1
Mechanics of Fluid
2
3
Chapter 6 Irrotational flow of impressible ideal-fluid
§ 6–1 Introduction
§ 6–2 Dynamic analysis of micelle in liquid
§ 6 –3 Velocity potential of irrotational flow
§ 6–4 Stream function of plane flow
§ 6–5 Fundamental potential flow in plane
§ 6–6 Combining theory of potential flow
4
第六章 不可压缩理想流体的无旋运动
§ 6–1 引言
§ 6–2 流体微团运动分析
§ 6 –3 无旋流动的速度势
§ 6–4 平面流动的流函数
§ 6–5 基本平面势流
§ 6–6 势流的叠加原理
5
Chapter 6 Irrotational flow of impressible ideal-fluid
§ 6-1 Introduction
In this chapter irrotational flow in plane of impressible ideal-
fluid is studied,velocity field of irrotational flow can be obtained
through three approach by calculating velocity potential,stream
function and combining potential,
6
第六章 不可压缩理想流体的无旋运动
§ 6-1 引言
本章主要研究不可压缩理想流体平面无旋运动，平面
无旋运动的速度场可通过计算速度势、流函数及复势这三
条途径来确定。
7
§ 6-2 Dynamic analysis of liquid micelle
Known from theory mechanics,in rigid body there are two motion forms：
moving and rotation； but different in liquid motions.Due to different velocity of
each point of liquid micelle in flow field,but need keep its continuity as well,so
besides moving and rotation in liquid micelle,still has deform motions.In following
three motion forms of liquid micelle are analyzed,
dy
y
u
udy
y
ux
uC
dx
x
u
udx
x
u
uB
y
yx
y
y
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,p o in t
,p o in t
：
：
Figure 6—1 is plane motion of liquid micelle.Supposing liquid micelle is
rectangle ABCD at t,Through,it changes into new position and deforms to
,again supposing at t velocity of angle point A is,spreading due to
Thaler progression,obtaining velocity of point B and C DCBA ???? yx uu,
dt
8
§ 6-2 流体微团运动分析
由理论力学可知，刚体有平移和旋转两种运动形式，而流体
运动则不同。由于流体微团在流场中各点的速度不同，但又要保
持流体本身的连续性，因此流体微团除有平移和旋转运动外，还
有变形运动。下面将分析流体微团的三种运动形式。
dy
y
u
udy
y
ux
uC
dx
x
u
udx
x
u
uB
y
yx
y
y
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
,
点：
点：
DCBA ????
yx uu,
dt
如图 6—1所示的平面运动中的流体微团。设在 t 时刻流体微
团为矩形 ABCD，经过 时段后它移动到新的位置并变形为
，又设 t 时刻角点 A的速度为,根据泰勒级数展开，得 B、
C点的速度分别为
9
x
y
A B
C D
D?
C?
B?
A?
dtux
dxxuu xx ???
dyyuu yy ???
dyyuu xx ???
dxxuu yy ???
d y d tyudy y???
dtuy
dydtyux??
d xd txudx x???
dxdtxuy????
??
Figure 6-1 Analysis on plane motion of
liquid micelle
yu
xu
10
x
y
A B
C D
D?
C?
B?
A?
dtux
dxxuu xx ???
dyyuu yy ???
dyyuu xx ???
dxxuu yy ???
d y d tyudy y???
dtuy
dydtyux??
d xd txudx x???
dxdtxuy????
??
图 6—1 分析流体微团的平面运动
yu
xu
11
Velocity of each point concludes,known from figure
6—1,is translating velocity,yx uu,
yx uu,
（ 1） Linear deformation
Taking AB as example.Due to velocity of angle point B is
faster than angle point A along direction x (or slower),
so through,protraction of side AB along x (or condense)is
.Linear deformation of unit length in unit time called linear deformation
velocity,and written,then
dxxu x ?????? ??
dt dtdx
x
u x ??
?
??
?
?
?
?
? ?zyxiij,,??
1,Translating motion
2,Deformation motion
? ?
x
udtdxdtdx
x
u xx
xx ?
????
?
???
y
u y
yy ?
???
z
u z
zz ?
??? ?
（ 6—1） similarly
12
各点的速度中均包含有,由图 6—1可见,
是平移速度。 yx uu,yx uu,
dxxu x ?????? ??
（ 1）线变形
以 AB为例。因为角点 B沿 x 方向的速度比角点 A快（或
慢）,所以经过 时段后,AB边在 x 方向的伸长（
或缩短）量为 。单位时间单位长度的线变形称为线
变形速度，并记为,则
dt
dtdxxu x ??????? ??
? ?zyxiij,,??
1、平移运动
2、变形运动
? ?
x
udtdxdtdx
x
u xx
xx ?
????
?
???
y
u y
yy ?
???
z
u z
zz ?
??? ?
（ 6—1） 同理
13
Taking half angular deformation velocity in plane defined as shear
deformation velocity of liquid micelle,written as
known from figure 6-1,angle changing of point A is ? ?jizyxjiij ?? b u t,,,?
According to definition of shear deformation velocity on liquid micelle,obtaining
???? ???????? BACC A B
?
?
?
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??
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??
x
u
z
u
z
u
y
u
y
u
x
u
dt
zx
xzzx
yz
zyyz
xy
yxxy
2
1
2
1
2
1
2
1
??
??
????
??
（ 6—2）
and that
dt
y
u
x
u
dt
y
u
dtdy
y
u
dydtdy
y
u
dt
x
u
dtdx
x
u
dxdtdx
x
u
xy
xyx
yxy
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???
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?
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?
?
??
?
?
?
????
??
??
so
（ 1）
（ 2）
（ 2） Shear deformation
14
将平面上角变形速度之半定义为流体微团的剪切变形速
度，记为 由图 6-1可知,A点的角度变化
为 ? ?jizyxjiij ?? 但,,,?
根据流体微团剪切变形速度的定义得
???? ???????? BACC A B
?
?
?
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??
?
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??
x
u
z
u
z
u
y
u
y
u
x
u
dt
zx
xzzx
yz
zyyz
xy
yxxy
2
1
2
1
2
1
2
1
??
??
????
??
（ 6—2）
dt
y
u
x
u
dt
y
u
dtdy
y
u
dydtdy
y
u
dt
x
u
dtdx
x
u
dxdtdx
x
u
xy
xyx
yxy
?
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?
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??
?
?
???
?
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??
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??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
????
??
??
而
所以
（ 1）
（ 2）
（ 2）剪切变形
15
Taking average value of rotational angular velocity on two straight-line in liquid micelle
defined as rotational angular velocity of liquid micelle,written as,,supposing
straight-line rotational angular velocity along counter-clockwise is positive,then from
formula(1)(2),rotational angular of side AB in unit time is,rotational angular of side
AC in unit time is,according to definition of rotational angular velocity on liquid
micelle,obtaining
? ?zyxii,,??
xuy ??
yux ???
If all liquid micelle translating or deforming motion when liquid flowing,no
rotating,viz.,then called this flow is irrotational flow (potential
flow),0??? zyx ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
xy
z
zx
y
yx
x
2
1
2
1
2
1
?
?
?
（ 6—3）
?
3,Rotation
Definition,
If has rotation in liquid micelle,viz,at least one is not 0 of three,
then called rotational motion(vortex motion),zyx ???,,
16
将流体微团上两条直线旋转角速度的平均值定义为流体微团
的旋转角速度，记为,假设直线逆时针方向旋转的
角速度为正，则由（ 1）（ 2）式可知，单位时间内 AB边的旋转角
度为,单位时间内 AC边的旋转角度为,根据流体微
团旋转角速度的定义得
? ?zyxii,,??
xuy ?? yu x ???
