同学们好！
速率
大学物理
第 2页 共 28页
第四节 理想气体中的统计规律
一, 研究对象,大量近独立粒子组成的体系
子 系,体系内的粒子
经典描述
量子描述
近独立,?? iEE 不计入 相互作用势能
但粒子间微弱相互作用可以使系统实现平衡
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第 3页 共 28页
出现概率最大
二, 研究的问题
1, 讨论体系中粒子按能量的最概然分布
例,
三个粒子 a,b,c 位于同一容器中，设粒子处于
左半 (A)和右半 (B)各为一种状态，求可能出现
的占据方式和分布。
A B a b c
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第 4页 共 28页
A B W
1
2
3
4
5
6
7
8
abc
abc
ab c
ac b
bc a
a bc
b ac
c ab
可能出现的占据方式 （微观态）,8 种
可能的分布 （宏观态）,4 种
一,
二,
三,
四,
3/8
3/8
1/8
1/8
每种微观态出现概率相同 —— 等概率原理
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第 5页 共 28页
每种微观态出现概率相同 ——等概率原理
包括微观态多的分布出现概率大,
包括微观态最多的分布，出现概率最大 ——最概然分布
讨论最概然分布的意义,
当粒子数足够多时，实际上所观察到的宏观态 ——
最概然分布。
2.条件,粒子总数,N
可占据能级,??
i???,,21
每能级中粒子数,??
iNNN,,21
各能级中不同状态,?? iggg,,21
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第 6页 共 28页
例,
经典粒子,E 相同 不同状态可不同 ~,Lp ??
条件
粒子数守恒 恒量?? ?
i
iNN
能量守恒 恒量?? ?
i
i
iNE ?
即,N个粒子在 E 守恒条件下，如何分布在各能级、
各状态中,其实现的可能性最大？
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第 7页 共 28页
3.思路,
（ 1）
? ?????
??
ii
i
ggg
NNNN
,,,
,,
2121
21
的状态），放入各能级（
这样的分布个粒子，按求将
???
？式数目中去可能出现的占据方 ?Ω
（ 2）
最概然分布取极大值的分布：求 Ω
（ 3） 在最概然分布下
每个能级上的粒子数
?iN
能级中每个状态被占据的概率
)( ??
i
i
i g
Nf ?
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第 8页 共 28页
三, 麦克斯韦 —玻尔兹曼分布（ M—B分布）
特点,经典统计 粒子彼此是可区分的
每个状态的粒子数没有限制
1,将 N 个可区分粒子分为能量组的可能方式
)!(!
!
11
1
NNN
NC N
N ?? )!(!
)!(
212
12
1 NNNN
NNC N
NN ??
??
?
)!(!
)!(
3213
213
21 NNNNN
NNNC N
NNN ???
???
??
彼此对应
?? iNNN 21,
?? i??? 21,
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总分组方式（相容统计独立事件）
?????? ???
i
i
N
NNN
N
NN
N
N N
N
NN
NCCC
!
!
!!
!
21
3
21
2
1
1
?
?
2.每一能量组将
iN
个可区分粒子放入 ig
个状态中去的 可能方式
例,将 2个可区分粒子放入 3个不同状态中去的可能
方式
种93 2 ?
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第 10页 共 28页
将 2个可区分粒子放入 3个不同状态的可能方式,23
1111 NggN,个不同状态的可能方式个可区分粒子放入将
2222 NggN,个不同状态的可能方式个可区分粒子放入将
??
iNiii ggN,个不同状态的可能方式个可区分粒子放入将
??
去的可能方式：
个状态中个可区分粒子放入将 ???? ii gggNNN 2121,,
???
i
N
i
N
i
NN ii gggg ??21
21
3,
中去的方式
个状态分组，并分别放入个粒子按将 ???? ii ggNNN,,11
?? ??
i
N
i
i
i
ig
N
NΩ
!
!
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4,求 ? 的极大值
运用斯特林公式，变分法，拉格朗日乘子法 …,.,
kT
i
i i
e
g
N ?
? ?
?
kTi
i
i i
e
g
N
f ?
?
?
?
??
1
)(
守恒确定、待定常数，由 NE:?
得,
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第 12页 共 28页
第四节 理想气体中的统计规律及其应用
重点,将 M-B统计应用于理想气体得出的几个统计规律
一、麦克斯韦分子速率分布定律
条件,理想气体，平衡态（热动平衡）
宏观,有确定值Tpn,,
微观,各分子不停运动且频繁碰撞,
无规运动不断变化,v?
