同
学
们
好
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第 2页 共 28页
第九章 热平衡统计分布规律
研究对象,大量粒子组成的体系
子系
近独立,粒子相互作用能 <<粒子自身能量 ??
iEE
粒子间微弱相互作用能使其在足够长时间内实现平衡
例,理想气体
本章重点,
四个统计规律,麦克斯韦分子速率分布
玻尔兹曼粒子按势能分布
能均分定律
两个基本概念,p,T
分子平均碰撞频率和平均自由程
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第 3页 共 28页
第一节 统计方法的基本概念
一、统计规律
大量偶然事件整体所遵从的规律
不能预测 多次重复
掷骰子
抛硬币
伽尔顿板实验 例,
要点, 统计规律 概率 分布函数 统计平均值 涨落
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第 4页 共 28页
伽尔顿板实验
每个小球落入哪个槽是偶然的
少量小球按狭槽分布有明显偶然性
大量小球按狭槽分布呈现规律性
掷骰子
每掷一次出现点数是偶然的
掷少数次，点数分布有明显偶然性
掷大量次数，每点出现次数约 1/6，呈现规律
抛硬币
每抛一次出现正反面是偶然的
抛少数次，正反数分布有明显偶然性
抛大量次数，正反数约各 1/2,呈现规律性
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第 5页 共 28页
共同特点,
1)群体规律,只能通过大量偶然事件总体显示出来,
对少数事件不适用。
近似规律统计规律 ?
个体规律简单叠加统计规律 ?
2)量变 — 质变,整体特征占主导地位
例：理想气体实验定律，传真照片,……
3) 与宏观条件相关,
如：伽尔顿板中钉的分布。
4) 伴有涨落。
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第 6页 共 28页
二、统计规律的数学形式 —— 概率理论
(1) 定义,总观测次数 N
出现结果 A次数
AN
A出现的概率
N
NW A
A l i m? ??N
(2) 意义,描述事物出现可能性的大小
两类物理定律 第一类：约束不可能事件 第二类：约束可能性小事件
违反能量守恒定律的事件不可能发生
不违反能量守恒定律的事件并不都能发生
例,一壶水在火上 会沸腾？ 会结冰？
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第 7页 共 28页
(3) 性质
1) 叠加定理
不可能同时出现的事件 —— 互斥事件
出现几个互斥事件的总概率等于每个事件单独出现
的概率之和
BABA WWW ???
出现所有可能的互斥事件的总概率为 1
归一化条件,
1d ??
??
??
W
出现 例：掷骰子
6
1:3
6
1:2
3
2
?
?
W
W
3
1
32 ??W
出现 1— 6,W =1
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第 8页 共 28页
2) 乘法定理
同时发生两个相容独立事件的概率是两个事件单独发
生时的概率之积
BABA WWW ???
相容统计独立事件,彼此独立，可以同时发生的事件
例,同时掷两枚骰子
其一出现 2,
6
1
2 ?W
另一出现 3,
6
1
3 ?W
同时发生
36
1
6
1
6
1
32 ????W
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三、几个基本概念
1.分布函数
粒子出现在第 i 槽 内的概率为,
N
NW i
i ?
例,伽尔顿板实验
槽, 1,2,3,.....,
粒子数, N1,N2,N3,....,??
i i
NN
1,2,3,4,..,
该槽内小球数
小球总数 (大量 )
成正比变化，与槽宽随槽的位置 xxNNW ii ??
小球在 x 附近，单位宽度区间出现的概率
xN
N i
??
概率
密度
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第 10页 共 28页
概率密度
xN
N i
?
是 x 的函数 —— 分布函数
xN
N
x
Wxf
d
d
d
d)( ??
N
NW dd ?一般情况,
分布曲线
f(x)
O x
曲线下总面积
? ? ? ????L
L L
Wx
x
Wxxf
0
0 0
1dd
d
dd)(
曲线下窄条面积
WNNxxfS ddd)( ?????
x xx d?
