r
p
f
z
zz
rr
rr
rr
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2
22
2
2
22
2
1
21
21
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???
??
??
?
（ 7— 7）
here
z
u
r
u
r
u
tdt
d
zrrrr
zr
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1
11
2
2
2
2
22
2
2
34
同理，在柱坐标中
? ?
dt
du
uv
z
p
f
r
uu
dt
du
r
uu
r
uv
r
p
f
r
u
dt
du
r
uu
r
uv
r
p
f
z
zz
rr
rr
rr
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2
22
2
2
22
2
1
21
21
?
???
??
???
??
??
?
（ 7— 7）
式中
z
u
r
u
r
u
tdt
d
zrrrr
zr
?
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?
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1
11
2
2
2
2
22
2
2
35
In spherical coordinate,motion equation
?
?
???
??
?
??????
?
???
??????
???
??
?
??
??????
?
??
?
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11
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c o t2
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21
s i n
c o s
2
c o s
2221
22222
2
2
22222
2
22
2222
2
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uu
r
uuu
r
uu
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u
r
u
u
t
u
u
r
u
rr
u
uv
p
r
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（ 7— 8）
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2
2
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11
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36
在球坐标中，运动方程式
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??????
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c o s
2
c o s
2221
22222
2
2
22222
2
22
2222
2
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uu
r
uuu
r
uu
r
u
r
u
u
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u
u
r
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????
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（ 7— 8）
式中
???
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???
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???
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???
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??
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???
2
2
222
2
2
2
s in
1s in
s in
11
????? rrrrrr
37
§ 7-3 Axial flow between two concentric cylinder
Shown as figure 7— 2,In a circular tube with radius,there is a
cylinder with radius,they are coaxial,Assume circular tube fixed
cylinder moves at constant velocity ;fluid flows parallel to direction
axis,
1r
2r
?
z
r
1r
2r
figure7— 7 Axial flow between
two concentric cylinder
38
§ 7-3 两同心圆柱间的轴向流动
如图 7— 2所示，半径为 的圆管内有一半径为 的同轴圆柱
体。设圆管固定，圆柱体以匀速 运动，流体沿轴向流动。
1r 2r
?
z
r
1r
2r
图 7— 7两同心圆柱体间的轴向流动
39
Using cylinder coordinate,making axis z coincidence with tube axis,for
symmetry and fluid flows parallel to axial direction; then
Substituting it into continuous equation（ 3— 15） getting,viz.,
to steady flow,
Neglecting body force,then N— S equation（ 7— 7） become
0,0 ????? ??uu r
0??? zu z ? ?ruu zz ?
0???t
0
11
0
1
2
2
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r
u
rr
u
v
z
p
r
p
zz
?
?
?
（ 7— 9）
40
采用柱坐标系，使 z 轴与管轴重合，由于对称性和流体沿轴
向流动，则有 。据此代入连续性微分方程式
（ 3— 15）得,即,对于定常流动,
若不计质量力，则 N— S方程式（ 7— 7）成为
0,0 ????? ??uu r
0??? zu z
? ?ruu zz ? 0?
?
?
t
0
11
0
1
2
2
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r
u
rr
u
v
z
p
r
p
zz
?
?
?
（ 7— 9）
41
Analyzing first formula from （ 7— 8） and knowing
,considering,then second formula can be changed ? ?zPP ?? ?ruu
zz ?
dz
dp
dr
du
r
dr
d
r
dz
dp
dr
du
rdr
ud
z
zz
?
?
11
11
2
2
??
?
?
?
?
?
??
or
In above formula left is function of r,right is function of z,if
the equation comes into existence,need,integrating
above formula,obtaining c o n s t a n t?dzdp
21
2 ln
4
1 CrCr
dz
dpu
z ??? ?
（ 7— 10）
42
由式（ 7— 8）中的第一式分析可知,考虑到
，则第二式可改写为
? ?zPP ? ? ?ruu zz ?
dz
dp
dr
du
r
dr
d
r
dz
dp
dr
du
rdr
ud
z
zz
?
?
11
11
2
2
??
?
?
?
?
?
??
或
上式左端是 r 的函数，右端是 z 的函数，要使等式成立，必
有,积分上式得
常数?dzdp
21
2 ln
4
1 CrCr
dz
dpu
z ??? ?
（ 7— 10）
43
Utilizing boundary condition,getting
Uuu rrzrrz ?? ?? 21 0 和
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
1
1
2
2
1
2
22
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
ln
ln
4
1
ln
ln
ln
4
1
r
r
r
rr
r
dz
dp
r
r
rU
C
r
r
rr
dz
dp
U
C
?
?
Substituting it into formula （ 7— 10） leads to
This is velocity distribution law of steady laminar flow between
two concentric cylinder,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
1
1
2
2
1
2
222
1
1
1
2
ln
ln4
1
ln
ln r
r
r
r
rr
rr
dz
dp
r
r
r
r
U
u z
?
（ 7— 11）
44
利用边界条件 可得 Uuu
rrzrrz ?? ?? 21 0 和
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
1
1
2
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1
2
22
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
ln
ln
4
1
ln
ln
ln
4
1
r
r
r
rr
r
dz
dp
r
r
rU
C
r
r
rr
dz
dp
U
C
?
?
将其代入式（ 7— 10）得
这就是两同心圆柱体间的定常层流流动的速度分布规律。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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????
1
1
2
2
1
2
222
1
1
1
2
ln
ln4
1
ln
ln r
r
r
r
rr
rr
dz
dp
r
r
r
r
U
u z
?
（ 7— 11）
45
when,simplifying formula（ 7— 11） 0
2 ?r
? ?2214 1 rrdzdpu z ??? ? （ 7— 12）
jar piston
L
F
Pe
d
?
figure 7— 3 example 7— 1
sPa ?? 1.0?
mml 3 0 0?
[example7-1]Shown as figure7— 3 relative pressure of oil in jar
driving viscosity coefficient of oil,diameter of piston d=50mm
,length of sleeve,clearance between sleeve and piston
Assuming to push piston making it fixed with force F,finding oil losses Q,
,10418.29 4 PaP e ??
m m,05.0??
46
当 时，式（ 7— 11）可化简为 02 ?r
? ?2214 1 rrdzdpu z ??? ? （ 7— 12）
油缸 柱塞
L
F
Pe
d
?
图 7— 3 例题 7— 1 图
[例题 7—1]已知图 7— 3所示的油缸内油的相对压强
油的动力粘性系数,柱塞的直径 d=50mm，套筒的长
度 。套筒与柱塞间隙 设以力 F推着柱塞使
其保持不动，试求油的漏损流量 Q。
,10418.29 4 PaP e ??
sPa ?? 1.0?
mml 3 0 0? m m,05.0??
47
[solution] in formula（ 7— 11）,at making
velocity distribution
0??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
1
1
2
2
1
2
222
1 ln
ln4
1
r
r
r
r
rr
rr
dz
dp
u z
?
（ 7— 13）
Then losses through annulus aperture
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ?
1
2
24
1
2
24
2
4
1
ln8
2
1
2
r
r
rr
rr
dz
dp
r d ruQ
r
r
z
?
?
? （ 7— 14）
here;252,05.2505.0252 21 mmdrmmdr ??????? ?
48
[解 ] 在式（ 7— 11）中令 的速度分布为 0??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
1
1
2
2
1
2
222
1 ln
ln4
1
r
r
r
r
rr
rr
dz
dp
u z
?
（ 7— 13）
则流过环形缝隙的漏损流量为
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ?
1
2
24
1
2
24
2
4
1
ln8
2
1
2
r
r
rr
rr
dz
dp
r d ruQ
r
r
z
?
?
? （ 7— 14）
式中;252,05.2505.0252 21 mmdrmmdr ??????? ?
49
Pressure gradient in clearance between piston and sleeve
mK P aL pdzdp e /6.9803.0 10418.2900
4
???????
Substituting known data into above
formula（ 7— 13）,obtaining
? ?
scmsm
Q
338
222
44
0 1 6.01060.1
0 2 5 0 5.0
0 2 5.0
ln
0 2 5 0 5.00 2 5.0
0 2 5.00 2 5 0 5.09 8 0 6 0 0
1.08
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
50
柱塞与套筒间隙中的压强梯度
mK P aL pdzdp e /6.9803.0 10418.2900
4
???????