对大量分子整体而言，气体分子按速率分布具有确
定规律。
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第 13页 共 28页
1,内容,
平衡态下，无外力场作用时，理想气体分子速率在
v — v + dv 间的概率为,
vve
kT
m
N
NW kTmv d)
2
(4dd 2223
2
???
?
?
分布函数,
分子速率在 v 附近单位速率区间的概率
2223
2
)
2
(4
d
d)( ve
kT
m
vN
Nvf kTmv???
?
?
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第 14页 共 28页
2,麦克斯韦速率分布曲线
讨论,
1） 气体分子速率可取 ??0
的一切值，但 v 很小和 v
很大的分子所占比率小，
具有中等速率分子所占比
率大。
令
解得0d )(d ?vvf
?
RT
mN
TkN
m
kTv
A
A
p
222 ???
数量级,132 sm10~10 ??室温下,,最概然速率
pv
O v
f(v)
vp
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第 15页 共 28页
物理意义,
的分子数最多？是不是速率正好等于 pv
?
RT
mN
TkN
m
kTv
A
A
p
222 ???
,,最概然速率pv
? ? vNvfNvN Nvf dd,dd)( ??
0d0d ?? Nv 则若
若将 分为相等的速率间隔，则在包含 的
间隔中的分子数最多。
v
pv
O v
f(v)
vp
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第 16页 共 28页
窄条,
N
Nv
vN
Nvvf dd
d
dd)( ???
分子速率在 v——v+dv 区间内的概率
部分,
N
N
N
N
vvf
vv
v
v
v
v 21
2
1
2
1
d
d)(
?
???
?
区间的概率—分子速率在 21 vv
2) 曲线下的面积 讨论,
O v
f(v)
v+dv v
f(v)
v
f(v)
O O v v1 v2
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总面积,
1
d
d)(
0
0 ????
??
?
N
N
N
N
vvf 归一化条件
练习,
?
?
pv
vvf
vvNf
d)(
d)(
?
pv
vvNf
vvnf
0
d)(
d)( 的物理意义?
O v
f(v)
v+dv v
f(v)
v
f(v)
O O v v1 v2
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第 18页 共 28页
m一定,
???
m
kTvT
p
2
3) 分布曲线随 m,T 变化 讨论,
曲线峰值右移，总面积不变，曲线变平坦
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第 19页 共 28页
T 一定,
???
m
kTvm
p
2
曲线峰值左移，总面积不
变，曲线变尖锐。
3.分子速率的三种统计平均值
?? wMM d ?
?
?
0
d)()()( vvfvgvg
一般情况,
O v
f(v)
vp2 vp1
m1
m2> m1
T一定
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第 20页 共 28页
1） 平均速率
2） 方均根速率
3） 最概然速率（最可几速率 )
????
RTRT
m
kTvvvfv 60.188d)(
0
???? ?
?
??
RTRT
m
kTv
p 41.1
22 ???
m
kTvvfvv 3d)(
0
22 ?? ?
?
??
RTRT
m
kTv 73.1332 ???
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第 21页 共 28页
三者关系,
2vvv
p ??
O v
f(v)
vp v
2v
练习,
则若,BA SS ?
① vv ?
0
②
pvv ?0
③ 2
0 vv ?
④
NNN vv 21
000
??
?——
(1) 下列答案中正确的是,
O v
f(v)
v0
SA SB
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第 22页 共 28页
（ 2）
区间的分子的平均速率—求速率在 21 vv
解一,
??
2
1
21 d)(
v
v
vv vvvfv —
解二,
?
?
?
?
?
?
???
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
d)(
d)(
d)(
d)(
d
d
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
vv
vvf
vvvf
vvNf
vvv N f
N
Nv
v
—
哪一种解法对？;
d
d
d
d
d)(
21
2
1
2
1
2
1
vv
v
v
v
v
v
v
v
N
Nv
v
vN
N
vvvvf ????? ?
?
21
21
2
1
2
1
2
1
d
d
d
vv
vv
v
v
v
v
v
v
v
N
Nv
N
Nv
?
?
??
?
?
?
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第 23页 共 28页
4,实验验证 （高真空技术的发展促进验证精度的提高）
教材, 1955年 密勒,库什实验
实验结果验证了麦氏分子速率分布定律。
自学,p267 （ p628）
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第 24页 共 28页
例题
,Fv
处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于
金属中自由电子 (“电子气, 模型 ),设导体中自由电
子 数为 N,电子速率最大值为费米速率 且已知电子
速率在 v — v + dv 区间概率为,
?NNd
0
d2 vAv
)(
)0(
F
F
vv
Avv
?
