第十六章,静定结构内力计算
第十六部分 静定结构内力计算
静定结构的特性,
１、几何组成特性
２、静力特性
静定结构的内力计算依据静力平衡原理。
第十六章 静定梁和静定刚架
§ 16-1 单 跨 静 定 梁
单跨静定梁的类型：简支梁、伸臂梁、悬臂梁
一、截面法求某一指定截面的内力
§ 16-1 单跨静定梁
１、内力概念
内力是结构承受荷载及变形的能力的体现，可理解
为在各种外因用下结构内部材料的一种响应。内力
是看不见的，但可由结构上受有荷载和结构发生变
形（变形体）体现。
２、截面法
若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆
轴垂直方向将该截面截开，使结构成两部分；在截
开后暴露的截面上用力（内力）代替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成
为外力，因此，由任一部分的静力平衡条件，均可
列出含有截面内力的静力平衡方程。解该方程即将
内力求出。
３、截面内力
截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），
即：轴力Ｆ N,剪力Ｆ Q和弯矩 Μ 。
１、内力的定义
Ｆ N：截面上平行于截面外法线方向的正应力的代数
和，一般以受拉为正。
Ｆ Q：截面上垂直于截面法
线方向的切应力的代数和，
以使隔离体产生顺时针转
动为正。
Μ：截面上正应力对截面
中性轴的力矩代数和，对
梁一般规定使其下部受拉
为正。
２） 内力计算式 （用截面一侧上外力表达的方式）,
Ｆ N＝截面一侧所有外力在杆轴平行方向上投影
的代数和。左左为正，右右为正。
Ｆ Q＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代
数和。左上为正，右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯
矩的竖标画在杆件受拉一侧。
２）Ｃ截面内力
∑Ｆ x=0
Ｆ NC－ 60=0
Ｆ NC=60 kN
∑Ｆ y=0
Ｆ QC－ 60+10× 1.5
=0
Ｆ QC=45kN
∑ΜC=0
ΜC－ 60× 1.5－
10× 1.5× (1.5/2)
=0
ΜC＝ 101.25 kNm
（下侧受拉）
１）计算支座反力
去掉梁的支座约束，代以支座约束反力，并假定
反力的方向，建立梁的整体平衡方程。
２）求 C截面的内力
切开过 C点的横截面，将梁分成两部分。取左侧
部分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向
将内力示出，建立静力平衡方程。
说明：计算内力要点,
１）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取
的局部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断
并代以约束力、内力。
２）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向，
由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向，
并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方
向。
３）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取
其一，一般按其上外力最简原则选择。截面内力均
按规定的正方向画出。
二、荷载与内力的关系
１、内力图概念
表示结构上所有截面的轴力、剪力和弯矩分布的
图形称为内力图。
作内力图的最基本的方法是，按内力函数作内力
图。
１）建立表示截面位置的 x坐标
２）取 x处的（即 K截面）以右部分建立平衡方程
∑Ｆ y= 0 得梁ＡＣ段的剪力函数,
FQk＝ 70-20x ( 0≤x≤4)
梁ＡＣ段的剪力图是一条斜直线，取该区段内任意
两截面的座标值代入函数，既可画出该区段的剪力
图。内力函数是分段的连续函数。
２、荷载与内力的关系
微分关系,
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy
dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系,
DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义,
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy
dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
（１）在无荷载区段，Ｆ Q图为水平直线；
当Ｆ Q≠ ０时,Μ图为斜直线 ;
当Ｆ Q＝０时,Μ图为水平直线。
（２）在均布荷载区段，Ｆ Q图为斜直线； Μ图为抛
物线，且凸向与荷载指向相同。
２ ) 增量关系及几何意义,
DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
(１）水平集中力 FPx作用点两侧截面 FN图有突变,
其突变值等于 FPx。 FQ图和 Μ图不受影响。
（２）竖向集中力 FPy作用点两侧截面 FQ图有突变,
其突变值等于 FPy。 Μ图有折点，其折点的尖角与
FPy方向相同； FN图不受影响。
（３）集中力偶 Μ作用点两侧截面的 Μ图有突变,
其突变值等于 Μ； FN图和 FQ图不受影响。
３、利用荷载和内力关系的几何意义,可由荷载的分
布和类型定性地判断或校核区段上的内力图形状以
及突变点和突变值的大小。
三、叠加法作弯矩图
1、简支梁的弯矩图叠加法
２、弯矩图叠加的实质,
指弯矩竖标的叠加（而不是图形的简单叠加），
当同一截面在两个弯矩竖标在基线不同侧时，叠加
后是两个竖标绝对值相减，弯矩竖标画在绝对值大
的一侧；当两个竖标在基线同一侧时，则叠加后是
两个竖标绝对值相加，竖标画在同侧。
基线接力法概念。
３、直杆段弯矩图的区段叠加法
直杆区段的弯矩图叠加可利用简支梁的弯矩图叠加
法。其步骤是,
（１）计算直杆区段两端的最后弯矩值，以杆轴为
基线画出这两个值的竖标，并将两竖标连一直线；
（２）将所连直线作为新的基线，叠加相应简支梁
在跨间荷载作用下的弯矩图。
例 16-1-2 作图示简支梁的内力图。
解：（１）求支座反力
（２）求控制截面内力
取截面Ｃ以左,
FQC=70-20× 4=－ 10 kN
MC=70× 4－ 20× 4× 2=120kNm (下侧受拉 )
取截面Ｄ Ｒ 以右,
Ｆ QDB＝－ 50kN
ΜＤ B＝ 50× ２＝ 100kNm (下侧受拉 )
取截面Ｄ Ｌ 以右,
Ｆ QDC＝－ 50＋ 40＝－ 10kN
(3）作内力图
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩；
ΜE＝ 20× 42/8＋ 120/2＝ 100kNm (下侧受拉 )
ΜＤ ＝ 40× 4/4＋ 120/2＝ 100kNm (下侧受拉 )
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的
内力应考虑分两侧截面分别计算。
例 16-1-3 求作图示伸臂梁的Ｆ Ｑ,Ｍ图。
分析：仅有竖向荷载作用时，梁的内力只有弯矩和剪
力。剪力图的控制截面在Ｃ、Ｄ Ｌ 和Ｄ Ｒ,而弯矩
图取截面Ｃ即可，综合考虑，取控制截面为截面Ｃ,
Ｄ Ｌ 和Ｄ Ｒ 。
解：（１）支座反力
梁的整体平衡方程
∑ ΜＡ =0
FＢ y=140.67 kN(↑)
∑Μ Ｂ =0
FＡ y=27.33 kN (↑)
∑ Ｆ x=0
FＡ x= 36 kN (→)
由 ∑ Ｆ y=0 校核，
满足。
（ 2）计算控制截面的剪
力并作 FQ图
取支座Ｂ以左,
FQBC= 60× 4/5= 48 kN
取支座Ｂ以左,
FQBD = 60× 4/5
–140.67
= － 92.67 kN
(3) 计算控制截面的弯矩并作Ｍ图
取截面Ｃ L以左,
Ｍ ＣＡ ＝ 27.33× 4－ 20× 4× 2=－ 50.68 kNm
(上侧受拉 )
取截面Ｃ R以左,
Ｍ Ｃ B＝ 27.33× 4－ 20× 4× 2+100 =49.32 kNm
(下侧受拉 )
取截面 B以右,
Ｍ Ｃ B＝Ｍ Ｃ B=60× 4× 2/5 =96 kNm (上侧受拉）
例 16-1-4 比较图示斜梁
和简支梁的异同。
分析,（１） 支座反力相同。
（２）两梁的内力由内力函
数比较
简支梁,F0Nx=0
F0Qx=ql/2－ qx
M0x=qlx/2－ qx2/2
斜梁, FNx= － (ql/2qx)sina
= － F0Qx sina
FQx=(ql/2－ qx)cosa
= F0Qx cosa
Mx=qlx/2－ qx2/2
= M0x
单跨静定梁小结
要求,
１）理解内力、内力图的概念；
２）了解梁的主要受力、变形特点；
３）理解并掌握截面法计算内力的方法；
４）熟练掌握用叠加法做直杆段的弯矩图。
本节难点及重点,
１）内力正、负号的判断；
２）叠加法做弯矩图。
§ 16-2 多跨静定梁
多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直
杆件与大地一起构成的结构。
一、多跨静定梁的组成及传力特征
对上图所示梁进行几何组成分析,
ＡＤ杆与大地按两个刚片的规则组成无多余约
束的几何不变体，可独立承受荷载；然后杆ＤＦ和
杆ＦＧ也分别按两个刚片的规则依次扩大先前已形
成的几何不变体。显然，杆ＤＦ是依赖于Ｄ以右的
部分才能承受荷载，而杆ＦＧ是依赖于Ｆ以右的部
分才能承受荷载的。或者说，杆ＦＧ被杆ＤＦ支承
，杆ＤＦ被杆ＡＤ支承。根据各杆之间这种依赖、
支承关系，引入以下两个概念,
基本部分, 结构中不依赖于其它部分而独立与
大地形成几何不变的部分 。
附属部分, 结构中依赖基本部分的支承才能保
持几何不变的部分。
把结构中各部分之间的这种依赖、支承关系形象
的画成如图示的 层叠图,可以清楚的看出 多跨静定
梁所 具有 的 如下 特征,
