主讲教师：刘泽仁
制作,刘泽仁
统计推断包括参数估计和假设
检验，即通过样本统计量来估计和
检验总体的参数。统计推断的目的
在于认识未知的总体参数及其分布
特征。
第七章
抽
样
推
断
§ 1,点 估 计
一、点估计
点估计是通过计算一个统计量 (样本元素的函
数 )，将它作为未知参数的估计。
X1,…,Xn
未知参数 样本 统计量
),,( 1 nxxd ????观察值
对一次具体的抽样
?
?
参数估计有点估计和区间估计。
= d (X1,…,Xn) ? ? ?
二、估计量
1,估计量是用来估计参数的统计量
用来估计参数 ? 的估计量 记为
?
?
2,点估计量的构造方法常用的有,
矩法和极大似然法 (略 )
例,从平均值为 ?，标准差为 ?的总体中抽出样本
X1,…,Xn
XnXX ＝即的估计量用作若把样本平均数 ??? ??,1 i?
?? ?????? nnXEnnXEXE 1)(1)()( ii?
的无偏估计量是 ?X?
3,点估计量优劣的判别标准
衡量一个估计量好坏的标准通常有以下 3个,
(1) 无偏性,
如果一个估计量的数学期望值等于被估计
参数，则这个估计量称为被估参数的无偏估计
量。也就是说,
的无偏估计量。为则若 ???? ?? ?,)(E
222
2
i2,,
1
)(2 s
n
XXs ?
?
??? ??? 即的估计量用作若把?
)1 )(()()(
2
22
?
?????
n
XXEsEE i?由于
})]()[({11 2?? ?????? XXEn i
})]())((2])[({11 2i2i ???? ??????????? XXXXEn
]})([)](2[])([{11 2i2i ??? ????????? XnEXEXEn
]})[(])[(2{11 222 ??? ??????? XnEXnEn
]})[()])([(2)][({11 2i2i ???? ?????????? XnEXXEXEn
})({11 22 ?? ???? XnEnn
)(11
2
2
nnnn
?? ?
??
)11(11 2 nnn ???? ?
22 1
1 ?? ?
??
?? n
n
n
n
故 s2 是 ?? 的无偏估计量。
的估计量作为若用 2
2
2 )(3 ??
n
XX i ?????
]})([1{])([ 2
2
XXnEn XXE ii ??????
]21[ 22 XnnXXnXnE ii ?????
]}2[1{ 22 XXXXnE ii ??????
]21[ 222 XXXnE i ????
)1[ 22 XXnE i ???
)()(1 22 XEXEn i ???
)())(()( 22 XDXEXE ???
nnn
2
222 )(1 ???? ????
)()(1
2
222
nn
???? ?????
n
2
2 ?? ?? 21 ?
n
n ?? 2??
的无偏估计量。不是故 2
2
i )( ?
n
XX ??
) ] }())([()]())([(1[ 22 XDXEXDXEn ii ?????
(2) 一致性
若随着样本容量 n的增大，估计量的值越来越接
近于被估计的参数，则该估计量称为一致估计量。
,1)|(| ????? ? ???Pn 时，换句话说，若当
的一致估计量。为则 ???
的一致估计量就是例如,?? X??
n3?n2?n1
???? Xn 时，
X
??)( XE
n1
n2
n3
(3) 有效性
有效。比，则称换句话说，若
??
?
?
? 21
2
1 1
)(
)(
??
?
?
D
D
设 是参数 ? 的两个无偏估计量，
若 的方差比 的方差小，则称 比 有效。
1?? 2??
1?? 2?? 2??1??
??? ?? ?? )()( 21 EE
?
2?
?
??
?
1?
?
?
1?
? < ?
2?
?
4,几种总体参数的点估计量
?
?
?
??
n
iXnX
1i
1)1( ?? 的点估计量：总体平均数
估计量。的无偏、一致、有效的是可以证明 ?X
?
?
?
????
n
XXns
1i
2
i )(1
1)2( ?? 的点估计量：总体标准差
pPP ??的点估计量：总体成数)3(
例,某公司考虑购买一批减价商品，这批商品
共 2000件，其中有些是次品，但不知次品量或
次品率是多少。公司得知每件次品的修复成本
为 0.25元，并认为若总的修复成本低于 50元，购
买这批商品是有利可图的。在决定前，公司抽
取 100件商品进行调查，发现 12件次品。问你估
计这批商品的次品率为多少？你认为公司是否
可购买这一批商品？
解,设样本次品率为 p,则总体中的次品量为 NP,即
%121 0 012 ????
?
n
kpP
)( 2 4 0%122 0 0 0 件＝???PN
计算结果表明：该批商品估计的次品率为
12%,次品量为 240件, 所以该品商品的修复成
本为,240?0.25=60(元 )。 由此可见, 公司不能购
买这批商品 。
§ 2,区 间 估 计
一、置信区间与置信度
???? ???? ?? 1)( ULP若 (0 ? ? ? ?)
则称 1??为置信度 (或置信水平 )；
为置信区间。),( ?? UL ??
称为置信下限?L?
称为置信上限?U?
间：置信区间是双侧置信区同时具有下限和上限的
),( ????L?
??? ???? ?? 1)( LP ??? ???? ?? 1)(
UP
)( ?? UL ??,
只有一个下限值或只有一个限值的置信区间是单
侧置信区间,
),( ???? U?或
?
L?
?
U?
??
1??
置信度与置信区间的关系,
置信度越大，则置信区间越长，反之亦然。
若要同时使置信度尽可能的大和置信区间尽可能
的小，只有提高样本容量 n。
n'
n
n'>n
二、正态总体参数的区间估计
1,参数 ? 的置信区间
(1) ? 已知时,? 的置信区间
给定置信度 1??，要求 ??
UL ??,
???? ???? ?? 1)( ULP使得 ?
)1,0(~ NXZ
x
X
?
