第四章
平面一般力系
§ 4– 1 平面一般力系的简化 ?主矢与主矩
A3
O
A2
A1
F1
F3
F2
1F?
2F?
3F?
l1
O l
2 l3
R?
LO O = =
应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系
中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定
点 O 。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力
偶系。这种变换的方法称为力系向给定点 O 的简化
。点 O 称为简化中心。
一、力系向给定点 O 的简化
共点力系 F1?,F2?,F3?的合成结果为一作用点在
点 O 的力 R?。这个力矢 R? 称为原平面任意力系的主矢。
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力
偶，这力偶的矩用 LO 代表，称为原平面任意力系对
简化中心 O 的主矩。
? ? ? ? ? ?321
3210
FmFmFm
lllL
ooo ???
???
321
321
FFF
FFFR
???
???????
§ 4– 1 平面一般力系的简化 ?主矢与主矩
结论,
平面任意力系向面内任一点的简化结果，是
一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心
的主矩。
推广,平面任意力系对简化中心 O 的简化结果
主矩,
FFFFR n ??????? ?21
? ? ? ? ? ? ? ??????? FmFmFmFmL onooo ?210
主矢,
§ 4– 1 平面一般力系的简化 ?主矢与主矩
§ 4– 1 平面一般力系的简化 ?主矢与主矩
方向余弦,
2、主矩 Lo可由下式计算,
三、主矢、主矩的求法,
1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析
法计算。
? ? ? ? ? ? ? ??????? FmFmFmFmL onooo ?210
? ? ? ? 2222 ?? ???? yxyx FFRRR
? ? ? ?R FxR x??,c o s ? ? ? ?RFyR y??,c o s
§ 4– 1 平面一般力系的简化 ?主矢与主矩
= = LO O
R
O
R R?
R?
R
L o
A O
R?
R
L o
A
1,R?=0，而 LO≠0,原力系合成为力偶。这时力系主
矩 LO 不随简化中心位置而变。
2,LO=0，而 R?≠0,原力系合成为一个力。作用于点 O
的力 R?就是原力系的合力。
3,R?≠0, LO≠0,原力系简化成一个力偶和一个作用
于点 O 的力。这时力系也可合成为一个力。
说明如下,
§ 4– 2 平面一般力系简化结果的讨论,合力矩定理
简化结果的讨论
? ?
R
Fm
R
LAO ??? 00
综上所述，可见,
4,R?=0，而 LO=0，原力系平衡。
⑴,平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不
为零时，则该力系可以合成为一个力。
⑵、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主
矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。
§ 4– 2 平面一般力系简化结果的讨论,合力矩定理
平面任意力系的合力对作用面内任一点的
矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的
代数和。
合力矩定理
? ? ? ??? FmRm oo
? ? ? ? ? ?yoxoo FmFmFm ??
? ? xxo yFFm ??
? ? yyo xFFm ?
y
x O
yF
xF
F
x
y
A
B
§ 4– 2 平面一般力系简化结果的讨论,合力矩定理
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
例题 4-2-1 在长方形平板的 O,A,B,C 点上分别作
用着有四个力,F1=1kN,F2=2kN,F3=F4=3kN（如图），
试求以上四个力构成的力系对点 O 的简化结果，以及
该力系的最后的合成结果。
解,取坐标系 Oxy。
1、求向 O点简化结果,
①求主矢 R?,
598.030c o s60c o s 432 ??????? ? ?? FFFFR xx
§ 4– 2 平面一般力系简化结果的讨论,合力矩定理
? ? 6 14.0 cos ????? RRx x、R
7 9 40 22,RRR yx ???????
? ? 'x 652,????? R
? ? 7 8 9.0 co s ????? RRy y、R
? ? 'y 5437,????? R R?
O
A B
C x
y
7 6 8.0
2
1
3
2
3
21
30s i n60s i n 421
??????