１ ) 组成顺序：先基本部分,后 附属部分 ；
２ ) 传力顺序：先附属部分，后基本部分 。
由于这种多跨静定梁的层叠图象阶梯，可称为阶
梯形多跨静定梁。
二,多跨静定梁的内力计算
多跨静定梁的内力总能由静力平衡条件求出。关
键是按怎样的途径使计算概念清晰、简明。
例 16-2-1 计算图示多跨静定梁，并作内力图。
解：按层叠图依次取各单跨梁计算
∑MA=0 FCy× 4+(10－ 5× √2× √2/2)× 6+20=0
FCy=－ 12.5kN (↓)
∑MC=０ FAy× 4－ 20
+(5× √2× √2/2－ 10)× 2
=0 FAy=7.5 kN (↑)
∑Fx= 0
FAx+5× √2× √2/2=0
FAx=－ 5kN (←)
说明,
（１）按层叠图从上往下的顺序，画各单跨梁的受
力图，并按这个顺序逐一计算各单跨梁的约束力。
杆ＦＧ的约束力有３个，如简支梁的计算。
杆ＤＦ上没有直接作用的外荷载（注意铰Ｄ上作
用的集中荷载 FP可放在铰的任意侧），但在Ｆ处有
杆ＦＧ部分传来的已知约束力 FPy。该杆的计算相当
于伸臂梁的计算，其上的荷载即是由其上的附属部
分由约束处传来的已知约束力。
杆ＡＤ是整个梁的基本部分，有三个与大地相连
的待求的支座约束力，其上除了有在Ｄ处由Ｄ以右
部分传来的已知约束力，还有直接作用的外荷载 FP
和 m。该杆仍是伸臂梁的计算。
（２） 将所有单根梁的约束力求得后，即可将各单
跨梁的内力图作出后汇集，也可先汇集成整体再一
次作内力图。注意ＡＣ段上集中力偶作用时弯矩图
的叠加特点。
（３） 当多跨静定梁的附属部分上有外荷载时，该
外荷载将使该附属部分产生内力，并传给它以下的
基本部分使其也产生内力；当在其基本部分上有外
荷载时，该外荷载仅使该基本部分（及以下）产生
内力，对其上的附属部分不产生内力 。
例 16-2-2 分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分
别计算的条件，并作梁的 FQ,M图。
分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖
向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的
平衡方程，解两个未知数。
（２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆，
当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的
平衡。所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可
视为与杆ＡＢ同等的基本部分。
解：（１）画层叠图
（２）计算各单跨梁的约束力
按层叠图以次画出各单跨梁的受力图，注意杆
ＢＣ在杆端只有竖向约束力，并按由上向下的顺序
分别计算。
（３）作内力图
说明：本例中杆ＢＣ是不直接与大地相连的杆件,
称这类杆为 有悬跨多跨静定梁 。当仅有竖向荷载作
用时，悬跨梁可视为附属部分；当是任意的一般荷
载作用时，杆ＢＣ不能视为附属部分，杆ＣＥ部分
也不能作为基本部分。
多跨静定梁小结
了解多跨静定梁两种基本类型的几何组成特点。
多跨静定梁分层计算的目的，为了不解联立方程。
计算要点：按先附属，后基本的顺序。
§ 16-3 静定平面刚架
? 平面刚架：梁和柱构成的平面结构，其特点是在梁和柱的联系
处为刚结点，当刚架受力而产生变形时，刚结点处各杆端之间
的夹角始终保持不变。
XA A B
a a
XB
C E F
q
P
绕曲线杆端切线
E′
F′
A
B
C
D E
? 一、静定刚架支座反力的计算：平衡方
程
二、绘制内力图：用截面法求解刚架任意
指定截面的内力，应用与梁相同的内力符
号正负规定原则即相同的绘制规律与绘图
方法作内力图（ M图,Q图,N图）
A
B C D
2m 2m
P=40kN q=20kN/m
Q图
M图 N图
40kN·m
80kN·m
40kN
(-)
40kN (+)
80kN·m
(-)
[例 16-3-1]作图示三铰刚架的 M图,Q图,N图。已知,P=60kN，
q=10kN/m,a=4m。
YA
XA X
y
A B a a
q
P
a
a/2
YB
XB
C 解：（ 1） 取整体为研究对象,
∑X=0 X A + qL =XB
∑ m A（ Fi） =0
YB=(10*4*2+40*6)/8
=55kN
(2)取 BC为研究对象,
∑ m c（ Fi） =0
XB=(55*4-60*2)/4=25kN
∑X =0 XC=XB=25kN
∑Y =0 YC=60-55=5kN
∑ m B（ Fi） =0
YA=(60*2-10*4*2)/8=5kN
∑X=0 X A=25-40= -15kN
A B
C
B
C
B
C
5kN
15kN X
y
A B 4m 4m
60kN
2m
55kN
25kN
C
Q图
???
???
10kN·m
100kN
???
25kN
5kN
???
55kN
25kN
M图 N图
25kN
???