?? 为常数
① 画出电子气速率分布曲线
② Av
F 定出由
③ 2,,vvv p求
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第 25页 共 28页
解,
② 由归一化条件
3
3
0 0
2 3,1
3
dd)(
F
F
v
v
AvAvAvvvf
F
????? ?
?
③
F
v
F
Fp vvvvvvvvfvvv
F
75.0d3d)(; 2
0 0
3 ?????? ? ?
?
FFF
F
v
vvvvvv
v
vv
F
77.06.06.0d3 222
0
22 ???? ?
?? vN Nvf dd)(
)(0
)0(2
F
F
vv
vvAv
?
??①
O v
f(v)
vF
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第 26页 共 28页
无外力场存在时,麦氏分子速率分布定律
vve
kT
m
N
NW kTmv d)
2
(4dd 2223
2
?
??
?
?
麦氏分子速度分布定律
zyx
vvvkTm vvve
kT
m
N
NW zyx ddd)
2(
dd )(223 222 ??? ???
?
保守力场中，粒子不再均匀分布
二,玻尔兹曼分布
重力场中粒子按高度分布规律
粒子按势能分布规律 或,
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第 27页 共 28页
在空间小体积 中zzzyyyxxx d,d,d ??????
速度在 区间
zzzyyyxxx vvvvvvvvv d,d,d ??????
的分子数,
zyxvvve
kT
mCN
zyx
kT
EE
dddddd)
2
(d
pk
2
3
?
??
??
?
对所有速度积分得体积元 内总分子数zyx ddd
zyxCeN kTE dddd p ?? ?
两点
修正
)(2 222kpk zyx vvvmEEEE ????? 取代用
变量间隔改为
zyxvvv zyx dddddd
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第 28页 共 28页
分子数密度,
kT
E
Cezyx Nn
p
ddd
d ???
00p,0 nCnE ?? 则分子密度为处设
RT
gh
kT
m g h
kT
E
enenenn
????
??? 000 p
重力场中，热运动与重力作用相互影响，实现热动平衡
时，气体分子数密度随高度上升，按指数规律下降。
恒温气压公式
RT
gh
RT
gh
epk T enn k Tp
?? ??
??? 00
p
p
g
RTh 0ln
??
高度计原理
速率
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第四节 理想气体中的统计规律
一, 研究对象,大量近独立粒子组成的体系
子 系,体系内的粒子
经典描述
量子描述
近独立,?? iEE 不计入 相互作用势能
但粒子间微弱相互作用可以使系统实现平衡
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出现概率最大
二, 研究的问题
1, 讨论体系中粒子按能量的最概然分布
例,
三个粒子 a,b,c 位于同一容器中，设粒子处于
左半 (A)和右半 (B)各为一种状态，求可能出现
的占据方式和分布。
A B a b c
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A B W
1
2
3
4
5
6
7
8
abc
abc
ab c
ac b
bc a
a bc
b ac
c ab
可能出现的占据方式 （微观态）,8 种
可能的分布 （宏观态）,4 种
一,
二,
三,
四,
3/8
3/8
1/8
1/8
每种微观态出现概率相同 —— 等概率原理
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每种微观态出现概率相同 ——等概率原理
包括微观态多的分布出现概率大,
包括微观态最多的分布，出现概率最大 ——最概然分布
讨论最概然分布的意义,
当粒子数足够多时，实际上所观察到的宏观态 ——
最概然分布。
2.条件,粒子总数,N
可占据能级,??
i???,,21
每能级中粒子数,??
iNNN,,21
各能级中不同状态,?? iggg,,21
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例,
经典粒子,E 相同 不同状态可不同 ~,Lp ??
条件
粒子数守恒 恒量?? ?
i
iNN
能量守恒 恒量?? ?
i
i
iNE ?
即,N个粒子在 E 守恒条件下，如何分布在各能级、
各状态中,其实现的可能性最大？
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3.思路,
（ 1）
? ?????
??
ii
i
ggg
NNNN
,,,
,,
2121
21
的状态），放入各能级（
这样的分布个粒子，按求将
???
？式数目中去可能出现的占据方 ?Ω
（ 2）
最概然分布取极大值的分布：求 Ω
（ 3） 在最概然分布下
每个能级上的粒子数
?iN
能级中每个状态被占据的概率
)( ??
i
i
i g
Nf ?
