§ 3.2 刚体转动的动能定理 一、力矩的功 1 力矩的定义 若作用的质点上的力为F,则将r×F定义为力F对O点的力矩，记为M。  M、F、r三者的方向构成右手螺旋关系。 M 大小： 方向：右手法则 2 力矩的功 设：；转盘上的微小质量元Δm在力F作用下以R 为半径绕O轴转动，在dt时间内转过角度d(， 对应位移dr,路程ds,此时F所做的元功为 则总功为 二、转动惯量 设初速为零，质量元Δm 的动能为 转盘的总动能 1 定义： 为物体的转动惯量。 意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。描述转动的惯性。 例：一头粗，一头细的杆以不同端作轴转动是，其转动惯量不同。 单位：SI制 kg m2 2 定轴转动物体转动惯量的计算 质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和  质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。  转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。 例1 求小球m的转动惯量。 解：m看作质点 I = m R2 例2 质量为m的细圆环，求I。 解：把环分成无限多个质量为dm的小段，对每个dm有 dJ = R2 对整个环有 I = ( R2dm = mR2 例3质量m，半径 R的薄圆盘，求I。 解：把盘分成无限多个环。取其中的一个环(半径r，宽dr，质量 dm)， 其转动惯量 dI = r2dm  整个盘的转动惯量  例4 长为L、质量为m的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为 (＝m / L。 以杆中心O点为转轴，在距o点为r处取微小质量元dm =(dr, 杆的转动惯量为 例5 转轴垂直于细杆且通过杆的一端 以杆中心O/点为转轴，同上 3 几种典型的匀质刚体的转动惯量 刚体 转轴位置 转动惯量J  细棒（质量为m，长为l） 过中心与棒垂直   细棒（质量为m，长为l） 过一点与棒垂直   细环（质量为m，半径为R） 过中心对称轴与环面垂直   细环（质量为m，半径为R） 直径   圆盘（质量为m，半径为R） 过中心与盘面垂直   圆盘（质量为m，半径为R） 直径   球体（质量为m，半径为R） 过球心   薄球壳（质量为m，半径为R） 过球心   4 影响转动惯量的三个因素 (1)刚体自身的性质如质量、大小和形状； (2)质量的分布； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大) (3)转轴的位置。（同一个刚体对不同的轴转动惯量不同） 5 平行轴定理和转动惯量的可加性 1） 平行轴定理 设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic，相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I，则可以证明I与Ic之间有下列关系  2）转动惯量的可加性 对同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和 等于整个物体的转动惯量。 例6质量m，长为l的均匀细棒，求对于通过质心的垂直轴的转动惯量Jc和通过端点a的垂直轴的转动惯量J. 解：建立如图坐标Ox，在棒上取一小段dx，则  由平行轴定理有     三、刚体绕定轴转动的动能定理 1 刚体绕定轴转动的转动动能 2 动能定理