55kN
20kN·m
A A
§ 16-4 了解三铰拱的受力特点及内力计算方法
三铰静定拱结构
两铰拱结构
（一次超静定）
无铰拱结构
单元铰拱结构
（两次超静定）
一、三铰静定拱结构的计算,
A B
C k ?k P1
P2
P3
y
H
VA
x
H
VB
a1
a2
a3 b3
b2
b1
∑X=0, HA=HB=H
∑m B (F)=0,VA= ∑P ibi/L
∑m A (F)=0,VB= ∑P iai/L
取左半部分为分离体,
1.反力计算,
取整体为分离体,
∑m C(F)=0,VA= ∑P ibi/L
HA=
VAL/2-P1(L/2- a1)- P2(L/2- a2)
f
VB °
A
H=0
VA°
B C
k1
P1 P2 P3
A B
C k ?k P1
P2
P3
y
H
VA
x
H
VB
a1
a2
a3 b3
b2
b1 VA =VA ° （ 6-4）
VB =VB ° （ 6-5）
HA=HB=H= MC° /f （ 6-6）
三铰拱与相应之简
支梁反力比较,
H=0
VA VB
A
y
B x
拉 杆
Mk
VB?
A
H=0
VA°
B C
k1
P1 P2 P3
A
k(xk,yk)
?k P1
y
H
VA
Nk
∑t=0,
Qk =(VA- P1 )cos?k-Hsin?k
=QK?cos?k-Hsin?k
∑M k(F)=0,
Nk =-(VA- P1 )sin?k-Hcos?k
=-QK?sin?k-Hcos?k
MK=[VAxk - P1 (xk- a1 )]-Hyk
=MK° - Hyk
n t
∑n=0,
二、拱与梁的比较 ·拱的合理轴线,M(x)= M?(X)-Hy(x)=0
y(x)= M?(X)/H
Qk
x
VB °
A
H=0
VA°
B C
A B
y
H
VA
x
H
VB
L/2 L/2
[例,6-18]试求图 6-31所
示三铰拱在均布荷载作用
下的合理轴线方程。
q
q
∑M C(F)=0,
H= MC?/f=(ql2/8)/f
=ql2/(8f)
M(x)= M?(X)-Hy(x)=0
y(x)= M?(X)/H
y(x)= qx(l-x)/2 ql2/(8f)
=4fx(l-x)/l2
三铰静定拱结构
两铰拱结构
（一次超静定）
§ 16-5 静定平面桁架,
–1,了解常见桁架的组成方式：简单
桁架, 联合桁架 。
–2,重点掌握桁架内力的计算方法：
结点法和截面法
–3,了解几种梁式桁架受力性能的比
较：平行弦桁架, 三角形桁架, 抛物
线型桁架 。
B A
P P/2 P P P P P/2
简单桁架：由基础
或一个基本铰接三
角形开始逐次增加
二杆结点，组成的
桁架。
联合桁架：由几
个简单桁架组成
的几何不变体系
称为联合桁架。
5kN
10kN
5kN
10kN
10kN
YA=20kN YB=20kN
二、结点法,
以桁架各结点为分离体，由
结点平衡方程求解各杆内力。
[例 16-5-1]试计算图示
桁架各杆内力。 1 30° 2
3
4
5 6
7
8
2m 2m 2m 2m
20kN
5kN S13
S12 1
2
S23
S25 S12
10kN
S13
S34
3 S
35
S23
10kN
S34 4 S47
S45
2
S23
S25 S12
10kN
S13
S34
3 S
35
S23
10kN
S34 4 S47
S45
解 ?1）支座反力,
YA=20kN,YB=20kN
（ 2）结点法依次求各杆内力,
结点 1,∑X=0, S13=（ 5-20） /sin30° =-30kN(压杆）
∑Y=0, S12=-S13cos30° =25.98kN（拉杆）
20kN
5kN S13
S12 1
30°
结点 2,∑X=0, S25= S12 =25.98kN（拉杆）
∑Y=0, S23=0（零杆）
结点 3,∑X=0, S34cos30° + S35cos30° - S13cos30° =0
∑Y=0, S34sin30° -S35sin30° -S13sin30° -10=0
S34=-20kN（压杆） S35=-10kN（压杆）
结点 4,∑X=0, -S34cos30° + S47cos30° =0
∑Y=0, -S34sin30° -S47sin30° +S45-10=0
S47=-20kN（压杆） S45=-10kN（压杆）
0 5kN 5kN
10kN
10kN
10kN
25.98kN 25.98kN 25.98kN 25.98kN
0
20kN 20kN
B A
P P P P P
1
2
3
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
a
a a a a
三、截面法：用于计算桁架结构中某几根杆的内力。
[例 6-20]求图示桁架中指定杆件 1,2,3的内力。
a
b c
2.5P 2.5P
P P
A S
b
Sa
S1
(b) 2.5P
P P
B
S2
S3
Sc (c) 2.5P
解 ?1)用 Ⅰ -Ⅰ 截开桁架，取截面以左为分离体，如图（ b）,
图（ b）,∑Y=0, S1=2.5P-P-P=0.5P (拉杆）
图（ c）,
P P P P
A B S
b