将已知数据代入式（ 7— 13），得
? ?
scmsm
Q
338
222
44
0 1 6.01060.1
0 2 5 0 5.0
0 2 5.0
ln
0 2 5 0 5.00 2 5.0
0 2 5.00 2 5 0 5.09 8 0 6 0 0
1.08
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
51
§ 7-4 Flow between two parallel plates
Shown as figure7— 4,supposing dimension of plates is
infinity,and lower plate is fixed,the upper plate moves at constant
velocity U,liquid flows parallel to direction y,
U
x
o y
z
?
figure7— 4 flow between two
parallel plates
Due to flowing velocity is constant
,and plate’s dimension is infinity along
direction x,and liquid flows parallel to
direction z,so from
continuous differential equation（ 3— 14）
obtaining,if body force
is only gravity,then N—
S equation（ 7— 6） become
0???t
,0,0 ????? xuu zx
? ?zuuyu yyy ???? v i z,,0
gfff zyx ????,0
52
§ 7-4 两平行平板间的流动
如图 7— 4所示，设平板尺寸无限大，且下板固定，上板
以匀速 U运动，流体沿 y 方向流动。
U
x
o y
z
?
图 7— 4两平行平板间的流动
由于流动定常，,又因平
板在 x 方向尺度为无穷大，且流体
仅沿 z 方向流动,
故据此由连续微分方程式（ 3— 14）
得 。若质量力
仅有重力，,则
N— S方程式（ 7— 6）成为
0???t
,0,0 ????? xuu zx
? ?zuuyu yyy ???? 即,0
gfff zyx ????,0
53
0
1
0
1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
???
z
u
v
y
p
dz
dp
g
y
?
?
?
（ 7— 15）
Analyzing from first formula from equation（ 7— 15）,
pressure gradient along direction y is irrespective with z
considering,then second formula become into y
p
?
?
? ?zuu yy ?
y
p
dz
ud y
?
??
?
1
2
2
Integrating above formula two times with respect to z yields
21
2
2
1 CzCz
y
pu
y ???
??
?
54
0
1
0
1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
???
z
u
v
y
p
dz
dp
g
y
?
?
?
（ 7— 15）
由式（ 7— 15）中第一式分析可知,y方向的压强梯度
考虑到,则第二等式改写成
无关，与 zyp??
? ?zuu yy ?
y
p
dz
ud y
?
??
?
1
2
2
将上式对 z 两次积分，得
21
2
2
1 CzCz
y
pu
y ???
??
?
55
Utilizing boundary condition can
evaluate integral constant Uuu zyzy ?? ?? ? a n d 00
0,2 1 21 ????? CypUC ???
Then obtaining velocity distribution
? ? zzypzUu y ????? ??? 2 1
（ 7— 16）
56
利用边界条件 可以确定出积分常数 Uuu
zyzy ?? ?? ?和00
0,2 1 21 ????? CypUC ???
于是得速度分布为
? ? zzypzUu y ????? ??? 2 1
（ 7— 16）
57
[example7—2]Try to solute example 7-1 with this section method,
? ? yyzpu z ????? ??2 1
Then losses through aperture
? ? 3
00 122
??????? ?? zpdy d yyzpddyduQ z ??????????? ??
here
k P a /m6.9803.0 10418.2900
4
????????? L pzp e
substituting known data into precious formula and leads to,
is same with calculating result that according to concentric annulus flowing,scmQ
20 1 6.0?
because of piston is fixed,so it is pressure difference flowing
problem,from formula（ 7— 16） making,obtaining velocity
distribution
[solution] spreading concentric annulus aperture between piston
and sleeve on plane,then translate into plane aperture with width d?
0?U
58
[例题 7—2]试用本节所述方法求解例 7— 1。
[解 ] 将柱塞与套筒间的同心环形缝隙在平面上展开，则转
化成宽度为 的平面缝隙。 d?
? ? yyzpu z ????? ??2 1
则通过缝隙的漏损流量为
? ? 3
00 122
??????? ?? zpdy d yyzpddyduQ z ??????????? ??
其中
k P a /m6.9803.0 10418.2900
4
????????? L pzp e
将已知数据代入前式得,与按同心环形缝隙
流动计算结果相同。
scmQ 20 1 6.0?
0?U
因柱塞保持不动，故知为压差流动问题，由式（ 7— 16）令
得速度分布为
59
§ 7-5 Flow around a sphere flow with minor Renault number
In project,we usually study slow motion of solid mote and liquid particle in
fluid,here,sphere is general geometry form.Such as coal grain and oil particle in
hearth,dust in flue mist,blob in vapor and sedimentation sand in water,all these
can approximately considered as little sphere,To these study,usually according to
relative motion theory in mechanics,consider sphere fixed,and take relative
velocity of sphere and liquid as flow velocity,translate original unstable
problems into stable problems,?u
Applying spherical coordinate is convenient to study surrounding flow
problems,Shown as figure 8— 9,take sphere center as coordinate origin,make
become flowing direction,In slowly flowing(squirming flow) with minor Renault
number circumstance,producing viscosity force that liquid possess control function
to sphere,inertia is much little comparing to it,so neglecting non-linear inertia term
in study,according to steady and axis symmetry condition,
if neglecting body force,then N—S equation（ 7— 8） andcontinuity equation（ 3—
15a） can be simplified
0??
,0,0,0 ??????? ?? ut
60
§ 7-5 绕流圆球的小雷诺数流动
在工程实际中，我们经常要研究固体微粒和液体细滴在流体
中的缓慢运动，这里，圆球是经常遇到的几何形状。如炉膛空气
流中的煤粉颗粒，油滴，烟道烟气中的灰尘，水蒸气中的水滴以
及水中沉降的泥砂等，都可以近似看作小圆球。对这些小圆球的
研究，通常根据力学上的相对运动原理，将圆球视作不动，而把
圆球和流体的相对速度作为来流速度 将原来的非定常问题转
化为定常问题来处理。,?u
研究圆球绕流问题，采用球坐标系较为方便。如图 8— 9所
示，取球心为坐标原点，使 为流动方向。在小雷诺数的
缓慢流动（又称蠕流）情况下，有流体对球体起控制作用的粘
性力，惯性力与之比较要小得多，因此研究中可以略去非线性
的惯性项不计，根据定常及轴对称条件,
若不计质量力，则 N—S方程式（ 7— 8）及连续性方程式（ 3—
15a）可简化为
0??
,0,0,0 ??????? ?? ut
61
0
c o t21
2
s i n
1c o t21
2c o t221c o t2
2222
2
222
2
2222
2
222
2
???
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uu
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u
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uu
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u
rr
u
rr
u
r
u
r
u
rr
uu
r
u
rr
u
rr
u
r
rr
rr
rrrrrr
?
（ 7— 17）
Considering spherical surface and infinite far condition when viscosity
fluid flows around a sphere,
??? ??????
??? ppuuuur uurr
r
r,s i n,c o s;w he n 0,0;w he n 0 ??
?
?
??
?
?
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c o s
2
3
4
1
4
3
1s i n
2
1
2
3
1c o s
0
3
3
00
3
3
00
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（ 7— 18）
Obtaining
62
0
c o t21
2
s i n
1c o t21
2c o t221c o t2
2222
2
222
2
2222
2
222
2
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r
u
r
u
rr
uu
r
u
rr
u
rr
u
r
rr
rr
rrrrrr
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（ 7— 17）
考虑粘性流体绕圆球流动时球面上和无穷远处的边界条件
??? ??????
???
ppuuuur
uurr
r
r
,s i n,c o s
0,00
?? ?
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时
时
??
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3
4
1
4
3
1s i n
2
1
2
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0
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3
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r
pp
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r
r
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uu
r
r
r
r
uu
r
?
（ 7— 18）
可得解
63
Confirm stress in spherical surface through using above formula,owing to sphere
is axial symmetry,its composition of force must along direction z,obtaining
?? ?? duurF D ???? 36 0
（ 7— 19）
This is Stokes equation of flow resistance force when flow around a sphere
with minor Renault number,in formula d is sphere diameter,Formula（ 7— 19）
can be changed into,
2
2
?? uACF
DD
?
（ 7— 20）
here A is incident flow area,to sphere,; is dimensionless
resistant coefficient 24 dA ?? DC
Re
24
2
2 ?
?
?
?uA
FC D
D ?
（ 7— 21）
here,proved by experiment,only when Renault number is
above formula is correct,?? ?? duRe
1Re??
64
利用上式可以确定圆球表面上的应力，由于圆球为轴对
称，其合力必沿 z 方向，可解得
?? ?? duurF D ???? 36 0
（ 7— 19）
这就是小雷诺数绕圆球流动阻力的斯托克斯公式，式中 d
为圆球直径。式（ 7— 19）也可改写成,
2
2
?? uACF
DD
?
