§ 8.3 旋转矢量法 一、旋转矢量 1 矢量的模等于简谐振动的振幅A 长度 = A； 2 矢量绕O点作逆时针方向匀速转动，其角速度的大小等于简谐振动的角频率 以(为角速度绕o点逆时针旋转； 3 在t = 0时，矢量A和x轴的夹角为( ，在任意时刻t ，它与x轴的夹角为(t+( ，矢量A的矢端M在x轴上的投影点P的坐标为 矢量端点在x轴上的投影做简谐振动 例 已知简谐振动，A=4 cm，( = 0.5 Hz， t =1s时x =-2cm且向x正向运动。 写出此简谐振动的表达式。 解：由题意，T = 2 s 由图， ( = (/3， 当旋转矢量A旋转一周，投影点P作一次完全的振动 ，旋转矢量A的端点在x轴上的投影点P的运动为简谐振动 例8-4 一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.24m，周期为2s。当t = 0时，x0 = 0.12m，且向x轴正方向运动。试求 （1）振动方程 （2）从且向x轴负方向运动这一状态，回到平衡位置所需的时间。 已知： 求： 解：（1）简谐振动的角频率 t = 0时旋转矢量的位置如图所示 振动方程为 （2）令φ < 0这一状态对应的时刻为 t1；回到平衡位置的时刻为 t2。 t1和t2时刻的旋转矢量位置，如图所示 例8-5 两个同方向(沿x轴方向)、同频率的简谐振动，其频率都是2s-1。当第一个振子从平衡位置向正方向运动0.05s后，第二个振子正处于正方向的端点。求这两个简谐振动的相位差。 已知： 求： 当第一个振子从平衡位置向正方向运动时，其旋转矢量A1的位置如图所示 经过0.05s后，旋转矢量A1转过一角度 此时，第二个振子刚好处在正方向端点，其旋转矢量A2 由图可见，两振子的相位差为 第二个振子比第一个振子的相位超前 二、相位差 1 相位差和初相差 相位差(phase difference)---相位之差。 对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差， (( = (( t + ( 2) - (( t + ( 1) (( = ( 2 - ( 1 2 同相和反相 当(( = ( 2k(， ( k = 0,1,2,…)， 当(( = ((2k+1)(， ( k= 0,1,2,…)， 两振动步调相同，称同相(in-phase)。 两振动步调相反，称反相(antiphase)。 3.超前和落后 若(( = ( 2-( 1> 0, 则x2比x1较早达到正最大，称x2 比x1超前领先x1比x2落后)。 领先、落后以 < (的相位角 (或以< T/2的时间间隔)来判断。 思考：在上图中，x1与x2两振动谁超前? 方法：振动曲线的画法：( 为非典型值时，可用超前、落后的概念画出振动曲线。 1）欲画x = Acos((t +()的曲线 2）先画辅助曲线x辅 = Acos (t的曲线 3）若( < 0，说明x比x辅落后，将x辅曲线右移即得x的曲线。在横轴上移动的 距离为 例如，若( = -(/3，则右移T/6 三、简谐振动求解 1 解析法(由振动表达式) 受力特点：线性恢复力，力和位移正比而反向，具有F = - k x的形式。 简谐振动的动力学方程(以水平弹簧振子为例) 由 及F = -kx 有简谐振动的振动方程(动力学方程) 式中 此振动方程的解即简谐振动的表达式。 上方程的解即为简谐振动的运动学方程 x=Acos(( t+( ) 已知表达式 (求A、T、( 已知A、T、( (求表达式 2 曲线法(由振动曲线) 已知振动曲线 ( A、T、( 已知A、T、( ( 振动曲线 3 旋转矢量法(rotational vector) (可优先选用) 4 一些量的求解 1）固有角频率(natural angular frequency)： 固有角频率决定于振动系统的内在性质。如弹簧振子的固有角频率决定于振动系统的弹性和惯性。 弹簧振子： 单摆： 2）由初始条件求振幅和初相 初始条件：t = 0 时的振动状态(x0、(0) 由位移和速度的振动表达式有 x0 = Acos( ；(0 = -Asin( 可得 由上式定出的(，在0到2((或-(到()之间，一般有两个值，需代回上面x0或(0 的式中， 以判断取舍。