Sa
S1
S2
S3
Sc (b) (c) 2.5P 2.5P K
∑m K(F)=0,S2=（ Pa-2.5Pa)/a=-1.5P （压杆）
∑Y=0, S3=（ P+P-2.5P)/cos45° =-√2P/2 （压杆）
第十六部分 静定结构内力计算
静定结构的特性,
１、几何组成特性
２、静力特性
静定结构的内力计算依据静力平衡原理。
第十六章 静定梁和静定刚架
§ 16-1 单 跨 静 定 梁
单跨静定梁的类型：简支梁、伸臂梁、悬臂梁
一、截面法求某一指定截面的内力
§ 16-1 单跨静定梁
１、内力概念
内力是结构承受荷载及变形的能力的体现，可理解
为在各种外因用下结构内部材料的一种响应。内力
是看不见的，但可由结构上受有荷载和结构发生变
形（变形体）体现。
２、截面法
若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆
轴垂直方向将该截面截开，使结构成两部分；在截
开后暴露的截面上用力（内力）代替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成
为外力，因此，由任一部分的静力平衡条件，均可
列出含有截面内力的静力平衡方程。解该方程即将
内力求出。
３、截面内力
截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），
即：轴力Ｆ N,剪力Ｆ Q和弯矩 Μ 。
１、内力的定义
Ｆ N：截面上平行于截面外法线方向的正应力的代数
和，一般以受拉为正。
Ｆ Q：截面上垂直于截面法
线方向的切应力的代数和，
以使隔离体产生顺时针转
动为正。
Μ：截面上正应力对截面
中性轴的力矩代数和，对
梁一般规定使其下部受拉
为正。
２） 内力计算式 （用截面一侧上外力表达的方式）,
Ｆ N＝截面一侧所有外力在杆轴平行方向上投影
的代数和。左左为正，右右为正。
Ｆ Q＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代
数和。左上为正，右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯
矩的竖标画在杆件受拉一侧。
２）Ｃ截面内力
∑Ｆ x=0
Ｆ NC－ 60=0
Ｆ NC=60 kN
∑Ｆ y=0
Ｆ QC－ 60+10× 1.5
=0
Ｆ QC=45kN
∑ΜC=0
ΜC－ 60× 1.5－
10× 1.5× (1.5/2)
=0
ΜC＝ 101.25 kNm
（下侧受拉）
１）计算支座反力
去掉梁的支座约束，代以支座约束反力，并假定
反力的方向，建立梁的整体平衡方程。
２）求 C截面的内力
切开过 C点的横截面，将梁分成两部分。取左侧
部分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向
将内力示出，建立静力平衡方程。
说明：计算内力要点,
１）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取
的局部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断
并代以约束力、内力。
２）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向，
由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向，
并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方
向。
３）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取
其一，一般按其上外力最简原则选择。截面内力均
按规定的正方向画出。
二、荷载与内力的关系
１、内力图概念
表示结构上所有截面的轴力、剪力和弯矩分布的
图形称为内力图。
作内力图的最基本的方法是，按内力函数作内力
图。
１）建立表示截面位置的 x坐标
２）取 x处的（即 K截面）以右部分建立平衡方程
∑Ｆ y= 0 得梁ＡＣ段的剪力函数,
FQk＝ 70-20x ( 0≤x≤4)
梁ＡＣ段的剪力图是一条斜直线，取该区段内任意
两截面的座标值代入函数，既可画出该区段的剪力
图。内力函数是分段的连续函数。
２、荷载与内力的关系
微分关系,
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy
dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系,
DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义,
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy
dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
（１）在无荷载区段，Ｆ Q图为水平直线；
当Ｆ Q≠ ０时,Μ图为斜直线 ;