如果流体流动时所有流体微团仅作平移和变形运动，没有旋
转运动，即,则称该流动为无旋流动（势流）。 0???
zyx ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
xy
z
zx
y
yx
x
2
1
2
1
2
1
?
?
?
（ 6—3）
?
3、旋转运动
定义,
zyx ???,,
若流体微团有旋转运动，即 三者中至少有一个不
等于零，则称为有旋流动（有涡运动）。
17
§ 6-3 Velocity potential of irrotational flow
Irrotational flow motion,in right-angle coordinate must have 0??
z
u
x
u
y
u
z
u
x
u
y
u
xz
zy
yx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（ 6—4）
formula (6—4) is sufficient and necessary condition of
certain potential function in complete differential,where t is parameter
variable,obtaining ? ?tzyx,,,?
dzudyudxu zyx ??
dzudyudxud zyx ???? Illuminating no rotating must
have potential,And
that
dzzdyydxxd ????????? ????
so
zuyuxu zyx ?
??
?
??
?
?? ???,,（ 6—5）
18
§ 6-3 无旋流动的速度势
无旋运动,在直角坐标中必有 0??
z
u
x
u
y
u
z
u
x
u
y
u
xz
zy
yx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（ 6—4）
dzudyudxu zyx ?? 式（ 6—4）是 为某一势函数 的全微分的充分必需条件，其中 t 为参变量，必有 ? ?tzyx,,,?
又因
dzzdyydxxd ????????? ????
dzudyudxud zyx ???? 说明无旋必有势
故
zuyuxu zyx ?
??
?
??
?
?? ???,,（ 6—5）
19
????? ??
?
??
?
??
?
????? g r a dk
z
j
y
i
x
kujuiuu zyx
???????
Column coordinate
z
u
r
u
r
u zr
?
??
?
??
?
?? ?
?
??
?,
1,（ 6—6）
Spherical coordinate
?
?
??
??
?? ?
??
?
??
?
??
s i n
1,1,
RuRuRu R
（ 6—7）
20
????? ??
?
??
?
??
?
????? g r a dk
z
j
y
i
x
kujuiuu zyx
???????
圆柱坐标系
z
u
r
u
r
u zr
?
??
?
??
?
?? ?
?
??
?,
1,（ 6—6）
球坐标系
?
?
??
??
?? ?
??
?
??
?
??
s i n
1,1,
RuRuRu R
（ 6—7）
21
Character of flow velocity potential function,
?
where
l u
l
?
?—unit vector of this direction;
— angle between and grads;
l? u????
—velocity component parallel to direction
l?
proving
? ? ? ? ? ?
luulul
zl
z
yl
y
xl
xdl
dz
zdl
dy
ydl
dx
xl
???????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
??
???????
c o s
,c o s,c o s,c o s
???
lul ??
?? （ 6—8）
1,direction derivative of random direction is equal to component velocity
of this direction,viz,l
22
证
? ? ? ? ? ?
luulul
zl
z
yl
y
xl
xdl
dz
zdl
dy
ydl
dx
xl
???????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
??
???????
c o s
,c o s,c o s,c o s
???
流速势函数 的性质,?
lul ??
?? （ 6—8）
其中
l u
l
?
?—该方向的单位矢量；
— 与梯度 的夹角；
—速度在 方向的分量。
l? u????
l?
l1,对于任意方向 的方向导数等于该方向的分速，即
23
Curved area with constant potential function of flow velocity is equipotential
area.In its area line in it called equipotential line,? ? co n s t an t,,?zyx?
So
0??????????????? sdudzudyudxudzzdyydxxd zyx ??????
where
sd
u??
—velocity vector；
—infinitesimal arc vector in equipotential surface,
2,Equipotential lines perpendicular with streamlines
definition,
explaining,velocity u and ds is perpendicular.Equipotential line is cross flow
section line,
one family streamline and equipotential line constitute perpendicular flow
net,
24
流速势函数等于常数的曲面积为等势面。在其面上
位于等势面上的线称为等势线。
? ? 常数。?zyx,,?
所以
0??????????????? sdudzudyudxudzzdyydxxd zyx ??????
式中
sd
u??
—速度向量；
—等势面上微元弧向量。
2、等势线与流线正交
定义,
说明：速度 u与 ds正交。等势线既是过流断面线。
一族流线与等势线构成相互正交的流网。
25
3,Potential function of flow velocity increasing along streamlines direction
ds
d
suu s
?? ?
?
???
so
udsd ??
From character1,obtaining velocity parallel to streamline direction
0?u 0,0 ?? ?dds Velocity parallel to direction streamline, so
,showing that direction of value increasing parallel to direction s
,
?
26
3、流速势函数沿流线 s 方向增大。
ds
d
suu s
?? ?
?
???
从而得
udsd ??
由性质 1得沿流线方向的速度为
沿流线方向速度,所以,即说明 值
增大的方向与 s 方向相同。
0?u 0,0 ?? ?dds ?
27
4,Potential function of flow velocity is harmonic function
yuxu yx ?
??
?
?? ??,
Substituting continuous equation of imcompressible liquid into,
obtaining
0???
?
?
???
?
?
?
?
???
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
yyxxy
u
x
u yx ??
so
??
??
2
2
2
2
2
0
???
?
?
?
?
?
?
yx
or
（ 6— 9）
（ 6—10)
above formula showing that potential functions of flow velocity
satisfy Laplace equation,in math function that satisfy Laplace
equation called harmonic function,so potential function of flow
velocity is harmonic function,
Potential flow in pane
28
4、流速势函数是调和函数
yuxu yx ?
??
?
?? ??,
代入不可压缩流体的连续方程中得
0???
?
?
???
?
?
?
?
???
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
yyxxy
u
x
u yx ??
从而得
??
??
2
2
2
2
2
0
???
?
?
?
?
?
?
yx
或者
（ 6— 9）
（ 6—10)
上式说明流速势函数 满足拉普拉斯 方程式，在数
学上称满足拉普拉斯方程式的函数为调和函数，所以流速势函数
是调和函数。
? ?L a p la c e
平面势流中
29
§ 6-4 Stream function of plane flow
一,Definition and confirmation of stream function
y
u
x
u
y
u
x
u
yx
yx
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
0
（ 6—11）
Viz,
it make become sufficient and necessary
condition of certain function,then dyudxu xy ?? ? ?yx,?
x
u
y
u
dy
y
dx
x
dyudxud
yx
xy
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
,
so
（ 6—12）
For imcompressible liquid of plane flow,its continuous equation is
30
§ 6-4 平面流动的流函数
一、流函数的定义及其确定
y
u
x
u
y
u
x
u
yx
yx
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
0
（ 6—11）
即
它是使 成为某一函数 的全微分的充要
条件，则有
dyudxu xy ?? ? ?yx,?
x
u
y
u
dy
y
dx
x
dyudxud
yx
xy
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
,
故
（ 6—12）
对于不可压缩流体的平面流动，其连续方程式为
31
called stream function of imcompressible liquid
of plane flow,
? ?zyx,,?
Proving analogously,in polar coordinate
ruru r ?
???
?
?? ?
?
?