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第 8页 共 28页
三, 麦克斯韦 —玻尔兹曼分布（ M—B分布）
特点,经典统计 粒子彼此是可区分的
每个状态的粒子数没有限制
1,将 N 个可区分粒子分为能量组的可能方式
)!(!
!
11
1
NNN
NC N
N ?? )!(!
)!(
212
12
1 NNNN
NNC N
NN ??
??
?
)!(!
)!(
3213
213
21 NNNNN
NNNC N
NNN ???
???
??
彼此对应
?? iNNN 21,
?? i??? 21,
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总分组方式（相容统计独立事件）
?????? ???
i
i
N
NNN
N
NN
N
N N
N
NN
NCCC
!
!
!!
!
21
3
21
2
1
1
?
?
2.每一能量组将
iN
个可区分粒子放入 ig
个状态中去的 可能方式
例,将 2个可区分粒子放入 3个不同状态中去的可能
方式
种93 2 ?
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将 2个可区分粒子放入 3个不同状态的可能方式,23
1111 NggN,个不同状态的可能方式个可区分粒子放入将
2222 NggN,个不同状态的可能方式个可区分粒子放入将
??
iNiii ggN,个不同状态的可能方式个可区分粒子放入将
??
去的可能方式：
个状态中个可区分粒子放入将 ???? ii gggNNN 2121,,
???
i
N
i
N
i
NN ii gggg ??21
21
3,
中去的方式
个状态分组，并分别放入个粒子按将 ???? ii ggNNN,,11
?? ??
i
N
i
i
i
ig
N
NΩ
!
!
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4,求 ? 的极大值
运用斯特林公式，变分法，拉格朗日乘子法 …,.,
kT
i
i i
e
g
N ?
? ?
?
kTi
i
i i
e
g
N
f ?
?
?
?
??
1
)(
守恒确定、待定常数，由 NE:?
得,
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第四节 理想气体中的统计规律及其应用
重点,将 M-B统计应用于理想气体得出的几个统计规律
一、麦克斯韦分子速率分布定律
条件,理想气体，平衡态（热动平衡）
宏观,有确定值Tpn,,
微观,各分子不停运动且频繁碰撞,
无规运动不断变化,v?
对大量分子整体而言，气体分子按速率分布具有确
定规律。
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第 13页 共 28页
1,内容,
平衡态下，无外力场作用时，理想气体分子速率在
v — v + dv 间的概率为,
vve
kT
m
N
NW kTmv d)
2
(4dd 2223
2
???
?
?
分布函数,
分子速率在 v 附近单位速率区间的概率
2223
2
)
2
(4
d
d)( ve
kT
m
vN
Nvf kTmv???
?
?
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2,麦克斯韦速率分布曲线
讨论,
1） 气体分子速率可取 ??0
的一切值，但 v 很小和 v
很大的分子所占比率小，
具有中等速率分子所占比
率大。
令
解得0d )(d ?vvf
?
RT
mN
TkN
m
kTv
A
A
p
222 ???
数量级,132 sm10~10 ??室温下,,最概然速率
pv
O v
f(v)
vp
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物理意义,
的分子数最多？是不是速率正好等于 pv
?
RT
mN
TkN
m
kTv
A
A
p
222 ???
,,最概然速率pv
? ? vNvfNvN Nvf dd,dd)( ??
0d0d ?? Nv 则若
若将 分为相等的速率间隔，则在包含 的
间隔中的分子数最多。
v
pv
O v
f(v)
vp
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窄条,
N
Nv
vN
Nvvf dd
d
dd)( ???
分子速率在 v——v+dv 区间内的概率
部分,
N
N
N
N
vvf
vv
v
v
v
v 21
2
1
2
1
d
d)(
?
???
?
区间的概率—分子速率在 21 vv
2) 曲线下的面积 讨论,
O v
f(v)
v+dv v
f(v)
v
f(v)
O O v v1 v2
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总面积,
1
d
d)(
0
0 ????
??
?
N
N
N
N
vvf 归一化条件
练习,
?
?
pv
vvf
vvNf
d)(
d)(
?
pv
vvNf
vvnf
0
d)(
d)( 的物理意义?
O v
f(v)
v+dv v
f(v)
v
f(v)
O O v v1 v2
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m一定,
???
m
kTvT
p
2
3) 分布曲线随 m,T 变化 讨论,
曲线峰值右移，总面积不变，曲线变平坦
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T 一定,
???
m
kTvm
p
2
曲线峰值左移，总面积不
变，曲线变尖锐。
3.分子速率的三种统计平均值
?? wMM d ?