???由中心极限定理可知，
?
?? ? ????? 1)/( 21 znXzP只要使得
? 式的等式左边的括号内的不等式
21 / zn
Xz ???
?
?
XnzXnz ????? ??? 21
nzXnzX
???
12 ????
nzXnz
???
21 ???
?
?
?
? 式转化为
???? ?????? 1)( 12 nzXnzXP
由于 ? 等于 ?，所以 ?等于 ?
，故 nzXL ?? 2??
?
式中的 z1,z2是根据 1?? 的大小确定的。
?
nzXU
??
1??
?
见下图,
1??
z'2 z1 z z'1 z2
1??
? z?/2 z z?/2
2?2
?
z1= ? z?/2, z2= z?/2
因而,?的双侧置信区间的上、下限公式为,
,2/ nzXU ?? ???? nzXL ?? ? 2/??
?
同理可得 ?的单侧置信区间的上限公式或下限公式,
1??
z z
?
?
，
n
zXU ?? ???
?
?
),( ???? U?置信区间为
或另一种情形,
，
n
zXL ?? ???
?
?
),( ??? ?L?置信区间为
1??
z ?z
?
?
(2) ? 未知时,? 的置信区间 (小样本 )
)1(~
/
?? nt
ns
X ?
????? ?????
??
1)(1 ULP，使得给定置信度
??
UL ?? 和要求
)( ?? UL ???,的双侧置信区间：
,)1(2/ nsntXL ???? ?? nsntXU )1(2/ ???? ??
1?? 2?2?
)1(2/ ?? nt? )1(2/ ?nt?
同 (1)类似地，可得
的单侧置信区间：?
n
sntX
L )1( ???
?
?
??
n
sntX
U )1( ???
?
?
??
，,)( ????L?
，),( ???? U?
或
例,设在某证券交易所上市的工业类股票的日收
盘价格是下态分布随机变量，随机抽取其中 20种
股票收盘价得知样本的平均收盘价为 30元，方差
为 6.32。求该市场工业类股票的平均收盘价格的
置信区间 (?=2%)。
解,已知 n＝ 20,s2=6.32,
%12,30 ?? ?X
? 未知。
查表得 )1(
2 ?nt? 539.2)19(01.0 ?? t
n
sntXU
L ????
?
)1(μ 2?
20
32.6539.230 ???
=(28.57,31.43)
根据以上计算结果，我们可以说，按此区间
估计方法，将有 98%这样的置信区间包括工业
类的股票平均收盘平均收盘价格。或者说，我
们有 98%的把握说工业类的股票收盘价格界于
28.57元至 31.43元之间。
2,参数 ?2 的置信区间
)1(~)1( 22
2
?? nsn ??
????? ????? ?? 1)(1 222 ULP，使得给定置信度
?? 22
UL ?? 和要求
???? ????? 1))1(( 222
2
2
1
snP
2
22
2
2
1
)1( ?
?? ?
?? sn
2
1
2
2
2
2
2 )1()1(
???
snsn ????
2
2
2
22
2
1
)1(
1
)1( snsn ????
?
?
??
?
???? ?????? 1))1()1(( 2
1
2
2
2
2
2 snsn
P故
分布表可得：的大小查由其中 22221 1,???? ?
)1(2 2/121 ?? ? n???
)1(2 2/22 ?? n???
2
? 2?
1??
2?
)( 2?f
)1(2 2/ ?n??)1(2 2/1 ?? n??
)( 222 ?? UL ???,的双侧置信区间为：
,)1( )1( 2
2/
2
2
?
???
n
sn
L
??
? )1(
)1(
2
2
1
2
2
?
??
?
?
n
sn
U
??
?
的单侧置信区间为：2?
)( 2 ??? ?,L?
)1(
)1(
2
2
2
?
??? ?
n
sn
L
??
?
),( 2? ??? U? )1( )1( 2
1
2
2
?
??
?
?
?
n
sn
U
??
?
或
三、两个总体平均数之差 ?1－ ?2的区间估计
的置信区间－已知时，,212221.1 ????
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
2
1
2121 N
nn
XX
??
??
?
???
对于给定的 1??，使得,
要求 LCL,UCL
P(LCL<?1??2 < UCL)=1??
同理可得,
?1??2的双侧置信区间 (LCL,UCL)
2
2
2
1
2
1
2/21 )( nnzXXL C L
??
? ?????
2
2
2
1
2
1
2/21 )( nnzXXU C L
??
? ?????
?1??2的单侧置信区间
2
2
2
1
2
1
21 )( nnzXXL C L
??
? ????
?
2
2
2
1
2
1
21 )( nnzXXU C L
??
? ?????
?
),( ???L C L
),( ??? U C L
或
的置信区间未知时,212221,2 ???? ??
)2(~
11
2
)1()1(
)()(
21
2121
2
22
2
11
2121 ??
??
??
???
???
nnt
nnnn
snsn
XX ??
对于给定的 1??，使得,
要求 LCL,UCL
P(LCL<?1??2 < UCL)=1??
2121
2
22
2
11
212/21
11
2
)1()1()2()(
nnnn
snsnnntXXL C L ??
??
?????????
?
同理可得,
?1??2的双侧置信区间 (LCL,UCL)
2121
2
22
2
11
212/21
11
2
)1()1()2()(
nnnn
snsnnntXXU C L ??
??
?????????
?
?1－ ?2的单侧置信区间
),( ???L C L
),( ??? U C L
2121
2
22
2
11
2121
11
2
)1()1()2()(
nnnn
snsnnntXXL C L ??
??
??????????
?
2121
2
22
2
11
2121
11
2
)1()1()2()(
nnnn
snsnnntXXU C L ??
??
??????????
?
或
四、两个总体方差之比 的区间估计 2
2
2
1
?
?
)1,1(~
/
/
/
/
212
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1 ??? nnFss
s
s
???
?
?