（ 7— 20）
式中,A为迎流面积，对圆球而言,； 为无量纲
阻力系数
2
4 dA
?? DC
Re
24
2
2 ?
?
?
?uA
FC D
D ?
（ 7— 21）
式中,实验证明，只有当雷诺数 时，
上式才正确。 ?
? ?? duRe 1Re ??
65
general formula of sedimentation with constant
velocity when particle in liquid,
gdCu
D ?
?? ???
3
4
h e r e d e n s i t y o f p a r t i c l e
d e n sity o f f l u id,
?
?
?,—,
—
66
颗粒在流体中的等速沉降速度一般公式为,
gdCu
D ?
?? ???
3
4
流体密度。—
颗粒密度，—式中：
?
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67
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T
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aaaa
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2121
2121
11
0
???
1,
2,
3,
4,
5,
6,
（ 7— 22）
（ 7— 23）
（ 7— 24）
（ 7— 25）
（ 7— 26）
（ 7— 27）
§ 7-6 Renault equation--fundamental equation of turbulent flow
p
Liquid particles mixed each other during motion process,velocity
and pressure of certain point in space change with time,supposing
transient velocity of certain point is,transient pressure
,deal with it with method of hourly in project.,,,zyx uuu
Supposing transient value of turbulent flow element,here
are hourly value and pulse value.Proving by average definition of time,iii aaa ??? ii aa ? and
Fundamental character of turbulent flow,
68
§ 7-6 紊流的基本方程 —雷诺方程
,,,zyx uuu
液体质点在运动过程中彼此互相混掺，某一空间点处的流速
及压强随时间而变化，设某一空间点处的瞬时流速为
瞬时压强为,工程上常采用时均化的处理方法。 p
设紊流流动要素瞬时值,这里 分别为相应的
时均值和脉动值。由时间平均定义可证明,
iii aaa ??? ii aa ?和
? ?? ?
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aa
aaaa
acca
aaaa
00
2121221121
2121
2121
11
0
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1,
2,
3,
4,
5,
6,
（ 7— 22）
（ 7— 23）
（ 7— 24）
（ 7— 25）
（ 7— 26）
（ 7— 27）
紊流的基本特征,
69
h e r e m a y b e o r o r z o r x y t? 。
? ? ? ? ? ?
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
z
u
y
u
x
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z
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2
2
2
2
2
21
?
Get average to time for above formula,according to hourly algorithm,and get
hourly continuous differential equation
0????????? zuyuxu zyx
（ 7— 28)
Utilizing above hourly algorithm to deduce Renault equation when velocity is
constant in turbulent flow,
Take axis x as example,make each term in continuity equation（ 3- 14)multiply
and then combine with right of first formula in equation（ 7— 7） and getting xu
70
。或或或可为式中 tzyx?
? ? ? ? ? ?
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
z
u
y
u
x
uv
z
pf zxyxxxxxxx
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2
2
2
2
2
21
?
对上式进行时间平均，根据时均运算法则，并且时均化后
的连续性微分方程
0????????? zuyuxu zyx
（ 7— 28)
下面我们利用上述时均运算法则，导出紊流时均匀运动的雷
诺方程。
以 x轴为例，将连续方程式（ 3— 14)各项乘以 后叠加在式
（ 7— 7）中第一式的右端得
xu
71
obtaining
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x
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z
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x
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z
y
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y
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y
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y
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z
x
y
x
x
x
yxyxyx
xxx
x
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?
???
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???
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
—— (7— 29)
72
可得
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y
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xzzzz
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y
y
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x
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y
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z
x
y
x
x
x
yxyxyx
xxx
x
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
—— (7— 29)
73
Formula（ 7— 28） is fundamental equation of turbulent flow,it is
first advanced by Renault in1894,so also called Renault equation,
Comparing Renault equation andＮ —Ｓ equation which is suitable for
laminar flow or transient motion in turbulent flow,six terms are exist in Renault
equation
)(
),(),(,,,
zxxz
yzzyxyyxzzyyxx
uuuu
uuuuuuuuuuuuuu
????
??????????????
??
???????
,former and behind three terms are appending
normal stress and appending shear stress,all called Renault stress,
Renault equation and hourly continuous differential equation
are total four equation,but there are ten unknown quantity,so
equation group is not close,so it can not solute with these four
fundamental equation,turbulent flow problems still need supply
new equation,
74
式（ 7— 28）即为紊流的基本方程，它是 1894年由雷诺首
先提出的，故又称雷诺方程。
将雷诺方程与适用于层流或紊流瞬时运动的 Ｎ —Ｓ 方程相
比较，可以看出雷诺方程多出了
)(
),(),(,,,
zxxz
yzzyxyyxzzyyxx
uuuu
uuuuuuuuuuuuuu
????
??????????????
??
???????
六项，其中前、后三项分别表示紊流脉动
而产生的附加法向应力和附加切应力，统称为雷诺应力。
雷诺方程加上时均连续性微分方程共有四个方程式，而未
知量却有十个，故方程组不封闭，因此仅用这四个基本方程无
法求解，紊流问题还需补充新的方程式。
75
Chapter 7 exercises
x
y
2h
7-1 Finding viscosity compressive shear stress and shear stress ?xx,
?yy and ?xy,following flow velocity component is known
(1) ux = 2ax,uy = － ay
(2) ux = － y/(x2+y2),uy = x/(x2+y2)
7-2 Finding following parameters of impressible steady viscosity flow
in two-dimension fixed parallel plates (neglecting body force),
(1) expression of velocity u and max velocity umax ;
(2) expression of pressure dropping p in length L ;
(3) average velocity in section ;
(4) shear stress in wall surface ?0 ;
(5) overall friction force T,
?
u
7-2 problem figure
76
第七章 习题
7— 1 求粘性压应力 ?xx, ?yy 和 ?xy,已知流速分量为,
(1) ux = 2ax,uy = － ay
(2) ux = － y/(x2+y2),uy = x/(x2+y2)
7－ 2 试求二维固定平行壁之间不可压缩定常粘性流动（略去质
量力）的下列参数,
（ 1）速度 的表达式和最大流速 umax ；
（ 2）一段长度 L上的压强降 p 的表达式；
（ 3）求断面平均流速 ；
（ 4）壁面切应力 ?0 ；
（ 5）总摩擦力 T。
?
u
x
y
2h
7－ 2 题 附图
77
solution,
22
22
22
22
1 l i st i ng c ont i nui t y e qua t i on
0
1
N S e qua t i on ( )
1
( )
due to ( ),0
uv
xy
u u p u u
uv
x y x x y
v v p v v
uv
x y y x y
u u y v
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N S e qua t i on be c om e int o
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show i ng c ha ngi ng onl y a l ong a xi s,
1
i nt e gr a t i ng two ti m e s ( ) (
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p
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h u C C
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78
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2
,0,0,y
)
2
)((
1
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SN
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)(
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1
SN
0
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2
21
21
2
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2
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2
2
2
2
2
h
CCuh
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y
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积分二次：
轴方向变化。仅沿说明
方程变为：—
因为
方程—
列连续性方程）（
79
2 2 2
m a x
m a x m a x
22
m a x
m a x22
00
2 2 2
m a x
00
11
( ) p a r a bol a distr ibuti on
22
22
2 ;
2
2
1 1 1 1 2
3 ( )
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LL
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u h y u h
xx
uup dp
x h dx h
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，
（ ）
（ ）
0
0 0 0
m a x
0
4 )
5 w a l l sur f a c e f r ic ti on f or c e of unit w idt h
( 1 )
tot a l f r ic ti on f or c e in tw o side w a l l
2 2( ) 4
c om pa r ing w it h pr e s
h
up
h
yx
L
T A L L
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T L hL L
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??
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（ ） ＝ （
（ ）
m a x
sur e dr opp ing ( 2 1 ) 4
the r e f or e,pr e ssur e dr opp ing a l l use d to ov e r c om e f r ic ti on r e sist a nt f or c e of w a l l,
u
p pA p h L
h
?
? ? ? ? ? ? ?
80
力。用于克服壁面的摩擦阻由此可知，压力降全部
压力降比较与
两侧壁面总摩擦力
壁面摩擦力单位宽度）（
（＝）（
）（
）（
抛物线分布，
4)12(
4)(22
)1(
5
) 4
3
2
3
1
)(
2
111
3
2
2
2;
2
2
2
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)(
2
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m a x
0
000
0
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22
L
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L
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??
?