?,
1 （ 6—13）
Due to condition of stream function existing is that flow satisfy
continuous function of imcompressible liquid,and that to any flow,continuous
function is must be satisfied,so in any plane flow must have stream function
,
?
32
就称为不可压缩流体平面流动的流函数。 ? ?zyx,,?
类似地可证，在极坐标中
ruru r ?
???
?
?? ?
?
?
?,
1 （ 6—13）
因为流函数存在的条件是要求流动满足不可压缩流体的
连续方程式，而连续方程式是任何流动都必须满足的，所以
说任何平面流动中一定存在着一个流函数 。 ?
33
二,Basic character of stream function
proving,seeing about discharge of any curve AB(direction z is unit
length),(figure 6—2)to discharge through infinitesimal vector ld?
? ? ? ?? ?
?ddxudyudl
dl
dx
u
dl
dy
u
dlynuxnudlnudludQ
yxyx
yxn
????
?
?
?
?
? ??
?????,c o s,c o s
??
Then discharge through any join line between point A and B,
BA
B
AAB dQ ?? ???? ?
（ 6—14）
x
y
o
A
B
dx?
dy
nu?ld
??
u?
n?
1CA ??
C??
2CB ??
Figure 6—2 relation of stream
function and discharge
Due to
yx
xy
u
dy
u
dx
dyudxud
?
???? 0?
Viz,is streamline equation,
1,Uniform flow function line is streamline
2,Discharge through two streamline is equal with difference of flow function,
34
二、流函数的基本性质
因为
yx
xy
u
dy
u
dx
dyudxud
?
???? 0?
即 为流线方程。
证：考察通过任意一条曲线 AB（ z 方向为单位长度）的流量。
（图 6—2）对于通过微元矢量 的流量 ld?
? ? ? ?? ?
?ddxudyudl
dl
dx
u
dl
dy
u
dlynuxnudlnudludQ
yxyx
yxn
????
?
?
?
?
? ??
?????,c o s,c o s
??
则通过 AB两点的任意连线 AB的流量
BA
B
AAB dQ ?? ???? ?
（ 6—14）
x
y
o
A
B
dx?
dy
nu?ld
??
u?
n?
1CA ??
C??
2CB ??
图 6—2流函数与流量的关系
1、等流函数线为流线
2、两条流线间通过的流量等于两条流线的流函数之差。
35
3,Uniform stream function line(streamline) perpendicular with equipotential line
0??????????????????? yxxy uuuuyyxx ??????
showing gradient of stream function correctitude join with grads of velocity
potential (viz,velocity),so uniform flow function line (streamline)which normal to
them perpendicular with equipotential line,
[example6—1] Stream function of imcompressible flow field
（ 1） flowing is rotational or irrotational？
（ 2） if is irrotational,finding velocity potential of flowing
：fi n d,22 ayax ???
[solution] (1)
? ?
? ?
? ? ? ? 022222
2
2
22
22
?????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
aaay
y
ax
xy
u
x
u
axayax
xx
u
ayayax
yy
u
xy
z
y
x
?
?
?
Due to
So is irrotational flow
because
36
3、等流函数线（流线）与等势线正交
0??????????????????? yxxy uuuuyyxx ??????
说明流函数的梯度与速度势的梯度（即速度）正交，故分别
与它们垂直的等流函数线（即流线）与等势线正交。
[例题 6—1]不可压缩流体流场的流函数
（ 1）流动是无旋还是有旋？
（ 2）若无旋，确定流动的速度势。
问：,22 ayax ???
[解 ] （ 1）
? ?
? ?
? ? ? ? 022222
2
2
22
22
?????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
aaay
y
ax
xy
u
x
u
axayax
xx
u
ayayax
yy
u
xy
z
y
x
?
?
?
因
故是无旋流。
这是因为
37
4,In plane irrotational flow
Stream function satisfied Laplace equation,is harmonic equation,
Proving,plane irrotational flow need satisfy
0)(21 ??????? yuxu xyz?
then
y
u
x
u xy
?
??
?
?
because
yuxu xy ?
??
?
??? ??,
Substitute into
above formula,,02222 ?????? yx ??
Relation between plane irrotational flow function and
potential function of flow velocity,
38
4、在平面无旋流动中
流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。
证：平面无旋流动需满足
0)(21 ??????? yuxu xyz?
则
y
u
x
u xy
?
??
?
?
因为
yuxu xy ?
??
?
??? ??,
代入上式,
得证。 02222 ?????? yx ??
平面无旋流动的流函数和流速势函数之间的关系式为,
39
in mathematic analysis,this relation called Cauchy-liman
condition,two harmonic function that satisfy this condition
called conjugated harmonic function,known one of them can
obtain the other,
xy
u
yx
u
y
x
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
40
在数学分析中，这个关系式称为柯西 —黎曼条件，满
足这个条件的两个调和函数称共轭调和函数，已知其中一
个函数就可以求出另一个函数。
xy
u
yx
u
y
x
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
41
（ 2）
so
? ?
? ?? ?
? ?
? ?
? ?
Ca x y
Cyf
y
yf
ax
y
yf
ax
y
yf
axyfa x y
yy
u
yfa x y
ay
x
u
y
x
???
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
2
c o n s t a n t()(
0
22
22
2
2
?
?
?
?
）
Integrating
And then
then
42
故
? ?
? ?? ?
? ?
? ?
? ?
Ca x y
Cyf
y
yf
ax
y
yf
ax
y
yf
axyfa x y
yy
u
yfa x y
ay
x
u
y
x
???
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
2
()(
0
22
22
2
2
?
?
?
?
常数）
（ 2）
积分
于是
则
43
§ 6-5 Fundamental potential flow in plane
一,parallel uniform velocity flow
streamline equation
Caybx
adybdx
b
dy
a
dx
??
??
?
0or
After integrating （ 6—15）
They are parallel straight-lines with slope,shown as figure 6-3
a
b
dx
dy ?
xo
y
C??
figure 6—3 parallel uniform velocity flow
Supposing liquid flowing with uniform velocity at parallel line,magnitude
and direction of velocity of any point in flow field,that is
both are fixed value,babuau yx a n d,,??
44
§ 6-5 基本平面势流
一、平行等速流
流线方程
Caybx
adybdx
b
dy
a
dx
??
??
?
0或
积分后得 （ 6—15）
它是一组斜率为 平等直线，如图 6—3所示
a
b
dx
dy ?
xo
y
C??
图 6—3 平 行 等 速 流
babuau yx 和,,??
设液体作平行直线等速流动，流场中各点速度的大小和方
向均相同，即 均为定值。
45
And then,velocity
potential
And that stream
function
Due to
aybx
a d yb d xdy
x
dx
y
dy
y
dx
x
d
byax
b d ya d xdy
y
dx
x
d
bu
y
au
x
yx
???
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
????
?
?
??
?
??
so,,
because
（ 6—16）
（ 6—17）
46
而流函数为
由于
aybx
adybdxdy
x
dx
y
dy
y
dx
x
d
byax
bdyadxdy
y
dx
x
d
bu
y
au
x
yx
???
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
????
?
?
??
?
??
故,,
于是，速度势为
又
（ 6—16）
（ 6—17）
47
Liquid outflows from certain radial called source,as shown in figure6-4(a),
Liquid inflows from certain radial called converge,as shown in figure6—4(b),
Supposing thickness of water layer is 1 along radius r,discharge of source
(converge) is Q,then
r
Q
rQ
r
r
??
??
2
co n s t an t12
?