????? ? ?? FFFFR yy
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
§ 4– 2 平面一般力系简化结果的讨论,合力矩定理
② 求主矩,
? ??? FoO mL
5.030s i n3260c o s2 432 ?????? FFF
（ 2）、求合成结果：合成为
一个合力 R,R的大小、方向与
R’ 相同。其作用线与 O点的垂
直距离为,
m51.0??? RLd o
R?/
O
A B
C x
y
Lo R
d
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
§ 4– 2 平面一般力系简化结果的讨论,合力矩定理
? ? 0,0,0 ??? ?? ? Foyx mFF
平衡方程其他形式,
? ? ? ?? ?? ??? 0,0,0 FF BAx mmF
? ? ? ? ? ?? ?? ??? 0,0,0 FFF CBA mmm
A,B 的连线不和 x 轴相垂直。
A,B,C 三点不共线。
平面任意力系平衡的充要条件,
力系的主矢等于零,又力系对任一点的主矩也
等于零。
平衡方程,
§ 4– 3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
解,
1、取伸臂 AB为研究对象
2、受力分析如图
y
T
P QE QD
x
B A E C D
FAy F
Ax α
a
α c
b
B
F
A
C
QD QE
l
例题 4-3-1 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂 AB
重 P=2200N，吊车 D,E 连同吊起重物各重 QD=QE=4000N。
有关尺寸为,l = 4.3m,a = 1.5m,b = 0.9m,c =
0.15m,α =25° 。试求铰链 A 对臂 AB 的水平和垂直
反力，以及拉索 BF 的拉力。
§ 4– 3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
3、选列平衡方程,
:0?? xF 0c o s ?? ?TF Ax
:0?? yF 0s i n ????? ?TQPQF EDAy
? ?? ?,0Fm A
? ? 0s i nc o s2 ??????????? lTcTblQlPaQ ED ??
4、联立求解,可得,
T = 12456 N
FAx= 11290 N
FAy= 4936 N
y
T
P QE QD
x
B A E C D
FAy F
Ax α
§ 4– 3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
解,
1、取梁 AB为研究对象。
2、受力分析如图，其中 Q=q.AB=100× 3=300N；作
用在 AB的中点 C 。
B A D
Q N
Ay
NAx
ND
C
M
y
x
B A D
1m
q
2m
M
例题 4-3-2 梁 AB上受到一个均布载荷和一个力偶
作用，已知载荷集度 q = 100N/m，力偶矩大小 M =
500 N?m。长度 AB = 3m,DB=1m。求活动铰支 D 和
固定铰支 A 的反力。
§ 4– 3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
3、列平衡方程,
:0?? xF 0?AxN
:0?? yF 0??? DAy NQN
? ?? ?,0Fm A 0223 ???? MNQ D
4、联立求解,
ND= 475 N
NAx= 0
NAy= -175 N
§ 4– 3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
B A D
Q N
Ay
NAx
ND
C
M
y
x
2580
2083
770
A
B C
T
Q
解,
1、取机翼为研究对象。
2、受力分析如图,
Q
NAy
NAx
MA
B C
T
A
例题 4-3-3 某飞机的单支机翼重 Q=7.8 kN。飞机
水平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力 T= 27
kN，力的作用线位置如图示。试求机翼与机身连接
处的约束力。
§ 4– 3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
:0?? xF 0?AxN
:0?? yF 0??? TQN Ay
? ?? ?,0Fm A 0????? ABTACQM A
4、联立求解,
MA=-38.6 kN?m (顺时针）
NAx= 0
NAy=-19.2 kN （向下）
3、列平衡方程,
§ 4– 3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
Q
NAy
NAx
MA
B C
T
A
? ? ? ?? ? ?? 0,0 FF BA mm 二矩式：
且 A,B 的连线不平行于力系中各力。
由此可见，在一个刚体受平面平行力系作用而平
衡的问题中，利用平衡方程只能求解二个未知量。
? ??? ?? 0,0 FOy mF 一矩式：
平面平行力系平衡的充要条件,
力系中各力的代数和等于零,以这些力对
任一点的矩的代数和也等于零。
平面平行力系的平衡方程,
§ 4– 4 平面平行力系的平衡
G
NA
Q
W
P
NB
A B
3.0 2.5 1.8 2.0
解,
1、取汽车及起重机为研究对象。
2、受力分析如图。
例题 4-4-1 一种车载式起重机，车重 Q = 26kN，起重机伸
臂重 G= 4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重 W = 31kN。尺
寸如图所示，单位是 m，设伸臂在起重机对称面内，且放在图
示位置，试求车子不致翻倒的最大起重量 Pmax。
§ 4– 4 平面平行力系的平衡
? ?PGQN A 5.55.228.3 1 ???
:0?? yF 0?????? WGQPNN BA
? ?? ?,0Fm B 08.325.25.5 ????? ANQGP
4、联立求解,
3、列平衡方程,
5、不翻条件,NA≥0
? ? kNGQP 5.75.225.5 1 ???? 由上式可得
故 最大起重重量为 Pmax= 7.5 kN
§ 4– 4 平面平行力系的平衡
G
NA
Q
W
P
NB
A B
3.0 2.5 1.8 2.0
平面一般力系
§ 4– 1 平面一般力系的简化 ?主矢与主矩
A3
O
A2
A1
F1
F3
F2
1F?