?
?? ????? 1)(,1
2
2
2
1 UC LL C LP使得对给定的
要求 LCL,UCL
??? ?? ????????? 1))1,1(//)1,1(( 212/2
2
2
1
2
2
2
1
212/1 nnF
ssnnFP
2
? 2?
)1,1( 212/1 ??? nnF ? )1,1( 212/ ?? nnF ?
1??
F
),(2
2
2
1 U C LL C L的双侧置信区间
?
?
)1,1(
/
212/
2
2
2
1
??
?
nnF
ssL C L
?
)1,1(
/
212/1
2
2
2
1
??
?
? nnF
ssL C L
?
的单侧置信区间2
2
2
1
?
?
)???，（ L C L
)1,1(
/
21
2
2
2
1
???
?
nnF
ssL C L
?
)1,1(
/
211
2
2
2
1
??
?
?
?
nnF
ssU C L
?
),( ??? U C L
或
五、总体比例 P的区间估计
)1,0(~
)1(
N
n
pP
Pp
?
?
假定 n ? 30,且 np ? 5,n(1?p) ? 5,
可近似地把 p(1?p) 替代 P(1?P)
)( ?? UL PPP,的双侧置信区间为：
,)1(2/ n ppzpP L ????
?
? n
ppzpP
U
)1(
2/
?????
?
的单侧置信区间P
n
ppzpP
L
)1( ???? ?
?
或
n
ppzpP
U
)1( ???? ?
?
)( ????,LP
),( ???? UP
六、两个总体比例之差 P1?P2的区间估计
)1,0(~
)1()1(
)()(
2
22
1
11
2121 N
n
PP
n
PP
PPpp
?
?
?
???
P1?P2的双侧置信区间 LCL,UCL
2
22
1
11
2/21
)1()1()(
n
pp
n
ppzppL C L ???????
?
2
22
1
11
2/21
)1()1()(
n
pp
n
ppzppU C L ???????
?
P1?P2的单侧置信区间
),( ???L C L
),( ??? U C L
2
22
1
11
21
)1()1()(
n
pp
n
ppzppL C L ????????
?
2
22
1
11
21
)1()1()(
n
pp
n
ppzppU C L ????????
?
或
§ 3 假设检验的一般方法
一、假设检验的基本思想
例,根据过去的测试知某种电子元件的使用寿命
服从 N (?0,?2)，经过该产品技术改进后，随
机抽取了 n个产品进行使用寿命测试结果为：
X1,X2,…,Xn,得到平均寿命 。X
根据以上资料，可以进行两类统计推断,
如果要对技术改进后的产品使用寿命 ?进
行统计推断，则可在给定 1??置信度时对总体
平均值 ?作区间估计，即,
???? ?? ?????? 1)( 2/2/ nzXnzXP
???? ?? ??? 1)( 2/2/ 的概念为覆盖，这表明区间 nzXnzX
第一种,
第二种,
如果要问改进后的平均使用寿命 ?是否与
改进前的 ?0有明显的差别，则可在给定显著性
水平 ?时对 ?进行假设检验。
(表明技术改进前
后的平均使用寿
命没有明显差别 )
(表明技术改进前
后的平均使用寿命
有明显差别 )
建立 原假设,
备择假设,
H0,? = ?0
H1,? ? ?0
),( 2/2/ nzXnzX ?? ?? ??若令
02/2/ Hzzz 时接受则 ?? ???
通过置信区间构造一个水平 ?的检验,
当且仅当 ?0落在区间之内，就接受 H0。
n
Xz
?
? 0??
02/|| Hzz 时，则拒绝??
?/2
1??
?z?/2 z?/2
?/2
f (Z)
z
拒绝域 接受域 拒绝域
成立，那么置信区间如果 0H
02/2/ ),()( ?
????
?? 就应包含,nzXnzXUL ???
??
),01.0 05.0 ( 1 || 2/ 或取为一般的概率为 ??? ?? zz
),(0 ??? UL ???即
)|| 02/ ???? ULzz ?????,（，即的概率为
1?? ?
z?
也有单侧情形,
H0,? ? ?0
H1,? > ?0
或
H0,? ? ?0
H1,? < ?0 1?? ?
?z?
假设检验的基本思想,
经过抽样获取一组数据，即一个来自总体
的 (随机 )样本，如果根据样本计算的某个统计
量表明在假设成立的条件下几乎是不可能发生
的，就拒绝或否定这个假设，如果不然，则接
受这个假设。
二、两类错误
第 I类错误：原假设 H0成立，但检验结果是拒
绝 H0, 这类错误常称为, 弃
真”,P(I) = ?
第 II类错误：原假设 H0不成立，但检验结果是
接受 H0, 这类错误常称为,纳
伪”,P(II) = ?
?0 ?1 ? ?
?0 ?1 ? ?
?是可以选择的, 而 ? 一般是不能计算
的 。 因为当 H0不成立时 ? 的真值与 ?0的偏离
可能大也可能小, 若偏差大, 则 ?较小, 而当
?很接近 ?0时, ? 有可能很大 。
一个好的检验应使犯两类错误的概率都很小，
但要做到这点，除非所取的样本很大，当样本大
小 n固定时,?与 ?通常就不能兼顾，通常我们主
要考虑控制 ?,在选定 ?水平后，使 ?尽可能小。
在假设检验中，称 ?为检验数水平，也称
显著性水平。
三、假设检验的步骤
(一 ) 提出假设
H0和 H1是两个相反的假设,包括原假
设 H0和备择假设 H1。 其所有可能的结果都应
包含在这两个假设的范围内，它们的提出确
定了所要检验的对象。
(二 ) 计算检验统计量，确定 ? (显著性水平 )
下的拒绝域
构造一个检验统计量，要求这个统计量
包含着待检验的参数，除此之外，其余的参
数 (检验统计量所包含的参数 )必须是已知的，
我们可以通过检验统计量的分布在指定的 ?