???therefore
xx
yy
（ a ） （ b ）
figure 6 - 4 source and converge
二,Source and converge
definition,
48
流体从某一点径向流出称为源，如图 6—4（ a）所示。
流体从某一点径向流入称为汇，如图 6—4（ b）所示。
设半径 r 方向水层的厚度为 1，源（汇）的流量为 Q，则
r
Q
rQ
r
r
?
?
??
2
12
?
??? 常数由此
xx
yy
（ a ） （ b ）
图 6 — 4 源 与 汇
二、源流汇
定义,
49
Due to source and converge only flow along radial,so component velocity along
circumference, 0?
??
In polar coordinate,from formula（ 6—6）
? ? ? ?rCCrQ
rr
Q
r
r
21,ln2
0
1
,
2
????
?
?
?
???
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? ?
Integrating and
obtaining
rQln2?? ??
（ 6—18）
From formula（ 6—13）
? ? ? ?????
?
?
??
??
??
?
21,2
0,
2
1
DDQ
rr
Q
rr
????
?
?
?????
?
??
Integrating and
obtaining
where is integrating constant about,from
above two should be equal,then
? ? ? ?rCC 21 和? r and ?
? rQrCC ln2)(,0)( 21 ?? ??
50
由于源汇只有径向流动，所以圆周方向的速度分量 。 0???
在极坐标中，由式（ 6—6）
? ? ? ?rCCrQ
rr
Q
r
r
21,ln2
0
1
,
2
????
?
?
?
???
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? ?
积分得
rQln2?? ??
（ 6—18）
由式（ 6—13）
? ? ? ?????
?
?
??
??
??
?
21,2
0,
2
1
DDQ
rr
Q
rr
????
?
?
?????
?
??
积分得
式中 分别是关于 的积分常数，根据上面两个
应该相等，得
? ? ? ?rCC 21 和? r和? ?
rQrCC ln2)(,0)( 21 ?? ??
51
where is integrating constant about,from two
should be equal,obtaining ? ? ? ??21 an d DrD
? and r ?
??? 2Q?? （ 6—19）
??? 2)(,0)( 21 QDrD ??
so
Assuming discharge of outflow is positive,then source get,”
,converge get,-”.Equipotential line of source and converge are
group of concentric circles,
?
52
式中 分别是关于 的积分常数，由两个 应该
相等，得
? ? ? ??21 DrD 和 ?和r ?
??? 2Q?? （ 6—19）
??? 2)(,0)( 21 QDrD ??
故
假定流出流量为正，则源流取,”号，汇流取,-”号。
源汇流的等势线为一组同心圆。
?
53
rrr
r
rrd
r
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
2
1
,0
2
2
2
0
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??? ?
therefore
From formula (6-6)
（ 6—20）
Integrating and
obtaining
rrrr ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 2,0
1
2
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
Now we study circumference motion of liquid,that is only have
velocity along circumference,and that velocity at radius direction
, shown as figure 6—5,and define linear integrating of
velocity in tangential of circumference as velocity loop quantity
,that is
??
0?r?
?? ?
三,Potential vortex flow
54
现在我们来研究流体的圆周运动，即只有圆周方向速度,
而径向速度 。如图 6—5所示，并且定义速度 在圆周切线
上的线积分为速度环量,即
??
0?r? ??
?
三、势涡流
rrr
r
rrd
r
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
2
1
,0
2
2
2
0
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??? ?
所以
由式（ 6—6）
（ 6—20）
积分得
rrrr ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 2,0
1
2
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
55
? ? ? ?
r
DrrD
ln
2
ln
2
,21
?
?
?
?
??
?
??
?
?
???
Integrating and obtaining
（ 6—21）
Equipotential lines are
one family radials
o
x
y
?
Figure 6—4（ a）
potential vortex flow
56
? ? ? ?
r
DrrD
ln
2
ln
2
,21
?
?
?
?
??
?
??
?
?
???积分得
（ 6—21）
等势线是一族射线。
o
x
y
?
图 6—4（ a）势涡流
57
If taking source that in point and intensity is Q combined with converge that
in point B and with uniform intension.(figure 6-5） making
are velocity potential and stream function of source and converge,then after
combining,velocity potential of certain point
? ?0,aA ?
? ?0,a 2121 a n d,a n d ????
? ?yxP,
? ?
? ?22
22
21
ln
4
ln
2
ln
2
ln
2
axy
axyQ
r
rQ
r
Q
r
Q
B
A
BA
??
??
??
????
??
??
???
（ 6—22）
stream function
PBA
QQ ?
????? 2)(2 ????
（ 6—23）
四,Combining of source and converge
figure 6—5 source and converge
xo
y
a? a
Br
Ar
? ?yxP,
B?A?A B
58
若将位于 点，强度为 Q的源与位于 B 点等强度
的汇叠加（图 6—5）令 分别为源与汇的速度
势和流函数，则叠加后某点 的速度势
? ?0,aA ? ? ?0,a
2121 ???? 和，和
? ?yxP,
? ?
? ? 22
22
21
ln
4
ln
2
ln
2
ln
2
axy
axyQ
r
rQ
r
Q
r
Q
B
A
BA
??
??
??
????
??
??
???
（ 6—22）
流函数
PBA
QQ ?
????? 2)(2 ????
（ 6—23）
四、源与汇叠加
xo
y
a? a
Br
Ar
? ?yxP,
B?A?
图 6—5 源与汇
A B
59
§ 6-6 Combining theory of potential flow
Due to velocity of potential flow satisfy Laplace equation,and that Laplace
equation is linear,so after combining of several potential flow still satisfy with
Laplace equation,
Supposing there are two potential flow,their velocity potential flow are
separately,then 21 a nd ??
0
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
yx
yx
??
??
?
（ 6—24）
here,sum of two velocity potential will delegate a new plane
potential flow of imcompressible liquid,its velocity potential
21 ??? ??
（ 6—25）
60
§ 6-6 势流的叠加原理
由于势流的速度满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是线
性的，故几个势流的速度势叠加后仍满足拉普拉斯方程。
设有两个势流，其速度势分别为,则
21 ?? 和
0
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
yx
yx
??
??
?
（ 6—24）
此时，两个速度势之和将代表一个新的不可压缩流体平面势
流，其速度势
21 ??? ??
（ 6—25）
61
because ? ? ? ?
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
21
2
2
21
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
yxyx
yx
yx
????
????
??
（ 6—26）
Combining result of velocity potential,delegating a new combined flow,
Its velocity component
21
21
21
21
yyy
xxx
uu
yyy
u
uu
xxx
u
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
（ 6—27）
Similarly proving,stream function of new combined flow
21 ??? ??
（ 6—28）
62
因为 ? ? ? ?
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
21
2
2
21
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
yxyx
yx
yx
????
????
??
（ 6—26）
即速度势叠加结果，代表一新的复合流动，其速度分量
21
21
21
21
yyy
xxx
uu
yyy
u
uu
xxx
u
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
（ 6—27）
同理可证明，新的复合流动的流函数
21 ??? ??