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第 11页 共 28页
类比,
黑体辐射能量按波长分布（将学）
麦克斯韦分子运动速率分布（将学）
……
人口数量按年龄分布
考试人数按分数分布
大气中尘埃按直径分布
星系中恒星按大小分布
树上苹果按大小分布
河床中卵石按尺度分布
雹粒按尺度分布
颗粒度
问 题
f(x)
O x
x xx d?
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第 12页 共 28页
2,统计平均值
分数平均值 ?? ??
g
g
g
g gN
N
gN
N
g 1
分数 g出现的概率
N
Ng
总人数 ??
g g
NN
人数按分数的分布 Ng
例,图示 100人参加测试的成绩分布（满分 50）
222 1 g
N
NgN
N
g
g
g
g
g ?? ??分数平方平均值
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第 13页 共 28页
一般情况
测量值,?? iMMM,,21
出现次数,??
iNNN,,21
总次数,?? ?????
iNNNN 21
出现概率,
??,,,2211 NNWNNWNNW ii ???
统计平均值,
??
??
????
?????
i
ii
NNN
NMNMNMM
21
2211
?? ????? iiWMWMWM 2211
iii WMM ?? iii WMM
22 ??
同理,
? ? 变量间隔分布函数物理量 ????? ? ?? xxMfWMM dd
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第 14页 共 28页
3,涨落
实际出现的情况与统计平均值的偏差
例 伽尔顿板：某槽中小球数各次不完全相同，在平均
值附近起伏。
掷骰子：出现 4，概率 1/6，每掷 600次，统计平均
实际, ??,98,1 0 2,1 0 0,99
4 次次次次?N
次1004 ?N;,很大时，涨落可忽略，涨落 NN ??
意义。太小时，统计规律失去，涨落 NN ??,
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第 15页 共 28页
定量描述,误差理论
前沿研究,控制论、（噪声、灵敏度 … ）
非线性、非平衡态热力学（耗散结构）
例,均方涨落 (标准误差 )
i
N
i i
WMMM ?
?
???
1
22 )()(
22 )( MM ??
i
N
i ii
WMMMM?
?
???
1
22 ))(2(
?? ?
?
??? N
i i
N
i i
N
i iii
WMWMMWM
1
22 )(2
222 )()(2 MMM ???
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第 16页 共 28页
4.微观量和宏观量
对多粒子体系的两种描述,
关系, 宏观量是大量粒子运动的集体表现，是微
观量的统计平均值。
以系统整体为研究对象，表征整体特征的
物理量。 如,
??CmVTp i、、、,?
宏观量,
微观量, 以系统内各子系为研究对象，表征个别
子系特征的物理量。 如,????
iiii Emvp,、、
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第 17页 共 28页
物质由分子组成，分子做无规则的热运动,
第二节 理想气体的压强和温度
一、气体分子动理论
① 实体物质由大量的、不连续的微粒 —— 分子组成
319 / c m10~ 个
V
Nn ?
? 分子间相互作用
r
F
O r0
斥力
引力
合
力
斥力00 ?? Frr
00 ?? Frr
引力00 ?? Frr
0??? Fr
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第 18页 共 28页
③ 分子永不停息地作热运动，其剧烈程度表现为温度
宏观模型,严格遵守三条实验定律
质点,不计大小
不计重力
分子 分子 器壁 除相撞外无相互作用
自由质点,理想气
体分子
弹性质点,弹性碰撞 分子 器壁 分子 分子
二、理想气体微观模型与统计假设
1,模型
微观模型,无规运动的弹性质点的集合
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第 19页 共 28页
2,统计性假设（平衡态下）
(1) 分子处于容器内任一位置处的概率相同 (均匀分布 )
分子数密度
处处相等VNn ?
(2) 分子沿各方向运动的概率相同
? 任一时刻向各方向运动的分子数相同
xxzyx NNNNN ?? ???,
? 分子速率在各个方向分量的各种平均值相同
222,
zyxzyx vvvvvv ????
