§ 9.2 平面简谐波的波动方程 一、平面简谐波波动方程 简谐波：如果波源和介质中的各质点都持续地作简谐振动，这种波称为简谐波。 平面简谐波：波面为平面的简谐波。平面简谐波也称为一维简谐波，其表达式也称波函数(wave function) 沿+x方向传播的一维简谐波 (波速u，振动角频率为()，假设媒质无吸收(质元振幅均为A) 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 称为波动方程。 设O点处质点的振动方程为 波线上坐标为x的任意点P 处质点的振动方程 振动从O点传到P点所需的时间为 t 时刻点 P 的振动与 t-x/u时刻点O 的振动状态相同，只是落后了Δt 点P 振动方程 式中 称上式为沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程 波方程的其它表示式 讨论：（1）如果原点的初相位不为零 设：点 O振动方程 则：波动方程为 （2） 如果平面简谐波沿x轴负方向传播 则 P点处质点相位比O点处质点的相位超前 波动方程为 二、波动方程的物理意义 由 从几方面讨论 1 当 x 一定时(设x =x0，即考察波线上某一点x0) 给出x =x0处质点的振动方程 即x0处质元的振动表达式，表示x处的质点在各个不同的时刻位移随时间的变化情况，由它画出的曲线是x0处质元的振动曲线。 2 当t一定时(设t = t0，即在某一时刻t0)，给出t= t0时刻各质点的位移y分布情况 反映t0时刻各不同x处质元的位移状况，即同一时刻x轴上各个质点离开它们平 衡位置的位移分布，由它画出的曲线即t0时刻的波形曲线。 3 在当x为正时 为负， 相位差 即波若沿x正方向传播，原点右侧各质点的振动相位都落后于原点的相位，x越大，相位落后越多。故 在波的传播方向上，各质点的振动相位依次落后。 4 表达式还反映了波的时间、空间双重周期性。 (1)周期T代表了时间周期性 若t=t+T, 即 t+T时刻的波形与t 时刻的波形相同。 由质元运动看：每个质元振动周期为T。 由波形看：t时刻和t +T时刻的波形曲线完全重合。 (2)波长(代表了空间周期性 若x=λ＋x 由质元看：相隔( 的两点振动状态完全相同 (同相点)。 由波形看：波形在空间以( 为“周期” 分布着。( 称波的“空间周期”。 时间、空间两方面的周期性以相速u联系起来： 例8-1 超声波清洗器向水中发出的超声波的表达式为 试求 (1)波的振幅与频率； (2)超声波在水中的波速和波长； (3)距波源为0.20m与0.24m的两质点的相位差。 解：采用比较法，将 与本题给出的波表达式相比较得 (1)振幅与频率分别为 A=1.0×10-3m (2)超声波的波长 超声波的波速 (3)两质点的相位差 x2处质点的相位比x1处质点的相位落后8rad 例9-2 如图所示，一横波在弦上以速度沿x轴正方向传播，已知弦上某点A的振动方程为 (1)写出波动方程； (2)写出B点和C点的振动方程。 解：(1) 已知，A的振动方程 由于波沿x轴正方向传播，坐标原点O的相位比A点的相位超前，它们之间的相位差 坐标原点O的振动方程为 波动方程为 (2)将 代入波动方程，可得B点的振动方程 同理，将 代入波动方程，可得C点的振动方程