（ 6—28）
63
Two or more potential flow combining a new combined
potential flow,only need take velocity potential or stream function
of original potential flow sum together,its velocity will be vector
sum of velocity in original potential flow,
Combining theory of potential flow,
64
叠加两个或多个势流组成一新的复合势流，只需将各原
始势流的速度势或流函数简单地相加，其速度将是各原始势
流速度的矢量和。
势流的叠加原理,
65
66
Mechanics of Fluid
2
3
Chapter 6 Irrotational flow of impressible ideal-fluid
§ 6–1 Introduction
§ 6–2 Dynamic analysis of micelle in liquid
§ 6 –3 Velocity potential of irrotational flow
§ 6–4 Stream function of plane flow
§ 6–5 Fundamental potential flow in plane
§ 6–6 Combining theory of potential flow
4
第六章 不可压缩理想流体的无旋运动
§ 6–1 引言
§ 6–2 流体微团运动分析
§ 6 –3 无旋流动的速度势
§ 6–4 平面流动的流函数
§ 6–5 基本平面势流
§ 6–6 势流的叠加原理
5
Chapter 6 Irrotational flow of impressible ideal-fluid
§ 6-1 Introduction
In this chapter irrotational flow in plane of impressible ideal-
fluid is studied,velocity field of irrotational flow can be obtained
through three approach by calculating velocity potential,stream
function and combining potential,
6
第六章 不可压缩理想流体的无旋运动
§ 6-1 引言
本章主要研究不可压缩理想流体平面无旋运动，平面
无旋运动的速度场可通过计算速度势、流函数及复势这三
条途径来确定。
7
§ 6-2 Dynamic analysis of liquid micelle
Known from theory mechanics,in rigid body there are two motion forms：
moving and rotation； but different in liquid motions.Due to different velocity of
each point of liquid micelle in flow field,but need keep its continuity as well,so
besides moving and rotation in liquid micelle,still has deform motions.In following
three motion forms of liquid micelle are analyzed,
dy
y
u
udy
y
ux
uC
dx
x
u
udx
x
u
uB
y
yx
y
y
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,p o in t
,p o in t
：
：
Figure 6—1 is plane motion of liquid micelle.Supposing liquid micelle is
rectangle ABCD at t,Through,it changes into new position and deforms to
,again supposing at t velocity of angle point A is,spreading due to
Thaler progression,obtaining velocity of point B and C DCBA ???? yx uu,
dt
8
§ 6-2 流体微团运动分析
由理论力学可知，刚体有平移和旋转两种运动形式，而流体
运动则不同。由于流体微团在流场中各点的速度不同，但又要保
持流体本身的连续性，因此流体微团除有平移和旋转运动外，还
有变形运动。下面将分析流体微团的三种运动形式。
dy
y
u
udy
y
ux
uC
dx
x
u
udx
x
u
uB
y
yx
y
y
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
,
点：
点：
DCBA ????
yx uu,
dt
如图 6—1所示的平面运动中的流体微团。设在 t 时刻流体微
团为矩形 ABCD，经过 时段后它移动到新的位置并变形为
，又设 t 时刻角点 A的速度为,根据泰勒级数展开，得 B、
C点的速度分别为
9
x
y
A B
C D
D?
C?
B?
A?
dtux
dxxuu xx ???
dyyuu yy ???
dyyuu xx ???
dxxuu yy ???
d y d tyudy y???
dtuy
dydtyux??
d xd txudx x???
dxdtxuy????
??
Figure 6-1 Analysis on plane motion of
liquid micelle
yu
xu
10
x
y
A B
C D
D?
C?
B?
A?
dtux
dxxuu xx ???
dyyuu yy ???
dyyuu xx ???
dxxuu yy ???
d y d tyudy y???
dtuy
dydtyux??
d xd txudx x???
dxdtxuy????
??
图 6—1 分析流体微团的平面运动
yu
xu
11
Velocity of each point concludes,known from figure
6—1,is translating velocity,yx uu,
yx uu,
（ 1） Linear deformation
Taking AB as example.Due to velocity of angle point B is
faster than angle point A along direction x (or slower),
so through,protraction of side AB along x (or condense)is
.Linear deformation of unit length in unit time called linear deformation
velocity,and written,then
dxxu x ?????? ??
dt dtdx
x
u x ??
?
??
?
?
?
?
? ?zyxiij,,??
1,Translating motion
2,Deformation motion
? ?
x
udtdxdtdx
x
u xx
xx ?
????
?
???
y
u y
yy ?
???
z
u z
zz ?
??? ?
（ 6—1） similarly
12
各点的速度中均包含有,由图 6—1可见,
是平移速度。 yx uu,yx uu,
dxxu x ?????? ??
（ 1）线变形
以 AB为例。因为角点 B沿 x 方向的速度比角点 A快（或
慢）,所以经过 时段后,AB边在 x 方向的伸长（
或缩短）量为 。单位时间单位长度的线变形称为线
变形速度，并记为,则
dt
dtdxxu x ??????? ??
? ?zyxiij,,??
1、平移运动
2、变形运动
? ?
x
udtdxdtdx
x
u xx
xx ?
????
?
???
y
u y
yy ?
???
z
u z
zz ?
??? ?
（ 6—1） 同理
13
Taking half angular deformation velocity in plane defined as shear
deformation velocity of liquid micelle,written as
known from figure 6-1,angle changing of point A is ? ?jizyxjiij ?? b u t,,,?
According to definition of shear deformation velocity on liquid micelle,obtaining
???? ???????? BACC A B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
x
u
z
u
z
u
y
u
y
u
x
u
dt
zx
xzzx
yz
zyyz
xy
yxxy
2
1
2
1
2
1
2
1
??
??
????
??
（ 6—2）
and that
dt
y
u
x
u
dt
y
u
dtdy
y
u
dydtdy
y
u
dt
x
u
dtdx
x
u
dxdtdx
x
u
xy
xyx
yxy
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
????
??
??
so
（ 1）
（ 2）
（ 2） Shear deformation
14
将平面上角变形速度之半定义为流体微团的剪切变形速
度，记为 由图 6-1可知,A点的角度变化
为 ? ?jizyxjiij ?? 但,,,?
根据流体微团剪切变形速度的定义得
???? ???????? BACC A B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
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?
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?
?
?
?
?
?
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??
x
u
z
u
z
u
y
u
y
u
x
u
dt
zx
xzzx
yz
zyyz
xy
yxxy
2
1
2
1
2
1
2
1
??
??
????
??
（ 6—2）
dt
y
u
x
u
dt
y
u
dtdy
y
u
dydtdy
y
u
dt
x
u
dtdx
x
u
dxdtdx
x
u
xy
xyx
yxy
?
?
?
?
?
?
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?
?
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??
?
?
???
?
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??
?
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??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
????
??
??
而
所以
（ 1）
（ 2）
（ 2）剪切变形
15
Taking average value of rotational angular velocity on two straight-line in liquid micelle
defined as rotational angular velocity of liquid micelle,written as,,supposing
straight-line rotational angular velocity along counter-clockwise is positive,then from
formula(1)(2),rotational angular of side AB in unit time is,rotational angular of side
AC in unit time is,according to definition of rotational angular velocity on liquid
micelle,obtaining
? ?zyxii,,??
xuy ??
yux ???
If all liquid micelle translating or deforming motion when liquid flowing,no
rotating,viz.,then called this flow is irrotational flow (potential
flow),0??? zyx ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
xy
z
zx
y
yx
x
2
1
2
1
2
1
?
?
?
（ 6—3）
?
3,Rotation
Definition,
If has rotation in liquid micelle,viz,at least one is not 0 of three,
then called rotational motion(vortex motion),zyx ???,,
16
将流体微团上两条直线旋转角速度的平均值定义为流体微团
的旋转角速度，记为,假设直线逆时针方向旋转的
角速度为正，则由（ 1）（ 2）式可知，单位时间内 AB边的旋转角
度为,单位时间内 AC边的旋转角度为,根据流体微
团旋转角速度的定义得
? ?zyxii,,??
xuy ?? yu x ???
