§2.4 势能 一、 保守力与非保守力 功是过程量，一般而言与路径有关。但有些力做功与路径无关，按照力做功的特点，可把力分为保守力与非保守力。 1 保守力：做功仅与始、末位置有关，而与路径无关的力。即对于保守力有 ① 若绕闭合路径L保守力做功必然为零，因为系统的始末状态相同。 ② 上两式均为保守力的定义。可见，要求保守力做功，可以选取最方便的路径进行积分。 2 几种保守力的功 ① 地球附近的重力的功 质量为m的物体在重力场中由h0点移到h点，重力所做的功为  ② 弹力的功  ③ 平方反比力的功 万有引力和电荷间的库仑力都称为平方反比力，可写成  对于万有引力、库仑力，平方反比力的功为  这些力所做的功与路径无关，是保守力。 二、 势能 这些力所做的功均可表示为某个函数的末态量与初态量之差的负值，称这个函数为势能函数或简称为势能。 保守力做功与势能的关系式 用表示末状态的势能，用表示初状态的势能，则保守力做功可写为  1） 保守力做功在量值上等于系统势能的减少。而根据动能定理，保守力做功将使系统的动能增大，即保守力做功是使系统的势能转化为等值的动能。 2） 势能属于相互作用的系统所有，即势能储存于传递物体间相互作用的场中，而不属于某个质点所有。势能之差是个绝对量，于参考系的选取无关。 若取某个点为计算势能的参考点，即选取，则任意一点的势能值为 3） 势能曲线 势能随物体间相对位置变化的曲线。 重力势能  势能零点 h=0 弹性势能  势能零点 x=0 平方反比势能  势能零点 r=∞ 双原子分子势能曲线 r = r0是势能曲线的极值点，对应保守力为零，在其它区域保守力均指向r0，系统的总能量E=Ek+Ep＜0。 把势能曲线的下凹部分称为势阱，上凸部分称为势垒。当分子总能量E小于势阱深度时，分子只能在势阱中运动；当分子总能量E大于势阱深度而小于一边势垒高度时，分子就不能穿过势垒，只能在势垒的一侧运动；在微观世界里，粒子可以以一对的概率穿过势垒，称为隧道效应。 三、 由势能函数求相应的保守力 设系统内两物体沿其连线运动，在物体间保守力F作用下彼此间的距离增大dr，F的方向沿连线方向，由 由  则  保守力的大小等于势能曲线在该点的斜率的负值，其方向沿着势能减小的方向。上式对应于一维空间，在三维空间中上式可一般地推广为  引入梯度算符 ，在直角坐标系中  则有  一个标量的梯度势一个矢量，它的方向沿该标量空间增加率最大的方向，它的数值就等于这个最大变化率。 四、 非保守力的功 非保守力做功与路径有关，势能的概念就失去了意义。 质量为m 的物体，在粗糙的水平面上从C点移到D点，动摩擦因数为，则摩擦力所做的功为 非保守力的功显然与路径的长度有关，C D间路径最短。