当Ｆ Q＝０时,Μ图为水平直线。
（２）在均布荷载区段，Ｆ Q图为斜直线； Μ图为抛
物线，且凸向与荷载指向相同。
２ ) 增量关系及几何意义,
DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
(１）水平集中力 FPx作用点两侧截面 FN图有突变,
其突变值等于 FPx。 FQ图和 Μ图不受影响。
（２）竖向集中力 FPy作用点两侧截面 FQ图有突变,
其突变值等于 FPy。 Μ图有折点，其折点的尖角与
FPy方向相同； FN图不受影响。
（３）集中力偶 Μ作用点两侧截面的 Μ图有突变,
其突变值等于 Μ； FN图和 FQ图不受影响。
３、利用荷载和内力关系的几何意义,可由荷载的分
布和类型定性地判断或校核区段上的内力图形状以
及突变点和突变值的大小。
三、叠加法作弯矩图
1、简支梁的弯矩图叠加法
２、弯矩图叠加的实质,
指弯矩竖标的叠加（而不是图形的简单叠加），
当同一截面在两个弯矩竖标在基线不同侧时，叠加
后是两个竖标绝对值相减，弯矩竖标画在绝对值大
的一侧；当两个竖标在基线同一侧时，则叠加后是
两个竖标绝对值相加，竖标画在同侧。
基线接力法概念。
３、直杆段弯矩图的区段叠加法
直杆区段的弯矩图叠加可利用简支梁的弯矩图叠加
法。其步骤是,
（１）计算直杆区段两端的最后弯矩值，以杆轴为
基线画出这两个值的竖标，并将两竖标连一直线；
（２）将所连直线作为新的基线，叠加相应简支梁
在跨间荷载作用下的弯矩图。
例 16-1-2 作图示简支梁的内力图。
解：（１）求支座反力
（２）求控制截面内力
取截面Ｃ以左,
FQC=70-20× 4=－ 10 kN
MC=70× 4－ 20× 4× 2=120kNm (下侧受拉 )
取截面Ｄ Ｒ 以右,
Ｆ QDB＝－ 50kN
ΜＤ B＝ 50× ２＝ 100kNm (下侧受拉 )
取截面Ｄ Ｌ 以右,
Ｆ QDC＝－ 50＋ 40＝－ 10kN
(3）作内力图
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩；
ΜE＝ 20× 42/8＋ 120/2＝ 100kNm (下侧受拉 )
ΜＤ ＝ 40× 4/4＋ 120/2＝ 100kNm (下侧受拉 )
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的
内力应考虑分两侧截面分别计算。
例 16-1-3 求作图示伸臂梁的Ｆ Ｑ,Ｍ图。
分析：仅有竖向荷载作用时，梁的内力只有弯矩和剪
力。剪力图的控制截面在Ｃ、Ｄ Ｌ 和Ｄ Ｒ,而弯矩
图取截面Ｃ即可，综合考虑，取控制截面为截面Ｃ,
Ｄ Ｌ 和Ｄ Ｒ 。
解：（１）支座反力
梁的整体平衡方程
∑ ΜＡ =0
FＢ y=140.67 kN(↑)
∑Μ Ｂ =0
FＡ y=27.33 kN (↑)
∑ Ｆ x=0
FＡ x= 36 kN (→)
由 ∑ Ｆ y=0 校核，
满足。
（ 2）计算控制截面的剪
力并作 FQ图
取支座Ｂ以左,
FQBC= 60× 4/5= 48 kN
取支座Ｂ以左,
FQBD = 60× 4/5
–140.67
= － 92.67 kN
(3) 计算控制截面的弯矩并作Ｍ图
取截面Ｃ L以左,
Ｍ ＣＡ ＝ 27.33× 4－ 20× 4× 2=－ 50.68 kNm
(上侧受拉 )
取截面Ｃ R以左,
Ｍ Ｃ B＝ 27.33× 4－ 20× 4× 2+100 =49.32 kNm
(下侧受拉 )
取截面 B以右,
Ｍ Ｃ B＝Ｍ Ｃ B=60× 4× 2/5 =96 kNm (上侧受拉）
例 16-1-4 比较图示斜梁
和简支梁的异同。
分析,（１） 支座反力相同。
（２）两梁的内力由内力函
数比较
简支梁,F0Nx=0
F0Qx=ql/2－ qx
M0x=qlx/2－ qx2/2
斜梁, FNx= － (ql/2qx)sina
= － F0Qx sina
FQx=(ql/2－ qx)cosa
= F0Qx cosa
Mx=qlx/2－ qx2/2
= M0x
单跨静定梁小结
要求,
１）理解内力、内力图的概念；
２）了解梁的主要受力、变形特点；
３）理解并掌握截面法计算内力的方法；
４）熟练掌握用叠加法做直杆段的弯矩图。
本节难点及重点,
１）内力正、负号的判断；
２）叠加法做弯矩图。
§ 16-2 多跨静定梁
多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直
杆件与大地一起构成的结构。
一、多跨静定梁的组成及传力特征
对上图所示梁进行几何组成分析,
ＡＤ杆与大地按两个刚片的规则组成无多余约
束的几何不变体，可独立承受荷载；然后杆ＤＦ和
杆ＦＧ也分别按两个刚片的规则依次扩大先前已形
成的几何不变体。显然，杆ＤＦ是依赖于Ｄ以右的
部分才能承受荷载，而杆ＦＧ是依赖于Ｆ以右的部
分才能承受荷载的。或者说，杆ＦＧ被杆ＤＦ支承
，杆ＤＦ被杆ＡＤ支承。根据各杆之间这种依赖、
支承关系，引入以下两个概念,
基本部分, 结构中不依赖于其它部分而独立与
大地形成几何不变的部分 。
附属部分, 结构中依赖基本部分的支承才能保
持几何不变的部分。
把结构中各部分之间的这种依赖、支承关系形象