如果流体流动时所有流体微团仅作平移和变形运动，没有旋
转运动，即,则称该流动为无旋流动（势流）。 0???
zyx ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
xy
z
zx
y
yx
x
2
1
2
1
2
1
?
?
?
（ 6—3）
?
3、旋转运动
定义,
zyx ???,,
若流体微团有旋转运动，即 三者中至少有一个不
等于零，则称为有旋流动（有涡运动）。
17
§ 6-3 Velocity potential of irrotational flow
Irrotational flow motion,in right-angle coordinate must have 0??
z
u
x
u
y
u
z
u
x
u
y
u
xz
zy
yx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（ 6—4）
formula (6—4) is sufficient and necessary condition of
certain potential function in complete differential,where t is parameter
variable,obtaining ? ?tzyx,,,?
dzudyudxu zyx ??
dzudyudxud zyx ???? Illuminating no rotating must
have potential,And
that
dzzdyydxxd ????????? ????
so
zuyuxu zyx ?
??
?
??
?
?? ???,,（ 6—5）
18
§ 6-3 无旋流动的速度势
无旋运动,在直角坐标中必有 0??
z
u
x
u
y
u
z
u
x
u
y
u
xz
zy
yx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（ 6—4）
dzudyudxu zyx ?? 式（ 6—4）是 为某一势函数 的全微分的充分必需条件，其中 t 为参变量，必有 ? ?tzyx,,,?
又因
dzzdyydxxd ????????? ????
dzudyudxud zyx ???? 说明无旋必有势
故
zuyuxu zyx ?
??
?
??
?
?? ???,,（ 6—5）
19
????? ??
?
??
?
??
?
????? g r a dk
z
j
y
i
x
kujuiuu zyx
???????
Column coordinate
z
u
r
u
r
u zr
?
??
?
??
?
?? ?
?
??
?,
1,（ 6—6）
Spherical coordinate
?
?
??
??
?? ?
??
?
??
?
??
s i n
1,1,
RuRuRu R
（ 6—7）
20
????? ??
?
??
?
??
?
????? g r a dk
z
j
y
i
x
kujuiuu zyx
???????
圆柱坐标系
z
u
r
u
r
u zr
?
??
?
??
?
?? ?
?
??
?,
1,（ 6—6）
球坐标系
?
?
??
??
?? ?
??
?
??
?
??
s i n
1,1,
RuRuRu R
（ 6—7）
21
Character of flow velocity potential function,
?
where
l u
l
?
?—unit vector of this direction;
— angle between and grads;
l? u????
—velocity component parallel to direction
l?
proving
? ? ? ? ? ?
luulul
zl
z
yl
y
xl
xdl
dz
zdl
dy
ydl
dx
xl
???????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
??
???????
c o s
,c o s,c o s,c o s
???
lul ??
?? （ 6—8）
1,direction derivative of random direction is equal to component velocity
of this direction,viz,l
22
证
? ? ? ? ? ?
luulul
zl
z
yl
y
xl
xdl
dz
zdl
dy
ydl
dx
xl
???????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
??
???????
c o s
,c o s,c o s,c o s
???
流速势函数 的性质,?
lul ??
?? （ 6—8）
其中
l u
l
?
?—该方向的单位矢量；
— 与梯度 的夹角；
—速度在 方向的分量。
l? u????
l?
l1,对于任意方向 的方向导数等于该方向的分速，即
23
Curved area with constant potential function of flow velocity is equipotential
area.In its area line in it called equipotential line,? ? co n s t an t,,?zyx?
So
0??????????????? sdudzudyudxudzzdyydxxd zyx ??????
where
sd
u??
—velocity vector；
—infinitesimal arc vector in equipotential surface,
2,Equipotential lines perpendicular with streamlines
definition,
explaining,velocity u and ds is perpendicular.Equipotential line is cross flow
section line,
one family streamline and equipotential line constitute perpendicular flow
net,
24
流速势函数等于常数的曲面积为等势面。在其面上
位于等势面上的线称为等势线。
? ? 常数。?zyx,,?
所以
0??????????????? sdudzudyudxudzzdyydxxd zyx ??????
式中
sd
u??
—速度向量；
—等势面上微元弧向量。
2、等势线与流线正交
定义,
说明：速度 u与 ds正交。等势线既是过流断面线。
一族流线与等势线构成相互正交的流网。
25
3,Potential function of flow velocity increasing along streamlines direction
ds
d
suu s
?? ?
?
???
so
udsd ??
From character1,obtaining velocity parallel to streamline direction
0?u 0,0 ?? ?dds Velocity parallel to direction streamline, so
,showing that direction of value increasing parallel to direction s
,
?
26
3、流速势函数沿流线 s 方向增大。
ds
d
suu s
?? ?
?
???
从而得
udsd ??
由性质 1得沿流线方向的速度为
沿流线方向速度,所以,即说明 值
增大的方向与 s 方向相同。
0?u 0,0 ?? ?dds ?
27
4,Potential function of flow velocity is harmonic function
yuxu yx ?
??
?
?? ??,
Substituting continuous equation of imcompressible liquid into,
obtaining
0???
?
?
???
?
?
?
?
???
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
yyxxy
u
x
u yx ??
so
??
??
2
2
2
2
2
0
???
?
?
?
?
?
?
yx
or
（ 6— 9）
（ 6—10)
above formula showing that potential functions of flow velocity
satisfy Laplace equation,in math function that satisfy Laplace
equation called harmonic function,so potential function of flow
velocity is harmonic function,
Potential flow in pane
28
4、流速势函数是调和函数
yuxu yx ?
??
?
?? ??,
代入不可压缩流体的连续方程中得
0???
?
?
???
?
?
?
?
???
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
yyxxy
u
x
u yx ??
从而得
??
??
2
2
2
2
2
0
???
?
?
?
?
?
?
yx
或者
（ 6— 9）
（ 6—10)
上式说明流速势函数 满足拉普拉斯 方程式，在数
学上称满足拉普拉斯方程式的函数为调和函数，所以流速势函数
是调和函数。
? ?L a p la c e
平面势流中
29
§ 6-4 Stream function of plane flow
一,Definition and confirmation of stream function
y
u
x
u
y
u
x
u
yx
yx
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
0
（ 6—11）
Viz,
it make become sufficient and necessary
condition of certain function,then dyudxu xy ?? ? ?yx,?
x
u
y
u
dy
y
dx
x
dyudxud
yx
xy
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
,
so
（ 6—12）
For imcompressible liquid of plane flow,its continuous equation is
30
§ 6-4 平面流动的流函数
一、流函数的定义及其确定
y
u
x
u
y
u
x
u
yx
yx
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
0
（ 6—11）
即
它是使 成为某一函数 的全微分的充要
条件，则有
dyudxu xy ?? ? ?yx,?
x
u
y
u
dy
y
dx
x
dyudxud
yx
xy
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
,
故
（ 6—12）
对于不可压缩流体的平面流动，其连续方程式为
31
called stream function of imcompressible liquid
of plane flow,
? ?zyx,,?
Proving analogously,in polar coordinate
ruru r ?
???
?
?? ?
?
?