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N
v
v
N
v
v
N
ix
x
N
ix
x
??
?? 1
2
21,因为
N
vvv
N
v
v i
iziyix
i
i ?? ??
??
)( 2222
2
N
v
N
v
N
v
i
z
i
y
i
x ?
?
?
?
?
?
222
222
zyx vvv ???
2222
3
1 vvvv
zyx ???所以
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第 21页 共 28页
三,理想气体的压强公式
① 提出模型；
② 统计平均；
③ 建立宏观量与微观量的联系；
④ 阐明宏观量的微观实质。
从公式推导中领会经典气体分子动理论的典型思想方
法,
出发点,
? 气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结果
? 压强等于器壁单位时间内，单位面积上所受的平均
冲量
St
I
S
Fp i
??
??
??
???
? 个体分子服从经典力学定律
? 大量分子整体服从统计规律
大学物理
第 22页 共 28页
(1) 利用理想气体分子微观模型，考虑一个分子对器
壁的一次碰撞而产生的冲量。
推导思路, 的分子考虑速度
iii vvv
??? d??
设分子质量为 m，一个分子一次碰撞对 dS 的冲量
的大小为
ixi mvI 2?
kvjvivv iziyixi ???? ???
方向相反
不变，
ix
iziy
v
vv,
弹性碰撞,
x
z
Sd
iv
?iv?
iv?
?
iv?
?
ixi vv 2??
?
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第 23页 共 28页
iii vvv
??? d??速度 的分子数密度
)( nn
i
i ??
in为
Stvnmv ixiix dd2 ???
该速度区间所有分子在 dt 时
间内给予 器壁 dS 的总冲量为
该速度区间，在 dt时间内，与
器壁相撞的分子数为
Stvn ixi dd ??
xSd
tvix d??
iv
?
z
tvid x
y
o
Sd
iv
?
(2) 该速度区间所有分子在 dt时间内给予 器壁的总冲量
大学物理
第 24页 共 28页
分子求和对所有 0?xv
??
?
????
i
iix
v
iixi stnmvstnmvI
ix
dd2
2
1dd2 2
0
2
为分子平均平动动能 式中
2
2
1 mv
t ??
?
??
??
?
?
i
i
iix
iix
i
n
nvmn
nmv
tS
I
p
2
2
dd
tx nvmnvnmvmn ?3
2)
2
1(
3
2
3
1 222 ?????
理想气体压强公式
大学物理
第 25页 共 28页
讨论, 1) 计入分子间相互碰撞，是否影响上述推
导和结论？
2) 如果容器中不是同种分子，结果如何？
3) 以上推导中的哪些地方应用了理想气体模型？哪
些地方应用了统计性假设？
提示, 1) 同种理想气体分子 —— 完全相同的弹性小球
非对心碰撞：导致对 dS相撞次数 增加、减少 机会相同,
对心碰撞,甲代乙,乙代甲
考虑分子间碰撞不会影响结果。
2) 道尔顿分压定律 ???? 21 ppp
总压强等于各种气体单独充满容器时压强之和
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第 26页 共 28页
(3) 阐述宏观量的微观实质
? 压强 是单位时间内所有气体分子施于单
位面积容器壁的平均冲量。
?压强公式 是一个统计规律,离开,大量,、,平均,,
p 失去意义，少数分子不能产生稳定，持续的压强。
观测时间足够长（宏观小，微观大）
dS 足够大（宏观小，微观大）
分子数足够多
)dd( tS Ip i??
? 压强公式 反映了宏观量 p与微观量统计平均值
的相互关系。
tn ?,
2
2
1
vm
V
N
n
t ?
?
?
tnp ?3
2?
宏观量是微
观量的统计
平均值
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第 27页 共 28页
四,理想气体温度公式
理想气体状态方程
RT
N
NRTMpV
A
??
?
kTnT
N
R
V
Np
A
???
J / K1038.1 23????
AN
Rk玻尔兹曼常数
tnp
n kTp
?
3
2
?