的画成如图示的 层叠图,可以清楚的看出 多跨静定
梁所 具有 的 如下 特征,
１ ) 组成顺序：先基本部分,后 附属部分 ；
２ ) 传力顺序：先附属部分，后基本部分 。
由于这种多跨静定梁的层叠图象阶梯，可称为阶
梯形多跨静定梁。
二,多跨静定梁的内力计算
多跨静定梁的内力总能由静力平衡条件求出。关
键是按怎样的途径使计算概念清晰、简明。
例 16-2-1 计算图示多跨静定梁，并作内力图。
解：按层叠图依次取各单跨梁计算
∑MA=0 FCy× 4+(10－ 5× √2× √2/2)× 6+20=0
FCy=－ 12.5kN (↓)
∑MC=０ FAy× 4－ 20
+(5× √2× √2/2－ 10)× 2
=0 FAy=7.5 kN (↑)
∑Fx= 0
FAx+5× √2× √2/2=0
FAx=－ 5kN (←)
说明,
（１）按层叠图从上往下的顺序，画各单跨梁的受
力图，并按这个顺序逐一计算各单跨梁的约束力。
杆ＦＧ的约束力有３个，如简支梁的计算。
杆ＤＦ上没有直接作用的外荷载（注意铰Ｄ上作
用的集中荷载 FP可放在铰的任意侧），但在Ｆ处有
杆ＦＧ部分传来的已知约束力 FPy。该杆的计算相当
于伸臂梁的计算，其上的荷载即是由其上的附属部
分由约束处传来的已知约束力。
杆ＡＤ是整个梁的基本部分，有三个与大地相连
的待求的支座约束力，其上除了有在Ｄ处由Ｄ以右
部分传来的已知约束力，还有直接作用的外荷载 FP
和 m。该杆仍是伸臂梁的计算。
（２） 将所有单根梁的约束力求得后，即可将各单
跨梁的内力图作出后汇集，也可先汇集成整体再一
次作内力图。注意ＡＣ段上集中力偶作用时弯矩图
的叠加特点。
（３） 当多跨静定梁的附属部分上有外荷载时，该
外荷载将使该附属部分产生内力，并传给它以下的
基本部分使其也产生内力；当在其基本部分上有外
荷载时，该外荷载仅使该基本部分（及以下）产生
内力，对其上的附属部分不产生内力 。
例 16-2-2 分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分
别计算的条件，并作梁的 FQ,M图。
分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖
向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的
平衡方程，解两个未知数。
（２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆，
当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的
平衡。所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可
视为与杆ＡＢ同等的基本部分。
解：（１）画层叠图
（２）计算各单跨梁的约束力
按层叠图以次画出各单跨梁的受力图，注意杆
ＢＣ在杆端只有竖向约束力，并按由上向下的顺序
分别计算。
（３）作内力图
说明：本例中杆ＢＣ是不直接与大地相连的杆件,
称这类杆为 有悬跨多跨静定梁 。当仅有竖向荷载作
用时，悬跨梁可视为附属部分；当是任意的一般荷
载作用时，杆ＢＣ不能视为附属部分，杆ＣＥ部分
也不能作为基本部分。
多跨静定梁小结
了解多跨静定梁两种基本类型的几何组成特点。
多跨静定梁分层计算的目的，为了不解联立方程。
计算要点：按先附属，后基本的顺序。
§ 16-3 静定平面刚架
? 平面刚架：梁和柱构成的平面结构，其特点是在梁和柱的联系
处为刚结点，当刚架受力而产生变形时，刚结点处各杆端之间
的夹角始终保持不变。
XA A B
a a
XB
C E F
q
P
绕曲线杆端切线
E′
F′
A
B
C
D E
? 一、静定刚架支座反力的计算：平衡方
程
二、绘制内力图：用截面法求解刚架任意
指定截面的内力，应用与梁相同的内力符
号正负规定原则即相同的绘制规律与绘图
方法作内力图（ M图,Q图,N图）
A
B C D
2m 2m
P=40kN q=20kN/m
Q图
M图 N图
40kN·m
80kN·m
40kN
(-)
40kN (+)
80kN·m
(-)
[例 16-3-1]作图示三铰刚架的 M图,Q图,N图。已知,P=60kN，
q=10kN/m,a=4m。
YA
XA X
y
A B a a
q
P
a
a/2
YB
XB
C 解：（ 1） 取整体为研究对象,
∑X=0 X A + qL =XB
∑ m A（ Fi） =0
YB=(10*4*2+40*6)/8
=55kN
(2)取 BC为研究对象,
∑ m c（ Fi） =0
XB=(55*4-60*2)/4=25kN
∑X =0 XC=XB=25kN
∑Y =0 YC=60-55=5kN
∑ m B（ Fi） =0
YA=(60*2-10*4*2)/8=5kN
∑X=0 X A=25-40= -15kN
A B
C
B
C
B
C
5kN
15kN X
y
A B 4m 4m
60kN
2m
55kN
25kN
C
Q图
???
???
10kN·m
100kN
???
25kN
5kN
???
55kN
25kN
M图 N图
25kN
???