下来确定拒绝域。
(三 ) 作出决策 (结论 )并加以解释
在决定是否拒绝 H0时，我们自然希望作出的
决策是正确的，尽量减少犯错误的概率，但在 n不
变的情况下，要减少 ?,必然会增加 ?,而同时减
少 ?和 ?是不可能的。因此，通常我们主要考虑控
制 ?,在选定 ?水平后，如果检验统计量的值落入
拒绝域内，我们就拒绝原假设，即因为 H0不成立，
否则就不拒绝 H0 。 必须指出，若 H0在一次检验后
没有被拒绝，我们并不能肯定 H0一定成立，我们
只能说不拒绝，习惯上称为,接受” H0 。
§ 4 参数的假设检验
一、总体均值 ?的假设检验
(一 ) 提出假设
H0,? = ?0
H1,? ? ?0
(三 ) 作出结论
若 |z| < z?/2,则,接受” H0
若 |z| ? z?/2,则拒绝 H0
(二 ) 检验统计量 (若 ?已知 )
n
Xz
?
??? 值出利用抽样结果可以计算 z
。，拒绝域可以确定出根据 22 || ??? zzz ?
例,设总体服从标准差为 50的正态分布，从该
总体抽出某容量为 25的随机样本，得出样本平
均值为 70，试以 ?=0.05的显著水平检验原假设
?0=90。
解,由题意，已知 n=25,?=50,,70?X
,05.0?? 0 2 5.0
2 ?
?
?0=90
H0,? = 90 H1,? ? 90
检验统计量,
n
Xz
σ
0???
计算
2
2550
9070 ????
查表得 96.1
025.02 ?? zz ?
拒绝域为,
2|| ?zz ?
? 计算结果为,
2?z
? 拒绝 H0,也就是说有 95%的把握否定原假定。
> =1.96 ?2 z =
关于参数 ?的假设检验表
原假设 H0 备择假设 H1 已知条件 检验统计量 拒 绝 域
? = ?0
? ? ?0
? ? ?0
? = ?0
? > ?0
? < ?0
?
已
知 n
Xz
?
? 0??
|z| ? z?/2
z ? z?
z ? –z?
? = ?0
? ? ?0
? ? ?0
? ? ?0
? > ?0
? < ?0
? 未
知小
样本 ns
Xt 0???
|t| ? t?/2(n–1)
t ? t?(n–1)
t ? –t?(n–1)
大样本
Z
n
s
Xt ??? ?
1??
?z?/2 z?/2
?
z
1?? 右侧检验 1??
?z
左侧检验 ?
二、总体方差 ?2的假设检验
原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量 拒 绝 域
?2 = ?20
?2 ? ?20
?2 ? ?20
2
0
2
2 )1(
?
snx ??
?2 ? ?20
?2 > ?20
?2 < ?20
)1(2 212 ?? ? n???
)1(2 22 ?? n???或
)1(22 ?? n???
)1(212 ?? ? n???
1??
2
21
??? 2
2
??
? 1??
)1(2
2
?n??
1??
)1(21 ?? n??
?
三、两个总体均值之差 ?????
原假设 H0 备择假设 H1 已知条件 检验统计量 拒 绝 域
?1 = ?2
?1 ? ?2
?1 ? ?2
?1 ? ?2
?1 > ?2
?1 < ?2
2
2
2
1
2
1
21 0)(
nn
XX
z
??
?
??
?
|z| ? z?/2
z ? z?/2
z ? –z?/2
2121
2
22
2
11
21
11
2
)1()1(
nnnn
snsn
XXt
?
??
???
??
|t|?t?/2(n1+n2–2)
t ? t?(n1+n2–2)
t ? –t?(n1+n2–2)
2221,??
?1 = ?2
?1 ? ?2
?1 ? ?2
?1 ? ?2
?1 > ?2
?1 < ?2
2221 ?? ?
已知
未知小
样本
大样本时,t ? z
四、两个总体的方差比 的假设检验
原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量 拒 绝 域
2
2
2
1
s
sF ?
)1,1( 2121 ??? ? nnFF ?
)1,1( 212 ??? nnFF ?或
)1,1( 21 ??? nnFF ?
)1,1( 211 ??? ? nnFF ?
2
2
2
1
?
?
2221 ?? ?
2221 ?? ?
2221 ?? ?
2221 ?? ?
2221 ?? ?
2221 ?? ?
五、成数 p 的假设检验
原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量 拒 绝 域
n
PP
Pp
z
)1( 00
0
?
?
?
P = P0
P ? P0
P ? P0
P ? P0
P > P0
P < P0
|z| ? z?/2
z ? z?
z ? –z?
六、两总体成数之差的假设检验
原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量 拒 绝 域
2
22
1
11
21
)1()1(
n
pp
n
pp
pp
z
?
?
?
?
?
P1 = P2
P1 ? P2
P1 ? P2
P1 ? P2
P1 > P2
P1 < P2
|z| ? z?/2
z ? z?
z ? –z?
(分别用 p1,p2近似代替 P1,P2)
例,某制造厂生产某装置的平均工作温度是
190?C。 今从一个由 16台装置构成的随机样本求
得的工作温度的平均数和标准差分别是 194 ?C和
8 ?C,能否说明平均工作温度比制造厂规定的要
高呢？ 设 ?=0.05,并假定工作温度服从正态分布 。
解,已知 n=16,,1 9 4?X,05.0?? ?0=190
H0,? ? 190 H1,? > 190
s=8,
计算 检验统计量
n
Xz
s
0??? 2
168
1 9 01 9 4 ???
查表得 753.1)15()1(
025.0 ??? tnt ?
拒绝域为,)1(|| ?? ntt
?
? 计算结果为, )1( nt ?
?