?
kTt
2
3??
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第 28页 共 28页
kTt
2
3??
? 理想气体温度 T 是分子 平均 平动 动能 的量度,
是分子热运动剧烈程度的标志。
? 温度 是大量分子热运动的 集体表现,是统计性概
念，对个别分子无温度可言。
与气体种类无关,Tt ?? ?
热运动停止，意味着0,0 ??? tT ?
? 热力学认为 绝对零度只能逼近，不能达到。
学
们
好
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第九章 热平衡统计分布规律
研究对象,大量粒子组成的体系
子系
近独立,粒子相互作用能 <<粒子自身能量 ??
iEE
粒子间微弱相互作用能使其在足够长时间内实现平衡
例,理想气体
本章重点,
四个统计规律,麦克斯韦分子速率分布
玻尔兹曼粒子按势能分布
能均分定律
两个基本概念,p,T
分子平均碰撞频率和平均自由程
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第 3页 共 28页
第一节 统计方法的基本概念
一、统计规律
大量偶然事件整体所遵从的规律
不能预测 多次重复
掷骰子
抛硬币
伽尔顿板实验 例,
要点, 统计规律 概率 分布函数 统计平均值 涨落
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第 4页 共 28页
伽尔顿板实验
每个小球落入哪个槽是偶然的
少量小球按狭槽分布有明显偶然性
大量小球按狭槽分布呈现规律性
掷骰子
每掷一次出现点数是偶然的
掷少数次，点数分布有明显偶然性
掷大量次数，每点出现次数约 1/6，呈现规律
抛硬币
每抛一次出现正反面是偶然的
抛少数次，正反数分布有明显偶然性
抛大量次数，正反数约各 1/2,呈现规律性
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第 5页 共 28页
共同特点,
1)群体规律,只能通过大量偶然事件总体显示出来,
对少数事件不适用。
近似规律统计规律 ?
个体规律简单叠加统计规律 ?
2)量变 — 质变,整体特征占主导地位
例：理想气体实验定律，传真照片,……
3) 与宏观条件相关,
如：伽尔顿板中钉的分布。
4) 伴有涨落。
大学物理
第 6页 共 28页
二、统计规律的数学形式 —— 概率理论
(1) 定义,总观测次数 N
出现结果 A次数
AN
A出现的概率
N
NW A
A l i m? ??N
(2) 意义,描述事物出现可能性的大小
两类物理定律 第一类：约束不可能事件 第二类：约束可能性小事件
违反能量守恒定律的事件不可能发生
不违反能量守恒定律的事件并不都能发生
例,一壶水在火上 会沸腾？ 会结冰？
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第 7页 共 28页
(3) 性质
1) 叠加定理
不可能同时出现的事件 —— 互斥事件
出现几个互斥事件的总概率等于每个事件单独出现
的概率之和
BABA WWW ???
出现所有可能的互斥事件的总概率为 1
归一化条件,
1d ??
??
??
W
出现 例：掷骰子
6
1:3
6
1:2
3
2
?
?
W
W
3
1
32 ??W
出现 1— 6,W =1
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第 8页 共 28页
2) 乘法定理
同时发生两个相容独立事件的概率是两个事件单独发
生时的概率之积
BABA WWW ???
相容统计独立事件,彼此独立，可以同时发生的事件
例,同时掷两枚骰子
其一出现 2,
6
1
2 ?W
另一出现 3,
6
1
3 ?W
同时发生
36
1
6
1
6
1
32 ????W
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三、几个基本概念
1.分布函数
粒子出现在第 i 槽 内的概率为,
N
NW i
i ?
例,伽尔顿板实验
槽, 1,2,3,.....,
粒子数, N1,N2,N3,....,??
i i
NN
1,2,3,4,..,
该槽内小球数
小球总数 (大量 )
成正比变化，与槽宽随槽的位置 xxNNW ii ??
小球在 x 附近，单位宽度区间出现的概率
xN
N i
??
概率
密度
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概率密度
xN
N i
?