81
7— 3 follow 7-2,if upper wall moves right with constant velocity,
distance between two walls is h,analyzing flow velocity,
.0 a n d 0,0
ofo n d i s t r i b u t i v e l o c i t y f l o w a n a l y z i n g
f l o w,G u a i t c a l l e d f l o w t h i s
)1(
2
o b t a i n i n g a n d f o r m u l a i n t o gs u s t i t u t i n),
1
/()
2
1
(
,,,0,0,0 c o n d i t i o nb o u n d a r y
s o l u t i o n
2
1
2
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Uu
u
x
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x
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h
U
C
UuhyCuy
?
??
：
：
82
7— 3 接 7— 2,若上壁面以匀速 U 向右运动，两壁间距为 h,
分析流速。
三种流动的流速分布。和请学生分析
这种流动称古艾特流。
式得代入
解：边界条件为：
00,0
)1(
2
),
1
/()
2
1
(
,,,0,0,0
2
1
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h
y
Uu
u
x
ph
x
p
h
U
C
UuhyCuy
?
??
83
84
Mechanics of Fluid
2
3
Chapter 7 Fundament of viscosity
liquid dynamics
§ 7–1 Introduction
§ 7–2 Dynamic differential equation of viscosity
liquid-Navier-Stokes equation
§ 7–3 Axial flowing between two concentric cylinder
§ 7–4 Flow between two parallel plates
§ 7–5 Flow around a sphere Flow with minor Reynolds
number
§ 7–6 Fundamental equation of turbulent
flow—Reynolds equation
Chapter 7 exercises
4
第七章 粘性流体动力学基础
§ 7–1 引言
§ 7–2 粘性流体的运动微分方程
——纳维 —斯托克斯方程
§ 7–3 两同心圆柱间的轴向流动
§ 7–4 两平行平板间的流动
§ 7–5 绕圆球的小雷诺数流动
§ 7–6 紊流的基本方程 —雷诺方程
第七章 习题
5
Chapter 7 Fundament of viscosity liquid dynamics
§ 7-1 Introduction
Real liquid in nature takes on viscosity,so study dynamics of
viscosity liquid is important to project,
6
第七章 粘性流体动力学基础
§ 7-1 引言
自然界中的真实流体都是具有粘性的，因此研究粘性流
体的动力学问题，对于工程实际有着重要的意义。
7
§ 7-2 Dynamic differential equation of viscosity liquid
——Navier—Stokes equation
In balanced or dynamic ideal fluid,surface force act on fluid micro-group only is
compressive stress(pressure) that normal to surface,and compressive stress takes on a
little isotropy.But in dynamic viscosity fluid,because of influence of viscosity,surface
force act on fluid micelle is not only compressive stress but also shear stress,
And compressive stress at one point does not take on isotropy any longer.Shown as
figure（ 7— 1）,because surface force have three component in each infinitesimal,so
one point in real fluid,such as stress of point A in figure can be expressed with stress
matrix composed of nine elements,
nP ?
一,stress in viscosity fluid
8
§ 7-2 粘性流体的运动微分方程
——纳维 —斯托克斯方程
在平衡流体或运动的理想流体中，作用在流体微团上的表面力
只有与表面相垂直的压应力（压强），而且压应力又具有一点上各
向同性的性质。但在运动的粘性流体中，由于粘性的影响，作用在
流体微团上的表面力不仅有压应力 还有切应力 。而且一点上
的压应力 也不在具有各向同性的性质了。如图（ 7— 1）所示，因为
每个微元表面上的表面力都有三个分量，故而实际流体中一点，例
如图中 A点上的应力可用九个元素组成的一个应力矩阵
nP ?
一、粘性流体中的应力
9
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
p
p
p
??
??
??
（ 7— 1）
Called two rank symmetrical stress
tensor.Sum of normal stress of its diagonal is invariable of stress
tensor,
definition,
Slat,that third of stress tensor invariable is average isotropy
pressure p。
10
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
p
p
p
??
??
??
（ 7— 1）
来代表。称之为二阶对称应力
张量。其对角线上法向应力之和为应力张量不变量。
定义,
应力张量不变量的三分之一统计平均各向各向同性压强 p。
11
First suffix of stress expresses direction of normal of surface that stress act
on; second suffix expresses direction of stress.When,denoting
normal stress,otherwise denoting shear stress.Making them labeled on three
infinitesimal surface concluding point A,then shown as figure 7— 1,here assuming
normal stress that outside acts on three surface along positive direction of
coordinate,shear stress along negative direction,
i
j ji? ijF
figure 7— 1 stress component of viscosity fluid
y
z
x
zzp
zx?
xy?
yyp
yz?
yx?
xxpxz?
xy?
A
12
应力的第一个下标 表示应力作用面的法线方向；第二个下
标 表示应力的方向。当 时 代表法向应力，否则代表切
应力 。将它们标注在包含 A点在内的三个微元表面上，则如图
7— 1所示，这里假定外界对微元这三个表面的法向应力都沿坐标
的正向，切向应力都沿坐标的负向。
i
j ji? ijF
y
z
x
zzp
zx?
xy?
yyp
yz?
yx?
xxpxz?
xy?
图 7— 1 粘性流体的应力分量
A
13
二, Constitutive equation
In order to establish constitutive equation of Newton fluid,
Stokes put forward following assumption,
(1)small deformation,viz,Stress and deformation velocity are linear,
(2)isotropy,that is relation of stress and deformation velocity do not
change with coordinate changing;
(3)when viscosity coefficient,stress state simplifies into ideal
stress state,0??
Narrating as preceding,when viscosity liquid occurs relative
motion
dt
d
dy
du ???? ?? （ 7— 2）
Equation that confirms relation of stress and deformation velocity called
constitutive equation,
Definition,
14
二,本构方程
为建立牛顿流体的本构方程，斯托克斯 提出如
下假设,? ?S to k e s
（ 1）小变形，即应力与变形速度成线性；
（ 2）各向同性，即应力与变形速度的关系不随坐标变换而
变化；
（ 3）当粘性系数 时，应力状态简化为理想流体的应
力状态。
0??
如前所述，当粘性流体发生相对运动时
dt
d
dy
du ???? ?? （ 7— 2）
确定应力与变形速度关系的方程叫做本构方程。
定义,
15
Due to dynamic analysis of fluid micro-group,angular
deformation velocity of fluid micro-group in plane xoy
y
u
x
u
dt
dd xy
z ?
??
?
???? ??? 2
taking replace in formula（ 7— 2）
dt
d?
dt
dd ?? ?
?
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???
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x
u
z
u
z
u
y
u
y
u
x
u
zx
yxzzx
yz
xzyyz
xy
zyxxy
?????
?????
?????
2
2
2
similarly
?
（ 7— 3）
formula（ 7— 3） called general Newton internal friction law,
16
根据流体微团运动分析可知，流体微团在 xoy平面上的角
变形速度为
y
u
x
u
dt
dd xy
z ?
??
?
???? ??? 2
将式（ 7— 2）中 以 代之
dt
d?
dt
dd ?? ?
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???
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???
x
u
z
u
z
u
y
u
y
u
x
u
zx
yxzzx
yz
xzyyz
xy
zyxxy
?????
?????
?????
2
2
2
同理
?
（ 7— 3）
式（ 7— 3）称为广义牛顿内摩擦定律。
17
In viscosity fluid,alike angular deformation velocity produces
shear stress,linear deformation velocity produces appending shear
stress,According to Newton internal friction law
z
u
y
u
x
u
z
zz
y
yy
x
xx
?
?
??
?
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??
?
?
??
??
??
??
2
2
2
?
（ 7— 4）
formulas（ 7— 3）、（ 7— 4） are constitutive equations
18
在粘性流体中，与角变形速度产生切应力一样，线变形
速度产生附加切应力。根据牛顿内摩擦定律
z
u
y
u
x
u
z
zz
y
yy
x
xx
?
?
??
?
?
??
?
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??
??
??
??
2
2
2
?
（ 7— 4）
式（ 7— 3）、（ 7— 4）为本构方程。
19
In fact when fluid moving,normal stress of one
point is
5 a )(7
2
2
2
—
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????
z
u
ppp
y
u
ppp
x
u
ppp
z
tzztzz
y
tyytyy
x
txxtxx
??
??
??
where is dynamic pressure in ideal fluid motion,
tp
From Stat,definition of average isotropy on
pressure,obtaining
20
实际流体运动时，一点上的法向应力为
5 a )(7
2
2
2
—
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????