? 拒绝 H0,也就是说，样本数据说明了平均工作
温度比制造厂规定的要高。
> =1.753 2 t =
制作,刘泽仁
统计推断包括参数估计和假设
检验，即通过样本统计量来估计和
检验总体的参数。统计推断的目的
在于认识未知的总体参数及其分布
特征。
第七章
抽
样
推
断
§ 1,点 估 计
一、点估计
点估计是通过计算一个统计量 (样本元素的函
数 )，将它作为未知参数的估计。
X1,…,Xn
未知参数 样本 统计量
),,( 1 nxxd ????观察值
对一次具体的抽样
?
?
参数估计有点估计和区间估计。
= d (X1,…,Xn) ? ? ?
二、估计量
1,估计量是用来估计参数的统计量
用来估计参数 ? 的估计量 记为
?
?
2,点估计量的构造方法常用的有,
矩法和极大似然法 (略 )
例,从平均值为 ?，标准差为 ?的总体中抽出样本
X1,…,Xn
XnXX ＝即的估计量用作若把样本平均数 ??? ??,1 i?
?? ?????? nnXEnnXEXE 1)(1)()( ii?
的无偏估计量是 ?X?
3,点估计量优劣的判别标准
衡量一个估计量好坏的标准通常有以下 3个,
(1) 无偏性,
如果一个估计量的数学期望值等于被估计
参数，则这个估计量称为被估参数的无偏估计
量。也就是说,
的无偏估计量。为则若 ???? ?? ?,)(E
222
2
i2,,
1
)(2 s
n
XXs ?
?
??? ??? 即的估计量用作若把?
)1 )(()()(
2
22
?
?????
n
XXEsEE i?由于
})]()[({11 2?? ?????? XXEn i
})]())((2])[({11 2i2i ???? ??????????? XXXXEn
]})([)](2[])([{11 2i2i ??? ????????? XnEXEXEn
]})[(])[(2{11 222 ??? ??????? XnEXnEn
]})[()])([(2)][({11 2i2i ???? ?????????? XnEXXEXEn
})({11 22 ?? ???? XnEnn
)(11
2
2
nnnn
?? ?
??
)11(11 2 nnn ???? ?
22 1
1 ?? ?
??
?? n
n
n
n
故 s2 是 ?? 的无偏估计量。
的估计量作为若用 2
2
2 )(3 ??
n
XX i ?????
]})([1{])([ 2
2
XXnEn XXE ii ??????
]21[ 22 XnnXXnXnE ii ?????
]}2[1{ 22 XXXXnE ii ??????
]21[ 222 XXXnE i ????
)1[ 22 XXnE i ???
)()(1 22 XEXEn i ???
)())(()( 22 XDXEXE ???
nnn
2
222 )(1 ???? ????
)()(1
2
222
nn
???? ?????
n
2
2 ?? ?? 21 ?
n
n ?? 2??
的无偏估计量。不是故 2
2
i )( ?
n
XX ??
) ] }())([()]())([(1[ 22 XDXEXDXEn ii ?????
(2) 一致性
若随着样本容量 n的增大，估计量的值越来越接
近于被估计的参数，则该估计量称为一致估计量。
,1)|(| ????? ? ???Pn 时，换句话说，若当
的一致估计量。为则 ???
的一致估计量就是例如,?? X??
n3?n2?n1
???? Xn 时，
X
??)( XE
n1
n2
n3
(3) 有效性
有效。比，则称换句话说，若
??
?
?
? 21
2
1 1
)(
)(
??
?
?
D
D
设 是参数 ? 的两个无偏估计量，
若 的方差比 的方差小，则称 比 有效。
1?? 2??
1?? 2?? 2??1??
??? ?? ?? )()( 21 EE
?
2?
?
??
?
1?
?
?
1?
? < ?
2?
?
4,几种总体参数的点估计量
?
?
?
??
n
iXnX
1i
1)1( ?? 的点估计量：总体平均数
估计量。的无偏、一致、有效的是可以证明 ?X
?
?
?
????
n
XXns
1i
2
i )(1
1)2( ?? 的点估计量：总体标准差
pPP ??的点估计量：总体成数)3(
例,某公司考虑购买一批减价商品，这批商品
共 2000件，其中有些是次品，但不知次品量或
次品率是多少。公司得知每件次品的修复成本
为 0.25元，并认为若总的修复成本低于 50元，购
买这批商品是有利可图的。在决定前，公司抽
取 100件商品进行调查，发现 12件次品。问你估
计这批商品的次品率为多少？你认为公司是否
可购买这一批商品？
解,设样本次品率为 p,则总体中的次品量为 NP,即
%121 0 012 ????
?
n
kpP
)( 2 4 0%122 0 0 0 件＝???PN
计算结果表明：该批商品估计的次品率为
12%,次品量为 240件, 所以该品商品的修复成
本为,240?0.25=60(元 )。 由此可见, 公司不能购
买这批商品 。
§ 2,区 间 估 计
一、置信区间与置信度
???? ???? ?? 1)( ULP若 (0 ? ? ? ?)
则称 1??为置信度 (或置信水平 )；
为置信区间。),( ?? UL ??
称为置信下限?L?
称为置信上限?U?
间：置信区间是双侧置信区同时具有下限和上限的
),( ????L?
??? ???? ?? 1)( LP ??? ???? ?? 1)(
UP
)( ?? UL ??,
只有一个下限值或只有一个限值的置信区间是单
侧置信区间,
),( ???? U?或
?
L?
?
U?
??
1??
置信度与置信区间的关系,
置信度越大，则置信区间越长，反之亦然。
若要同时使置信度尽可能的大和置信区间尽可能
的小，只有提高样本容量 n。
n'
n
n'>n
二、正态总体参数的区间估计
1,参数 ? 的置信区间
(1) ? 已知时,? 的置信区间
给定置信度 1??，要求 ??
UL ??,
???? ???? ?? 1)( ULP使得 ?
)1,0(~ NXZ
x
X
?