?,
1 （ 6—13）
Due to condition of stream function existing is that flow satisfy
continuous function of imcompressible liquid,and that to any flow,continuous
function is must be satisfied,so in any plane flow must have stream function
,
?
32
就称为不可压缩流体平面流动的流函数。 ? ?zyx,,?
类似地可证，在极坐标中
ruru r ?
???
?
?? ?
?
?
?,
1 （ 6—13）
因为流函数存在的条件是要求流动满足不可压缩流体的
连续方程式，而连续方程式是任何流动都必须满足的，所以
说任何平面流动中一定存在着一个流函数 。 ?
33
二,Basic character of stream function
proving,seeing about discharge of any curve AB(direction z is unit
length),(figure 6—2)to discharge through infinitesimal vector ld?
? ? ? ?? ?
?ddxudyudl
dl
dx
u
dl
dy
u
dlynuxnudlnudludQ
yxyx
yxn
????
?
?
?
?
? ??
?????,c o s,c o s
??
Then discharge through any join line between point A and B,
BA
B
AAB dQ ?? ???? ?
（ 6—14）
x
y
o
A
B
dx?
dy
nu?ld
??
u?
n?
1CA ??
C??
2CB ??
Figure 6—2 relation of stream
function and discharge
Due to
yx
xy
u
dy
u
dx
dyudxud
?
???? 0?
Viz,is streamline equation,
1,Uniform flow function line is streamline
2,Discharge through two streamline is equal with difference of flow function,
34
二、流函数的基本性质
因为
yx
xy
u
dy
u
dx
dyudxud
?
???? 0?
即 为流线方程。
证：考察通过任意一条曲线 AB（ z 方向为单位长度）的流量。
（图 6—2）对于通过微元矢量 的流量 ld?
? ? ? ?? ?
?ddxudyudl
dl
dx
u
dl
dy
u
dlynuxnudlnudludQ
yxyx
yxn
????
?
?
?
?
? ??
?????,c o s,c o s
??
则通过 AB两点的任意连线 AB的流量
BA
B
AAB dQ ?? ???? ?
（ 6—14）
x
y
o
A
B
dx?
dy
nu?ld
??
u?
n?
1CA ??
C??
2CB ??
图 6—2流函数与流量的关系
1、等流函数线为流线
2、两条流线间通过的流量等于两条流线的流函数之差。
35
3,Uniform stream function line(streamline) perpendicular with equipotential line
0??????????????????? yxxy uuuuyyxx ??????
showing gradient of stream function correctitude join with grads of velocity
potential (viz,velocity),so uniform flow function line (streamline)which normal to
them perpendicular with equipotential line,
[example6—1] Stream function of imcompressible flow field
（ 1） flowing is rotational or irrotational？
（ 2） if is irrotational,finding velocity potential of flowing
：fi n d,22 ayax ???
[solution] (1)
? ?
? ?
? ? ? ? 022222
2
2
22
22
?????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
aaay
y
ax
xy
u
x
u
axayax
xx
u
ayayax
yy
u
xy
z
y
x
?
?
?
Due to
So is irrotational flow
because
36
3、等流函数线（流线）与等势线正交
0??????????????????? yxxy uuuuyyxx ??????
说明流函数的梯度与速度势的梯度（即速度）正交，故分别
与它们垂直的等流函数线（即流线）与等势线正交。
[例题 6—1]不可压缩流体流场的流函数
（ 1）流动是无旋还是有旋？
（ 2）若无旋，确定流动的速度势。
问：,22 ayax ???
[解 ] （ 1）
? ?
? ?
? ? ? ? 022222
2
2
22
22
?????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
aaay
y
ax
xy
u
x
u
axayax
xx
u
ayayax
yy
u
xy
z
y
x
?
?
?
因
故是无旋流。
这是因为
37
4,In plane irrotational flow
Stream function satisfied Laplace equation,is harmonic equation,
Proving,plane irrotational flow need satisfy
0)(21 ??????? yuxu xyz?
then
y
u
x
u xy
?
??
?
?
because
yuxu xy ?
??
?
??? ??,
Substitute into
above formula,,02222 ?????? yx ??
Relation between plane irrotational flow function and
potential function of flow velocity,
38
4、在平面无旋流动中
流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。
证：平面无旋流动需满足
0)(21 ??????? yuxu xyz?
则
y
u
x
u xy
?
??
?
?
因为
yuxu xy ?
??
?
??? ??,
代入上式,
得证。 02222 ?????? yx ??
平面无旋流动的流函数和流速势函数之间的关系式为,
39
in mathematic analysis,this relation called Cauchy-liman
condition,two harmonic function that satisfy this condition
called conjugated harmonic function,known one of them can
obtain the other,
xy
u
yx
u
y
x
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
40
在数学分析中，这个关系式称为柯西 —黎曼条件，满
足这个条件的两个调和函数称共轭调和函数，已知其中一
个函数就可以求出另一个函数。
xy
u
yx
u
y
x
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
41
（ 2）
so
? ?
? ?? ?
? ?
? ?
? ?
Ca x y
Cyf
y
yf
ax
y
yf
ax
y
yf
axyfa x y
yy
u
yfa x y
ay
x
u
y
x
???
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
2
c o n s t a n t()(
0
22
22
2
2
?
?
?
?
）
Integrating
And then
then
42
故
? ?
? ?? ?
? ?
? ?
? ?
Ca x y
Cyf
y
yf
ax
y
yf
ax
y
yf
axyfa x y
yy
u
yfa x y
ay
x
u
y
x
???
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
2
()(
0
22
22
2
2
?
?
?
?
常数）
（ 2）
积分
于是
则
43
§ 6-5 Fundamental potential flow in plane
一,parallel uniform velocity flow
streamline equation
Caybx
adybdx
b
dy
a
dx
??
??
?
0or
After integrating （ 6—15）
They are parallel straight-lines with slope,shown as figure 6-3
a
b
dx
dy ?
xo
y
C??
figure 6—3 parallel uniform velocity flow
Supposing liquid flowing with uniform velocity at parallel line,magnitude
and direction of velocity of any point in flow field,that is
both are fixed value,babuau yx a n d,,??
44
§ 6-5 基本平面势流
一、平行等速流
流线方程
Caybx
adybdx
b
dy
a
dx
??
??
?
0或
积分后得 （ 6—15）
它是一组斜率为 平等直线，如图 6—3所示
a
b
dx
dy ?
xo
y
C??
图 6—3 平 行 等 速 流
babuau yx 和,,??
设液体作平行直线等速流动，流场中各点速度的大小和方
向均相同，即 均为定值。
45
And then,velocity
potential
And that stream
function
Due to
aybx
a d yb d xdy
x
dx
y
dy
y
dx
x
d
byax
b d ya d xdy
y
dx
x
d
bu
y
au
x
yx
???
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
????
?
?
??
?
??
so,,
because
（ 6—16）
（ 6—17）
46
而流函数为
由于
aybx
adybdxdy
x
dx
y
dy
y
dx
x
d
byax
bdyadxdy
y
dx
x
d
bu
y
au
x
yx
???
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
????
?
?
??
?
??
故,,
于是，速度势为
又
（ 6—16）
（ 6—17）
47
Liquid outflows from certain radial called source,as shown in figure6-4(a),
Liquid inflows from certain radial called converge,as shown in figure6—4(b),
Supposing thickness of water layer is 1 along radius r,discharge of source
(converge) is Q,then
r
Q
rQ
r
r
??
??
2
co n s t an t12
?