是 x 的函数 —— 分布函数
xN
N
x
Wxf
d
d
d
d)( ??
N
NW dd ?一般情况,
分布曲线
f(x)
O x
曲线下总面积
? ? ? ????L
L L
Wx
x
Wxxf
0
0 0
1dd
d
dd)(
曲线下窄条面积
WNNxxfS ddd)( ?????
x xx d?
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第 11页 共 28页
类比,
黑体辐射能量按波长分布（将学）
麦克斯韦分子运动速率分布（将学）
……
人口数量按年龄分布
考试人数按分数分布
大气中尘埃按直径分布
星系中恒星按大小分布
树上苹果按大小分布
河床中卵石按尺度分布
雹粒按尺度分布
颗粒度
问 题
f(x)
O x
x xx d?
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第 12页 共 28页
2,统计平均值
分数平均值 ?? ??
g
g
g
g gN
N
gN
N
g 1
分数 g出现的概率
N
Ng
总人数 ??
g g
NN
人数按分数的分布 Ng
例,图示 100人参加测试的成绩分布（满分 50）
222 1 g
N
NgN
N
g
g
g
g
g ?? ??分数平方平均值
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第 13页 共 28页
一般情况
测量值,?? iMMM,,21
出现次数,??
iNNN,,21
总次数,?? ?????
iNNNN 21
出现概率,
??,,,2211 NNWNNWNNW ii ???
统计平均值,
??
??
????
?????
i
ii
NNN
NMNMNMM
21
2211
?? ????? iiWMWMWM 2211
iii WMM ?? iii WMM
22 ??
同理,
? ? 变量间隔分布函数物理量 ????? ? ?? xxMfWMM dd
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3,涨落
实际出现的情况与统计平均值的偏差
例 伽尔顿板：某槽中小球数各次不完全相同，在平均
值附近起伏。
掷骰子：出现 4，概率 1/6，每掷 600次，统计平均
实际, ??,98,1 0 2,1 0 0,99
4 次次次次?N
次1004 ?N;,很大时，涨落可忽略，涨落 NN ??
意义。太小时，统计规律失去，涨落 NN ??,
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第 15页 共 28页
定量描述,误差理论
前沿研究,控制论、（噪声、灵敏度 … ）
非线性、非平衡态热力学（耗散结构）
例,均方涨落 (标准误差 )
i
N
i i
WMMM ?
?
???
1
22 )()(
22 )( MM ??
i
N
i ii
WMMMM?
?
???
1
22 ))(2(
?? ?
?
??? N
i i
N
i i
N
i iii
WMWMMWM
1
22 )(2
222 )()(2 MMM ???
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第 16页 共 28页
4.微观量和宏观量
对多粒子体系的两种描述,
关系, 宏观量是大量粒子运动的集体表现，是微
观量的统计平均值。
以系统整体为研究对象，表征整体特征的
物理量。 如,
??CmVTp i、、、,?
宏观量,
微观量, 以系统内各子系为研究对象，表征个别
子系特征的物理量。 如,????
iiii Emvp,、、
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物质由分子组成，分子做无规则的热运动,
第二节 理想气体的压强和温度
一、气体分子动理论
① 实体物质由大量的、不连续的微粒 —— 分子组成
319 / c m10~ 个
V
Nn ?
? 分子间相互作用
r
F
O r0
斥力
引力
合
力
斥力00 ?? Frr
00 ?? Frr
引力00 ?? Frr
0??? Fr
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③ 分子永不停息地作热运动，其剧烈程度表现为温度
宏观模型,严格遵守三条实验定律
质点,不计大小
不计重力
分子 分子 器壁 除相撞外无相互作用
自由质点,理想气
体分子
弹性质点,弹性碰撞 分子 器壁 分子 分子
二、理想气体微观模型与统计假设
1,模型
微观模型,无规运动的弹性质点的集合
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第 19页 共 28页
2,统计性假设（平衡态下）
(1) 分子处于容器内任一位置处的概率相同 (均匀分布 )
分子数密度
处处相等VNn ?