???由中心极限定理可知，
?
?? ? ????? 1)/( 21 znXzP只要使得
? 式的等式左边的括号内的不等式
21 / zn
Xz ???
?
?
XnzXnz ????? ??? 21
nzXnzX
???
12 ????
nzXnz
???
21 ???
?
?
?
? 式转化为
???? ?????? 1)( 12 nzXnzXP
由于 ? 等于 ?，所以 ?等于 ?
，故 nzXL ?? 2??
?
式中的 z1,z2是根据 1?? 的大小确定的。
?
nzXU
??
1??
?
见下图,
1??
z'2 z1 z z'1 z2
1??
? z?/2 z z?/2
2?2
?
z1= ? z?/2, z2= z?/2
因而,?的双侧置信区间的上、下限公式为,
,2/ nzXU ?? ???? nzXL ?? ? 2/??
?
同理可得 ?的单侧置信区间的上限公式或下限公式,
1??
z z
?
?
，
n
zXU ?? ???
?
?
),( ???? U?置信区间为
或另一种情形,
，
n
zXL ?? ???
?
?
),( ??? ?L?置信区间为
1??
z ?z
?
?
(2) ? 未知时,? 的置信区间 (小样本 )
)1(~
/
?? nt
ns
X ?
????? ?????
??
1)(1 ULP，使得给定置信度
??
UL ?? 和要求
)( ?? UL ???,的双侧置信区间：
,)1(2/ nsntXL ???? ?? nsntXU )1(2/ ???? ??
1?? 2?2?
)1(2/ ?? nt? )1(2/ ?nt?
同 (1)类似地，可得
的单侧置信区间：?
n
sntX
L )1( ???
?
?
??
n
sntX
U )1( ???
?
?
??
，,)( ????L?
，),( ???? U?
或
例,设在某证券交易所上市的工业类股票的日收
盘价格是下态分布随机变量，随机抽取其中 20种
股票收盘价得知样本的平均收盘价为 30元，方差
为 6.32。求该市场工业类股票的平均收盘价格的
置信区间 (?=2%)。
解,已知 n＝ 20,s2=6.32,
%12,30 ?? ?X
? 未知。
查表得 )1(
2 ?nt? 539.2)19(01.0 ?? t
n
sntXU
L ????
?
)1(μ 2?
20
32.6539.230 ???
=(28.57,31.43)
根据以上计算结果，我们可以说，按此区间
估计方法，将有 98%这样的置信区间包括工业
类的股票平均收盘平均收盘价格。或者说，我
们有 98%的把握说工业类的股票收盘价格界于
28.57元至 31.43元之间。
2,参数 ?2 的置信区间
)1(~)1( 22
2
?? nsn ??
????? ????? ?? 1)(1 222 ULP，使得给定置信度
?? 22
UL ?? 和要求
???? ????? 1))1(( 222
2
2
1
snP
2
22
2
2
1
)1( ?
?? ?
?? sn
2
1
2
2
2
2
2 )1()1(
???
snsn ????
2
2
2
22
2
1
)1(
1
)1( snsn ????
?
?
??
?
???? ?????? 1))1()1(( 2
1
2
2
2
2
2 snsn
P故
分布表可得：的大小查由其中 22221 1,???? ?
)1(2 2/121 ?? ? n???
)1(2 2/22 ?? n???
2
? 2?
1??
2?
)( 2?f
)1(2 2/ ?n??)1(2 2/1 ?? n??
)( 222 ?? UL ???,的双侧置信区间为：
,)1( )1( 2
2/
2
2
?
???
n
sn
L
??
? )1(
)1(
2
2
1
2
2
?
??
?
?
n
sn
U
??
?
的单侧置信区间为：2?
)( 2 ??? ?,L?
)1(
)1(
2
2
2
?
??? ?
n
sn
L
??
?
),( 2? ??? U? )1( )1( 2
1
2
2
?
??
?
?
?
n
sn
U
??
?
或
三、两个总体平均数之差 ?1－ ?2的区间估计
的置信区间－已知时，,212221.1 ????
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
2
1
2121 N
nn
XX
??
??
?
???
对于给定的 1??，使得,
要求 LCL,UCL
P(LCL<?1??2 < UCL)=1??
同理可得,
?1??2的双侧置信区间 (LCL,UCL)
2
2
2
1
2
1
2/21 )( nnzXXL C L
??
? ?????
2
2
2
1
2
1
2/21 )( nnzXXU C L
??
? ?????
?1??2的单侧置信区间
2
2
2
1
2
1
21 )( nnzXXL C L
??
? ????
?
2
2
2
1
2
1
21 )( nnzXXU C L
??
? ?????
?
),( ???L C L
),( ??? U C L
或
的置信区间未知时,212221,2 ???? ??
)2(~
11
2
)1()1(
)()(
21
2121
2
22
2
11
2121 ??
??
??
???
???
nnt
nnnn
snsn
XX ??
对于给定的 1??，使得,
要求 LCL,UCL
P(LCL<?1??2 < UCL)=1??
2121
2
22
2
11
212/21
11
2
)1()1()2()(
nnnn
snsnnntXXL C L ??
??
?????????
?
同理可得,
?1??2的双侧置信区间 (LCL,UCL)
2121
2
22
2
11
212/21
11
2
)1()1()2()(
nnnn
snsnnntXXU C L ??
??
?????????
?
?1－ ?2的单侧置信区间
),( ???L C L
),( ??? U C L
2121
2
22
2
11
2121
11
2
)1()1()2()(
nnnn
snsnnntXXL C L ??
??
??????????
?
2121
2
22
2
11
2121
11
2
)1()1()2()(
nnnn
snsnnntXXU C L ??
??
??????????
?
或
四、两个总体方差之比 的区间估计 2
2
2
1
?
?
)1,1(~
/
/
/
/
212
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1 ??? nnFss
s
s
???
?
?
?