???therefore
xx
yy
（ a ） （ b ）
figure 6 - 4 source and converge
二,Source and converge
definition,
48
流体从某一点径向流出称为源，如图 6—4（ a）所示。
流体从某一点径向流入称为汇，如图 6—4（ b）所示。
设半径 r 方向水层的厚度为 1，源（汇）的流量为 Q，则
r
Q
rQ
r
r
?
?
??
2
12
?
??? 常数由此
xx
yy
（ a ） （ b ）
图 6 — 4 源 与 汇
二、源流汇
定义,
49
Due to source and converge only flow along radial,so component velocity along
circumference, 0?
??
In polar coordinate,from formula（ 6—6）
? ? ? ?rCCrQ
rr
Q
r
r
21,ln2
0
1
,
2
????
?
?
?
???
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? ?
Integrating and
obtaining
rQln2?? ??
（ 6—18）
From formula（ 6—13）
? ? ? ?????
?
?
??
??
??
?
21,2
0,
2
1
DDQ
rr
Q
rr
????
?
?
?????
?
??
Integrating and
obtaining
where is integrating constant about,from
above two should be equal,then
? ? ? ?rCC 21 和? r and ?
? rQrCC ln2)(,0)( 21 ?? ??
50
由于源汇只有径向流动，所以圆周方向的速度分量 。 0???
在极坐标中，由式（ 6—6）
? ? ? ?rCCrQ
rr
Q
r
r
21,ln2
0
1
,
2
????
?
?
?
???
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? ?
积分得
rQln2?? ??
（ 6—18）
由式（ 6—13）
? ? ? ?????
?
?
??
??
??
?
21,2
0,
2
1
DDQ
rr
Q
rr
????
?
?
?????
?
??
积分得
式中 分别是关于 的积分常数，根据上面两个
应该相等，得
? ? ? ?rCC 21 和? r和? ?
rQrCC ln2)(,0)( 21 ?? ??
51
where is integrating constant about,from two
should be equal,obtaining ? ? ? ??21 an d DrD
? and r ?
??? 2Q?? （ 6—19）
??? 2)(,0)( 21 QDrD ??
so
Assuming discharge of outflow is positive,then source get,”
,converge get,-”.Equipotential line of source and converge are
group of concentric circles,
?
52
式中 分别是关于 的积分常数，由两个 应该
相等，得
? ? ? ??21 DrD 和 ?和r ?
??? 2Q?? （ 6—19）
??? 2)(,0)( 21 QDrD ??
故
假定流出流量为正，则源流取,”号，汇流取,-”号。
源汇流的等势线为一组同心圆。
?
53
rrr
r
rrd
r
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
2
1
,0
2
2
2
0
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??? ?
therefore
From formula (6-6)
（ 6—20）
Integrating and
obtaining
rrrr ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 2,0
1
2
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
Now we study circumference motion of liquid,that is only have
velocity along circumference,and that velocity at radius direction
, shown as figure 6—5,and define linear integrating of
velocity in tangential of circumference as velocity loop quantity
,that is
??
0?r?
?? ?
三,Potential vortex flow
54
现在我们来研究流体的圆周运动，即只有圆周方向速度,
而径向速度 。如图 6—5所示，并且定义速度 在圆周切线
上的线积分为速度环量,即
??
0?r? ??
?
三、势涡流
rrr
r
rrd
r
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
2
1
,0
2
2
2
0
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??? ?
所以
由式（ 6—6）
（ 6—20）
积分得
rrrr ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 2,0
1
2
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
55
? ? ? ?
r
DrrD
ln
2
ln
2
,21
?
?
?
?
??
?
??
?
?
???
Integrating and obtaining
（ 6—21）
Equipotential lines are
one family radials
o
x
y
?
Figure 6—4（ a）
potential vortex flow
56
? ? ? ?
r
DrrD
ln
2
ln
2
,21
?
?
?
?
??
?
??
?
?
???积分得
（ 6—21）
等势线是一族射线。
o
x
y
?
图 6—4（ a）势涡流
57
If taking source that in point and intensity is Q combined with converge that
in point B and with uniform intension.(figure 6-5） making
are velocity potential and stream function of source and converge,then after
combining,velocity potential of certain point
? ?0,aA ?
? ?0,a 2121 a n d,a n d ????
? ?yxP,
? ?
? ?22
22
21
ln
4
ln
2
ln
2
ln
2
axy
axyQ
r
rQ
r
Q
r
Q
B
A
BA
??
??
??
????
??
??
???
（ 6—22）
stream function
PBA
QQ ?
????? 2)(2 ????
（ 6—23）
四,Combining of source and converge
figure 6—5 source and converge
xo
y
a? a
Br
Ar
? ?yxP,
B?A?A B
58
若将位于 点，强度为 Q的源与位于 B 点等强度
的汇叠加（图 6—5）令 分别为源与汇的速度
势和流函数，则叠加后某点 的速度势
? ?0,aA ? ? ?0,a
2121 ???? 和，和
? ?yxP,
? ?
? ? 22
22
21
ln
4
ln
2
ln
2
ln
2
axy
axyQ
r
rQ
r
Q
r
Q
B
A
BA
??
??
??
????
??
??
???
（ 6—22）
流函数
PBA
QQ ?
????? 2)(2 ????
（ 6—23）
四、源与汇叠加
xo
y
a? a
Br
Ar
? ?yxP,
B?A?
图 6—5 源与汇
A B
59
§ 6-6 Combining theory of potential flow
Due to velocity of potential flow satisfy Laplace equation,and that Laplace
equation is linear,so after combining of several potential flow still satisfy with
Laplace equation,
Supposing there are two potential flow,their velocity potential flow are
separately,then 21 a nd ??
0
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
yx
yx
??
??
?
（ 6—24）
here,sum of two velocity potential will delegate a new plane
potential flow of imcompressible liquid,its velocity potential
21 ??? ??
（ 6—25）
60
§ 6-6 势流的叠加原理
由于势流的速度满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是线
性的，故几个势流的速度势叠加后仍满足拉普拉斯方程。
设有两个势流，其速度势分别为,则
21 ?? 和
0
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
yx
yx
??
??
?
（ 6—24）
此时，两个速度势之和将代表一个新的不可压缩流体平面势
流，其速度势
21 ??? ??
（ 6—25）
61
because ? ? ? ?
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
21
2
2
21
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
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??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
yxyx
yx
yx
????
????
??
（ 6—26）
Combining result of velocity potential,delegating a new combined flow,
Its velocity component
21
21
21
21
yyy
xxx
uu
yyy
u
uu
xxx
u
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
（ 6—27）
Similarly proving,stream function of new combined flow
21 ??? ??
（ 6—28）
62
因为 ? ? ? ?
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
21
2
2
21
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
yxyx
yx
yx
????
????
??
（ 6—26）
即速度势叠加结果，代表一新的复合流动，其速度分量
21
21
21
21
yyy
xxx
uu
yyy
u
uu
xxx
u
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
（ 6—27）
同理可证明，新的复合流动的流函数
21 ??? ??
（ 6—28）
63
Two or more potential flow combining a new combined
potential flow,only need take velocity potential or stream function
of original potential flow sum together,its velocity will be vector
sum of velocity in original potential flow,
Combining theory of potential flow,
64
叠加两个或多个势流组成一新的复合势流，只需将各原
始势流的速度势或流函数简单地相加，其速度将是各原始势
流速度的矢量和。
势流的叠加原理,
65
66
