同学们好 ！
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三, 能均分定律 理想气体内能
各种平均能量按自由度均分
1,模型的改进
推导压强公式,理想气体分子 —— 质点
讨论能量问题,考虑分子内部结构 —— 质点组
大量分子系统,
各种运动形式的能量分布、平均总能量均遵守统计规律。
分子热运动
平动
转动
分子内原子间振动
第四节 理想气体中的统计规律及其应用 （续）
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2.自由度
确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数
srti ???
总自由度数 =平动自由度 +转动自由度 +振动自由度
3?? ti
1） 质点,只有平动，最多三个自由度 ),,( zyx
受限制时自由度减少
飞机 t =3
轮船 t =2
火车 t =1
例,
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决定质心位置 ),,( zyx
t =3
过质心转轴方位 之二）???,,(
刚体相对于轴的方位 )(?
r =3
最多 6个自由度, i = t + r = 6
定轴刚体, i = r = 1 )(?
2） 刚体
?
xz
o
y
? ?zyxc,,
?
?
?
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3）气体分子
单原子分子 —自由质点 i = t = 3
质心位置 t = 3
2,21 ?rmm 连线方位
1,21 ?smm 相对于质心的位置
6???? srti
双原子分子 — 轻弹簧联系
的两个质点
x
y
z
O
C
m2
m1
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多原子分子（原子数 n )
最多可能自由度 i=3n
平动 t =3
转动 r =3
振动 s =3n-6
刚性多原子分子 t = 3
r = 3
s = 0
i = 6
3,能均分定律
分子的平均总动能,
kTi
2k
??
由 M-B统计得,在温度 T的平衡态下，物质（固，液，气）
分子的每一个可能的自由度都有相同的平均动能
kT21
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定性说明,由于分子频繁碰撞，动能在各运动形式,
各自由度之间转移，平衡时，各种平均动能按自由
度均分。
由能均分定律，其它各自由度上平均动能均为
kT21
由温度公式
kTvvvmvm zyxt
2
3)(
2
1
2
1 2222 ??????
kTvmvmvm zyx 21212121 222 ???
每个自由度上的平均平动动能,
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平均平动动能 kTt
2
平均转动动能 kTr
2
平均振动动能
kTs2
平均总动能
kTikTsrt 2)(21k ?????
注意,
能均分定律是统计规律，反映大量分子系统的整
体性质，对个别分子或少数分子不适用。
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2） 理想气体内能：（分子数 N）
模型,分子间无相互作用 ~无分子相互作用势能
分子动能,kTiN
2?
原子振动势能,
kTsN 2?
kTsrtN )2(21 ???
4,理想气体的内能
1）实际气体 的内能,（分子数 N）
所有分子的动能,
kTiNkTsrtN 2)(21 ?????
微振动：采用谐振动模型
所有分子内原子振动势能,
pk EE ?
kTsN 2?
分子间相互作用势能,与体积 V 有关
与 T,V
有关
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模型,刚性分子 ~无振动自由度
分子数为 N 的理想气体的内能为
kTiNNE 2k ??? ?
对 1mol 刚性分子理想气体
RTikTiNE A 22 ???
刚性分子理想气体对 m o l?M RTiME
2?
?
单原子分子
RTME 23??
RTME 25??
刚性双原子分子
刚性多原子分子
RTME 3??
温度 T 的
单值函数
rti ??
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练习,
平衡态下，物质分子每个自由度上的平均动能
平衡态下，物质分子的平均平动动能
平衡态下，物质分子的平均总动能
平衡态下,1mol理想气体内能
指出下列各量的物理意义
:21 kT
:23 kT
:2 kTi
:2 RTi
:2 RTiM? 理想气体内能m o l?
M
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练习
m m H g105K300cm10 63 ????? pTV
刚性双原子分子气体
1) N=?
121061.1 ?????
kT
pVNkT
V
Nn k Tp
)Pa10013.1m m H g760at m1( 5???
2)
)J(10
2
3
2
3 8????? pVkTNN
t?
3)
)J(1066.622 9?????? pVkTNN r?
4)
)J(1067.1
2
5)( 8?????? pVNN
rt ???
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四, 分子碰撞的统计规律
只能求统计平均值，寻求其统计规律。
分子速率分布
平均动能按自由度分布
都是依赖分子间
频繁碰撞实现的
每个分子 1秒内与其它分子相撞次数
连续两次相撞间经过的时间间隔
连续两次相撞间通过的路程
均不确定
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1,分子平均碰撞频率 z
1) 模型的改变,
是否需要象计算 E 那样考虑内部结构？
思考,是否可以象求 p 那样视为质点？
单位时间 内每个分子 平均 与其它分子相撞次数
分析分子碰撞的过程 ?分子间相互作用
斥力00 ?? Frr
00 ?? Frr
引力00 ?? Frr
00 ??? Frr
r
F
O r0
斥力
引力
合
力
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分子间最小距离 d 与分子初动能有关，其统计平均
值 —分子的有效直径 。 )m10( 10?一般
分子相撞 ——视为直径为 d 的刚性小球的弹性碰撞
? 两分子相碰过程（经典模型）
匀速直线运动0rr ??
加速0rr ?
m a x0 vvrr ??
减速0rr ?
返回0?? vdr
r
F
O r0
斥力
引力
合
力
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2) 推导公式,
“跟踪”一个分子 A，认为其它分子不动,A以平均相对
速率 相对其它分子运动。 u
碰撞截面:2d? 时间 t 内,A通过的折线长 tu
以折线为轴的曲折圆柱体积 2dtu ??
圆柱内分子数 2dtun ???
A球心轨迹：折线
质心与折线距离 < d 的
分子将与 A相碰；
质心与折线距离 >d 的
分子将不与 A相碰
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单位时间内平均碰撞次数 2dun ??
平均碰撞频率
vdnz 22 ??
一般,1109 s10~10 ?
平均相对速率
vu 2?
A v
?
B
vu 2?
v?A v? B v?
0?u
v?
v?
A B
vu 2?
u?
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1) 定义
分子在连续两次碰撞间通过的自由路程的平均值。
2)
ndz
v
22
1
?
? ??
pd
kT
22 ?? ?
n k Tp ?
常温常压下,m10~10
78 ??
为分子有效直径的数百倍
注意,容器线度很小时，算出的很小，当 ??np
容器线度这时 ??
2.分子平均自由程 ?
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练习,
在气体放电管中，电子不断与气体分子碰撞。因为
电子速率远大于气体分子的平均速率，所以可以认
为气体分子不动。设气体分子的有效直径为 d, 电
子的“有效直径”比起气体分子来可以忽略不计，
求,
1.电子与气体分子的碰撞截面
2,电子与气体分子碰撞的平均自由程
（气体分子数密度为 n ）
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1) 碰撞截面
222
4
1)
2()( d
drRs
e ??? ????
2) 设气体分子不动，电子平均速率
ev
单位时间内与电子相碰的气体分子数,
evdnz ???
2
4
?
平均自由程,
2
4
dnz
v e
?
?
?
??
练习,