目录
第九章
弯曲内力
第九章 弯曲内力
? § 9-1 概述
? § 9-2 剪力和弯矩及其方程
? § 9-3 剪力图和弯矩图的绘制
? § 9-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
? § 9-5 用叠加法作弯矩图
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起重机大梁
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§ 9-1 概述
?§ 9-1 概述
镗刀杆
目录
?§ 9-1 概述
车削工件
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?§ 9-1 概述
火车轮轴
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弯曲特点
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
?§ 9-1 概述
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常见弯曲构件截面
?§ 9-1 概述
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平面弯曲
?具有纵向对称面
?外力都作用在此面内
?弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
?§ 9-1 概述
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FN
FS
M
? ? 0xF
0N ?? F
? ? 0yF 1AS FFF y ???
? ? 0McF )(1 axFxFM Ay ????
FS剪力,平行于
横截面的内力合力
M 弯矩,垂直于
横截面的内力系的
合力偶矩 FBy
FN
FS
M
§ 9-2 剪力和弯矩及其方程
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FAy
FAy
FN
FS
M
FBy
FN
FS
M
截面上的剪力对梁上任意
一点的矩为 顺时针 转向时，
剪力为正； 反之 为负。
+ _
截面上的弯矩
使得梁呈 凹形 为 正；
反之 为负。
?§ 9-2 剪力和弯矩及其方程
+ _
左上右下 为正； 反之 为负
左顺右逆 为正； 反之 为负
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解,1,确定支反力
FAy FBy
? ? 0yF FFF ByAy 2??
? ? 0AM
aFFaaF By ???? 23
3
FF
By ? 3
5 FF
Ay ?
2,用截面法研究内力
FSE
ME
? ? 0yF 352 FFF SE ??
? ? 0EM 233522 aFMaF E ????
3
FF
SE ??
2
3 FaM
E ?
?§ 9-2 剪力和弯矩及其方程
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例题 9-2-1
求图示简支梁 E 截面的内力
FAy
FBy
FBy FAy
FSE
ME O
3
FF
By ? 3
5 FF
Ay ?
分析右段得到,
FSE
ME O
? ? 0yF 0?? BySE FF
3
FFF
BySE ????
? ? 0oM FaaFM ByE ??? 23
2
3 FaM
E ?
?§ 9-2 剪力和弯矩及其方程
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FAy FBy
3
FF
By ? 3
5 FF
Ay ?
截面上的剪力等于截
面任一侧外力的代数和。
?§ 9-2 剪力和弯矩及其方程
目录
FAy
FSE
3
5 FF
SE ?
2F
FSE
F2?
3
F??
???
???
8/2ql
q 悬臂梁受均布载荷作用 。
试写出剪力和弯矩方程, 并
画出剪力 图 和弯矩 图 。
解,任选一截面 x, 写出
剪力和弯矩 方程
x
? ? ? ?lxqxxF S ??0＝
? ? ? ?lxqxxM ??02/2＝
依方程画出剪力 图 和弯矩 图
FS
x
M
x
ql
2/2ql
l
由剪力 图, 弯矩图可见 。 最
大剪力和弯矩分别为
qlF S ＝m a x 2/2m a x qlM ＝
§ 9-3 剪力图和弯矩图的绘
制
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例题 9-3-1
q
x ? ?xM
? ?xFS
???
???
???
B A
l FAY F
BY
图示简支梁 C点受集中力作用 。
试写出剪力和弯矩方程, 并画
出剪力图和弯矩图 。
解,1,确定约束力
00 ＝，＝ ?? BA MM
FAy＝ Fb/l FBy＝ Fa/l
2,写出剪力和弯矩方程
x2
FS
x
M
x
lFb/
lFa/
lFab/
x1
AC ? ? ? ?axlFbxF S ?? 11 0/＝
? ? ? ?axlF b xxM ?? 111 0/＝
CB ? ? ? ?lxalFaxF S ??? 22 /＝
? ? ? ? ? ?lxalxlFaxM ??? 222 /＝
3,依方程画出剪力图和弯矩图 。
§ 9-3 剪力图和弯矩图的绘制
C
F a b
目录
例题 9-3-2
???
???
???
B A
l FAY F
BY
图示简支梁 C点受集中力偶作用 。
试写出剪力和弯矩方程, 并画
出剪力图和弯矩图 。
解,1,确定约束力
00 ＝，＝ ?? BA MM
FAy＝ M / l FBy＝ -M / l
2,写出剪力和弯矩方程
x2
lMa/
x1
AC ? ? ? ?axlMxF S ?? 11 0/＝
? ? ? ?axlMxxM ?? 111 0/＝
CB ? ? ? ?bxlMxF S ?? 22 0/＝
? ? ? ?bxlMxxM ??? 222 0/＝
3,依方程画出剪力图和弯矩图 。
lM/
lMb/
§ 9-3 剪力图和弯矩图的绘制
C
M
a b
目录
例题 9-3-3
???