?? ????? 1)(,1
2
2
2
1 UC LL C LP使得对给定的
要求 LCL,UCL
??? ?? ????????? 1))1,1(//)1,1(( 212/2
2
2
1
2
2
2
1
212/1 nnF
ssnnFP
2
? 2?
)1,1( 212/1 ??? nnF ? )1,1( 212/ ?? nnF ?
1??
F
),(2
2
2
1 U C LL C L的双侧置信区间
?
?
)1,1(
/
212/
2
2
2
1
??
?
nnF
ssL C L
?
)1,1(
/
212/1
2
2
2
1
??
?
? nnF
ssL C L
?
的单侧置信区间2
2
2
1
?
?
)???，（ L C L
)1,1(
/
21
2
2
2
1
???
?
nnF
ssL C L
?
)1,1(
/
211
2
2
2
1
??
?
?
?
nnF
ssU C L
?
),( ??? U C L
或
五、总体比例 P的区间估计
)1,0(~
)1(
N
n
pP
Pp
?
?
假定 n ? 30,且 np ? 5,n(1?p) ? 5,
可近似地把 p(1?p) 替代 P(1?P)
)( ?? UL PPP,的双侧置信区间为：
,)1(2/ n ppzpP L ????
?
? n
ppzpP
U
)1(
2/
?????
?
的单侧置信区间P
n
ppzpP
L
)1( ???? ?
?
或
n
ppzpP
U
)1( ???? ?
?
)( ????,LP
),( ???? UP
六、两个总体比例之差 P1?P2的区间估计
)1,0(~
)1()1(
)()(
2
22
1
11
2121 N
n
PP
n
PP
PPpp
?
?
?
???
P1?P2的双侧置信区间 LCL,UCL
2
22
1
11
2/21
)1()1()(
n
pp
n
ppzppL C L ???????
?
2
22
1
11
2/21
)1()1()(
n
pp
n
ppzppU C L ???????
?
P1?P2的单侧置信区间
),( ???L C L
),( ??? U C L
2
22
1
11
21
)1()1()(
n
pp
n
ppzppL C L ????????
?
2
22
1
11
21
)1()1()(
n
pp
n
ppzppU C L ????????
?
或
§ 3 假设检验的一般方法
一、假设检验的基本思想
例,根据过去的测试知某种电子元件的使用寿命
服从 N (?0,?2)，经过该产品技术改进后，随
机抽取了 n个产品进行使用寿命测试结果为：
X1,X2,…,Xn,得到平均寿命 。X
根据以上资料，可以进行两类统计推断,
如果要对技术改进后的产品使用寿命 ?进
行统计推断，则可在给定 1??置信度时对总体
平均值 ?作区间估计，即,
???? ?? ?????? 1)( 2/2/ nzXnzXP
???? ?? ??? 1)( 2/2/ 的概念为覆盖，这表明区间 nzXnzX
第一种,
第二种,
如果要问改进后的平均使用寿命 ?是否与
改进前的 ?0有明显的差别，则可在给定显著性
水平 ?时对 ?进行假设检验。
(表明技术改进前
后的平均使用寿
命没有明显差别 )
(表明技术改进前
后的平均使用寿命
有明显差别 )
建立 原假设,
备择假设,
H0,? = ?0
H1,? ? ?0
),( 2/2/ nzXnzX ?? ?? ??若令
02/2/ Hzzz 时接受则 ?? ???
通过置信区间构造一个水平 ?的检验,
当且仅当 ?0落在区间之内，就接受 H0。
n
Xz
?
? 0??
02/|| Hzz 时，则拒绝??
?/2
1??
?z?/2 z?/2
?/2
f (Z)
z
拒绝域 接受域 拒绝域
成立，那么置信区间如果 0H
02/2/ ),()( ?
????
?? 就应包含,nzXnzXUL ???
??
),01.0 05.0 ( 1 || 2/ 或取为一般的概率为 ??? ?? zz
),(0 ??? UL ???即
)|| 02/ ???? ULzz ?????,（，即的概率为
1?? ?
z?
也有单侧情形,
H0,? ? ?0
H1,? > ?0
或
H0,? ? ?0
H1,? < ?0 1?? ?
?z?
假设检验的基本思想,
经过抽样获取一组数据，即一个来自总体
的 (随机 )样本，如果根据样本计算的某个统计
量表明在假设成立的条件下几乎是不可能发生
的，就拒绝或否定这个假设，如果不然，则接
受这个假设。
二、两类错误
第 I类错误：原假设 H0成立，但检验结果是拒
绝 H0, 这类错误常称为, 弃
真”,P(I) = ?
第 II类错误：原假设 H0不成立，但检验结果是
接受 H0, 这类错误常称为,纳
伪”,P(II) = ?
?0 ?1 ? ?
?0 ?1 ? ?
?是可以选择的, 而 ? 一般是不能计算
的 。 因为当 H0不成立时 ? 的真值与 ?0的偏离
可能大也可能小, 若偏差大, 则 ?较小, 而当
?很接近 ?0时, ? 有可能很大 。
一个好的检验应使犯两类错误的概率都很小，
但要做到这点，除非所取的样本很大，当样本大
小 n固定时,?与 ?通常就不能兼顾，通常我们主
要考虑控制 ?,在选定 ?水平后，使 ?尽可能小。
在假设检验中，称 ?为检验数水平，也称
显著性水平。
三、假设检验的步骤
(一 ) 提出假设
H0和 H1是两个相反的假设,包括原假
设 H0和备择假设 H1。 其所有可能的结果都应
包含在这两个假设的范围内，它们的提出确
定了所要检验的对象。
(二 ) 计算检验统计量，确定 ? (显著性水平 )
下的拒绝域
构造一个检验统计量，要求这个统计量
包含着待检验的参数，除此之外，其余的参
数 (检验统计量所包含的参数 )必须是已知的，
我们可以通过检验统计量的分布在指定的 ?