2F?
3F?
l1
O l
2 l3
R?
LO O = =
应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系
中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定
点 O 。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力
偶系。这种变换的方法称为力系向给定点 O 的简化
。点 O 称为简化中心。
一、力系向给定点 O 的简化
共点力系 F1?,F2?,F3?的合成结果为一作用点在
点 O 的力 R?。这个力矢 R? 称为原平面任意力系的主矢。
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力
偶，这力偶的矩用 LO 代表，称为原平面任意力系对
简化中心 O 的主矩。
? ? ? ? ? ?321
3210
FmFmFm
lllL
ooo ???
???
321
321
FFF
FFFR
???
???????
§ 4– 1 平面一般力系的简化 ?主矢与主矩
结论,
平面任意力系向面内任一点的简化结果，是
一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心
的主矩。
推广,平面任意力系对简化中心 O 的简化结果
主矩,
FFFFR n ??????? ?21
? ? ? ? ? ? ? ??????? FmFmFmFmL onooo ?210
主矢,
§ 4– 1 平面一般力系的简化 ?主矢与主矩
§ 4– 1 平面一般力系的简化 ?主矢与主矩
方向余弦,
2、主矩 Lo可由下式计算,
三、主矢、主矩的求法,
1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析
法计算。
? ? ? ? ? ? ? ??????? FmFmFmFmL onooo ?210
? ? ? ? 2222 ?? ???? yxyx FFRRR
? ? ? ?R FxR x??,c o s ? ? ? ?RFyR y??,c o s
§ 4– 1 平面一般力系的简化 ?主矢与主矩
= = LO O
R
O
R R?
R?
R
L o
A O
R?
R
L o
A
1,R?=0，而 LO≠0,原力系合成为力偶。这时力系主
矩 LO 不随简化中心位置而变。
2,LO=0，而 R?≠0,原力系合成为一个力。作用于点 O
的力 R?就是原力系的合力。
3,R?≠0, LO≠0,原力系简化成一个力偶和一个作用
于点 O 的力。这时力系也可合成为一个力。
说明如下,
§ 4– 2 平面一般力系简化结果的讨论,合力矩定理
简化结果的讨论
? ?
R
Fm
R
LAO ??? 00
综上所述，可见,
4,R?=0，而 LO=0，原力系平衡。
⑴,平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不
为零时，则该力系可以合成为一个力。
⑵、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主
矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。
§ 4– 2 平面一般力系简化结果的讨论,合力矩定理
平面任意力系的合力对作用面内任一点的
矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的
代数和。
合力矩定理
? ? ? ??? FmRm oo
? ? ? ? ? ?yoxoo FmFmFm ??
? ? xxo yFFm ??
? ? yyo xFFm ?
y
x O
yF
xF
F
x
y
A
B
§ 4– 2 平面一般力系简化结果的讨论,合力矩定理
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
例题 4-2-1 在长方形平板的 O,A,B,C 点上分别作
用着有四个力,F1=1kN,F2=2kN,F3=F4=3kN（如图），
试求以上四个力构成的力系对点 O 的简化结果，以及
该力系的最后的合成结果。
解,取坐标系 Oxy。
1、求向 O点简化结果,
①求主矢 R?,
598.030c o s60c o s 432 ??????? ? ?? FFFFR xx
§ 4– 2 平面一般力系简化结果的讨论,合力矩定理
? ? 6 14.0 cos ????? RRx x、R
7 9 40 22,RRR yx ???????
? ? 'x 652,????? R
? ? 7 8 9.0 co s ????? RRy y、R
? ? 'y 5437,????? R R?
O
A B
C x
y
7 6 8.0
2
1
3
2
3
21
30s i n60s i n 421
??????