?
?
0
d)()()( vvfvgvg
一般情况,
O v
f(v)
vp2 vp1
m1
m2> m1
T一定
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1） 平均速率
2） 方均根速率
3） 最概然速率（最可几速率 )
????
RTRT
m
kTvvvfv 60.188d)(
0
???? ?
?
??
RTRT
m
kTv
p 41.1
22 ???
m
kTvvfvv 3d)(
0
22 ?? ?
?
??
RTRT
m
kTv 73.1332 ???
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三者关系,
2vvv
p ??
O v
f(v)
vp v
2v
练习,
则若,BA SS ?
① vv ?
0
②
pvv ?0
③ 2
0 vv ?
④
NNN vv 21
000
??
?——
(1) 下列答案中正确的是,
O v
f(v)
v0
SA SB
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（ 2）
区间的分子的平均速率—求速率在 21 vv
解一,
??
2
1
21 d)(
v
v
vv vvvfv —
解二,
?
?
?
?
?
?
???
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
d)(
d)(
d)(
d)(
d
d
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
vv
vvf
vvvf
vvNf
vvv N f
N
Nv
v
—
哪一种解法对？;
d
d
d
d
d)(
21
2
1
2
1
2
1
vv
v
v
v
v
v
v
v
N
Nv
v
vN
N
vvvvf ????? ?
?
21
21
2
1
2
1
2
1
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d
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vv
vv
v
v
v
v
v
v
v
N
Nv
N
Nv
?
?
??
?
?
?
大学物理
第 23页 共 28页
4,实验验证 （高真空技术的发展促进验证精度的提高）
教材, 1955年 密勒,库什实验
实验结果验证了麦氏分子速率分布定律。
自学,p267 （ p628）
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第 24页 共 28页
例题
,Fv
处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于
金属中自由电子 (“电子气, 模型 ),设导体中自由电
子 数为 N,电子速率最大值为费米速率 且已知电子
速率在 v — v + dv 区间概率为,
?NNd
0
d2 vAv
)(
)0(
F
F
vv
Avv
?
?? 为常数
① 画出电子气速率分布曲线
② Av
F 定出由
③ 2,,vvv p求
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第 25页 共 28页
解,
② 由归一化条件
3
3
0 0
2 3,1
3
dd)(
F
F
v
v
AvAvAvvvf
F
????? ?
?
③
F
v
F
Fp vvvvvvvvfvvv
F
75.0d3d)(; 2
0 0
3 ?????? ? ?
?
FFF
F
v
vvvvvv
v
vv
F
77.06.06.0d3 222
0
22 ???? ?
?? vN Nvf dd)(
)(0
)0(2
F
F
vv
vvAv
?
??①
O v
f(v)
vF
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第 26页 共 28页
无外力场存在时,麦氏分子速率分布定律
vve
kT
m
N
NW kTmv d)
2
(4dd 2223
2
?
??
?
?
麦氏分子速度分布定律
zyx
vvvkTm vvve
kT
m
N
NW zyx ddd)
2(
dd )(223 222 ??? ???
?
保守力场中，粒子不再均匀分布
二,玻尔兹曼分布
重力场中粒子按高度分布规律
粒子按势能分布规律 或,
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第 27页 共 28页
在空间小体积 中zzzyyyxxx d,d,d ??????
速度在 区间
zzzyyyxxx vvvvvvvvv d,d,d ??????
的分子数,
zyxvvve
kT
mCN
zyx
kT
EE
dddddd)
2
(d
pk
2
3
?
??
??
?
对所有速度积分得体积元 内总分子数zyx ddd
zyxCeN kTE dddd p ?? ?
两点
修正
)(2 222kpk zyx vvvmEEEE ????? 取代用
变量间隔改为
zyxvvv zyx dddddd
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第 28页 共 28页
分子数密度,
kT
E
Cezyx Nn
p
ddd
d ???
00p,0 nCnE ?? 则分子密度为处设
RT
gh
kT
m g h
kT
E
enenenn
????
??? 000 p
重力场中，热运动与重力作用相互影响，实现热动平衡
时，气体分子数密度随高度上升，按指数规律下降。
恒温气压公式
RT
gh
RT
gh
epk T enn k Tp
?? ??
??? 00
p
p
g
RTh 0ln
??
高度计原理