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z
u
ppp
y
u
ppp
x
u
ppp
z
tzztzz
y
tyytyy
x
txxtxx
??
??
??
式中 为理想流体运动时的动压强。
tp
由统计平均各向同性压强的定义，得
21
5 b )(7 )(32)(31 —zuyuxuppppp zyxtzzyyxx ????????????? ?
Eliminating from formula（ 7— 5a）、（ 7— 5b）,then obtaining
5 c )(7
2)(
3
2
2)(
3
2
2)(
3
2
—
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z
u
z
u
y
u
x
u
pp
y
u
z
u
y
u
x
u
pp
x
u
z
u
y
u
x
u
pp
zzyx
zz
yzyx
yy
xzyx
xx
??
??
??
22
5 b )(7 )(32)(31 —zuyuxuppppp zyxtzzyyxx ????????????? ?
从（ 7— 5a）、（ 7— 5b）两式中消去,则得
5 c )(7
2)(
3
2
2)(
3
2
2)(
3
2
—
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z
u
z
u
y
u
x
u
pp
y
u
z
u
y
u
x
u
pp
x
u
z
u
y
u
x
u
pp
zzyx
zz
yzyx
yy
xzyx
xx
??
??
??
23
? ? d x d y d zkfjfifd x d y d zf zyxm ?? ??? ???
Supposing velocity of infinitesimal is,then particle acceleration u?
kdtdujdtduidtdudt ud zyx ???
?
???
According to,listing motion equation of infinitesimal
parallel to direction x ? ? amF
??
d x d y d z
dt
du
d x d ydz
z
d x d y
d x d zdy
y
d x d zd y d zdx
x
p
pd y d zpd x d y d zf
xzx
zxzx
yx
yxyx
xx
xxxxx
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????
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???
Supposing density of fluid infinitesimal in figure 7— 1 is,
then mass of infinitesimal is
potential body force is
?
,d x d y d z?
三,Navier-Stokes equation
24
设图 7— 1所示流体微元的密度为,则微元质量为
有势的质量力为
?,d x d y d z?
? ? d x d y d zkfjfifd x d y d zf zyxm ?? ??? ???
设微元的速度为,则质点的加速度为 u?
kdtdujdtduidtdudt ud zyx ???
?
???
根据,列出微元在 x 方向上的运动方程式为 ? ? amF ??
d x d y d z
dt
du
d x d ydz
z
d x d y
d x d zdy
y
d x d zd y d zdx
x
p
pd y d zpd x d y d zf
xzx
zxzx
yx
yxyx
xx
xxxxx
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三、纳维 —斯托克斯（ N—S）方程
25
Obtaining
dt
du
zyx
pf xzxyxxx
x ????
?
???
?
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??
?
??
?
?? ??
?
1
Substituting （ 7— 5c）、（ 7— 3） into,obtaining
dt
du
z
u
y
u
x
u
x
v
z
u
y
u
x
u
v
x
P
f
xzyx
xxx
x
???
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3
1
2
2
2
2
2
2
?
Similar motion equation are obtained for infinitesimal
parallel to direction y, z,
26
整理得
dt
du
zyx
pf xzxyxxx
x ????
?
???
?
?
??
?
??
?
?? ??
?
1
将式（ 7— 5c）、（ 7— 3）代入，整理得
dt
du
z
u
y
u
x
u
x
v
z
u
y
u
x
u
v
x
P
f
xzyx
xxx
x
???
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3
1
2
2
2
2
2
2
?
同理可得微元 y, z 方向上运动方程式，于是有
27
5 d )(7
)(
3
1
)(
3
1
)(
3
1
2
2
2
—
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u
z
v
uv
z
p
f
dt
du
u
y
v
uv
y
p
f
dt
du
u
x
v
uv
x
p
f
dt
du
zz
z
yy
y
xx
x
?
?
?
Vector formula is,
)(31)( 2 uvuvpfuutudt ud m ??????????????? ?
Formula （ 7— 5d） is general motion differential equation for all
Newton fluid under condition it also called Navier-Stokes
equation,C o n st??
28
5 d )(7
)(
3
1
)(
3
1
)(
3
1
2
2
2
—
?
?
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?
?
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u
z
v
uv
z
p
f
dt
du
u
y
v
uv
y
p
f
dt
du
u
x
v
uv
x
p
f
dt
du
zz
z
yy
y
xx
x
?
?
?
向量式为,
)(31)( 2 uvuvpfuutudt ud m ??????????????? ?
式（ 7— 5d）是在 条件下对一切牛顿流体都普遍
适用的运动微分方程式，亦称之为纳维 — 斯托克斯方程。
C o n st??
29
Physical meaning of this equation
is a c c l e r a tion o f f l u id p a r tic l e
ine r tia l f o r c e o f u n it m a ss f l u id)
is m a ss f o r c e o f u n it m a ss th a t a c t o n
f l u id m ic r o - g r o u p ;
1
is p r e ss u r e c o m p o sition o f u n it m a ss
m
du
dt
f
p
?
??
（ ；
2
f l u id tha t a c t o n l iqu id m ic r o - g r o u p;
is v isc o sity s h e a r p r e ss c o m p o sition o f u n it
m a ss f l uid tha t a c t on f l ui d m ic r o - g r o u p ;
( ) is v isc o sity v o l u m e e x p a n sib il ity o f u n it
3
vu
v
u
?
? ? ?
m a ss f l uid tha t a c t on f l u id m ic r o - g r o u p,
Form of formula（ 7— 5d） applied to impressible fluid,
30
方程的物理意义,
胀力。位质量流体粘性体积膨为作用在流体微团上单
力；位质量流体粘性剪切合为作用在流体微团上单；位质量流体的压强合力为作用在流体微团上单－
位质量的质量力；为作用在流体微团上单右边；位质量流体的惯性力）为流体质点加速度（单左边
)(
3
1
2
u
v
uv
p
f
dt
ud
m
???
?
?
?
式（ 7— 5d）应用于不可压缩流体的形式为
31
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
uv
z
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
uv
y
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
uv
x
p
f
z
z
z
y
z
x
zz
zz
y
z
y
y
y
x
yy
yy
x
z
x
y
x
x
xx
xx
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????
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2
2
2
1
1
1
?
?
?
?
（ 7— 6）
This is motion differential equation of imcompressible fluid,
usually called Navier-Stokes equation（ N— S equation）,
here
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
32
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
uv
z
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
uv
y
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
uv
x
p
f
z
z
z
y
z
x
zz
zz
y
z
y
y
y
x
yy
yy
x
z
x
y
x
x
xx
xx
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????
?
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2
2
2
1
1
1
?
?
?
?
（ 7— 6）
这就是不可压缩粘性流体的运动微分方程，通常称为纳
维 — 斯托克斯方程式（ N— S方程）。
式中
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
33
Similarly,in cylindrical coordinate
? ?
dt
du
uv
z
p
f
r
uu
dt
du
r
uu
r
uv
r
p
f
r
u
dt
du
r
uu
r
uv
r
p
f
z
zz
rr
rr
rr
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2
22
2
2
22
2
1
21
21
?
???
??
???
??
??
?
（ 7— 7）
here
z
u
r
u
r
u
tdt
d
zrrrr
zr
?
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1
11
2
2
2
2
22
2
2
34
同理，在柱坐标中
? ?
dt
du
uv
z
p
f
r
uu
dt
du
r
uu
r
uv
r
p
f
r
u
dt
du
r
uu
r
uv
r
p
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z
zz
rr
rr
rr
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2
22
2
2
22
2
1
21
21
?
???
??
???
??
??
?
（ 7— 7）
式中
z
u
r
u
r
u
tdt
d
zrrrr
zr
?
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?
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?
1
11
2
2
2
2
22
2
2
35
In spherical coordinate,motion equation
?
?
???
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?
??????
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???
??????
???
??
?
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??????
?
??
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11
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c o t2
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21
s i n
c o s
2
c o s
2221
22222
2
2
22222
2
22
2222
2
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uu
r
uuu
r
uu
r
u
r
u
u
t
u
u
r
u
rr
u
uv
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u
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（ 7— 8）
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11
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36
在球坐标中，运动方程式
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c o s
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22222
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2
22
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2
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uu
r
u
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（ 7— 8）
式中
???
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???
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???
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???
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??
?
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???