(2) 分子沿各方向运动的概率相同
? 任一时刻向各方向运动的分子数相同
xxzyx NNNNN ?? ???,
? 分子速率在各个方向分量的各种平均值相同
222,
zyxzyx vvvvvv ????
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N
v
v
N
v
v
N
ix
x
N
ix
x
??
?? 1
2
21,因为
N
vvv
N
v
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i ?? ??
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)( 2222
2
N
v
N
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N
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?
?
?
?
?
222
222
zyx vvv ???
2222
3
1 vvvv
zyx ???所以
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第 21页 共 28页
三,理想气体的压强公式
① 提出模型；
② 统计平均；
③ 建立宏观量与微观量的联系；
④ 阐明宏观量的微观实质。
从公式推导中领会经典气体分子动理论的典型思想方
法,
出发点,
? 气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结果
? 压强等于器壁单位时间内，单位面积上所受的平均
冲量
St
I
S
Fp i
??
??
??
???
? 个体分子服从经典力学定律
? 大量分子整体服从统计规律
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(1) 利用理想气体分子微观模型，考虑一个分子对器
壁的一次碰撞而产生的冲量。
推导思路, 的分子考虑速度
iii vvv
??? d??
设分子质量为 m，一个分子一次碰撞对 dS 的冲量
的大小为
ixi mvI 2?
kvjvivv iziyixi ???? ???
方向相反
不变，
ix
iziy
v
vv,
弹性碰撞,
x
z
Sd
iv
?iv?
iv?
?
iv?
?
ixi vv 2??
?
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iii vvv
??? d??速度 的分子数密度
)( nn
i
i ??
in为
Stvnmv ixiix dd2 ???
该速度区间所有分子在 dt 时
间内给予 器壁 dS 的总冲量为
该速度区间，在 dt时间内，与
器壁相撞的分子数为
Stvn ixi dd ??
xSd
tvix d??
iv
?
z
tvid x
y
o
Sd
iv
?
(2) 该速度区间所有分子在 dt时间内给予 器壁的总冲量
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分子求和对所有 0?xv
??
?
????
i
iix
v
iixi stnmvstnmvI
ix
dd2
2
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为分子平均平动动能 式中
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理想气体压强公式
大学物理
第 25页 共 28页
讨论, 1) 计入分子间相互碰撞，是否影响上述推
导和结论？
2) 如果容器中不是同种分子，结果如何？
3) 以上推导中的哪些地方应用了理想气体模型？哪
些地方应用了统计性假设？
提示, 1) 同种理想气体分子 —— 完全相同的弹性小球
非对心碰撞：导致对 dS相撞次数 增加、减少 机会相同,
对心碰撞,甲代乙,乙代甲
考虑分子间碰撞不会影响结果。
2) 道尔顿分压定律 ???? 21 ppp
总压强等于各种气体单独充满容器时压强之和
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第 26页 共 28页
(3) 阐述宏观量的微观实质
? 压强 是单位时间内所有气体分子施于单
位面积容器壁的平均冲量。
?压强公式 是一个统计规律,离开,大量,、,平均,,
p 失去意义，少数分子不能产生稳定，持续的压强。
观测时间足够长（宏观小，微观大）
dS 足够大（宏观小，微观大）
分子数足够多
)dd( tS Ip i??
? 压强公式 反映了宏观量 p与微观量统计平均值
的相互关系。
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宏观量是微
观量的统计
平均值
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四,理想气体温度公式
理想气体状态方程
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J / K1038.1 23????
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Rk玻尔兹曼常数
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? 理想气体温度 T 是分子 平均 平动 动能 的量度,
是分子热运动剧烈程度的标志。
? 温度 是大量分子热运动的 集体表现,是统计性概
念，对个别分子无温度可言。
与气体种类无关,Tt ?? ?
热运动停止，意味着0,0 ??? tT ?
? 热力学认为 绝对零度只能逼近，不能达到。