????? ? ?? FFFFR yy
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
§ 4– 2 平面一般力系简化结果的讨论,合力矩定理
② 求主矩,
? ??? FoO mL
5.030s i n3260c o s2 432 ?????? FFF
（ 2）、求合成结果：合成为
一个合力 R,R的大小、方向与
R’ 相同。其作用线与 O点的垂
直距离为,
m51.0??? RLd o
R?/
O
A B
C x
y
Lo R
d
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
§ 4– 2 平面一般力系简化结果的讨论,合力矩定理
? ? 0,0,0 ??? ?? ? Foyx mFF
平衡方程其他形式,
? ? ? ?? ?? ??? 0,0,0 FF BAx mmF
? ? ? ? ? ?? ?? ??? 0,0,0 FFF CBA mmm
A,B 的连线不和 x 轴相垂直。
A,B,C 三点不共线。
平面任意力系平衡的充要条件,
力系的主矢等于零,又力系对任一点的主矩也
等于零。
平衡方程,
§ 4– 3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
解,
1、取伸臂 AB为研究对象
2、受力分析如图
y
T
P QE QD
x
B A E C D
FAy F
Ax α
a
α c
b
B
F
A
C
QD QE
l
例题 4-3-1 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂 AB
重 P=2200N，吊车 D,E 连同吊起重物各重 QD=QE=4000N。
有关尺寸为,l = 4.3m,a = 1.5m,b = 0.9m,c =
0.15m,α =25° 。试求铰链 A 对臂 AB 的水平和垂直
反力，以及拉索 BF 的拉力。
§ 4– 3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
3、选列平衡方程,
:0?? xF 0c o s ?? ?TF Ax
:0?? yF 0s i n ????? ?TQPQF EDAy
? ?? ?,0Fm A
? ? 0s i nc o s2 ??????????? lTcTblQlPaQ ED ??
4、联立求解,可得,
T = 12456 N
FAx= 11290 N
FAy= 4936 N
y
T
P QE QD
x
B A E C D
FAy F
Ax α
§ 4– 3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
解,
1、取梁 AB为研究对象。
2、受力分析如图，其中 Q=q.AB=100× 3=300N；作
用在 AB的中点 C 。
B A D
Q N
Ay
NAx
ND
C
M
y
x
B A D
1m
q
2m
M
例题 4-3-2 梁 AB上受到一个均布载荷和一个力偶
作用，已知载荷集度 q = 100N/m，力偶矩大小 M =
500 N?m。长度 AB = 3m,DB=1m。求活动铰支 D 和
固定铰支 A 的反力。
§ 4– 3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
3、列平衡方程,
:0?? xF 0?AxN
:0?? yF 0??? DAy NQN
? ?? ?,0Fm A 0223 ???? MNQ D
4、联立求解,
ND= 475 N
NAx= 0
NAy= -175 N
§ 4– 3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
B A D
Q N
Ay
NAx
ND
C
M
y
x
2580
2083
770
A
B C
T
Q
解,
1、取机翼为研究对象。
2、受力分析如图,
Q
NAy
NAx
MA
B C
T
A
例题 4-3-3 某飞机的单支机翼重 Q=7.8 kN。飞机
水平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力 T= 27
kN，力的作用线位置如图示。试求机翼与机身连接
处的约束力。
§ 4– 3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
:0?? xF 0?AxN
:0?? yF 0??? TQN Ay
? ?? ?,0Fm A 0????? ABTACQM A
4、联立求解,
MA=-38.6 kN?m (顺时针）
NAx= 0
NAy=-19.2 kN （向下）
3、列平衡方程,
§ 4– 3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
Q
NAy
NAx
MA
B C
T
A
? ? ? ?? ? ?? 0,0 FF BA mm 二矩式：
且 A,B 的连线不平行于力系中各力。
由此可见，在一个刚体受平面平行力系作用而平
衡的问题中，利用平衡方程只能求解二个未知量。
? ??? ?? 0,0 FOy mF 一矩式：
平面平行力系平衡的充要条件,
力系中各力的代数和等于零,以这些力对
任一点的矩的代数和也等于零。
平面平行力系的平衡方程,
§ 4– 4 平面平行力系的平衡
G
NA
Q
W
P
NB
A B
3.0 2.5 1.8 2.0
解,
1、取汽车及起重机为研究对象。
2、受力分析如图。
例题 4-4-1 一种车载式起重机，车重 Q = 26kN，起重机伸
臂重 G= 4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重 W = 31kN。尺
寸如图所示，单位是 m，设伸臂在起重机对称面内，且放在图
示位置，试求车子不致翻倒的最大起重量 Pmax。
§ 4– 4 平面平行力系的平衡
? ?PGQN A 5.55.228.3 1 ???
:0?? yF 0?????? WGQPNN BA
? ?? ?,0Fm B 08.325.25.5 ????? ANQGP
4、联立求解,
3、列平衡方程,
5、不翻条件,NA≥0
? ? kNGQP 5.75.225.5 1 ???? 由上式可得
故 最大起重重量为 Pmax= 7.5 kN
§ 4– 4 平面平行力系的平衡
G
NA
Q
W
P
NB
A B
3.0 2.5 1.8 2.0