2
2
222
2
2
2
s in
1s in
s in
11
????? rrrrrr
37
§ 7-3 Axial flow between two concentric cylinder
Shown as figure 7— 2,In a circular tube with radius,there is a
cylinder with radius,they are coaxial,Assume circular tube fixed
cylinder moves at constant velocity ;fluid flows parallel to direction
axis,
1r
2r
?
z
r
1r
2r
figure7— 7 Axial flow between
two concentric cylinder
38
§ 7-3 两同心圆柱间的轴向流动
如图 7— 2所示，半径为 的圆管内有一半径为 的同轴圆柱
体。设圆管固定，圆柱体以匀速 运动，流体沿轴向流动。
1r 2r
?
z
r
1r
2r
图 7— 7两同心圆柱体间的轴向流动
39
Using cylinder coordinate,making axis z coincidence with tube axis,for
symmetry and fluid flows parallel to axial direction; then
Substituting it into continuous equation（ 3— 15） getting,viz.,
to steady flow,
Neglecting body force,then N— S equation（ 7— 7） become
0,0 ????? ??uu r
0??? zu z ? ?ruu zz ?
0???t
0
11
0
1
2
2
???
?
?
??
?
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?
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?
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?
?
?
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r
u
rr
u
v
z
p
r
p
zz
?
?
?
（ 7— 9）
40
采用柱坐标系，使 z 轴与管轴重合，由于对称性和流体沿轴
向流动，则有 。据此代入连续性微分方程式
（ 3— 15）得,即,对于定常流动,
若不计质量力，则 N— S方程式（ 7— 7）成为
0,0 ????? ??uu r
0??? zu z
? ?ruu zz ? 0?
?
?
t
0
11
0
1
2
2
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r
u
rr
u
v
z
p
r
p
zz
?
?
?
（ 7— 9）
41
Analyzing first formula from （ 7— 8） and knowing
,considering,then second formula can be changed ? ?zPP ?? ?ruu
zz ?
dz
dp
dr
du
r
dr
d
r
dz
dp
dr
du
rdr
ud
z
zz
?
?
11
11
2
2
??
?
?
?
?
?
??
or
In above formula left is function of r,right is function of z,if
the equation comes into existence,need,integrating
above formula,obtaining c o n s t a n t?dzdp
21
2 ln
4
1 CrCr
dz
dpu
z ??? ?
（ 7— 10）
42
由式（ 7— 8）中的第一式分析可知,考虑到
，则第二式可改写为
? ?zPP ? ? ?ruu zz ?
dz
dp
dr
du
r
dr
d
r
dz
dp
dr
du
rdr
ud
z
zz
?
?
11
11
2
2
??
?
?
?
?
?
??
或
上式左端是 r 的函数，右端是 z 的函数，要使等式成立，必
有,积分上式得
常数?dzdp
21
2 ln
4
1 CrCr
dz
dpu
z ??? ?
（ 7— 10）
43
Utilizing boundary condition,getting
Uuu rrzrrz ?? ?? 21 0 和
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
1
1
2
2
1
2
22
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
ln
ln
4
1
ln
ln
ln
4
1
r
r
r
rr
r
dz
dp
r
r
rU
C
r
r
rr
dz
dp
U
C
?
?
Substituting it into formula （ 7— 10） leads to
This is velocity distribution law of steady laminar flow between
two concentric cylinder,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
1
1
2
2
1
2
222
1
1
1
2
ln
ln4
1
ln
ln r
r
r
r
rr
rr
dz
dp
r
r
r
r
U
u z
?
（ 7— 11）
44
利用边界条件 可得 Uuu
rrzrrz ?? ?? 21 0 和
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
1
1
2
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2
22
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
ln
ln
4
1
ln
ln
ln
4
1
r
r
r
rr
r
dz
dp
r
r
rU
C
r
r
rr
dz
dp
U
C
?
?
将其代入式（ 7— 10）得
这就是两同心圆柱体间的定常层流流动的速度分布规律。
?
?
?
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?
?
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?
?
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1
1
2
2
1
2
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1
1
1
2
ln
ln4
1
ln
ln r
r
r
r
rr
rr
dz
dp
r
r
r
r
U
u z
?
（ 7— 11）
45
when,simplifying formula（ 7— 11） 0
2 ?r
? ?2214 1 rrdzdpu z ??? ? （ 7— 12）
jar piston
L
F
Pe
d
?
figure 7— 3 example 7— 1
sPa ?? 1.0?
mml 3 0 0?
[example7-1]Shown as figure7— 3 relative pressure of oil in jar
driving viscosity coefficient of oil,diameter of piston d=50mm
,length of sleeve,clearance between sleeve and piston
Assuming to push piston making it fixed with force F,finding oil losses Q,
,10418.29 4 PaP e ??
m m,05.0??
46
当 时，式（ 7— 11）可化简为 02 ?r
? ?2214 1 rrdzdpu z ??? ? （ 7— 12）
油缸 柱塞
L
F
Pe
d
?
图 7— 3 例题 7— 1 图
[例题 7—1]已知图 7— 3所示的油缸内油的相对压强
油的动力粘性系数,柱塞的直径 d=50mm，套筒的长
度 。套筒与柱塞间隙 设以力 F推着柱塞使
其保持不动，试求油的漏损流量 Q。
,10418.29 4 PaP e ??
sPa ?? 1.0?
mml 3 0 0? m m,05.0??
47
[solution] in formula（ 7— 11）,at making
velocity distribution
0??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
1
1
2
2
1
2
222
1 ln
ln4
1
r
r
r
r
rr
rr
dz
dp
u z
?
（ 7— 13）
Then losses through annulus aperture
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ?
1
2
24
1
2
24
2
4
1
ln8
2
1
2
r
r
rr
rr
dz
dp
r d ruQ
r
r
z
?
?
? （ 7— 14）
here;252,05.2505.0252 21 mmdrmmdr ??????? ?
48
[解 ] 在式（ 7— 11）中令 的速度分布为 0??
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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????
1
1
2
2
1
2
222
1 ln
ln4
1
r
r
r
r
rr
rr
dz
dp
u z
?
（ 7— 13）
则流过环形缝隙的漏损流量为
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ?
1
2
24
1
2
24
2
4
1
ln8
2
1
2
r
r
rr
rr
dz
dp
r d ruQ
r
r
z
?
?
? （ 7— 14）
式中;252,05.2505.0252 21 mmdrmmdr ??????? ?
49
Pressure gradient in clearance between piston and sleeve
mK P aL pdzdp e /6.9803.0 10418.2900
4
???????
Substituting known data into above
formula（ 7— 13）,obtaining
? ?
scmsm
Q
338
222
44
0 1 6.01060.1
0 2 5 0 5.0
0 2 5.0
ln
0 2 5 0 5.00 2 5.0
0 2 5.00 2 5 0 5.09 8 0 6 0 0
1.08
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
50
柱塞与套筒间隙中的压强梯度
mK P aL pdzdp e /6.9803.0 10418.2900
4
???????
将已知数据代入式（ 7— 13），得
? ?
scmsm
Q
338
222
44
0 1 6.01060.1
0 2 5 0 5.0
0 2 5.0
ln
0 2 5 0 5.00 2 5.0
0 2 5.00 2 5 0 5.09 8 0 6 0 0
1.08
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
51
§ 7-4 Flow between two parallel plates
Shown as figure7— 4,supposing dimension of plates is
infinity,and lower plate is fixed,the upper plate moves at constant
velocity U,liquid flows parallel to direction y,
U
x
o y
z
?
figure7— 4 flow between two
parallel plates
Due to flowing velocity is constant
,and plate’s dimension is infinity along
direction x,and liquid flows parallel to
direction z,so from
continuous differential equation（ 3— 14）
obtaining,if body force
is only gravity,then N—
S equation（ 7— 6） become
0???t
,0,0 ????? xuu zx
? ?zuuyu yyy ???? v i z,,0
gfff zyx ????,0
52
§ 7-4 两平行平板间的流动
如图 7— 4所示，设平板尺寸无限大，且下板固定，上板
以匀速 U运动，流体沿 y 方向流动。
U
x
o y
z
?
图 7— 4两平行平板间的流动
由于流动定常，,又因平
板在 x 方向尺度为无穷大，且流体
仅沿 z 方向流动,
故据此由连续微分方程式（ 3— 14）
得 。若质量力
仅有重力，,则
N— S方程式（ 7— 6）成为
0???t
,0,0 ????? xuu zx
? ?zuuyu yyy ???? 即,0
gfff zyx ????,0
53
0
1
0
1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
???
z
u
v
y
p
dz
dp
g
y
?
?
?
（ 7— 15）
Analyzing from first formula from equation（ 7— 15）,
pressure gradient along direction y is irrespective with z
considering,then second formula become into y
p
?
?