55kN
20kN·m
A A
§ 16-4 了解三铰拱的受力特点及内力计算方法
三铰静定拱结构
两铰拱结构
（一次超静定）
无铰拱结构
单元铰拱结构
（两次超静定）
一、三铰静定拱结构的计算,
A B
C k ?k P1
P2
P3
y
H
VA
x
H
VB
a1
a2
a3 b3
b2
b1
∑X=0, HA=HB=H
∑m B (F)=0,VA= ∑P ibi/L
∑m A (F)=0,VB= ∑P iai/L
取左半部分为分离体,
1.反力计算,
取整体为分离体,
∑m C(F)=0,VA= ∑P ibi/L
HA=
VAL/2-P1(L/2- a1)- P2(L/2- a2)
f
VB °
A
H=0
VA°
B C
k1
P1 P2 P3
A B
C k ?k P1
P2
P3
y
H
VA
x
H
VB
a1
a2
a3 b3
b2
b1 VA =VA ° （ 6-4）
VB =VB ° （ 6-5）
HA=HB=H= MC° /f （ 6-6）
三铰拱与相应之简
支梁反力比较,
H=0
VA VB
A
y
B x
拉 杆
Mk
VB?
A
H=0
VA°
B C
k1
P1 P2 P3
A
k(xk,yk)
?k P1
y
H
VA
Nk
∑t=0,
Qk =(VA- P1 )cos?k-Hsin?k
=QK?cos?k-Hsin?k
∑M k(F)=0,
Nk =-(VA- P1 )sin?k-Hcos?k
=-QK?sin?k-Hcos?k
MK=[VAxk - P1 (xk- a1 )]-Hyk
=MK° - Hyk
n t
∑n=0,
二、拱与梁的比较 ·拱的合理轴线,M(x)= M?(X)-Hy(x)=0
y(x)= M?(X)/H
Qk
x
VB °
A
H=0
VA°
B C
A B
y
H
VA
x
H
VB
L/2 L/2
[例,6-18]试求图 6-31所
示三铰拱在均布荷载作用
下的合理轴线方程。
q
q
∑M C(F)=0,
H= MC?/f=(ql2/8)/f
=ql2/(8f)
M(x)= M?(X)-Hy(x)=0
y(x)= M?(X)/H
y(x)= qx(l-x)/2 ql2/(8f)
=4fx(l-x)/l2
三铰静定拱结构
两铰拱结构
（一次超静定）
§ 16-5 静定平面桁架,
–1,了解常见桁架的组成方式：简单
桁架, 联合桁架 。
–2,重点掌握桁架内力的计算方法：
结点法和截面法
–3,了解几种梁式桁架受力性能的比
较：平行弦桁架, 三角形桁架, 抛物
线型桁架 。
B A
P P/2 P P P P P/2
简单桁架：由基础
或一个基本铰接三
角形开始逐次增加
二杆结点，组成的
桁架。
联合桁架：由几
个简单桁架组成
的几何不变体系
称为联合桁架。
5kN
10kN
5kN
10kN
10kN
YA=20kN YB=20kN
二、结点法,
以桁架各结点为分离体，由
结点平衡方程求解各杆内力。
[例 16-5-1]试计算图示
桁架各杆内力。 1 30° 2
3
4
5 6
7
8
2m 2m 2m 2m
20kN
5kN S13
S12 1
2
S23
S25 S12
10kN
S13
S34
3 S
35
S23
10kN
S34 4 S47
S45
2
S23
S25 S12
10kN
S13
S34
3 S
35
S23
10kN
S34 4 S47
S45
解 ?1）支座反力,
YA=20kN,YB=20kN
（ 2）结点法依次求各杆内力,
结点 1,∑X=0, S13=（ 5-20） /sin30° =-30kN(压杆）
∑Y=0, S12=-S13cos30° =25.98kN（拉杆）
20kN
5kN S13
S12 1
30°
结点 2,∑X=0, S25= S12 =25.98kN（拉杆）
∑Y=0, S23=0（零杆）
结点 3,∑X=0, S34cos30° + S35cos30° - S13cos30° =0
∑Y=0, S34sin30° -S35sin30° -S13sin30° -10=0
S34=-20kN（压杆） S35=-10kN（压杆）
结点 4,∑X=0, -S34cos30° + S47cos30° =0
∑Y=0, -S34sin30° -S47sin30° +S45-10=0
S47=-20kN（压杆） S45=-10kN（压杆）
0 5kN 5kN
10kN
10kN
10kN
25.98kN 25.98kN 25.98kN 25.98kN
0
20kN 20kN
B A
P P P P P
1
2
3
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
a
a a a a
三、截面法：用于计算桁架结构中某几根杆的内力。
[例 6-20]求图示桁架中指定杆件 1,2,3的内力。
a
b c
2.5P 2.5P
P P
A S
b
Sa
S1
(b) 2.5P
P P
B
S2
S3
Sc (c) 2.5P
解 ?1)用 Ⅰ -Ⅰ 截开桁架，取截面以左为分离体，如图（ b）,
图（ b）,∑Y=0, S1=2.5P-P-P=0.5P (拉杆）
图（ c）,
P P P P
A B S
b
Sa
S1
S2
S3
Sc (b) (c) 2.5P 2.5P K
∑m K(F)=0,S2=（ Pa-2.5Pa)/a=-1.5P （压杆）
∑Y=0, S3=（ P+P-2.5P)/cos45° =-√2P/2 （压杆）