???
32/3 2ql 32/3 2ql
B A
l FAY
q
FBY
简支梁受均布载荷作用
试写出剪力和弯矩方程, 并 画
出剪力 图 和弯矩 图 。
解,1,确定约束力
00 ＝，＝ ?? BA MM
FAy＝ FBy＝ ql/2
2,写出剪力和弯矩方程
y
x C x
? ? ? ?lxqxqlxF S ??? 02/＝
? ? ? ?lxqxq l xxM ??? 02/2/ 2＝
3,依方程画出剪力图和弯矩图 。
FS
x
M
x
2/ql
2/ql
8/2ql
???
§ 9-3 剪力图和弯矩图的绘制
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例题 9-3-4
∑Y=0, Fs（ x） -[Fs（ x） +dFs（ x） ]+q（ x） dx=0
∑M c(F)=0,[M(x)+dM(x)]- M(x)-Fs(x)dx- q(x)dx*dx/2=0
dFs（ x）
dx
= q(x)
dM（ x）
dx
= Fs(x)
d2M（ x）
dx2
= q(x)
(6-1)
(6-2)
(6-3)
? 掌握：表 6-1 内力图绘制的规律性总结
P
m
q=常数
q=0
无外力梁段
dFs（ x）
dx = q(x)=0
dM（ x）
dx = Fs(x),斜直线
Q>0 ； Q<0
梁上外力情况 剪 力 图（ Q图） 弯 矩 图（ M图）
dFs（ x）
dx = q＜ 0
dFs（ x）
dx = q＞ 0
d2M（ x）
dx2 = q(x)=const,抛物线
q>0 q<0
Q(x)=0处,M取极值
P力作用处 Fs有突变，突变值为
P
P
P力作用处 M会有转折
m 作用处 Fs无变化 m作用处,M突变，突变量为 m m
[例 9-3-1]外伸梁如图所示，已知 q=5kN/m,P=15kN，试画出
该梁的内力图。
YD Y
B 2m 2m 2m
D B C A
P q
10kN
5kN
10kN
（ -） （ -）
（ +）
Q 图
M 图
RB=(15*2+5*2*5)/4
=20kN
RD=(15*2-5*2*1)/4
=5kN
10kN·m
10kN·m
[例 9-3-2]多跨静定梁如图所示,已知 q=5kN/m,P=10kN,试画出该
多跨梁的内力图。
P q
YF YD YB Y
A 1m 2m 2m 4m 1m 1m
F E A B C D
YF
P
NE
YB YA
q
NC
YD
NE′ NC′
NE = YF =5kN
NC′=5kN,YD =10kN
YA=11.25kN,YB =3.75kN
M 图 10kN·m
10kN·m
YF
P
NE
YB YA
q
NC
YD
NE′ NC′
NE = YF =5kN
NC′=5kN,YD =10kN
YA=11.25kN,YB =3.75kN
5kN 8.75kN
（ -）
Q 图
11.25kN
（ +）
（ -）
（ +）
5kN
5kN
12.65kN·m
5kN·m
X=2.25
内力图的绘制步骤,
1.根据梁上作用的外力情况将梁分段；
2.根据各段梁上作用的外力情况，来确定各段内
力图的形状。
3.根据各段内力图的形状，算出各有关控制截面
的内力值，即可画出内力图。
叠加法的应用 1,
P q
C A B D
q
A B
L
MB
NB Q
B
MA
NA
QA
q
MB
NB
MA
NA A
YA
B
YB
+
+
=
MA
MB
ql2/8
MA MB
ql2/8
叠加法的应用 2,
C A B D
MB
NB Q
B
MA
NA
QA
MB
NB
MA
NA A
YA
B
YB
+
+
=
MA
MB
MA MB
Pl/4
P1
q
P
L/2 L/2
A B
P
P
Pl/4
[例 9-3-3] 作下列图示梁的内力图。
P PL
P
PL
L L
L L
L L
0.5P
0.5P
0.5P
0.5P
P 0
Q x
Q1 x
Q2 x
–
0.5P
0.5P
0.5P
–
+
–
P
P PL
P
PL
L L
L L
L L
0.5P
0.5P
0.5P
0.5P
P 0 M
x
M1
x
M2
x
0.5PL
PL
0.5PL
–
+
+
0.5PL
+