? ?zuu yy ?
y
p
dz
ud y
?
??
?
1
2
2
Integrating above formula two times with respect to z yields
21
2
2
1 CzCz
y
pu
y ???
??
?
54
0
1
0
1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
???
z
u
v
y
p
dz
dp
g
y
?
?
?
（ 7— 15）
由式（ 7— 15）中第一式分析可知,y方向的压强梯度
考虑到,则第二等式改写成
无关，与 zyp??
? ?zuu yy ?
y
p
dz
ud y
?
??
?
1
2
2
将上式对 z 两次积分，得
21
2
2
1 CzCz
y
pu
y ???
??
?
55
Utilizing boundary condition can
evaluate integral constant Uuu zyzy ?? ?? ? a n d 00
0,2 1 21 ????? CypUC ???
Then obtaining velocity distribution
? ? zzypzUu y ????? ??? 2 1
（ 7— 16）
56
利用边界条件 可以确定出积分常数 Uuu
zyzy ?? ?? ?和00
0,2 1 21 ????? CypUC ???
于是得速度分布为
? ? zzypzUu y ????? ??? 2 1
（ 7— 16）
57
[example7—2]Try to solute example 7-1 with this section method,
? ? yyzpu z ????? ??2 1
Then losses through aperture
? ? 3
00 122
??????? ?? zpdy d yyzpddyduQ z ??????????? ??
here
k P a /m6.9803.0 10418.2900
4
????????? L pzp e
substituting known data into precious formula and leads to,
is same with calculating result that according to concentric annulus flowing,scmQ
20 1 6.0?
because of piston is fixed,so it is pressure difference flowing
problem,from formula（ 7— 16） making,obtaining velocity
distribution
[solution] spreading concentric annulus aperture between piston
and sleeve on plane,then translate into plane aperture with width d?
0?U
58
[例题 7—2]试用本节所述方法求解例 7— 1。
[解 ] 将柱塞与套筒间的同心环形缝隙在平面上展开，则转
化成宽度为 的平面缝隙。 d?
? ? yyzpu z ????? ??2 1
则通过缝隙的漏损流量为
? ? 3
00 122
??????? ?? zpdy d yyzpddyduQ z ??????????? ??
其中
k P a /m6.9803.0 10418.2900
4
????????? L pzp e
将已知数据代入前式得,与按同心环形缝隙
流动计算结果相同。
scmQ 20 1 6.0?
0?U
因柱塞保持不动，故知为压差流动问题，由式（ 7— 16）令
得速度分布为
59
§ 7-5 Flow around a sphere flow with minor Renault number
In project,we usually study slow motion of solid mote and liquid particle in
fluid,here,sphere is general geometry form.Such as coal grain and oil particle in
hearth,dust in flue mist,blob in vapor and sedimentation sand in water,all these
can approximately considered as little sphere,To these study,usually according to
relative motion theory in mechanics,consider sphere fixed,and take relative
velocity of sphere and liquid as flow velocity,translate original unstable
problems into stable problems,?u
Applying spherical coordinate is convenient to study surrounding flow
problems,Shown as figure 8— 9,take sphere center as coordinate origin,make
become flowing direction,In slowly flowing(squirming flow) with minor Renault
number circumstance,producing viscosity force that liquid possess control function
to sphere,inertia is much little comparing to it,so neglecting non-linear inertia term
in study,according to steady and axis symmetry condition,
if neglecting body force,then N—S equation（ 7— 8） andcontinuity equation（ 3—
15a） can be simplified
0??
,0,0,0 ??????? ?? ut
60
§ 7-5 绕流圆球的小雷诺数流动
在工程实际中，我们经常要研究固体微粒和液体细滴在流体
中的缓慢运动，这里，圆球是经常遇到的几何形状。如炉膛空气
流中的煤粉颗粒，油滴，烟道烟气中的灰尘，水蒸气中的水滴以
及水中沉降的泥砂等，都可以近似看作小圆球。对这些小圆球的
研究，通常根据力学上的相对运动原理，将圆球视作不动，而把
圆球和流体的相对速度作为来流速度 将原来的非定常问题转
化为定常问题来处理。,?u
研究圆球绕流问题，采用球坐标系较为方便。如图 8— 9所
示，取球心为坐标原点，使 为流动方向。在小雷诺数的
缓慢流动（又称蠕流）情况下，有流体对球体起控制作用的粘
性力，惯性力与之比较要小得多，因此研究中可以略去非线性
的惯性项不计，根据定常及轴对称条件,
若不计质量力，则 N—S方程式（ 7— 8）及连续性方程式（ 3—
15a）可简化为
0??
,0,0,0 ??????? ?? ut
61
0
c o t21
2
s i n
1c o t21
2c o t221c o t2
2222
2
222
2
2222
2
222
2
???
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uu
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u
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uu
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u
rr
u
rr
u
r
u
r
u
rr
uu
r
u
rr
u
rr
u
r
rr
rr
rrrrrr
?
（ 7— 17）
Considering spherical surface and infinite far condition when viscosity
fluid flows around a sphere,
??? ??????
??? ppuuuur uurr
r
r,s i n,c o s;w he n 0,0;w he n 0 ??
?
?
??
?
?
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c o s
2
3
4
1
4
3
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2
1
2
3
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0
3
3
00
3
3
00
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???
u
r
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pp
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r
r
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uu
r
r
r
r
uu
r
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（ 7— 18）
Obtaining
62
0
c o t21
2
s i n
1c o t21
2c o t221c o t2
2222
2
222
2
2222
2
222
2
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u
r
u
r
u
rr
uu
r
u
rr
u
rr
u
r
rr
rr
rrrrrr
?
（ 7— 17）
考虑粘性流体绕圆球流动时球面上和无穷远处的边界条件
??? ??????
???
ppuuuur
uurr
r
r
,s i n,c o s
0,00
?? ?
?
时
时
??
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c o s
2
3
4
1
4
3
1s i n
2
1
2
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0
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00
3
3
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u
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r
pp
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r
r
r
uu
r
r
r
r
uu
r
?
（ 7— 18）
可得解
63
Confirm stress in spherical surface through using above formula,owing to sphere
is axial symmetry,its composition of force must along direction z,obtaining
?? ?? duurF D ???? 36 0
（ 7— 19）
This is Stokes equation of flow resistance force when flow around a sphere
with minor Renault number,in formula d is sphere diameter,Formula（ 7— 19）
can be changed into,
2
2
?? uACF
DD
?
（ 7— 20）
here A is incident flow area,to sphere,; is dimensionless
resistant coefficient 24 dA ?? DC
Re
24
2
2 ?
?
?
?uA
FC D
D ?
（ 7— 21）
here,proved by experiment,only when Renault number is
above formula is correct,?? ?? duRe
1Re??
64
利用上式可以确定圆球表面上的应力，由于圆球为轴对
称，其合力必沿 z 方向，可解得
?? ?? duurF D ???? 36 0
（ 7— 19）
这就是小雷诺数绕圆球流动阻力的斯托克斯公式，式中 d
为圆球直径。式（ 7— 19）也可改写成,
2
2
?? uACF
DD
?
（ 7— 20）
式中,A为迎流面积，对圆球而言,； 为无量纲
阻力系数
2
4 dA
?? DC
Re
24
2
2 ?
?
?
?uA
FC D
D ?
（ 7— 21）
式中,实验证明，只有当雷诺数 时，
上式才正确。 ?
? ?? duRe 1Re ??
65
general formula of sedimentation with constant
velocity when particle in liquid,
gdCu
D ?
?? ???
3
4
h e r e d e n s i t y o f p a r t i c l e
d e n sity o f f l u id,
?
?
?,—,
—
66
颗粒在流体中的等速沉降速度一般公式为,
gdCu
D ?
?? ???
3
4
流体密度。—
颗粒密度，—式中：
?
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67
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T
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T
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aa
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aaaa
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2121
2121
11
0
???
1,
2,
3,
4,
5,
6,
（ 7— 22）
（ 7— 23）
（ 7— 24）
（ 7— 25）
（ 7— 26）
（ 7— 27）
§ 7-6 Renault equation--fundamental equation of turbulent flow
p
Liquid particles mixed each other during motion process,velocity
and pressure of certain point in space change with time,supposing
transient velocity of certain point is,transient pressure
,deal with it with method of hourly in project.,,,zyx uuu
Supposing transient value of turbulent flow element,here
are hourly value and pulse value.Proving by average definition of time,iii aaa ??? ii aa ? and
Fundamental character of turbulent flow,
68
§ 7-6 紊流的基本方程 —雷诺方程
,,,zyx uuu
液体质点在运动过程中彼此互相混掺，某一空间点处的流速
及压强随时间而变化，设某一空间点处的瞬时流速为
瞬时压强为,工程上常采用时均化的处理方法。 p
设紊流流动要素瞬时值,这里 分别为相应的
时均值和脉动值。由时间平均定义可证明,
iii aaa ??? ii aa ?和
? ?? ?