下来确定拒绝域。
(三 ) 作出决策 (结论 )并加以解释
在决定是否拒绝 H0时，我们自然希望作出的
决策是正确的，尽量减少犯错误的概率，但在 n不
变的情况下，要减少 ?,必然会增加 ?,而同时减
少 ?和 ?是不可能的。因此，通常我们主要考虑控
制 ?,在选定 ?水平后，如果检验统计量的值落入
拒绝域内，我们就拒绝原假设，即因为 H0不成立，
否则就不拒绝 H0 。 必须指出，若 H0在一次检验后
没有被拒绝，我们并不能肯定 H0一定成立，我们
只能说不拒绝，习惯上称为,接受” H0 。
§ 4 参数的假设检验
一、总体均值 ?的假设检验
(一 ) 提出假设
H0,? = ?0
H1,? ? ?0
(三 ) 作出结论
若 |z| < z?/2,则,接受” H0
若 |z| ? z?/2,则拒绝 H0
(二 ) 检验统计量 (若 ?已知 )
n
Xz
?
??? 值出利用抽样结果可以计算 z
。，拒绝域可以确定出根据 22 || ??? zzz ?
例,设总体服从标准差为 50的正态分布，从该
总体抽出某容量为 25的随机样本，得出样本平
均值为 70，试以 ?=0.05的显著水平检验原假设
?0=90。
解,由题意，已知 n=25,?=50,,70?X
,05.0?? 0 2 5.0
2 ?
?
?0=90
H0,? = 90 H1,? ? 90
检验统计量,
n
Xz
σ
0???
计算
2
2550
9070 ????
查表得 96.1
025.02 ?? zz ?
拒绝域为,
2|| ?zz ?
? 计算结果为,
2?z
? 拒绝 H0,也就是说有 95%的把握否定原假定。
> =1.96 ?2 z =
关于参数 ?的假设检验表
原假设 H0 备择假设 H1 已知条件 检验统计量 拒 绝 域
? = ?0
? ? ?0
? ? ?0
? = ?0
? > ?0
? < ?0
?
已
知 n
Xz
?
? 0??
|z| ? z?/2
z ? z?
z ? –z?
? = ?0
? ? ?0
? ? ?0
? ? ?0
? > ?0
? < ?0
? 未
知小
样本 ns
Xt 0???
|t| ? t?/2(n–1)
t ? t?(n–1)
t ? –t?(n–1)
大样本
Z
n
s
Xt ??? ?
1??
?z?/2 z?/2
?
z
1?? 右侧检验 1??
?z
左侧检验 ?
二、总体方差 ?2的假设检验
原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量 拒 绝 域
?2 = ?20
?2 ? ?20
?2 ? ?20
2
0
2
2 )1(
?
snx ??
?2 ? ?20
?2 > ?20
?2 < ?20
)1(2 212 ?? ? n???
)1(2 22 ?? n???或
)1(22 ?? n???
)1(212 ?? ? n???
1??
2
21
??? 2
2
??
? 1??
)1(2
2
?n??
1??
)1(21 ?? n??
?
三、两个总体均值之差 ?????
原假设 H0 备择假设 H1 已知条件 检验统计量 拒 绝 域
?1 = ?2
?1 ? ?2
?1 ? ?2
?1 ? ?2
?1 > ?2
?1 < ?2
2
2
2
1
2
1
21 0)(
nn
XX
z
??
?
??
?
|z| ? z?/2
z ? z?/2
z ? –z?/2
2121
2
22
2
11
21
11
2
)1()1(
nnnn
snsn
XXt
?
??
???
??
|t|?t?/2(n1+n2–2)
t ? t?(n1+n2–2)
t ? –t?(n1+n2–2)
2221,??
?1 = ?2
?1 ? ?2
?1 ? ?2
?1 ? ?2
?1 > ?2
?1 < ?2
2221 ?? ?
已知
未知小
样本
大样本时,t ? z
四、两个总体的方差比 的假设检验
原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量 拒 绝 域
2
2
2
1
s
sF ?
)1,1( 2121 ??? ? nnFF ?
)1,1( 212 ??? nnFF ?或
)1,1( 21 ??? nnFF ?
)1,1( 211 ??? ? nnFF ?
2
2
2
1
?
?
2221 ?? ?
2221 ?? ?
2221 ?? ?
2221 ?? ?
2221 ?? ?
2221 ?? ?
五、成数 p 的假设检验
原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量 拒 绝 域
n
PP
Pp
z
)1( 00
0
?
?
?
P = P0
P ? P0
P ? P0
P ? P0
P > P0
P < P0
|z| ? z?/2
z ? z?
z ? –z?
六、两总体成数之差的假设检验
原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量 拒 绝 域
2
22
1
11
21
)1()1(
n
pp
n
pp
pp
z
?
?
?
?
?
P1 = P2
P1 ? P2
P1 ? P2
P1 ? P2
P1 > P2
P1 < P2
|z| ? z?/2
z ? z?
z ? –z?
(分别用 p1,p2近似代替 P1,P2)
例,某制造厂生产某装置的平均工作温度是
190?C。 今从一个由 16台装置构成的随机样本求
得的工作温度的平均数和标准差分别是 194 ?C和
8 ?C,能否说明平均工作温度比制造厂规定的要
高呢？ 设 ?=0.05,并假定工作温度服从正态分布 。
解,已知 n=16,,1 9 4?X,05.0?? ?0=190
H0,? ? 190 H1,? > 190
s=8,
计算 检验统计量
n
Xz
s
0??? 2
168
1 9 01 9 4 ???
查表得 753.1)15()1(
025.0 ??? tnt ?
拒绝域为,)1(|| ?? ntt
?
? 计算结果为, )1( nt ?
?
? 拒绝 H0,也就是说，样本数据说明了平均工作
温度比制造厂规定的要高。
> =1.753 2 t =