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aaaaaaaaaa
aa
aaaa
acca
aaaa
00
2121221121
2121
2121
11
0
???
1,
2,
3,
4,
5,
6,
（ 7— 22）
（ 7— 23）
（ 7— 24）
（ 7— 25）
（ 7— 26）
（ 7— 27）
紊流的基本特征,
69
h e r e m a y b e o r o r z o r x y t? 。
? ? ? ? ? ?
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
z
u
y
u
x
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z
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2
2
2
2
2
21
?
Get average to time for above formula,according to hourly algorithm,and get
hourly continuous differential equation
0????????? zuyuxu zyx
（ 7— 28)
Utilizing above hourly algorithm to deduce Renault equation when velocity is
constant in turbulent flow,
Take axis x as example,make each term in continuity equation（ 3- 14)multiply
and then combine with right of first formula in equation（ 7— 7） and getting xu
70
。或或或可为式中 tzyx?
? ? ? ? ? ?
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
z
u
y
u
x
uv
z
pf zxyxxxxxxx
x ?
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2
2
2
2
2
21
?
对上式进行时间平均，根据时均运算法则，并且时均化后
的连续性微分方程
0????????? zuyuxu zyx
（ 7— 28)
下面我们利用上述时均运算法则，导出紊流时均匀运动的雷
诺方程。
以 x轴为例，将连续方程式（ 3— 14)各项乘以 后叠加在式
（ 7— 7）中第一式的右端得
xu
71
obtaining
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t
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y
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x
uu
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x
u
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z
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u
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x
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u
t
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x
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x
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z
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xzzzz
z
y
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y
y
y
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y
x
z
x
y
x
x
x
yxyxyx
xxx
x
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?
???
??
?
???
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
—— (7— 29)
72
可得
? ? ? ? ? ?
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z
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y
z
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z
z
yz
xzzzz
z
y
z
y
y
y
x
y
zyyyxyyyy
y
x
z
x
y
x
x
x
yxyxyx
xxx
x
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???
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
—— (7— 29)
73
Formula（ 7— 28） is fundamental equation of turbulent flow,it is
first advanced by Renault in1894,so also called Renault equation,
Comparing Renault equation andＮ —Ｓ equation which is suitable for
laminar flow or transient motion in turbulent flow,six terms are exist in Renault
equation
)(
),(),(,,,
zxxz
yzzyxyyxzzyyxx
uuuu
uuuuuuuuuuuuuu
????
??????????????
??
???????
,former and behind three terms are appending
normal stress and appending shear stress,all called Renault stress,
Renault equation and hourly continuous differential equation
are total four equation,but there are ten unknown quantity,so
equation group is not close,so it can not solute with these four
fundamental equation,turbulent flow problems still need supply
new equation,
74
式（ 7— 28）即为紊流的基本方程，它是 1894年由雷诺首
先提出的，故又称雷诺方程。
将雷诺方程与适用于层流或紊流瞬时运动的 Ｎ —Ｓ 方程相
比较，可以看出雷诺方程多出了
)(
),(),(,,,
zxxz
yzzyxyyxzzyyxx
uuuu
uuuuuuuuuuuuuu
????
??????????????
??
???????
六项，其中前、后三项分别表示紊流脉动
而产生的附加法向应力和附加切应力，统称为雷诺应力。
雷诺方程加上时均连续性微分方程共有四个方程式，而未
知量却有十个，故方程组不封闭，因此仅用这四个基本方程无
法求解，紊流问题还需补充新的方程式。
75
Chapter 7 exercises
x
y
2h
7-1 Finding viscosity compressive shear stress and shear stress ?xx,
?yy and ?xy,following flow velocity component is known
(1) ux = 2ax,uy = － ay
(2) ux = － y/(x2+y2),uy = x/(x2+y2)
7-2 Finding following parameters of impressible steady viscosity flow
in two-dimension fixed parallel plates (neglecting body force),
(1) expression of velocity u and max velocity umax ;
(2) expression of pressure dropping p in length L ;
(3) average velocity in section ;
(4) shear stress in wall surface ?0 ;
(5) overall friction force T,
?
u
7-2 problem figure
76
第七章 习题
7— 1 求粘性压应力 ?xx, ?yy 和 ?xy,已知流速分量为,
(1) ux = 2ax,uy = － ay
(2) ux = － y/(x2+y2),uy = x/(x2+y2)
7－ 2 试求二维固定平行壁之间不可压缩定常粘性流动（略去质
量力）的下列参数,
（ 1）速度 的表达式和最大流速 umax ；
（ 2）一段长度 L上的压强降 p 的表达式；
（ 3）求断面平均流速 ；
（ 4）壁面切应力 ?0 ；
（ 5）总摩擦力 T。
?
u
x
y
2h
7－ 2 题 附图
77
solution,
22
22
22
22
1 l i st i ng c ont i nui t y e qua t i on
0
1
N S e qua t i on ( )
1
( )
due to ( ),0
uv
xy
u u p u u
uv
x y x x y
v v p v v
uv
x y y x y
u u y v
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2
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1
N S e qua t i on be c om e int o
0
show i ng c ha ngi ng onl y a l ong a xi s,
1
i nt e gr a t i ng two ti m e s ( ) (
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p
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y,0,0,
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yC
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h u C C
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78
解,
2
,0,0,y
)
2
)((
1
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SN
0,)(
)(
1
)(
1
SN
0
1
2
21
21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
h
CCuh
CyC
y
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p
u
xp
y
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p
y
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y
v
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y
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积分二次：
轴方向变化。仅沿说明
方程变为：—
因为
方程—
列连续性方程）（
79
2 2 2
m a x
m a x m a x
22
m a x
m a x22
00
2 2 2
m a x
00
11
( ) p a r a bol a distr ibuti on
22
22
2 ;
2
2
1 1 1 1 2
3 ( )
2 3 3
LL
hh
pp
u h y u h
xx
uup dp
x h dx h
u L
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，
（ ）
（ ）
0
0 0 0
m a x
0
4 )
5 w a l l sur f a c e f r ic ti on f or c e of unit w idt h
( 1 )
tot a l f r ic ti on f or c e in tw o side w a l l
2 2( ) 4
c om pa r ing w it h pr e s
h
up
h
yx
L
T A L L
up
T L hL L
xh
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??
??
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（ ） ＝ （
（ ）
m a x
sur e dr opp ing ( 2 1 ) 4
the r e f or e,pr e ssur e dr opp ing a l l use d to ov e r c om e f r ic ti on r e sist a nt f or c e of w a l l,
u
p pA p h L
h
?
? ? ? ? ? ? ?
80
力。用于克服壁面的摩擦阻由此可知，压力降全部
压力降比较与
两侧壁面总摩擦力
壁面摩擦力单位宽度）（
（＝）（
）（
）（
抛物线分布，
4)12(
4)(22
)1(
5
) 4
3
2
3
1
)(
2
111
3
2
2
2;
2
2
2
1
)(
2
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m a x
m a x
0
000
0
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2
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0
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2
m a x
22
L
h
u
hppAp
L
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L
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??
??
?
81
7— 3 follow 7-2,if upper wall moves right with constant velocity,
distance between two walls is h,analyzing flow velocity,
.0 a n d 0,0
ofo n d i s t r i b u t i v e l o c i t y f l o w a n a l y z i n g
f l o w,G u a i t c a l l e d f l o w t h i s
)1(
2
o b t a i n i n g a n d f o r m u l a i n t o gs u s t i t u t i n),
1
/()
2
1
(
,,,0,0,0 c o n d i t i o nb o u n d a r y
s o l u t i o n
2
1
2
?
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Uu
u
x
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x
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h
U
C
UuhyCuy
?
??
：
：
82
7— 3 接 7— 2,若上壁面以匀速 U 向右运动，两壁间距为 h,
分析流速。
三种流动的流速分布。和请学生分析
这种流动称古艾特流。
式得代入
解：边界条件为：
00,0
)1(
2
),
1
/()
2
1
(
,,,0,0,0
2
1
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y
Uu
u
x
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x
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h
U
C
UuhyCuy
?
??
83
84
